正交矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用

1、目 錄摘要（關(guān)鍵詞）1Abstract（Key words） 11 前言12 正交矩陣的性質(zhì)13 正交矩陣的相關(guān)命題34 正交矩陣的應(yīng)用54.1 正交矩陣在解析幾何上的應(yīng)用6 4.2 正交矩陣在拓?fù)鋵W(xué)和近似代數(shù)中的應(yīng)用7 4.3 正交矩陣在物理學(xué)中的應(yīng)用9 5 后記10參考文獻(xiàn)10致謝11關(guān)于正交矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用研究摘要:正交矩陣是數(shù)學(xué)中一類特殊的矩陣，同時(shí)它還具有一些非常特殊的性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用.目前也有很多關(guān)于正交矩陣文獻(xiàn)，但是其中大部分都是研究關(guān)于正交矩陣性質(zhì)，而關(guān)于正交矩陣的應(yīng)用很少提及.本文的主要任務(wù)就是利用正交矩陣的定義，并以矩陣性質(zhì)，行列式性質(zhì)為主要工具，歸納正交矩陣的性質(zhì)，并探討

2、正交矩陣在解析幾何、拓?fù)鋵W(xué)、近似代數(shù)及物理學(xué)上的應(yīng)用.關(guān)鍵詞:正交矩陣；行列式；性質(zhì)；應(yīng)用Abstract: Orthogonal matrix is a kind of special matrix in mathematics. Meanwhile, it also has some very special properties and it is widely used. At present, there are many literatures about orthogonal matrix, but most of them are about the properties of

3、 orthogonal matrix. However, the application of orthogonal matrix is seldom mentioned. The main task of this paper is to induce the properties of orthogonal matrix and explore the applications of it in analytic geometry, topology, approximate algebra and physics by using the definition of orthogonal

4、 matrix and utilizing the properties of matrix and determinant as the main tool.Key words: Orthogonal matrix; determinant; property; application 1前言我們?cè)谟懻摌?biāo)準(zhǔn)正交基的求法后，由于標(biāo)準(zhǔn)正交基在歐氏空間中占有特殊的地位，從而討論一組標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的基變換公式。那么由一組標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是什么樣的，它有什么性質(zhì)呢？我們由上面的問題引出了關(guān)于正交矩陣的定義。正交矩陣是一種特殊的矩陣，因此對(duì)于正交矩陣的性質(zhì)及分類的探討

5、具有非常重要的意義。而這篇文章就是針對(duì)正交矩陣所具有的一系列性質(zhì)，以及正交矩陣在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)化學(xué)基礎(chǔ)及力學(xué)領(lǐng)域的一系列應(yīng)用。2正交矩陣的性質(zhì)本文在探討正交矩陣的性質(zhì)時(shí)除特殊強(qiáng)調(diào)外都是指數(shù)域上的矩陣，用表示數(shù)域上階方陣的集合，用表示單位矩陣，用、分別表示矩陣的行列式、逆矩陣（當(dāng)可逆時(shí)）、伴隨矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣.定義2.1 階實(shí)矩陣A，若有 ，則稱為正交矩陣. 等價(jià)定義1: 階實(shí)矩陣A，若有 ，則稱為正交矩陣； 等價(jià)定義2: 階實(shí)矩陣A，若有 ，則稱為正交矩陣； 等價(jià)定義3: 階實(shí)矩陣A的n個(gè)行（列）向量是兩兩正交的單位向量 ，則稱為正交矩陣.性質(zhì)2.1 為正交矩陣，則其行列式的值為或.證明： 由正

6、交矩陣的定義知, 兩邊同取行列式，得，又由于，則， 即性質(zhì)2.2 為正交矩陣，的任一行(列)乘以得到的矩陣仍為正交矩陣.證明： 設(shè)，其中是的單位正交向量組.顯然也是的單位正交矩陣，則由正交矩陣的等價(jià)定義3知成立.性質(zhì)2.3 為正交矩陣,的任兩行(列)互換得到的矩陣仍為正交矩陣.證明： 設(shè)其中 是的單位正交向量組.顯然也是的單位正交矩陣，則由正交矩陣的等價(jià)定義3知成立.性質(zhì)2.4 為正交矩陣，則、也是正交矩陣.證明： 為正交矩陣, 為正交矩陣,為正交矩陣.性質(zhì)2.5 為正交矩陣,則也是正交矩陣.證明： 為正交矩陣，則,由正交矩陣的等價(jià)定義2知，為正交矩陣. 性質(zhì)2.6 、均為正交矩陣,則它們的積

7、也是正交矩陣.證明：、為正交矩陣，,由于,由正交矩陣的等價(jià)定義2知，為正交矩陣.性質(zhì)2.7 、均為正交矩陣,則也是正交矩陣.證明：、為正交矩陣，,由于所以為正交矩陣.證明同上.性質(zhì)2.8 、均為正交矩陣,則也是正交矩陣.證明：、為正交矩陣，,由于,所以為正交矩陣.證明同上.性質(zhì)2.9 、均為正交矩陣,則也是正交矩陣.證明：、為正交矩陣，,由于所以為正交矩陣. 性質(zhì)2.10 、均為正交矩陣,則也是正交矩陣.證明：、為正交矩陣，,由于所以為正交矩陣.性質(zhì)2.11 、均為正交矩陣,則也是正交矩陣.證明：、為正交矩陣，,則有 ，則有結(jié)論為正交矩陣成立.性質(zhì)2.12 為正交矩陣，是的特征值，則也是的特征

8、值.證明：為正交矩陣，有,那么有，則是的特征值，則也是的特征值.性質(zhì)2.13 為正交矩陣,它的特征值為，并且屬于的不同特征值的特征向量兩兩相互正交.證明：設(shè)為的特征值，是的屬于特征值的特征向量，,兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置得，,所以,因?yàn)闉檎痪仃?，所?而，則，即. 另外，設(shè)是的屬于特征值的特征向量.由于，,可得,所以，又，因此可得，則，即與正交.性質(zhì)2.14 為上（下）三角的正交矩陣，那么矩陣必為對(duì)角矩陣，且對(duì)線上的元素值為.證明：設(shè)為上三角的正交矩陣，那么必為上三角矩陣且，因此為對(duì)角矩陣.又由于，則矩陣的對(duì)角線上的元素為.性質(zhì)2.15 為正交矩陣，那么矩陣的一切階主子式之和與一切相應(yīng)階主子式之和或者

9、相等或互為相反數(shù).性質(zhì)2.16 為階正交基礎(chǔ)循環(huán)矩陣，那么矩陣的全部特征根為實(shí)根，并且是個(gè)次單根.證明：設(shè)為基礎(chǔ)循環(huán)矩陣可知的特征多項(xiàng)式為,那么它的特征根為,故為次單根.3 正交矩陣的相關(guān)命題命題3.1 、為正交矩陣，如果為反對(duì)稱矩陣，則也是正交矩陣，且.證明：由于、為正交矩陣，則,，為反對(duì)稱矩陣，則 因此為正交矩陣.且.命題3.2 、為正交矩陣，且,則不可逆.證明：由于、為正交矩陣，則，,又因?yàn)?，則,得,因此不可逆. 命題3.3 、為奇數(shù)階的正交矩陣，且,則不可逆.證明：由于、為正交矩陣，則有，,，由于 、為奇數(shù)階，則,即,因此不可逆.命題3.4 、為奇數(shù)階的正交矩陣，則必不可逆.證明：由

10、于、為正交矩陣，則有，,由于、為奇數(shù)階的矩陣，則,即必不可逆. 命題3.5 為正交矩陣，且，則不可逆，且為特征值. 證明：因?yàn)橹?由定理3.2.1知，,故不可逆.又，故,所以為特征值. 命題3.6 為奇數(shù)階正交矩陣，且，則不可逆，且為特征值. 證明：因?yàn)橹?由定理3.2.1知，,故不可逆.又，故,所以為特征值. 命題3.7 為對(duì)稱矩陣，為反對(duì)稱矩陣，、可交換，可逆，則及都為正交矩陣. 證明：由題意知,則,因?yàn)榭赡?，那么也可?即,，則為正交矩陣.同理可證也為正交矩陣. 命題3.8 為反對(duì)稱矩陣，則及都為正交矩陣,并且其特征值不為. 證明：為對(duì)稱矩陣，為反對(duì)稱矩陣，則由定理3.3知及都為正交

11、矩陣.由于反對(duì)稱矩陣的特征值只為零或純虛數(shù)，因此的特征值不是.則,因此可逆 ，由于及都為正交矩陣，令，那么有,可知可逆，且,因此不是的特征值.同理不是的特征值. 命題3.9 矩陣,矩陣為正交矩陣，且,則，. 證明：由于為正交矩陣，則，那么,知與相似，則有它們的跡相等.即,故. 命題3.10 矩陣為階正交矩陣，并且的特征值不為，則一定存在反對(duì)稱矩陣、使得 證明：由于的特征值不為，則,所以可逆.矩陣為階正交矩陣，取,由于,那么可以得到和，因此可逆，從而；下證矩陣為反正交矩陣：，則有,則為反對(duì)稱矩陣，則取，同理可證為反對(duì)稱矩陣，且滿足4 正交矩陣的應(yīng)用在對(duì)正交矩陣的性質(zhì)有一定的了解之后，下面我們開始

12、討論正交矩陣在不同領(lǐng)域上的應(yīng)用問題.4.1正交矩陣在解析幾何上的應(yīng)用 在討論正交矩陣在解析幾何上的應(yīng)用時(shí)，我們先從正交矩陣的性質(zhì)出發(fā)，轉(zhuǎn)化到轉(zhuǎn)化到正交變換，進(jìn)而研究正交矩陣在解析幾何上的簡單應(yīng)用. 由定義2.11等價(jià)定義3知正交矩陣的行（列）向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.引入上的正交變換定義定義4.1 階正交矩陣，對(duì)于,稱到的線性變換:為上的正交變換.對(duì)于上的線性變換，將上的點(diǎn)映射為上的點(diǎn)，現(xiàn)將變換寫成矩陣的形式，由于矩陣是正交矩陣，因此上述變換是正交變換.下面我們看一下這個(gè)變換在平面直角坐標(biāo)系下的幾何意義，如圖所示：yrr xO在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,由極坐標(biāo)變換知由得 ，可知點(diǎn)的

13、極坐標(biāo)是,這說明將向徑按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度，即可得到向徑(如圖所示)因此這個(gè)正交變換是平面上將向徑繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角的一個(gè)變換.因此同理，如果用左乘向量，那么可以表示成將這個(gè)向量按照逆時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)角度.正交變換在解析幾何里面有重要的性質(zhì)：定理4.1 設(shè)為n階正交矩陣,是中的任意向量，則有,即正交變換保持向量的內(nèi)積不變性.證明：由于,而正交矩陣滿足,因此,即正交變換保持向量的范數(shù)不變.證明：在中令,便得,兩邊開平方，既得.4.2正交矩陣在拓?fù)鋵W(xué)和近似代數(shù)中的應(yīng)用將所有的階正交矩陣做成的集合記作,在近似代數(shù)和拓?fù)涞慕嵌葋碚f，它將構(gòu)成一拓?fù)淙?，我們將進(jìn)一步證明它也是一個(gè)不連通的緊致群.首

14、先我們證明構(gòu)成拓?fù)淙?在證明構(gòu)成拓?fù)淙褐?，我們先介紹一下有關(guān)的概念.定義4.2 設(shè)是任意集合,是的子集構(gòu)成的子集族，并且滿足下列條件：結(jié)合與空集屬于； 中任意個(gè)集中的并集屬于；中任意有窮個(gè)集的交集屬于.那么稱是上的一個(gè)拓?fù)?，集合上定義了拓?fù)?，稱是一個(gè)拓?fù)淇臻g.定義4.3 如果是一個(gè)拓?fù)淇臻g，并賦予群的機(jī)構(gòu)，使得群的在 乘法運(yùn)算 ： ; 求逆運(yùn)算 ： .上是連續(xù)的映射，那么就稱為拓?fù)淙? 根據(jù)定義4.3，我們將證明所有的階正交矩陣做成的集合構(gòu)成拓?fù)淙旱淖C明分成三步來實(shí)現(xiàn)：首先證明所有的階正交矩陣做成的集合構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g；其次證明所有的階正交矩陣做成的集合構(gòu)成一群；最后證明所有的階正交矩陣做成

15、的集合構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淙?證明：設(shè)表示全部具有實(shí)元素的階矩陣所構(gòu)成的集合，用表示的一個(gè)代表元素.我們把等同于維歐氏空間,可以理解為將對(duì)應(yīng)成的點(diǎn),是點(diǎn)集的子集族，則和空集都屬于，中任意一個(gè)集合的并集都屬于，中有窮個(gè)集合的交集也屬于，可得構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g.進(jìn)而成為一拓?fù)淇臻g.是所有實(shí)元素的階正交矩，因此是的子集合，因此由的拓?fù)淇梢砸鲞@個(gè)子集的拓?fù)?，從而?gòu)成的一個(gè)子拓?fù)淇臻g.對(duì)于任意的,因?yàn)榫仃嚨某朔M足結(jié)合率則有存在對(duì)于任意,有任意，存在,使得因此正交矩陣做成的集合對(duì)于乘法運(yùn)算可構(gòu)成群.對(duì)于中的拓?fù)淇臻g的拓?fù)?，定義矩陣的乘法運(yùn)算：,設(shè)對(duì)于任意,乘積的第個(gè)元素是,現(xiàn)在具有乘積空間(個(gè)因子)的拓?fù)?，現(xiàn)在

16、對(duì)于任意滿足的,都通過投影映射,將和的乘積映射為它的第個(gè)元素，則為和的元素的多項(xiàng)式，因此連續(xù)，投影映射也是連續(xù)的.因此可以證明映射是連續(xù)的.由于具有的子空間拓?fù)?，是的一個(gè)拓?fù)淇臻g.由上面的討論知，映射也是連續(xù)的. 中的可逆矩陣，定義求逆矩陣的映射,對(duì)于任意的;合成映射,可以理解為將任意映射為的第個(gè)元素，由于矩陣為正交矩陣，由性質(zhì)2.1知可逆，那么有,因此,即,又因?yàn)榈男辛惺胶偷拇鷶?shù)余子式都是內(nèi)的元素多項(xiàng)式，并且,所以是連續(xù)的，因此求逆映射為連續(xù)函數(shù). 因此，又是一個(gè)拓?fù)淇臻g，并構(gòu)成群，對(duì)群的乘法與求逆運(yùn)算都是拓?fù)淇臻g上的連續(xù)映射，因此所有的階正交矩陣做成的集合構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淙?且稱它為正交群.其

17、次證明是一個(gè)緊致群，證明之前給出有關(guān)的定義定理.定義4.4 設(shè)為拓?fù)淙?，的拓?fù)錇榫S實(shí)（或復(fù)）解析流行，且映射,對(duì)于任意,為解析流行到上的解析映射，那么稱為維群.定理4.2 歐氏空間內(nèi)的有界閉集是緊致子集.證明：設(shè)是所有具有實(shí)元素的階矩陣做成的集合， 對(duì)于任意的,對(duì)應(yīng)的維歐氏空間的點(diǎn),可作為維歐氏空間.為元素的解析函數(shù)，為中的開子集，由誘導(dǎo)拓?fù)淇芍獮榻馕隽餍?，并且?duì)于矩陣的乘法和求逆運(yùn)算都解析，故為維群.為的閉子集，根據(jù)誘導(dǎo)拓?fù)錇樽恿餍?，為?想要證明緊致，根據(jù)定理內(nèi)容，只需要證明等同于時(shí),相當(dāng)于內(nèi)的有界閉集.設(shè)任意的,由于,有對(duì)任意的,定義映射那么為系數(shù)各集合的交集由于都是連續(xù)映射，因此上述的

18、集合都是閉集，則是的有界閉集，則的緊閉性得證.由于在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上是緊閉的群，我們稱它為緊群，因此是緊群.最后證是不連通的證明：設(shè)是全部行列式為的正交矩陣所構(gòu)成的集合，為所有行列式為的正交矩陣所構(gòu)成的集合.由于是連續(xù)映射，又由于單點(diǎn)集是的閉集,為的閉集，同樣可證為閉集.由于, ,而和是閉集，根據(jù)不連通的定義可直接證明是不連通的，在這里我們就不做詳細(xì)說明了.4.3正交矩陣在物理學(xué)中的應(yīng)用 物理學(xué)中每一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)正交矩陣，三維空間中的一條曲線經(jīng)過剛體運(yùn)動(dòng)，它的曲率和撓率一直是不變的，在物理學(xué)中稱它們?yōu)檫\(yùn)動(dòng)不變量.下面我們來考察曲線在做剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)的量.設(shè)曲線與曲線只差一個(gè)運(yùn)動(dòng)，從曲線到變換設(shè)為 ， 其中是三階正交矩陣，且為常數(shù).對(duì)兩邊分別求階導(dǎo)數(shù)，可以得，從而有,又是正交矩陣，則有 成立.另一方面，由一階到三階導(dǎo)數(shù)可以構(gòu)成矩陣，現(xiàn)取 可類似的討論.因?yàn)?將帶入到的右邊，得到 對(duì)照以上三個(gè)式子可得：由于正交矩陣的性質(zhì)，,且 將上邊三個(gè)式子左右兩邊分別平方之后相加得：將上式寫成矢量