2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題與詳細(xì)解析

1、WORD式-專業(yè)學(xué)習(xí)資料-可編輯2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試參考答案及詳細(xì)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共 8小題，每小題8分，共64分.把答案填在題中的橫線上._21 .設(shè)P是函數(shù)y=x + (x>0)的圖像上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P分別向 x直線y = x和y軸作垂線，垂足分別為 A,B ,則PA.PB的值是.32 .設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足acosB -bcosA = -c ,5則lanA的值是.tan B3 .設(shè) x, y, z w0,1,則 M = J|x y | + J| y -z| 十 J|z-x| 的最大值是.4 .拋物線y6.設(shè)f(x)是定義在R

2、上的奇函數(shù)，且當(dāng)x至0時(shí)，f(x) = x 2若對(duì)任意的xWa,a + 2,不等式f (x+a)之2 f (x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .、一1二 17.滿足 一<sin <一的所有正整數(shù) n的和是.4n 38.某情報(bào)站有 A, B,C, D四種互不相同的密碼， 每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種.設(shè)第1周使用A種密碼， 那么第7周也使用A種密碼的概率是.(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)二、解答題：本大題共 3小題，共56分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、推理過(guò)程或演算步驟. 3 19.(本小題滿分 16分)已知函數(shù) f (x) = a sin x- co

3、s2x+ a-一 十一，ay R, a # 0 a 2(1)若對(duì)任意xWR,都有f(x) <0,求a的取值范圍；(2)若a之2,且存在xW R,使得f (x) M0,求a的取值范圍. = 2px( p a 0)的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線為1 , A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足 NAFB設(shè)線段AB的中點(diǎn) M在1上的投影為 N ,3則LMNJ的最大值是|AB|5 .設(shè)同底的兩個(gè)正三棱錐 P - ABC和Q-ABC內(nèi)接于同一個(gè)球. 若正三棱錐 P-ABC的側(cè)面與底面所成的角為 45,則正三棱錐Q-ABC的側(cè)面與底面所成角的正切值是.10 .(本小題滿分20分)已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且對(duì)于

4、任意的正整數(shù)n,者B有(a1 +a2 +|+an)2 =a； +a2 +ll| + a：(1)當(dāng)n =3時(shí)，求所有滿足條件的三項(xiàng)組成的數(shù)列a1,a2,a3;(2)是否存在滿足條件的無(wú)窮數(shù)列 an,使得a2013 = -2012?若存在,求出這樣的無(wú)窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由.11 .(本小題滿分20分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 XOY中，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,且OB =OD =6.(1)求證：|OA|，|OC |為定值；(2)當(dāng)點(diǎn) M半圓(x2)2 +y2=4 ( 2<x<4)上運(yùn)動(dòng)時(shí), 求點(diǎn)C的軌跡.學(xué)習(xí)資料分享b<2a-1 ,a,b ,數(shù)列2012年全國(guó)高中

5、數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題一、（本題滿分40分）如圖，在銳角AABC中，AB > AC,M ,N是BC邊上不同的兩點(diǎn)，使得/BAM =/CAN.設(shè) AABC 和 AAMN 的外心分別為 O1,O2,求證：O1,O2,A 三點(diǎn)共線。二、（本題滿分4。分）試證明：集合A =2,22|,21|滿足（1）對(duì)每個(gè)aw A,及bw N*,若b<2a1,則b（b+1） 一定不是2a的倍數(shù);（2）對(duì)每個(gè)aw A （其中A表示A在N 中的補(bǔ)集），且a ¥1 ,必存在bw N”,使b（b +1）是2a的倍數(shù).三、（本題滿分5。分）設(shè)P0,P1,F2MI，Pn是平面上n+1個(gè)點(diǎn)，它們兩兩間的距離的最小值

6、為d（d >0）求證：P0P1 P0P2 4llP0Pn>（3）/（n+1）!四、（本題滿分5。分）1 . 1設(shè)Sn =1十一+III十一，n是正整數(shù).證明：對(duì)滿足 0Ea<bE1的任意實(shí)數(shù) 2 nSn -Sn中有無(wú)窮多項(xiàng)屬于（a,b）.這里，x表示不超過(guò)實(shí)數(shù)X的最大整數(shù).參考答案及詳細(xì)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試一、填空題1 .【答案】-12 2【解析】萬(wàn)法1：設(shè)p(x0,X0 +),則直線PA的方程為y_(x0+ ) = (XX0)，即2二-x 2x0 一.X。y =x八 2二y = -x + 2x0 + x0A(x0 _,x0 _).x0x0p 2 -r 11

7、 r- r r 1又 B(0,x0 +)，所以 PA =(一，一一)，PB =(x0,0).故 PA PB=一 .(x0) = 1.x0x0x0x022. 2. 22【解析】由題設(shè)及余弦定理得 a .c一a-b-b b一七a2ca2bc322= -cJPa2-b25= 3c2 故58 2 cf- =4.2 2 c5222tan Atan Ba c - bsin AcosBa2ac c2a2- b2- Z 7_7_222_ _ 7_222sin BcosA , b c -a b c -ab 2bc3 .【答案】 我+1 【解析】不妨設(shè) 0WxEyWzE1,則 M = Jy -x + Jz _ y

8、 + Jz-x.因?yàn)?y-x z -y < . 2(y -x) (z - y) = 2(z-x).所以 M < . 2(z - x) I7? =( .2 1) ,zx < ,2-1.當(dāng)且僅當(dāng)y x=z y,x=0,z=1,y=。時(shí)上式等號(hào)同時(shí)成立.故Mmax = J2+1.24 .【答案】1【解析】由拋物線的定義及梯形的中位線定理得MNAF + BF. 22在 MFB中，由余弦定理得 AB = AF + BF-2 AF BF cos=(AF + BF)2 -3 AF BF >( AFBF )2-3(AF + BF)2=(AF +BF2)=MN當(dāng)且僅當(dāng) AF = BF時(shí)等

9、號(hào)成立.故幽!的最大值為1.AB|5 .【答案】4【解析】 如圖.連結(jié)PQ，則PQ _L平面ABC ,垂足H為正 MBC的中心，且PQ過(guò)球心O ,連結(jié)CH并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M ,則M為AB的中點(diǎn)，且CM _L AB ,易 知ZPMH，/QMH分別為正三棱錐 P -ABC, Q-ABC的側(cè)面與底面所成二角的平面角，則/PMH =4501，從而 PH =MH = AH ,因?yàn)?PAQ = 90", AH _L PQ, 2221所以 AP2=PH qh,即 ah =ah qh .2所以 QH =2AH =4MH .,故tan/QMH =-QH=4MH6 .【答案】72,2).x2(x -0)

10、一，一，【解析】由題設(shè)知f(x) =4，則2f (x)= f(J2x).因此，原不等式等價(jià)于-x2(x ： 0)f(x a) 一 f ( ,2x).因?yàn)閒 (x)在R上是增函數(shù)，所以x + a之J2x,即a之(J21)x又xWa,a+2,所以當(dāng)x = a + 2 時(shí)，(J21)x取得最大值(J21)(a+2).因此，a2(J21)(a + 2),解得a2J2.故a的取值范圍是、2,二).7.【答案】333【斛析】由正弦函數(shù)的凸性，有當(dāng)x匚(0,一)時(shí)，一x <sin x < x,由此得 6 二.二 二 1 .二 3 二 1sin 一 ：二一：二 一，sin 一一一二一，131341

11、2二124一二二1二3二1 一sin < < 一 ,sin > 一父一=一.所以101039二93.二1三/1,二sin 一 ： 一 ：二 sin 一 ： sin 一 ：二 sin 一 ：二 一 ：sin .134121110391二1一故滿足<sin <-的正整數(shù)n的所有值分別為10,11,12，它們的和為33.4n38.【答案】里243【解析】用R表示第k周用A種密碼的概率，則第k周末用A種密碼的概率為._1.111_.1 -1_Pk.于是，有Pk書(shū)=_(1_Pk),kwN即Pk書(shū)_ = _(R_)由 R=1知，是 34344、，-3.1131311首項(xiàng)為一，

12、公比為一一的等比數(shù)列。所以 Pk - =(-),即Pk = (-) +,故 43443434243二、解答題2.39.【解析】(1) f (x) =sin x+asin x+a.令t =sin x(1 Mt M1),則 ag(t) =t2 +at +a -3IHHIIIIIII4分 a3g(-1) = 1_0對(duì)任意xw R, f (x)E0恒成立的充要條件是aa = aw (0,1|IH| 8g(1) =1 2a -3 _ 0 a分一 , 一 一 a .3(2)因?yàn)?a*2,所以41.所以 g(t)min =g(-1)=1- |川|12 分2a3_ 3 一 .因此f (x)min =1.于是，

13、存在x= R,使得f(x)E0的充要條件是1 E0= 0<a<3.aa故a的取值范圍是2,3.川川川|“16分232310 .【解析】當(dāng) n=1 時(shí)，a1=a，由a¥0 得a=1.當(dāng) n =2 時(shí)，(1 +a2)=1+a2,由 a? # 0 得 a2 = 2 或 a2 = 1 5分當(dāng) n = 3 時(shí)，(1 十z 十s )2 =1 + a2 十 a3.若 a2 = 2 得 a3 = 3 或 a3 = -2 ；若 a2 = 1 得 a3 = 1 ；綜上，滿足條件的三項(xiàng)數(shù)列有三個(gè)：1,2,3或1,2,-2或1,-1 , 1 10分(2)令 Sn =a1 +a2 +|l +an,

14、則 S2 =a +a； +| + a(nw N")從而(Snan1)2 =3 a2 JH a a1.兩式相減，結(jié)合an由于0得2Sn = a2+an +當(dāng)n =1時(shí)，由(1)知& =1；2、， 2當(dāng) n 之2 時(shí)，2an =2(S Snq)=(an 由一an 由)一(an 一an),即(an +an)(an 由an1) = 0,所以an斗=-an或an卡=an+115分又 al =1,a20l3 - -2012,所以an =n(1< n <2012)2012 (-1)n(n _2013)20分11 .【解析】因?yàn)閨OB = OD , AB = AD = BC =

15、CD ,所以O(shè),A,C山的共線5分如圖，連結(jié)BD ,則BD垂直平分線段 AC ,設(shè)垂足為K ,于是有OA OC =(OK - AK)(OK 十 AK)2222222222=OK - AK =(OB - BK ) -(AB - BK ) = OB - AB =62 42 =20 (定彳直)10分(2)設(shè) C(x, y), A(2 +2cosct,2sin 口),其中 a =ZXMA(- <«<土)，則/XOC =.222e、， 一_ 2. 2 一一 . 2 一. 一 2a _一._a因?yàn)?OA =(2+2cosa) +(2sina) =8(1+cosa ) =16cos 一

16、,所以 OA = 4cos 2215分 由(1)的結(jié)論得 OC cos- =5,所以x = OC cos=5,從而22y = OC sin =5tan = -5,5.22故點(diǎn)C的軌跡是一條線段，其兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(5,5), B(5, -5) 20分2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題、【解析】證明：如圖,連接AO1, AO2,過(guò)A點(diǎn)作AO1的垂線AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P , 則AP 是 MBC的外接圓O1的切線,因此/B =/PAC 10分 因?yàn)?BAM =/CAN ,所以 NAMP =/B +/BAM =/PAC +NCAN =/PAN 20 分.洛茶、因而AP是AAMN的外接圓O2

17、的切線 30分故 AP - AO2.'8 M N C r所以O(shè)1,O2, A三點(diǎn)共線。40分k .k -1二、【斛析】 證明：對(duì)任息的a=A,設(shè)a = 2,k=N，則2a = 2 ，如果b是任意一個(gè)小于2a -1的正整數(shù)，則b+1 <2a -1 10分由于b與b +1中，一個(gè)為奇數(shù)，它不含素因子2 ,另一個(gè)是偶數(shù)，它含素因子2的哥的次數(shù)最多為k ,因此b(b +1)一定不是2a的倍數(shù)； 20分若aw A,且a =1,設(shè)a = 2k m,其中k為非負(fù)整數(shù),m為大于1的奇數(shù),則2a =2卜中四 30分下面給出(2)的三種證明方法：證法一：令 b = mx,b+1 =2k+y,消去 b

18、 得 2k*y mx = 1.k 卡fx=x0+2k*t由于(2km) =1,這方程必有整數(shù)解；«0 其中tw z,(xo,y0)為方程的特解.y = yo mt把最小的正整數(shù)解記為(x*,y)貝U x*<2k41,故b = mx*<2a1,使b(b+1)是2a的倍數(shù).40分證法二：由于(2k m) =1,由中國(guó)剩余定理知，同余方程組x=0(m0d2 )在區(qū)間©2k書(shū)m)上有解x = b,即存在bc2a_1,使b(b十1)是2a的倍 x = m -1(modm)數(shù).40分證法三：由于(2m ¥ 1醺存在r(rwN*rWm1),使2r =1(modm)取

19、t w N沖，使trtr>k+1,則 2 =1(modm)存在 b =(2tr -1)-q (2k+m) >0,q= N,使 0 <b <2a1,此時(shí)m b,2k+ m+1,因而b(b+1)是2a的倍數(shù). 40分三、【解析】證法一：不妨設(shè)P0 PliMP0P2M| EP0印.先證明：對(duì)任意正整數(shù)k ,都有P0 R | > d k k+13d i一顯然，P0Pk >d >-Vk+1k =1,2,111,8均成立，只有k =8時(shí)右邊取等號(hào)10分3 , d ：所以，只要證明當(dāng)k之9時(shí)，有P0Pk灰工1即可.3d .以P(i =0,1,2，川，k)為圓心，一為

20、半徑回k+1個(gè)圓，它們兩兩相離或外切；以P圓心，2,dP0R +一為半徑畫(huà)圓，這個(gè)圓覆蓋上述k+1個(gè)圓 20分2所以 n(PoPk|+；)2 >(k+1)n(d)2= P0Pk|>d(Vk+1-1) 30 分k1 -1,k1八由k之9勿知> 40分23_ _ d , . . .所以P0Pk >7k +1對(duì)k之9時(shí)也成立. 3綜上，對(duì)任意正整數(shù)k都有|BPk aJE.一一 d n :因而 PoPi P0P2 411 P0Pn >(一)nj(n+1)! 50分一 3證法二：不妨設(shè) |P0P < P0P2 <|<|P0Pn|.以P(i =0,1,2,|

21、,k)為圓心，d為半徑畫(huà)k+1個(gè)圓，它們兩兩相離或外切； 10分2設(shè)Q是是圓P上任意一點(diǎn)，由于d1 ,3,BQ <|P0P|+|PQ =所|+片 BR +2|BR =21時(shí) 20分一一_3因而，以P0為圓心，一 P0R為半徑的圓覆蓋上述個(gè)圓 30分2,32d 2d . .40故 n(RPk) >(k+1M(2)=>§Mk+1(k=12lH,n)分所以 IP0P1I'P°P2 " BPn|>(d)nJ(n+1)! 50分3四、【解析】證法一 ：(1)對(duì)任意nwN有1111112 ”.a 3 y (1111(22222, 10 分111

22、111)卜與川土1 2 2匚寶人1-11令 N0 = +1,m =Sn0 +1,則< N0,<b-a,Sno <m <m + n b -a0 b -a N00, 20 分又令 N1 =2t(m布則 Sn1 =S2t(m+ >m+1 占m + b,因此存在 n w N*,N0 < n < N1，使得 m + a<S, <m+h 所以 Sn - Sn w (a,b) , 30 分不然一定存在N0 <k,使得Sk. Wm + a,Sk之m + b,因此Sk 一 Sk之b a,、一11這與Sk Sk 1 = <<ba矛盾.所以一定存在nW N使得& _S w (a,b)