關(guān)于級數(shù)斂散性的判別

1、專題七 關(guān)于級數(shù)斂散性的判別無窮級數(shù)是數(shù)學(xué)分析的一個重要組成部分,是研究“無窮項相加”的理論,它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具.如今,無窮級數(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域,成為數(shù)學(xué)理論和應(yīng)用中不可缺少的有力工具.同時它也是碩士研究生入學(xué)考試的重要考核內(nèi)容.但是,由于判定級數(shù)斂散性的方法和理論太多,學(xué)生在短時間內(nèi)很難把握,這里就對斂散性的判定就一些問題進(jìn)行解疑,以期對學(xué)習(xí)者有所幫助.在18世紀(jì)，甚至到今天，無窮級數(shù)一直被認(rèn)為是微積分的一個不可缺少的部分除了用于微積分之外，級數(shù)的主要應(yīng)用之一在于計算一些特殊的量，如和,以及對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)值.無窮級數(shù)也是進(jìn)一步研究函數(shù)的有力

2、工具：一方面能借助級數(shù)表示許多常用的非初等函數(shù),微分方程的解就常用級數(shù)表示；另一方面又可將函數(shù)表為級數(shù)，從而借助級數(shù)去研究函數(shù)，例如用冪級數(shù)研究非初等函數(shù)，以及進(jìn)行近似計算等。隨著研究領(lǐng)域的逐漸擴(kuò)展，數(shù)學(xué)家們運用無窮級數(shù)所取得的成功變得越來越多級數(shù)是一門非?；钴S的學(xué)科, 這方面的研究工作近年來顯得十分活躍,全世界出現(xiàn)的文獻(xiàn)數(shù)量越來越多,各種國際會議文集更是不少.21世紀(jì)的級數(shù)將發(fā)展成什么樣子?這是難以預(yù)測和估計的問題:猜想今后二三十年里,級數(shù)將會緊緊地伴隨著計算機(jī)數(shù)學(xué)同時迅速地向前發(fā)展.將會扮演各種“解題機(jī)”的重要組成部分.另一方面,級數(shù)的理論進(jìn)展將會深深地受益于別的數(shù)學(xué)分支,猜想代數(shù)學(xué)的一些

3、分支、拓?fù)鋵W(xué)的一些方法、概率論方法以及非標(biāo)準(zhǔn)分析方法等都會給級數(shù)研究提供有效的新工具,同時也會與級數(shù)結(jié)合起來,創(chuàng)造出對其他學(xué)科有用的新方法,級數(shù)的發(fā)展還會受到各門應(yīng)用學(xué)科的需要而形成種種帶有實際色彩的新方向.數(shù)項級數(shù)是數(shù)的加法從有限代數(shù)和到無限和的自然推廣由于無限次相加，許多有限次相加的性質(zhì)便在計算無限和時發(fā)生了改變首先，有限次相加的結(jié)果總是客觀存在的，而無限次相加則可能根本不存在有意義的結(jié)果。這就是說，一個級數(shù)可能是收斂或發(fā)散的因而，判斷級數(shù)的斂散性問題常常被看作級數(shù)的首要問題。級數(shù)的收斂問題是級數(shù)理論的基本問題,是當(dāng)今“數(shù)學(xué)分析”的重要內(nèi)容.判別數(shù)值級數(shù)的收斂或發(fā)散,是無窮級數(shù)的重點人們已

4、經(jīng)創(chuàng)造了很多判別級數(shù)斂散性的方法，究竟用哪種方法較好呢？一般說來，使用起來較簡便的方法，很可能適應(yīng)的范圍較小，而適應(yīng)范圍較大的方法，又往往比較繁難對于判別一個數(shù)項級數(shù)的斂散性，可以從下面的思路來考慮使用某種比較恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ?1)首先，考慮當(dāng)項數(shù)無限增大時，一般項是否趨于零如果不趨于零，便可判斷級數(shù)發(fā)散如果趨于零，則考慮其它方法(2)考察級數(shù)的部分和數(shù)列的斂散性是否容易確定，如能確定，則級數(shù)的斂散性自然也明確了但往往部分和數(shù)列的通項就很難寫出來，自然就難以判定其是否有極限了，這時就應(yīng)考慮其它方法(3)如果級數(shù)是正項級數(shù)，可以先考慮使用達(dá)朗貝爾判別法或柯西判別法是否有效如果無效，再考慮用比較判別法

5、或者其他的判別法這是因為達(dá)朗貝爾判別法與柯西判別法使用起來一般比較簡便，而比較判別法適應(yīng)的范圍卻很大(4)如果級數(shù)是任意項級數(shù)，應(yīng)首先考慮它是否絕對收斂當(dāng)不絕對收斂時，可以看看它是不是能用萊布尼茲判別法判定其收斂性的交錯級數(shù)問題1：正項級數(shù)的判斂法常見的包括哪些？答：正項級數(shù)的三種常見的判別法：無窮級數(shù)包括數(shù)項級數(shù)和函數(shù)項級數(shù),而正項級數(shù)又是常數(shù)項級數(shù)的一種.關(guān)于正項級數(shù)斂散性的判斷,各類教材通常講的方法大體一致,不外乎是比較判別法及其推論,達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法. 定理1(比較判別法) 兩個正項級數(shù)和,且,則若級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂;若級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)也發(fā)散.推論1.1 (比較判別法的極

6、限形式) 設(shè)和都是正項級數(shù),若,則級數(shù)和的斂散性相同.定理2(達(dá)朗貝爾判別法) 設(shè)為正項級數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù)若對一切,成立不等式,則級數(shù)收斂.若對一切,成立不等式,則級數(shù)發(fā)散.推論2.1(達(dá)朗貝爾判別法的極限形式) 若為正項級數(shù),且,則當(dāng)時,級數(shù)收斂;當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.定理3(柯西判別法) 設(shè)為正項級數(shù),且存在某正數(shù)及常數(shù),若對一切,成立不等式則級數(shù)收斂;若對一切,成立不等式,則級數(shù)發(fā)散. 推論3.1(柯西判別法的極限形式) 設(shè)為正項級數(shù),且則當(dāng)時,級數(shù)收斂;當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.問題2：在何種情況下使用比較判別法比較方便？使用時需要注意些什么？ 請舉例說明？答：從比較判別法的內(nèi)容中我們可以得出

7、以下幾點啟示: 比較判別法只適用于正項級數(shù)斂散性的判斷; 比較判別法重在“比較”,是利用兩個正項級數(shù)的通項結(jié)構(gòu)來比較的;要求必須掌握等比級數(shù),調(diào)和級數(shù),級數(shù)的斂散性,因為比較判別法的比較對象常常就是上述三種級數(shù). 要證明某一個級數(shù)收斂,需要找一個通項比大的收斂的正項級數(shù),即,也就是需要將所求的級數(shù)通項放大; 要證明某一個級數(shù)發(fā)散,需要找一個通項比小的發(fā)散的正項級數(shù),即;也就是需要將所求的級數(shù)通項縮小;因此,正項級數(shù)比較判別法的關(guān)鍵就是:如何選取比較對象,放大或縮小所求級數(shù)的通項.（一）、當(dāng)所求級數(shù)的通項中出現(xiàn)關(guān)于的有理式時,比較對象常常選取級數(shù)或調(diào)和級數(shù).例1 判別級數(shù)的斂散性.分析: 考慮通

8、項:,原級數(shù)也接近于級數(shù),這是的收斂的級數(shù),那么原級數(shù)也一定收斂.若要判斷級數(shù)收斂,就把通項放大,放大為一個收斂的級數(shù)通項.解： 因為，又由于收斂,則由比較判別法,原級數(shù)也收斂.例2 判別級數(shù)的斂散性.分析:考慮通項:,原級數(shù)也接近于級數(shù),這是的收斂的級數(shù),那么原級數(shù)也一定收斂.解 因為，又由于收斂,則由比較判別法,原級數(shù)也收斂.例3 判別級數(shù)的斂散性.分析: 考慮通項:,原級數(shù)也接近于級數(shù),這是發(fā)散的調(diào)和級數(shù),于是原級數(shù)也發(fā)散.若要判斷級數(shù)發(fā)散,就把通項縮小,縮小為一個發(fā)散的級數(shù)通項.解 因為，又由于是發(fā)散的,則由比較判別法,原級數(shù)也是發(fā)散的. （二）、當(dāng)所求級數(shù)通項中出現(xiàn)正弦函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)

9、時,利用不等式選取適當(dāng)?shù)谋容^對象.主要用到下面兩個式子:當(dāng)時,.例4 判別級數(shù)的斂散性.分析: 考慮當(dāng)時, ,則,而是公比的收斂級數(shù),故原級數(shù)收斂.例5 判別級數(shù)的斂散性.分析: 由不等式有,而是收斂的級數(shù),故原級數(shù)也收斂.（三）、當(dāng)所求級數(shù)的通項放大,縮小不方便時,可采用比較判別法的推論1.1.利用此推論時注意:把要求的級數(shù)當(dāng)作,另找一個正項級數(shù)(往往找調(diào)和級數(shù)、級數(shù)或等比級數(shù)),作為;重點考察極限結(jié)果應(yīng)在0,之間. 例6 判別級數(shù)的斂散性.分析: 考慮通項:因此就把數(shù)作.解 由于,又是發(fā)散的,則原級數(shù)也發(fā)散.例7 判別級數(shù)的斂散性.(前例5)分析: 在例5中已經(jīng)判斷了它的斂散性，若不熟悉前

10、面的不等式,而此題的通項又不易進(jìn)行放大、縮小,可用推論1.1.把作為,再找一個,觀察到中,有對數(shù)函數(shù)出現(xiàn),考慮用第二重要極限,取.解 因為,又收斂,故原級數(shù)也收斂.注：比較判別法是據(jù)已知的收斂級數(shù)或發(fā)散級數(shù)作比較對象來判別其收斂性.當(dāng)用等比級數(shù)作為比較對象時,就得到了下面的達(dá)朗貝爾判別法及柯西判別法.在正項級數(shù)的斂散性審斂法中,達(dá)朗貝爾(DA Lambert)比式法和柯西(Cauchy)根式法是兩個既簡單又有實用價值的常用判別法.這兩個正項級數(shù)的審斂法,都是用等比級數(shù)作標(biāo)準(zhǔn),用比較判別法推證的,之所以方便,就是它們不像比較判別法那樣,要研究一個正項級數(shù)的斂散性,必須以另一個已知斂散性的正項級數(shù)

11、作為比較的對象;它們只依靠級數(shù)自己本身的項的性質(zhì)就可以做出判斷.問題3：在何種情況下使用達(dá)朗貝爾判別法比較方便？達(dá)朗貝爾判別法適用范圍如何？ 請舉例說明？答：首先看下面例題：例8 判別級數(shù)的收斂性.解 因為,所以,由達(dá)朗貝爾判別法知,級數(shù)收斂.注：在達(dá)朗貝爾判別法的應(yīng)用中，存在兩點不足: 當(dāng)時,判別法失效,既有收斂的,也有發(fā)散的級數(shù).例9 級數(shù)是收斂級數(shù),此時,即達(dá)朗貝爾判別法失效.例10 調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的,但,即達(dá)朗貝爾判別法也失效. 達(dá)朗貝爾判別法可能由于根本不存在而失效。例11 .解 因為,則有不存在,但是是收斂級數(shù).例12 .解 因為,則有不存在,但是是發(fā)散級數(shù).問題4：如何使用柯西判

12、別法？柯西判別法適用范圍如何？ 請舉例說明？答：首先看下面例題：例13 判別級數(shù)的收斂性.解 因為通項中有以對數(shù)為指數(shù)的因子,宜用柯西判別法. ,而,故,即有,由柯西判別法知,級數(shù)收斂.注：在柯西判別法的應(yīng)用中，存在兩點不足: 當(dāng)時,判別法失效,既有收斂的,也有發(fā)散的級數(shù). (如前面的例9、例10) 柯西判別法可能由于根本不存在而失效.例14 .解 因為則有不存在,但是是收斂的.例15 .解 因為則有不存在,但是是發(fā)散的.問題5：達(dá)朗貝爾判別法與柯西判別法有何關(guān)系？如何選擇方法？答：推論2.1、3.1的條件,由,可推出,說明能用達(dá)朗貝爾判別法的推論鑒別收斂性的級數(shù),也能用柯西判別法的推論來判斷

13、,且柯西判別法比達(dá)朗貝爾判別法更有效.例如級數(shù)用柯西判別法的推論知它是收斂的,但用達(dá)朗貝爾判別法的推論就無法判別.由此可以看到達(dá)朗貝爾判別法與柯西判別法有相同的地方,而且它們之間有一定的聯(lián)系.因為,如果按有限值或無窮的意義存在的,那么也存在,如果達(dá)朗貝爾判別法有效,柯西判別法也有效,而且由于相同的理由達(dá)朗貝爾判別法的兩個例子也能作為柯西判別法失效的例子.但是它們之間也有不同的地方.如果達(dá)朗貝爾判別法失效,用柯西判別法卻有可能成功.認(rèn)真研究上面的例子,通過鑒別,得出:第一,若正項級數(shù)的一般項中含有n!因子,則用達(dá)朗貝爾比式審斂法判斷其斂散性比較方便.若正項級數(shù)的一般項中含有n次方因子,則用柯西根

14、式判別法判斷其斂散性比較方便.第二,在實用上,達(dá)朗貝爾比式法比柯西根式法通常更簡便些;但從理論上講, 達(dá)朗貝爾比式法不如柯西根式法好.這是因為:首先, 達(dá)朗貝爾比式法必須通過級數(shù)本身相鄰兩項的比值的極限值,來判定級數(shù)是否收斂,并且項不能為零;而柯西根式法只要根據(jù)級數(shù)本身一項的n次方根的極限值,就能對級數(shù)的斂散性作出判定,并且一般項可以為零.其次,可以證明:凡能用達(dá)朗貝爾比式法解決的問題,用柯西根式法一定能解決;此結(jié)論對一般情況也是成立的.達(dá)朗貝爾判別法(或柯西根式法),只適用于和某個幾何級數(shù)收斂(或發(fā)散)速度相當(dāng)或收斂(或發(fā)散)得更快的級數(shù).對于那些比任何幾何級數(shù)收斂(或發(fā)散)得慢的級數(shù)來說,

15、再用達(dá)朗貝爾比式法(或柯西根式法)去判別其斂散性,即再用幾何級數(shù)這把“尺子”作標(biāo)準(zhǔn)來“度量”它們的斂散性已“量”不準(zhǔn)了,為此,必須選用比幾何級數(shù)收斂(或發(fā)散)得更慢的正項級數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn),即選用“精度更高的尺子”作標(biāo)準(zhǔn),以便更準(zhǔn)確地確定出某些級數(shù)的斂散性.一般情況下,在判別正項級數(shù)的斂散性時,若所求級數(shù)通項中出現(xiàn)對數(shù),三角函數(shù)的有理式等到形式時,考慮用比較判別法及其推論,既省力又簡單;若出現(xiàn)(指數(shù))、等形式時,考慮用達(dá)朗貝爾判別法;若出現(xiàn)的次冪時,考慮用柯西判別法,判別斂散性往往較好一些.判別級數(shù)的斂散性這一重要問題,就一般級數(shù)而言,可用一般“數(shù)學(xué)分析”教材中通常介紹的幾個判別法來解決,特別

16、常用的就是達(dá)朗貝爾比式法和柯西根式法. 但有些級數(shù)用此二法不能判定其斂散性. 如判定的斂散性,用達(dá)朗貝爾判別法知.此時達(dá)朗貝爾判別法失效.對于此類級數(shù),若用達(dá)朗貝爾或柯西判別法判定其斂散性失效后,除可考慮用比較判別法等其它判別法判別外,我們還可用以下得出的判定法,判定這類級數(shù)的斂散性.問題6：當(dāng)前面提到的判別法失效后還有什么方法嗎？ 并舉例說明。答：達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法失效情況下，還有下面一些判別法：定理4 令.當(dāng)充分大時,如果,則正項級數(shù)()收斂;當(dāng)充分大時, ;則正項級數(shù)()發(fā)散.定理5 對正項級數(shù),記.若則當(dāng)時,正項級數(shù)收斂;當(dāng)時,正項級數(shù)發(fā)散.例16 判定級數(shù)的收斂性.解 因為所

17、以,從而,即故原級數(shù)發(fā)散.例17 判別正項級數(shù)的斂散性,解 因為所以.從而原級數(shù)收斂.回顧一下正項級數(shù)斂散性的判別法達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法用起來較比較判別法方便，其原因是它只靠級數(shù)自身的特征來檢測，而比較判別法卻須去尋找一個恰當(dāng)?shù)谋容^對象然而，從達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法的證明可以看出，它們實質(zhì)上還是把所討論的級數(shù)同某一幾何級數(shù)作比較這兩種方法在實際應(yīng)用時，都會遇到失效的情況為什么會出現(xiàn)這種情況呢?這實質(zhì)上是，把所有級數(shù)和收斂的幾何級數(shù)相比，它的項比幾何級數(shù)的項數(shù)值大，而和發(fā)散的幾何級數(shù)相比，它的項又比幾何級數(shù)的項數(shù)值小這也就是說，要想檢驗所論級數(shù)的斂散性，幾何級數(shù)這把“尺子”的精密度不夠

18、。p級數(shù)是比幾何級數(shù)更精密的一把“尺子”，而級數(shù)： 又比p級數(shù)更為精密，稱為對數(shù)尺子。仿照建立達(dá)朗貝爾判別法的辦法，將所論級數(shù)同一把比一把更精密的“尺子”相比較，建立了一個比一個適應(yīng)范圍更大但使用更加繁難的正項級數(shù)斂散性判別方法. 以級數(shù)作比較標(biāo)準(zhǔn),得到了拉貝判別法：定理6(拉貝判別法) 設(shè)為正項級數(shù),且存在某正整數(shù)及常數(shù),若對一切,成立不等式則級數(shù)收斂;若對一切,成立不等式則級數(shù)發(fā)散.推論6.1(拉貝判別法的極限形式) 設(shè)為正項級數(shù),且極限,則當(dāng)時,級數(shù)收斂; 當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.以上判別法都是基于把所要判斷的級數(shù)與某一收斂級數(shù)相比較而得到的,只有那些級數(shù)的通項收斂于零的速度比某一收斂級數(shù)收斂速

19、度快的級數(shù),這些判別法才有效.如果級數(shù)的通項收斂速度較慢,這些判別法就無能為力.但可以尋找通項收斂速度更慢的收斂級數(shù)作比較,獲得判別范圍更大的正項級數(shù)判別法,如高斯判別法,對數(shù)判別法等.還可建立比高斯判別法,對數(shù)判別法判別范圍更廣泛的判別法,這個過程是無限的.因為關(guān)于正項級數(shù)的DUBois Raymond定理及Abel定理指出,不存在一種最精確的標(biāo)準(zhǔn)用以判別一切正項級數(shù)的斂散性.每一種正項級數(shù)的判別法都有局限性. 在具體問題中,先考慮通項極限,若極限不存在,或雖存在但其值非零,則斷定級數(shù)發(fā)散無疑.若通項等于零,則可視通項的類型,選用達(dá)朗貝爾判別法或柯西判別法.若仍不能解決時,再考慮用拉貝爾判別

20、法.拉貝爾判別法比前兩種方法更細(xì)更有效,這是因為達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法都是以幾何級數(shù)為“標(biāo)準(zhǔn)”建立起來的,而拉貝爾判別法是以比幾何級數(shù)更精密的“尺子”級數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)建立的.因此，比較判別法是檢測正項級數(shù)的斂散性的根本方法從理論上說，恰當(dāng)?shù)谋容^對象總是客觀存在的，因此，比較判別法適應(yīng)于一切正項級數(shù)。然而，恰當(dāng)?shù)谋容^對象要實際尋找出來很難因此，還是要建立象達(dá)朗貝爾判別法那樣實質(zhì)上已有固定比較對象且使用起來很方便的判別方法問題7：任意項級數(shù)的斂散性的判別法有哪些？ 并舉例說明。答：（一）首先給出下面定理：絕對收斂定理 如果級數(shù)收斂,則級數(shù)也收斂.如果級數(shù)收斂,則稱級數(shù)絕對收斂;如果級數(shù)收斂,而發(fā)散,

21、則稱級數(shù)條件收斂.判定任意項級數(shù)的收斂問題可轉(zhuǎn)化為判定正項級數(shù)的收斂問題:如果級數(shù)收斂,則級數(shù)絕對收斂;如果級數(shù)發(fā)散,不能判定也發(fā)散,但如果用達(dá)朗貝爾判別法或柯西判別法判定發(fā)散,則可判定必發(fā)散.因為用上兩種方法判發(fā)散的依據(jù)是,當(dāng)時,從而發(fā)散.（二）若所給級數(shù)為交錯級數(shù)，有下面的判別法：萊布尼茲判別法 如果交錯級數(shù)滿足條件:;,則級數(shù)收斂.對于交錯級數(shù)的斂散性的判別,應(yīng)先判別它是否絕對收斂,若不是絕對收斂,則用萊布尼茲判別法判定它(條件)收斂;用級數(shù)收斂的必要條件判定發(fā)散.另外,在用萊布尼茲判別法驗證時,用以下幾種方法:比值法:考察是否有;差值法:考察是否有;導(dǎo)數(shù)法:即建立一個連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)使,考察是否有.例18 判別級數(shù)的斂散性.解 此級數(shù)為交錯級數(shù),其中,設(shè)，因為,從而,且,由萊布尼茲判別法知,級數(shù)收斂.例19 判別級數(shù)是否收斂,若收