正弦定理和余弦定理練習題

1、2.在C中，卄 si nA假設(shè)aA.30B.453.在ABC 中,2 .2a bA.60B.45cosBb，那么C.60D.902c bc，那么A等于C.120D. 30【正弦定理、余弦定理模擬試題】選擇題:1. 在 ABC 中，a 2. 3, b 2 2, B 45，那么 A為D.30A. 60 或120 B. 60C.30 或1504.在 ABC 中，|AB| 1 ,|BC| 2, (AB BC) (AB BC) 52B ,那么邊|AC|等于A.5B.5 2.3C. .5 2 3D.、5 2 35.以4、5、6為邊長的三角形一定是A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角

2、形6.在 ABC 中，bcosAacosB，那么三角形為A.直角三角形B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形7.在 ABC 中，cosA cosB si nA si nB，那么 ABC 是丨A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.正三角形8.三角形的兩邊分別為5和3,它們夾角的余弦是方程5x27x 60的根，那么三角形的另一邊長為A. 52B. 2 .13C. 16D. 4填空題:9. 在 ABC 中，a b 12，A 60，B 45，那么 a ，b 10. 在 ABC 中，化簡 b cosC ccosB 11. 在 ABC 中，sinA:sin B:sinC 6:54，那么 cos

3、A 12. 在 ABC中，A、B均為銳角，且 cosA sinB，那么 ABC是 三.解答題：13. 在 ABC中， A 45，a 2，c -6，解此三角形。14. 在四邊形 ABCD中, BC a, DC 2a,四個角A、B C、D的度數(shù)的比為 3:7:4:10 求AB的長。15. ABC的外接圓半徑是、.2，且滿足條件2.一2(sin2A sin2 C) (a b) sinB。1求角Co2求ABC面積的最大值。四大題證明在 ABC中一J =匚=2R其中R是三角形外接圓半徑sin A sin B sinC證略見P159注意：1 這是正弦定理的又一種證法(現(xiàn)在共用三種方法證明)2.正弦定理的三

4、種表示方法(P159)例 二在 任 一 ABC 中 求 證例三在厶ABC中, a3 , b.2 , B=45 求 AC與c解一：由正弦定理得:sin AasinB3sin45L仝b22 B=45 <90即b<a.A=60或120a(si nB si nC) b(si nC si nA) c(si nA 證：sinB) 0左= 2Rsin A(sinB sin C) 2Rsin B(sinCsin A) 2Rsin C(sin A邊sin B)2Rsin Asin B sin Asin C =0=右邊sin BsinCsin Bsin A sin C sin Asin C sin B

5、當 A=60 時 C=75bsin Csin B當 A=120 時 C=15 c解二：設(shè)c=x由余弦定理將條件代入，整理:解之：x亠22bsin Csin Bb2 a26x2 si n75sin 452 si n15sin 45c2 2ac cos B當c亠 2時cosA2b22 2c a2bc從而 A=60 C=75當c -時同理可求得：A=1202例四 試用坐標法證明余弦定理證略見P161例五 在厶 ABC中, BC=a, AC=b,2cos(A+B)=1 求 1解：1 cosC=cos6 . 226 . 22J6 42 22 ()2 32_2 2 6 221 Z 2( 31)2C=15a

6、, b是方程x2 2 3x 2角C的度數(shù)2 AB的長度 3 ABC勺面積0的兩個根，且(A+B)=1cos(A+B)=寸.C=1202由題設(shè):aB=aC+bC2AC? B(? osCa2 b22ab (a b) ab2 2b 2abcos120(2 3)22 10 即 AB= 103abc= absi nC absi n1202 2如圖，在四邊形ABCD中,BDA=60 ,BCD=135求BC的長 解：在 ABD中，設(shè)BD=x 那么 BA2 BD2 AD2 2BD AD 即 142 x21022 10x cos60整理得：x2 10x 960解之：X1 16x26舍去AD CD, AD=10,

7、 AB=14,由余弦定理:BCsin CDBBDsin BCD二 BC16sin 30sin 135例七備用 ABC中，假設(shè)三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角 2求以此最大角為角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積。2 2 2a b ck4cosC -0解得1 k 42ac2(k1)k 1, b k, c k 1 kN且k 1但k 2時不能構(gòu)成三角形應舍去tC為鈍角解：1設(shè)三邊a當k13時 a 2,b3,c 4,cosC,C 10942設(shè)夾C角的兩邊為x, y x y 4SxysinC x(4 x)-15 ( x24x)44當x2時S最大=15 k N 二 k 2 或 3三、作業(yè)

8、：?教學與測試?76、77課中練習補充：1.在厶ABC中,求證:2 ab2b22 c2 c2a 0cos AcosBcosBcosCcosCcos A2.如圖ABBCCD=33BDC=45 求 ABACB=30 BCD=75的長 (1K 2)【試題答案】 選擇題：1. A提示:a bsin Asin Bsin Aa sin Bb2. B提示：由題意與正弦定理可得 tanB 13. C提示：由余弦定理與可得cosA 丄24. D2提示： AC AB BC , AC (AB BC)(AB BC)2AC 52.3|AC| . AC ,52、35. A提示：長為6的邊所對角最大，設(shè)它為那么cos162

9、536180" 2450906. C提示：由余弦定理可將原等式化為bb2c2a2a2 a2 cb22bc2ac即2b22a2，ab7. C提示：原不等式可變形為cos(A B) 00 A B ，B 0，2從而 C A B，8. B提示：由題意得cos -或2舍去5三角形的另一邊長 523225 3 cos-522、-13二 .填空題：9.3612、. 6,12 .624absi nAsin 606提示abbbsin Asin Bsin Bsin 452又a b 12,a 3612、6, b12、. 62410.a提示：利用余弦定理，得原式b a2b2c2a2 c2b2ca2ab2ac

10、11.18提示：由正弦定理得a: b: c654設(shè)1份為k,那么a6k, b5k, c4k再由余弦定理得cosAb2c2 a212bc812.鈍角三角形提示:由 cosA sinB得 sin( A) sinB2A、B均為銳角,0，-sin x 在(0,上是增函數(shù)2(A B).解答題：解：由正弦定理得：213.sin Cc6si nAa60或160時，asin B sin AC 120 時,-sin B sin A2n22UB180(A2 62、242B180(A262、3422、3C)75C)15BCD是以CDB 30BDA 150 30120在 BD中，由正弦定理有：222AB BD sin

11、 BDAsi nAb31， C60，B75或b.31， C120，B1514.解:設(shè)四個角A B、C、D的度數(shù)分別為3x、7x、4x、10x那么有3x7x 4x10x360解得x15A45，B 105，C60，D 150連BD,在BCD 中,由余弦定理得：BD2BC2 2DC2BCDC2 2 1 2cosC a 4a 2 a 2a3a2BD、.3a此時,DC2 BD 2BC2DC為斜邊的直角三角形3.2a2AB的長為215.解：1 R.2且2.2 (sin2 Asin2 C) (ab) sin B2 2 22 2 sin Bb)2Rsi nB(2、2) (sin A sin C) (a b) 即(2R)2 sin2A(2R)2 sin2C (a由正弦定理知a2 c2