(2010全國卷2理數(shù))(10)若曲線在點處的切線與兩個坐標圍

1、知識改變命運，學(xué)習(xí)成就未來膂葿蟻羅芄節(jié)薇羄羄蕆蒃羄肆芀螂肅膈蒆蚈肂芁羋薄肁羀蒄薀蚇膃莇蒆蚇芅薂螅蚆羅蒞蟻蚅肇薁薇蚄腿莃蒃螃節(jié)膆螁螂羈莂蚇螁膄膄蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅蝿肈蒈螄螈膀芁蝕螇節(jié)蕆薆袆羂艿蒂裊肄蒅莈裊芇羋螆襖羆薃螞袃聿莆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃膇蠆羀肅莃薅罿膈膅蒁羈袇莁蕆羇肀芄螅羆膂葿蟻羅芄節(jié)薇羄羄蕆蒃羄肆芀螂肅膈蒆蚈肂芁羋薄肁羀蒄薀蚇膃莇蒆蚇芅薂螅蚆羅蒞蟻蚅肇薁薇蚄腿莃蒃螃節(jié)膆螁螂羈莂蚇螁膄膄蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅蝿肈蒈螄螈膀芁蝕螇節(jié)蕆薆袆羂艿蒂裊肄蒅莈裊芇羋螆襖羆薃螞袃聿莆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃膇蠆羀肅莃薅罿膈膅蒁羈袇莁蕆羇肀芄螅羆膂葿蟻羅芄節(jié)薇羄羄蕆蒃羄肆芀螂肅膈蒆蚈肂芁羋薄肁羀蒄薀蚇膃莇蒆

2、蚇芅薂螅蚆羅蒞蟻蚅肇薁薇蚄腿莃蒃螃節(jié)膆螁螂羈莂蚇螁膄膄蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅蝿肈蒈螄螈膀芁蝕螇節(jié)蕆薆袆羂艿蒂裊肄蒅莈裊芇羋螆襖羆薃螞袃聿莆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃膇蠆羀肅莃薅罿膈膅蒁羈袇莁蕆羇肀芄螅羆膂葿蟻羅芄節(jié)薇羄羄蕆蒃羄肆芀螂肅膈蒆蚈肂芁羋薄肁羀蒄薀蚇膃莇蒆蚇芅薂螅 導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用-理科生用答案（2010全國卷2理數(shù)）（10）若曲線在點處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則 （A）64 （B）32 （C）16 （D）8 【答案】A 【命題意圖】本試題主要考查求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計算能力.【解析】，切線方程是，令，令，三角形的面積是，解得.故選A.

3、（2010遼寧文數(shù)）（12）已知點在曲線上，為曲線在點處的切線的傾斜角，則的取值范圍是 (A)0,) (B) （C） (D) 解析：選D.，即，（2010遼寧理數(shù)）(1O)已知點P在曲線y=上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是 (A)0,) (B) (D) 【答案】D【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)運算以及三角函數(shù)的知識?！窘馕觥恳驗椋磘an a-1,所以（2010全國卷2文數(shù)）（7）若曲線在點處的切線方程是，則（A） (B) (C) (D) 【解析】A：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意思即求曲線上一點處的切線方程 ， ，在切線， 6. （2010江蘇卷）14、將邊長為1m正

4、三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記,則S的最小值是_。解析 考查函數(shù)中的建模應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化思想。一題多解。設(shè)剪成的小正三角形的邊長為，則：（方法一）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值。，當時，遞減；當時，遞增；故當時，S的最小值是。（方法二）利用函數(shù)的方法求最小值。令，則：故當時，S的最小值是。導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用-理科生用1. 已知函數(shù)f（x）=x-3ax+3x+1。（）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)期間；（）設(shè)f（x）在區(qū)間（2,3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍?！窘馕觥勘绢}考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用，主要考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及函數(shù)與方程的知識。（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

5、，由導(dǎo)數(shù)大于0，可求得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可求得減區(qū)間。（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在（2，3）內(nèi)有極值，即為在（2，3）內(nèi)有一個零點，即可根據(jù)，即可求出A的取值范圍。2.設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值?！久}意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.【解題指導(dǎo)】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)用輔助角公式變形，利用導(dǎo)數(shù)等于0得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負，判斷區(qū)間的單調(diào)性，求極值.【思維總結(jié)】對于函數(shù)解答題，一般情況下都是利用導(dǎo)數(shù)來研究單調(diào)性或極值，利用導(dǎo)數(shù)為0得可能的極值點，通過列表得每個區(qū)間導(dǎo)數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，進

6、而得出極值點.1.已知函數(shù)其中a<0,且a-1.（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）設(shè)函數(shù)（e是自然數(shù)的底數(shù)）。是否存在a，使在a,-a上為減函數(shù)？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由。2.已知是給定的實常數(shù)，設(shè)函數(shù)，是的一個極大值點 ()求的取值范圍；()設(shè)是的3個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說明理由解析：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識。（）解：f(x)=ex(x-a) 令于是，假設(shè)（1） 當x1=a 或x2=a時

7、，則x=a不是f(x)的極值點，此時不合題意。（2） 當x1a且x2a時，由于x=a是f(x)的極大值點，故x1<a<x2.即即所以b-a所以b的取值范圍是（-，-a）此時或（2）當時，則或于是此時綜上所述，存在b滿足題意，當b=-a-3時，時，時，3.設(shè)函數(shù)（）證明：當時，；（）設(shè)當時，求a的取值范圍【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.【參考答案】【點評】導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力

8、和計算能力.估計以后對導(dǎo)數(shù)的考查力度不會減弱。作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對參數(shù)的討論，這也是難點之所在.4.已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR。（1） 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；（2） 設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)- g(x),當h(x)存在最小之時，求其最小值（a）的解析式；（3） 對（2）中的（a），證明：當a（0，+）時， （a）1.解 （1）f(x)=,g(x)=(x>0),由已知得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,兩條曲線交點的坐標為（e2,e） 切

9、線的斜率為k=f(e2)= ,切線的方程為y-e=(x- e2). （2）由條件知 當a.>0時，令h (x)=0,解得x=,所以當0 < x< 時 h (x)<0，h(x)在（0，）上遞減；當x>時，h (x)>0，h(x)在（0，）上遞增。所以x>是h(x)在（0， + ）上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點。所以 （a）=h()= 2a-aln=2當a     0時，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+）遞增，無最小值。故 h(x) 的最小

10、值 （a）的解析式為2a(1-ln2a) (a>o)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 則  1（a ）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2當 0<a<1/2時， 1（a ）>0，所以 （a ） 在(0,1/2) 上遞增當 a>1/2 時，  1（a ）<0，所以（a ） 在 (1/2, +)上遞減。所以（a ）在(0, +)處取得極大值（1/2 ）=1因為（a ）在(0, +)上有且只有一個極致點，所以（1/2）=1也是（a）的最大值所當a屬于 (0, +)

11、時，總有（a）    15.已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）設(shè)，證明：對任意，.解：() f(x)的定義域為(0,+)，.當a0時，0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當a1時，0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當1a0時，令0,解得x=.當x(0, )時, 0；x(，+)時，0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.()不妨假設(shè)x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.于是0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(

12、x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2(0,+) ，.6.已知函數(shù)（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）設(shè).如果對任意，求的取值范圍。解：（）的定義域為（0，+）. .當時，0，故在（0，+）單調(diào)增加；當時，0，故在（0，+）單調(diào)減少；當-10時，令=0，解得.則當時，0；時，0.故在單調(diào)增加，在單調(diào)減少.（）不妨假設(shè)，而-1，由（）知在（0，+）單調(diào)減少，從而 ，等價于， 令，則等價于在（0，+）單調(diào)減少，即 . 從而 故a的取值范圍為（-，-2. 12分8設(shè)函數(shù)。（1）當a=1時，求的單調(diào)區(qū)間。（2）若在上的最大值為，求a的值。【解析】考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算

13、、利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識。 解：對函數(shù)求導(dǎo)得：，定義域為（0，2）（1） 單調(diào)性的處理，通過導(dǎo)數(shù)的零點進行穿線判別符號完成。當a=1時，令當為增區(qū)間；當為減函數(shù)。（2） 區(qū)間上的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點和端點的比較得到，確定待定量a的值。當有最大值，則必不為減函數(shù)，且>0，為單調(diào)遞增區(qū)間。最大值在右端點取到。（2010重慶文數(shù)）(19) (本小題滿分12分), ()小問5分，()小問7分.)已知函數(shù)(其中常數(shù)a,bR),是奇函數(shù).()求的表達式;()討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間1,2上的最大值和最小值.9.已知函數(shù)（a-b）<b)。（I）當a=1，b=2時，求曲線在

14、點（2，）處的切線方程。（II）設(shè)是的兩個極值點，是的一個零點，且，證明：存在實數(shù)，使得 按某種順序排列后的等差數(shù)列，并求10.已知函數(shù)其中實數(shù)。（I） 若a=-2，求曲線在點處的切線方程；（II） 若在x=1處取得極值，試討論的單調(diào)性。11.已知函數(shù)（I）當時，求曲線在點處的切線方程；（II）當時，討論的單調(diào)性.12.已知函數(shù)()=In(1+)-+(0)。()當=2時，求曲線=()在點(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間。解：（I）當時， 由于， 所以曲線在點處的切線方程為 即 （II），. 當時，. 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時，由，

15、得， 所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當時， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當時，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是13.設(shè)（且），g(x)是f(x)的反函數(shù).（）設(shè)關(guān)于的方程求在區(qū)間2，6上有實數(shù)解，求t的取值范圍；（）當ae（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，證明：；（）當0a時，試比較與4的大小，并說明理由.本小題考產(chǎn)函數(shù)、反函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考察化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證、分析與解決問題的能力.解：(1)由題意，得ax0故g(x)，x(,1)(1,)由得t(x-1)2(7-x)，x2,6

16、則t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下：x2(2,5)5(5,6)6t'+0-t5極大值3225所以t最小值5，t最大值32所以t的取值范圍為5,325分(2) ln() ln令u(z)lnz22lnzz，z0則u'(z)(1)20所以u(z)在(0,)上是增函數(shù)又因為10，所以u()u(1)0即ln0即9分(3)設(shè)a，則p1，1f(1)3當n1時，|f(1)1|24當n2時設(shè)k2,kN *時，則f(k) 1所以1f(k)1從而n1n-1+n+1-n1所以nf(1)n1n4綜上所述，總有|n|414已知函數(shù)f（x）=，其中a>0. （）若

17、a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程；（）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.【解析】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分12分.（）解：當a=1時，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲線y=f（x）在點（2，f（2）處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分兩種情況討論：（1） 若，當x變化時，f(x)，f（x）的變化情況如下表：X0f(x)+0-f(x)極大值 當?shù)葍r于 解不等

18、式組得-5<a<5.因此.（2） 若a>2，則.當x變化時，f(x),f（x）的變化情況如下表：X0f(x)+0-0+f(x)極大值極小值當時，f（x）>0等價于即解不等式組得或.因此2<a<5. 綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5.15.已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當時，（）如果，且，證明【解析】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力，滿分14分（）解：f令f(x)=0,解得x=1當x變化時，f(x)，f

19、(x)的變化情況如下表X()1()f(x)+0-f(x)極大值所以f(x)在()內(nèi)是增函數(shù)，在()內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=（）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是當x>1時，2x-2>0,從而(x)>0,從而函數(shù)F（x）在1,+)是增函數(shù)。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).)證明：（1）若（2）若根據(jù)（1）（2）得由（）可知，>,則=，所以>,從而>.因為，所以，又由（）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以&

20、gt;,即>2.16.已知函數(shù)f（x）=的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2()求實數(shù)a,b的值；()設(shè)g（x）=f(x)+是上的增函數(shù)。 （i）求實數(shù)m的最大值； (ii)當m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由。17.已知函數(shù).（）若，求的取值范圍；（）證明： .18.設(shè)（且），g(x)是f(x)的反函數(shù).（）求；（）當時，恒有成立，求t的取值范圍；（）當0a時，試比較f(1)+f(2)+f(n)與的大小，并說明理由.19.設(shè)函數(shù)，其中a0，曲線在點

21、P（0，）處的切線方程為y=1（）確定b、c的值（）設(shè)曲線在點（）及（）處的切線都過點（0,2）證明：當時，（）若過點（0,2）可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍。20.已知函數(shù).()當時，討論的單調(diào)性；（）設(shè)當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.（）當時，在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即實數(shù)取值范圍是?！久}意圖】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生

22、綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。（1）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。21.已知函數(shù)對任意的，恒有。（）證明：當時，；（）若對滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。解析：22.（）已知函數(shù)，。（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）證明：若對于任意非零實數(shù)，曲線C與其在點處的切線交于另一點，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段（）對于一般的三次函數(shù)（）（ii）的正確命題，并予以證明?！久}意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運算

23、求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想?！窘馕觥浚ǎ╥）由得=，當和時，；當時，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。（2010湖北理數(shù)）23. 設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。 ()求的單調(diào)區(qū)間與極值；()求證：當且時，。24.設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍。解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。（1）(i)時，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)（方法一）設(shè)，與的符號相同。當時，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，故此時在區(qū)間