2012高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第二講三角函數(shù)與平面向量 第二節(jié)三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其變換 文

1、第二節(jié) 三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)及其變換近幾年高考對“三角函數(shù)”一章三角的考查要求略有降低，而對三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)的考查有逐步加強(qiáng)的趨勢. “考試大綱”將三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由“了解”改為“理解”，提高了一個層次.因此，考生在復(fù)習(xí)中要作出相應(yīng)的調(diào)整.它們的難度值一般控制在0.5-0.8之間，且在解答題中大多需要利用三角函數(shù)的變換和性質(zhì)求解. 考試要求 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、性質(zhì),理解正切函數(shù)的單調(diào)性；了解函數(shù)的物理意義，會用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(x+)的簡圖，了解參數(shù) 對函數(shù)圖像變化的影響.題型一 由“參”定“形”，由“形”定“參”【例1】 點(diǎn)撥：（1）在函

2、數(shù)yAsin（xj）的有關(guān)問題中，只要確定了這三個參數(shù)A，則該函數(shù)的圖像、性質(zhì)等就出來了；同理，（2）中，已知圖像求解析式問題，關(guān)鍵也是確定三個參數(shù)A，最困難的就是求.圖于是，本題的答案為、例2.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式為.點(diǎn)撥：已知圖像求解析式問題，關(guān)鍵也是確定三個參數(shù)A，尤其是求.解析:由圖知 以下求j的值有多種方法可供選擇：易錯點(diǎn) 例（）中，選項(xiàng)“”的含義容易被誤解；例（2）中，已知圖像求解析式中的時，常常由于方法不當(dāng)或范圍不清晰而不能求出準(zhǔn)確值.點(diǎn)評：三角函數(shù)的圖像由若干個參數(shù)確定(即由“參”定“形”)，同時，已知三角函數(shù)的圖像也能夠確定這若干個參數(shù)（即由“形”定“參”).

3、本例所用的方法帶有普遍性，用來求解有關(guān)函數(shù)yAsin（xj）的圖象問題十分奏效.變式與引申1：若將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（ ）A B. C. D. 第（1）問簡單，第（2）問的函數(shù)圖像有了變化：向右移動個單位，再向上移動1個單位；其所求的面積就是圖中直線,，x軸以及ysin（3x）1的圖像所圍成圖形的面積. 可以把直線y=1上方的兩個“波峰”拿一個填入“波谷”，得到一個矩形和一個“波峰”，其面積容易求出.【解析】（1）T=, n=3,一個周期的面積為.（2）S=1×(-)+=.易錯點(diǎn): 第（2）問審題容易出問題，結(jié)合圖像能夠幫助理解題意.點(diǎn)評：

4、本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象的平移變換、對稱變換及其應(yīng)用，解題時要注意觀察題目函數(shù)圖像的特點(diǎn)隨機(jī)應(yīng)變，如本題可利用圖像的對稱性解題.變式與引申2：已知函數(shù)，x0, 的圖象和直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，求該圖形的面積.題型三 三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用【例4】已知函數(shù)（，且均為常數(shù)），（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恰好能夠取到的最小值2，試求的值點(diǎn)撥 研究三角函數(shù)的性質(zhì)（如周期、最值、單調(diào)性、奇偶性等）時，首先應(yīng)該對所給的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行化簡，最好化為一個角（形如）、一種三角函數(shù)的形式【解析】（1） （其中），所以，函數(shù)的最小正周期為（2） 由（1）可知：的最小值為，所以，

5、另外，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知在區(qū)間上的最小值為，所以， 聯(lián)立解得：.易錯點(diǎn): 在題（2）中，不能利用隱含條件”的最小值2”正確列出方程組，還有計算時也容易出錯.變式與引申3：已知函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，.（1）求的解析式，并寫出的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，求函數(shù)的值域.之前時，應(yīng)明確平移的量是什么.還要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想解題.【解析】將函數(shù)化為，由條件得 ，圖下一步是關(guān)鍵是求出參數(shù)c，顯然的周期，其半周期的長度恰好為3.而可看成的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且由半周期的長度為3可知，相鄰交點(diǎn)間的距離也為3，從而由三角函數(shù)圖象的特征知道，否則無法滿足半周期為3.

6、的圖象與與直線的交點(diǎn)只可能是在的各對稱中心，對稱軸向上平移了3個單位，即，如圖.從而,單調(diào)遞減區(qū)間為.易錯點(diǎn) 本題易出錯的地方是平移、伸縮時，解析式的變化，再就是用等差數(shù)列的條件時討論不全變式與引申4：函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性等，請選擇適當(dāng)?shù)奶骄宽樞?，研究函?shù)f(x)= +的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上，作出其在的草圖本節(jié)主要考查 三角函數(shù)的圖象，包括：y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象；“五點(diǎn)法”畫出y=Asin（x+）的簡圖；利用平移和伸縮變換畫出y=Asin（x+）的圖象；三角函數(shù)性質(zhì)，包括奇偶性，單調(diào)性，周期性，最值；三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用；

7、（4）等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.點(diǎn)評 高考對三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)一向是考查的重點(diǎn)，在復(fù)習(xí)過程中要注意與三角函數(shù)的化簡、求值等基礎(chǔ)知識，以及三角函數(shù)的恒等變形等結(jié)合起來，還要注意與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系.復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是正、余弦函數(shù)的圖象變換及其應(yīng)用，掌握它們的性質(zhì),其中單調(diào)性又是本節(jié)的一個難點(diǎn).1.對三角函數(shù)圖象要從對稱軸和有界性這兩個角度去把握，對稱性包括對稱軸和對稱中心兩個關(guān)鍵要素，要熟記y=sinx、y=cosx、y=tanx的對稱軸和對稱中心 2對三角函數(shù)性質(zhì)的研究要首先建立在定義域的基礎(chǔ)之上而求三角函數(shù)的定義域往往要解三角不等式，解三角不等式的方法一般表現(xiàn)為圖象法或三角函數(shù)線

8、法對三角函數(shù)性質(zhì)的考查總是與三角變換相結(jié)合一般解題規(guī)律是先對三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行三角變換，使之轉(zhuǎn)化為一個角的三角函數(shù)的形式，再利用換元法轉(zhuǎn)化為對基本三角函數(shù)性質(zhì)的研究3. 求三角函數(shù)的最值問題屬于常見題型，主要利用正、余弦函數(shù)的有界性，一般通過三角變換和換元化為一次函數(shù)或二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,或引入輔助角,或采用“不等式”法,或“數(shù)形結(jié)合”等基本類型處理.4.對函數(shù)yAsin(xj)k (A0, 0, j0, k0),其圖象的基本變換是個難點(diǎn)，各種變換的實(shí)質(zhì)要熟練掌握，不能單從形式上簡單判斷5“五點(diǎn)法”是三角函數(shù)作簡圖的有力武器,要熟練掌握.最基本的三角函數(shù)圖象的形狀和位置特征，要準(zhǔn)確掌

9、握，它是利用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)問題的關(guān)鍵6.主要題型：求三角函數(shù)的定義域、值域、周期，判斷奇偶性，求單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性比較大小，圖象的平移和伸縮，圖象的對稱軸和對稱中心，利用圖象解題，根據(jù)圖象求解析式.7常用方法：(1)求三角函數(shù)的值域、最值：利用正弦、余弦函數(shù)的有界性，通過變換轉(zhuǎn)化為代數(shù)最值問題；(2)求周期：將函數(shù)式化為一個三角函數(shù)的一次方的形式，再利用公式，利用圖象判斷.習(xí)題221.如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時針運(yùn)動，其初始位置為P0（，-），角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖像大致為2. 函數(shù)的值域是 3.函數(shù)f(x)=a+bsin2x+ccos2x的圖象

10、經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（，1）,且當(dāng)x0, 時，f(x)取得最大值21（1）求f(x)的解析式；（2）(選作題)是否存在向量m，使得將f(x)的圖象按向量m平移后可以得到一個奇函數(shù)的圖象？若存在，求出滿足條件的一個m;若不存在，說明理由.4.已知函數(shù)的圖像的一部分如圖2-2-5所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值與最小值及相應(yīng)的的值.圖5設(shè)函數(shù)f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，xR.（1）若f(x)=1且x，求x；（2）試作出函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的簡圖； (3) 設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為M ，若有10個互不相等的正數(shù)

11、且，求的值.【答案】變式與引申1： 答案: D.解析：，又.故選D.變式與引申2：如答圖,易知封閉圖形的面積是矩形ABCD面積的一半，而|AD|=4，|AB|=，所以此封閉圖形的面積為×.變式與引申3：解：（1）依題意得，周期，所以，由對稱性知，當(dāng)時，所以，所以，所以所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（2）由（1），所以，令，則，所以，所以的值域?yàn)樽兪脚c引申4：定義域： 的定義域?yàn)镽；奇偶性： ， 為偶函數(shù)；周期性： , 是周期為的周期函數(shù)；單調(diào)性：當(dāng)時，= ，當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時，=，單調(diào)遞增；又是周期為的偶函數(shù)，在習(xí)題221.答案: C.解：顯然，當(dāng)時，由已知得，故排除A、D，又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)是按逆

12、時針方向轉(zhuǎn)動，隨時間的變化質(zhì)點(diǎn)P到軸的距離先減小，再排除B，即得C另解：根據(jù)已知條件得，再結(jié)合已知得質(zhì)點(diǎn)P到軸的距離關(guān)于時間的函數(shù)為，畫圖得C2. 答案:1，1.解: 設(shè)點(diǎn)P（sinx,cosx），Q(2,0)，則可看成單位圓上的動點(diǎn)P與點(diǎn)Q連線的斜率，如答圖.設(shè)直線是方程為y=k(x+2)，即kxy+2k=0，則圓心（0，0）3.解：（1）由題意知 b=c=1a, f(x)=a+(1a)sin(2x+).x0, , 2x+,.當(dāng)1a0時，由a+(1a)=21,解得a=1; 當(dāng)1a0時， a+(1a)·=21,無解; 當(dāng)1a=0時，a=21，相矛盾. 綜上可知a=1. f(x)=1+2sin(2x+). (