理論力學(xué)-動力學(xué)02――無動畫.

1、12刼邂恕良理質(zhì)A和質(zhì)點糸的動量矩動量矩定理創(chuàng)體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程 創(chuàng)體對軸的轉(zhuǎn)動慣董質(zhì)點糸相對質(zhì)心的動量矩皮理 創(chuàng)體平面運(yùn)動微分方程 由將力學(xué)力系簡化理港知：平面任盤力糸向任一 簡化中心簡化可得一力和一力偶，此力等于平面力 糸的主矢，此力偶等于平面力糸對簡化中心的主矩。 由剛體平面運(yùn)動理論知：創(chuàng)體的平面運(yùn)動可以分 解為隨同基點的平動和相對基點的轉(zhuǎn)動。 若將簡化中心和基點取疫質(zhì)心上,則動量定理（質(zhì) 心運(yùn)動良理）描述了創(chuàng)體隨同質(zhì)心的運(yùn)動的變化和外 力糸主矣的關(guān)糸。它揭示了楊體機(jī)械運(yùn)動規(guī)律的一 個例而。創(chuàng)體相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的運(yùn)動變化與外力余 對質(zhì)心的主矩的關(guān)糸將有本章的動量矩走理給出。 它揭示了揚(yáng)

2、體機(jī)械運(yùn)動規(guī)律的另一個側(cè)面。12.1質(zhì)支和質(zhì)支系的劭董鳧1質(zhì)點的動量矩質(zhì)點Q的動量對于點、O的 矩，走義為質(zhì)點對于點O 的動量矩，是矢謹(jǐn)*。Mo(mv) = rx mv質(zhì)盤動量mv雇oxy平面 內(nèi)的投彩伽卩)巧對于點O的 矩，走義為質(zhì)點動量對于 z軸的矩，簡稀對于z軸的 動董矩，是代數(shù)量。質(zhì)支的刃謾軀類似于力對點之矩和力對柚之矩的關(guān)余，質(zhì)點 對點O的動量矩矢柱Z軸上的技影，等于對Z的動 量矩。tMo(mv)z = Mz(mv)連.國際單住制中，動量矩的單住是kg-ni2/so質(zhì)A系的幼蜃宛2質(zhì)點糸的動量矩質(zhì)A糸對禁點O的動量矩等于各質(zhì)點 對同一點O的動董矩的矣量和。LtQ=YtM o（/?i

3、嚴(yán) I）質(zhì)點糸對荼軸z的動董矩等于各 質(zhì)點對同一 z柚的動量矩的代叔 和°厶=功1二（州）質(zhì)點糸對素點O的動量矩矣淮.通 過該點的z軸上的投彩，等于質(zhì) 點糸對該軸的動董矩。Q。尸L乙剛俸的幼蜃軀3平動創(chuàng)體的動量矩別體平移對，可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心，作為一個 質(zhì)點計算其動量矩。4定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩L = Srn （“匕）=m（v“ =工令厶=工"用稱為創(chuàng)體對Z軸的轉(zhuǎn)動慣 量，M是得即：統(tǒng)走柚轉(zhuǎn)動創(chuàng)體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩等于創(chuàng)體對 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的束積。12.2動謾軀定謖1221質(zhì)點的動量矩定理迓質(zhì)點對固定點o的動 量矩為Mo(mv),作用力F對 同一瑕的矩為M

4、76;(F),如圖 所示。將動量矩對肘河取一 次導(dǎo)數(shù).得dd= (r x/Tiv) drdrdrd=xmv +rx (znv) drdrMO(F)y質(zhì)X系的動噫宛例1均質(zhì)圓盤可繞柚o轉(zhuǎn)動，其上纏有一 繩，繩下踹e一重腸力。若圓盤對轉(zhuǎn)柚o的轉(zhuǎn) 動慣量為丿，半徑為兒 角速度為，重楊力的 朮量為加，并役繩與原盤間無相對請動，求糸 繪對軸O的動量矩。解：Lo =乙塊 + L 牡=mvr 4- Jcd =mr2 co + Jcd (mr + J)coLo的轉(zhuǎn)向沿逆肘針方向。X1221質(zhì)支的幼董攤定遅v x mv 0, rx F Mo(F)所以d M omv Mo(F) dt質(zhì)A對禁定A的 動量矩對肘間的

5、一階 導(dǎo)數(shù)，等于作用力對 同一點的矩。定軸的動量矩對肘間的一 階導(dǎo)數(shù)等于質(zhì) A所受的力對 同一軸的矩O1221質(zhì)支的幼董攤定遅將上式投影衣直角坐標(biāo)拙上，并將對點的動量 矩與對軸的動量矩的關(guān)條代入，得A/v(mv) = A/v(F) dratA/,(mv) = M_(F) dr'、1222質(zhì)支系的刼蜃颶定貍沒啟步、糸內(nèi)有n個質(zhì)點，作用于每個質(zhì).6、的力分為外力Fj© 和內(nèi)力F$。由質(zhì)點的動量矩之理有學(xué) M。（“比）=M。（巧 ©） + M°G（i） d/這樣的方程共有畀個，相加后得工丁 M。（“）=工 M。（鏟）+ X M。（尺） <=1 ar<

6、=1i=i由子內(nèi)力總、是成對出現(xiàn)，因此上式右端的底二項工葉）=（）i=l t1222質(zhì)支系的刼蜃颶定貍上式左躊為召dd呂d工 _ M°（"氣）=丁 工 Mo （“兒）=Lo 篙dfdtdt于是得AH/詔W)質(zhì)占糸對禁固定點O的動量矩對肘間的導(dǎo) 數(shù)，等于作用于質(zhì)點糸的外力對于同一點的 矩的矣量和。12.2.2質(zhì)支系的刼董癢定貍亦應(yīng)用質(zhì)點糸的動量矩定理肘，取投影式L =d tXdL =dzydL_ =dtzEA/y(F,.(e)SA/z(F/c)對動的作的一數(shù) 條的間于糸同代 點軸肘等點于的 質(zhì)定對，質(zhì)對矩 囲矩救于力的。 禁量導(dǎo)用外軸和12.2.3刼蜃題守恒定理1.質(zhì)點動量矩

7、守恒定律如黑作用在質(zhì)點上的力對禁定點（式定軸） 之矩恒等于零，則質(zhì)點對該盤（或該軸）的動量 矩保持不變。2.質(zhì)點系動量矩守恒定律當(dāng)外力對于禁定點（或禁定軸）的主矩等于 率肘，質(zhì)點糸對于該點（或該軸）的動量矩保持 不io例2高爐運(yùn)送礦石的卷揚(yáng)機(jī)如圖。已知鼓輪的半徑為尺，質(zhì)量 為加I，繞O軸轉(zhuǎn)動。小車和礦石的總質(zhì)量為加2。作用在鼓輪上 的力偶矩為M,鼓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為丿，軌道傾角為 設(shè) 繩質(zhì)量和各處摩擦不計，求小車的加速度厶解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖. 以順時針為正，則Lo = Jco + m2vRX A/c?(F,c, ) = M -m2g sinaR 由f 5 =另叫(尺®)

8、，有dr+ rn2vR) = M m2g sin a/?v d v因0 = 7?不于是解得MR-mR1 sna若M >72&Rsin a,則a>0,小車的如速度沿軌道向上。必須強(qiáng)調(diào)的是：為使動量矩定理中各物理量的正 負(fù)號保持協(xié)調(diào)，動量矩和力矩的正負(fù)號規(guī)定必須完 全一致。例3均質(zhì)圓輪半徑為尺、質(zhì)量為加，圓輪對 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣童為人”圓輪在重物P帶動下 繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W.求 重物下落的加速度.R解：取系統(tǒng)為研究對象W厶o = J 2 HS 5=(警+竺人"R g=WRaymg(Jw civ-F /?) =WRR g dtR應(yīng)用動量矩定理= M 3 p d

9、tWRl2 c +比疋）g12.3剛俸猊定柚務(wù)幼的務(wù)動徽今方程設(shè)創(chuàng)體統(tǒng)皮軸z以角遠(yuǎn) 嵐Q轉(zhuǎn)動 > 則Lr = Jq。創(chuàng)體受有主動力和軸承 約束反力，如不計摩擦，則 由質(zhì)點糸動量矩走理得3（人力）=工仏（F）= XM.(F)dr -12.3剛俸銃定軸務(wù)動的無刼微今方穆創(chuàng)體對走軸的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積 等于作用于創(chuàng)體上的主動力對該軸的矩的代數(shù) 和。以上各式均稱為創(chuàng)體統(tǒng)良軸轉(zhuǎn)動的微分方 程。應(yīng)用創(chuàng)體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程可以解決動 力學(xué)兩類問題。定軸務(wù)刃的務(wù)幼微今方程例4 如圖所示，已知滑輪半徑為/?,轉(zhuǎn)動慣量為人 帶動滑 輪的皮帶拉力為戸和幾。求滑輪的角加速度a。解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動的微分方程

10、于是得”厲血PlJa = R(F _ F2)R應(yīng)用動量矩定理 仏=M（edtWR5 +竺用）加g質(zhì)A系的幼邂矩例1均質(zhì)圓盤可繞柚o轉(zhuǎn)動，其上纏有一 繩，繩下踹e一重腸力。若圓盤對轉(zhuǎn)柚o的轉(zhuǎn) 動慣量為丿，半程為廠,角速度為Q,重楊力的 朮量為叫 并役繩與原盤間無相對請動，求糸 疣對軸O的動量矩。解：Lo = L塊 + L 牡=mvr 4- Jcd mr2 co + Jcd (wr2 + J)a)的轉(zhuǎn)向沿逆肘針方向。例3均質(zhì)圓輪半徑為&質(zhì)量為八圓輪對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為人"圓輪在重物P帶動下 繞因定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W求 重物下落的加速度。解：取系統(tǒng)為研究對象wL。= JC)c

11、o HvRS/ wR sMe) =WRJ W civ±o_+yJLK)_ = WRRdt12.4剛俸對軸的務(wù)幼代董由前知，創(chuàng)體對軸Z的轉(zhuǎn)動慣量定義為：創(chuàng)體上 所有質(zhì)點的質(zhì)董與該質(zhì)點刊料Z的垂直距靂的平方乘 積的算術(shù)和。即A =Swz/；對于質(zhì)量連娛分布的創(chuàng)體，上式可寫成積分形式J r d2由定義可知，轉(zhuǎn)動慣量不僅與質(zhì)量有關(guān)，而且與 質(zhì)量的分布有關(guān)；在國際單住制中，轉(zhuǎn)動慣董的單住 是：kgm2。同一創(chuàng)體對不同軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的， 而它對荃定軸的轉(zhuǎn)動慣董卻是常數(shù)。因此在談及轉(zhuǎn)動 慣量肘，必須指朗它是對哪一軸的轉(zhuǎn)動慣董。1241簡單形狀物俸的需刼伐董1 均質(zhì)細(xì)桿瑕均質(zhì)細(xì)桿長I,質(zhì)量 為m

12、,取微段dx,則dm = jdxd %亠1 "3/ c1 2 rd"詁加2X12.4.1簡單形狀物俸的需幼伐蜃 p-2rdr = mR222均質(zhì)簿圖環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動憤量i殳細(xì)圖環(huán)的質(zhì)量為7,半往為R。則J 藝“才=R2 22“ = mR23.均質(zhì)圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)圓極的質(zhì)量為2,半徑為7?。將圖 板分為無數(shù)同心的簿圓環(huán)，任一圓°環(huán)的質(zhì)董為 dm = p -27crd/ p = hi/tiR 于是圓板轉(zhuǎn)動慣量為12.4.2回轉(zhuǎn)g桎（代檔g役）卷工程上常用回轉(zhuǎn)半徑來計算創(chuàng)體的轉(zhuǎn)動慣量，其良義為對于幾何形狀相同的均質(zhì)場體，其凹轉(zhuǎn)半徑相同。如果己知凹轉(zhuǎn)半徑，則揚(yáng)

13、體的轉(zhuǎn)動慣董為厶=mP曰轉(zhuǎn)半徑的幾何意義是：假想地將腸體的質(zhì)量集 中到一點處，幷保持物體對軸的轉(zhuǎn)動慣釜不變，則該 點列柚的距禽就等于呵轉(zhuǎn)半徑的長度。12.4.3年背柚定理定理：創(chuàng)體對于任一柚的轉(zhuǎn)動慣量，等于創(chuàng)體對 于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣童，加上創(chuàng) 體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的束積，即2J: = J+ md證朗：zZ1厶C =2忻、Jym=乞"(彳 + »)od C# = Z y,y.F J、! /J二4丄戈=XiJ Z厶"廠/ X1 亠X /= Dq(Q + y )y/因 x = xl9 y = y + d 112.4.3年背袖定理Jz ="

14、屛+(y +d)2=工“(彳+) + 2乞叫y + d，乞“由質(zhì)心坐標(biāo)公式Y(jié)"'iyc =m多坐標(biāo)原占取在質(zhì)心C時，yc = 0,= 0,又有= m,于是得J =</.+ md2由定理可知：創(chuàng)體對于所有平行軸的轉(zhuǎn)動慣量， 過質(zhì)心柚的轉(zhuǎn)動慣量最小。年行抽定理 例5如圖所示，已知均質(zhì)桿的質(zhì)量為加，對S軸的轉(zhuǎn)動慣量為 JV求桿對Z2的轉(zhuǎn)動慣量丿2解：由 J. = J.r+/nJ2,得日 zabJ、= J (、-mb2(2)-得J2 = J +加廳-C11)爼合剛俸的務(wù)幼棧董A例6均質(zhì)直角折桿尺寸如圖，其質(zhì)量為3加, 求其對軸O的轉(zhuǎn)動慣量.解：J 6= JOA +4 =-mZ2

15、+ (2m)(2/)2 4-(2m)(V2Z)231= 5ml212.5質(zhì)點索相對于質(zhì)皿的幼量腿定理如圖所示，o為固定點， C為質(zhì)點糸的質(zhì)心，質(zhì)A糸對 于圏走點的動量矩為Lo =YMo(mivz) = Zri x mivi 對于任一質(zhì)”=忘+風(fēng)于是Lo =X(/+r)x w.vz=U x込加/氣+藝廠 xmVi由于工耳匕=mvr12.5質(zhì)點索相對于質(zhì)皿的幼量題定理Lc =工門 xmzvzL() =rcx mvc + Lc它是質(zhì)點糸相對于質(zhì)心的動量 矩。于是得即:質(zhì)A糸對任一 60的動董矩等于集中于質(zhì)心的糸 統(tǒng)動董加叱對于O點的動童矩再加上此糸統(tǒng)對于質(zhì)心 的動1矩乙(應(yīng)為矣蚤和)。質(zhì)點糸對于固走點O的動量矩走理可寫成d Lod 一一*x 匸- Re)=(r, x mvr -f £, ) = Lr x Fdt dtd"。= (/> x mv + 乙)=Sr x F展