第3章：數(shù)據(jù)的表示方法

1、 我們在日常生活中經(jīng)常使用的數(shù)據(jù)有09數(shù)字組成的數(shù)據(jù)（稱為數(shù)值型數(shù)據(jù)），還有英文字母、標(biāo)點(diǎn)符號、漢字等數(shù)據(jù)（稱為字符型數(shù)據(jù)）。要想讓計算機(jī)能處理這些數(shù)據(jù)，那么首先就要解決這些數(shù)據(jù)在計算機(jī)中如何表示和存儲的問題。在這一章里，通過學(xué)習(xí)同學(xué)們需要了解如下內(nèi)容：（1）常用進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換；（2）定點(diǎn)數(shù)的表示方法；（3）浮點(diǎn)數(shù)的表示方法；（4）編碼及檢驗；第3章：數(shù)據(jù)的表示方法1 1 進(jìn)制進(jìn)制一、進(jìn)位計數(shù)數(shù)制作為進(jìn)位計數(shù)數(shù)制具有兩個基本要素：基數(shù)和權(quán)所謂基數(shù)：數(shù)制中所用到的代碼的個數(shù)。所謂權(quán)：不同數(shù)位的固定常數(shù)。如下圖 二、計算機(jī)中使用二進(jìn)制的原理 1、便于物理器件實現(xiàn)在物理中具有兩個穩(wěn)定狀態(tài)的物理器件很

2、多：晶體管的“截止”和“導(dǎo)通”，電容的“充電”和“放電”，電壓信號的“高”和“低”，脈沖的“有”和“無”，電磁單元的“正向磁化”和“反向磁化”等。 2、二進(jìn)制運(yùn)算規(guī)則簡單基數(shù)為J的進(jìn)制，其求和、求積的公式各有J（J+1）/2種。如：2進(jìn)制：求和：0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10； 求積：0*0=0，1*0=0*1=0，1*1=1十進(jìn)制：基數(shù)位10二進(jìn)制：基數(shù)位2 在人類社會活動中都采用的是進(jìn)位計數(shù)制。目前常用的進(jìn)位計數(shù)制有：（1）十進(jìn)制 （2）60進(jìn)制（分、秒） （3）12進(jìn)制（年，時鐘） （4）八進(jìn)制（星期）（5）二進(jìn)制（鞋、襪、筷子）在計算機(jī)里，使用的進(jìn)位制有四種進(jìn)制：(1)十

3、進(jìn)制 D (2)二進(jìn)制 B (3)八進(jìn)制 Q (4)十六進(jìn)制 H2 2 常用進(jìn)制轉(zhuǎn)換常用進(jìn)制轉(zhuǎn)換一、二進(jìn)制數(shù) 十進(jìn)制數(shù)1、將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的方法連續(xù)用不大于它的2n的值去減，直至余數(shù)為0，被減過的2n，表明第n位為1，否則為0，最右邊為第0位。例1:（6894）D=（1101011101110）B例2：把（0.6875）D變成二進(jìn)制數(shù)：（0.6875）D=（0.1101）B例3：（0.9）D轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制練習(xí)：把（100.375）D，（35.625）D轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制數(shù)2、二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù) 將對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)字中各位為1的位的值相加即可例1：(11001)B=124+123+120=（2

4、5）D例2：（110.101）2=122+121+12-1+12-3=（6.625）B例3：將n位全是1的二進(jìn)制數(shù)整數(shù)，其十進(jìn)制數(shù)值為多少？(2n-1) 例4：計算1011.0123和1011.0123將上述兩題的運(yùn)算結(jié)果同運(yùn)算前的被乘數(shù)或被除數(shù)相比，我們可以得出結(jié)論： 一個二進(jìn)制數(shù)乘以或除以一個2n，相當(dāng)于該二進(jìn)制數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動n位，不夠的位補(bǔ)0。二、二進(jìn)制數(shù) 十六進(jìn)制數(shù) 在講述它們之間的轉(zhuǎn)換之前，我們先介紹一下十六進(jìn)制的表示符號，我們知道對于十進(jìn)制數(shù)是用0、1、3、4、5、6、7、8、9十個數(shù)字表示，對于二進(jìn)制數(shù)是0和1兩個數(shù)字表示，依次類推，十六進(jìn)制數(shù)就應(yīng)該用十六個符號表示，對

5、應(yīng)的十六個符號為：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F1、二進(jìn)制數(shù)向十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換方法：整數(shù)部分從右至左，小數(shù)部分從左至右，每四位分成一組，然后每一組用一位十六進(jìn)制數(shù)表示出來即可。例1：（10011100）B轉(zhuǎn)換十六進(jìn)制數(shù)（1001，1100）B=（9C）H例2：（110011010.11011）B轉(zhuǎn)換成16進(jìn)制數(shù)。2、十六進(jìn)制向二進(jìn)制轉(zhuǎn)換方法：將每一位十六進(jìn)制數(shù)用四位二進(jìn)制數(shù)表示出來即可例1：（A6）H =（10100110）B例2：（8D）H =（10001100）B （3F8）H =（001111111000）B三、二進(jìn)制數(shù) 八進(jìn)制數(shù) 八進(jìn)制數(shù)就用八個符號表示，

6、對應(yīng)的八個符號為：0、1、2、3、4、5、6、71、二進(jìn)制數(shù)向八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換方法：整數(shù)部分從右至左，小數(shù)部分從左至右，每3位分成一組，然后每一組用一位八進(jìn)制數(shù)表示出來即可。例：（1）1110111101.0101001B=( )Q （2）110011010.11011B=( )Q2、八進(jìn)制向二進(jìn)制轉(zhuǎn)換方法：將每一位十六進(jìn)制數(shù)用四位二進(jìn)制數(shù)表示出來即可例：（1）365.47Q=（011110101.100111）B（2）56.345Q=（101110.011100101）B（3）765013Q=（111110101000001011）B 四、十進(jìn)制數(shù) 八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制 1、八進(jìn)制、十六進(jìn)制向十進(jìn)

7、制轉(zhuǎn)換有兩種方法：方法一：將八進(jìn)制或十進(jìn)制數(shù)先轉(zhuǎn)換成對應(yīng)二進(jìn)制數(shù)，然后，將所得二進(jìn)制數(shù)展開相加。例：56.345Q=101110.011100101D=125+123+122+121+12-2+12-3+12-4+12-7+12-9=32+8+4+2+0.25+0.125+0.0625+0.0078125+0.001953125=46.447265625方法二：直接按數(shù)展開相加例:56.345Q=581+680+38-1+48-2+58-3=58+61+30.125+40.015625+50.0009765625=46.4472656252、十進(jìn)制向八進(jìn)制或十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換方法一：先將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換

8、對應(yīng)二進(jìn)制數(shù)，再將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制或十六進(jìn)制例：將(34)D轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制和十六進(jìn)制（34）D=（100010）B =（22）H=(42）Q方法二：將十進(jìn)制數(shù)直接除以8或16，除到余數(shù)小于8或16，將余數(shù)用一位八進(jìn)制符號或一位十六進(jìn)制符號表示，并把它寫在商的后面即為轉(zhuǎn)換的結(jié)果?！緮?shù)制轉(zhuǎn)換中的小技巧】（1）152.25D=（10011000.01）B=（230.2）Q=（98.4）H 152=128+16+8=27+24+23 0.25=2-2 (2)11111111B=( 255 )D 11111111+1-1=100000000-1=28-1=255 (3)7/16D=(0.0111)B

9、7/16=(22+2+1)/24=(2-2+2-3+2-4)=(0.0111)B3 3 定點(diǎn)數(shù)的表示方法定點(diǎn)數(shù)的表示方法 在上一節(jié)進(jìn)制轉(zhuǎn)換的例子中，我們看到在現(xiàn)實生活中使用的數(shù)值型數(shù)據(jù)完全可以轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)據(jù)來表示。如： 150D=10010110B，-150D=-10010110B 150.4D=10010110.0110011B，-150.4D=-10010110.0110011B 那么這些我們所看到的二進(jìn)制數(shù)就是計算機(jī)中能處理的二進(jìn)制數(shù)嗎？肯定不是，因為還有幾個問題沒有解決：（1）數(shù)的符號數(shù)值化問題。0表示正，1表示負(fù)（2）小數(shù)點(diǎn)的位置問題。約定：定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)（3）表示范圍問題。受機(jī)器

10、字長限制，超出此范圍就稱為溢出一、幾個基本概念1、機(jī)器數(shù)：在計算機(jī)中表示出來的數(shù)。一般采用符號和數(shù)值一起編碼的方法來表示數(shù)據(jù)。2、真值：一個機(jī)器數(shù)所代表的數(shù)值稱為該機(jī)器數(shù)的真值。3、定點(diǎn)數(shù)：小數(shù)點(diǎn)位置固定不變時所表示出來的數(shù)。從理論上講，小數(shù)點(diǎn)位置固定在哪一位都可以，但實際上通常將數(shù)據(jù)表示成純小數(shù)或純整數(shù)。4、浮點(diǎn)數(shù)：小數(shù)點(diǎn)位置不固定時所表示出來的數(shù)。這會帶來表示方法不唯一的問題。 【注意】一臺計算機(jī)中數(shù)值究竟采用定點(diǎn)表示還是浮點(diǎn)表示，要根據(jù)計算機(jī)的使用條件來確定。一般在高檔微機(jī)以上的計算機(jī)中是采用定點(diǎn)還是采用浮點(diǎn)表示，由用戶進(jìn)行選擇。而單片機(jī)采用定點(diǎn)表示。一般來說，定點(diǎn)表示的數(shù)值范圍有限，但

11、要求處理的硬件比較簡單；而浮點(diǎn)表示的數(shù)據(jù)范圍很大，但要求處理的硬件比較復(fù)雜。二、定點(diǎn)表示法 所謂定點(diǎn)（ fixed point）表示法：是指計算機(jī)中的小數(shù)點(diǎn)位置是固定不變的。 根據(jù)小數(shù)點(diǎn)位置的固定方法不同，可分小數(shù)點(diǎn)固定在最低位之后和小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)的最高位之前兩種。（1）設(shè)x的形式為x=x0.x1x2xn，（其中x0為符號位，x1 xn 是數(shù)值部分，也稱為尾數(shù)，x1為最高有效位），則在計算機(jī)中的表示形式為： 這種小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)的最高位之前的表示法稱為定點(diǎn)小數(shù)表示法。它表示的數(shù)據(jù)范圍為：-2-n 1-2-n 即（-0.0001+0.1111）X0X1X2Xn數(shù)值部分小數(shù)點(diǎn)位置符號位 x（2）設(shè)x

12、的形式為x=x0 x1x2xn，（其中x0為符號位，x1 xn 是數(shù)值部分，也稱為尾數(shù)，xn 為最低有效位），則在計算機(jī)中的表示形式為：這種小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)的最低位之后的表示法稱為定點(diǎn)整數(shù)表示法。它表示的數(shù)據(jù)范圍為：1 x2-n -1 X0X1X2Xn數(shù)值部分小數(shù)點(diǎn)位置符號位即（00011111）當(dāng)計算機(jī)采用定點(diǎn)整數(shù)表示時，它只能表示整數(shù)。但在實際問題中，數(shù)不可能總是整數(shù)，因此，對非整數(shù)進(jìn)行必要的加工。加工的方法是選擇適當(dāng)?shù)谋壤蜃?，使全部參加運(yùn)算的數(shù)都變?yōu)檎麛?shù)。例如:二進(jìn)制數(shù)+101.1和-10.11都是非整數(shù)，若將它們乘以比例因子22，則得+101.122=+1011010.1122=101

13、1當(dāng)然，在輸出結(jié)果時必須除以比例因子。三、定點(diǎn)數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼表示原碼：真值X的符號數(shù)值化后所表示出來的機(jī)器數(shù)。記為X原反碼：正數(shù)的反碼與正數(shù)的原碼相同，負(fù)數(shù)的反碼的數(shù)值部分是將該負(fù)數(shù)原碼的數(shù)值部分各位取反。記為X反補(bǔ)碼：正數(shù)的補(bǔ)碼與正數(shù)的原碼相同，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼的數(shù)值部分是將該負(fù)數(shù)反碼的數(shù)值部分加1。記為X補(bǔ)總結(jié)：設(shè)計算機(jī)的字長為N位，X=Xn-2 Xn-3X0 其中，Xi=0或1，則有：（1）真值X=+Xn-2Xn-3X0時X原=X反=X補(bǔ)=0Xn-2Xn-3X0即正數(shù)的原碼，反碼，補(bǔ)碼完全相同。（2）真值X= -Xn-2Xn-3X0時。X原=1Xn-2Xn-3X0X反=1Xn-2Xn-3

14、X0X補(bǔ)=1Xn-2Xn-3X0+1=X反+1例1：已知計算機(jī)字號為8位，該機(jī)器采用定當(dāng)整數(shù)（小數(shù)點(diǎn)在最右邊）表示數(shù)據(jù)，試寫出二進(jìn)制數(shù)x=+101010和y=-101010在機(jī)器中表示的原碼、反碼和補(bǔ)碼。解：（1）X=+101010 因X為正，則X原=X反=X補(bǔ)=00101010（2）Y=-101010因Y為負(fù)數(shù)，所以：Y原=10101010，Y反=11010101，Y補(bǔ)=11010110例2 ：已知X補(bǔ)=101101，求真值X 解：（1）由補(bǔ)碼求反碼：X反=X補(bǔ) -1=101101-1=101100（2）由反碼求原碼：X原=X反=110011 X補(bǔ)的符號位為1。顯然X原對應(yīng)的真值為負(fù)， 所以

15、 X=-10011 注意：負(fù)數(shù)在機(jī)器中一般用補(bǔ)碼表示注意：負(fù)數(shù)在機(jī)器中一般用補(bǔ)碼表示。 例3：請求出+0和-0的原碼、反碼和補(bǔ)碼（1）小數(shù)：+0.0000000原=0.0000000;-0.0000000原=1.0000000+0.0000000反=0.0000000;-0.0000000反=1.1111111+0.0000000補(bǔ)=0.0000000;-0.0000000補(bǔ)=0.0000000（2）整數(shù)：+0000000原=0,0000000;-0000000原=1,0000000+0000000反=0,0000000;-0000000反=1,1111111+0000000補(bǔ)=0,00000

16、00;-0000000補(bǔ)=0,0000000【結(jié)論】“0”的原碼表示：不唯一；“0”反碼表示不唯一；0補(bǔ)碼表示唯一。求下列各數(shù)的原、反、補(bǔ)碼（設(shè)字長為5位）由上例可以看出：數(shù)的原、反、補(bǔ)碼的大小順序與其真值大小順序不一致。這就帶來一個問題，即數(shù)的大小比較很麻煩。四、移碼表示（1）定義： 定點(diǎn)小數(shù)：X移=1+X (-1=X1) 定點(diǎn)整數(shù)：X移=2n-1+X （-2n-1=X0,符號為1；X=0.5）;而小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)必須為定點(diǎn)小數(shù)（即 =n+k+1 設(shè)n+k位為代碼自左至右依次編為第1,2,3,n+k位，而將k位檢測位記作Ci(i=2j-1,j=1,k),分別安插在n+k位代碼編號的第1,2,4

17、,8,2k-1位上。 ，海明碼的組成需增添海明碼的組成需增添 ？位檢測位位檢測位檢測位的位置檢測位的位置 ？檢測位的取值檢測位的取值 ？2k n + k + 12i ( i = 0、1、2 、3 )檢測位的取值與該位所在的檢測檢測位的取值與該位所在的檢測“小組小組” 中中承擔(dān)的奇偶校驗任務(wù)有關(guān)承擔(dān)的奇偶校驗任務(wù)有關(guān)組成海明碼的三要素組成海明碼的三要素例例4.4 求求 0101 按按 “偶校驗偶校驗” 配置的海明碼配置的海明碼解：解： n = 4根據(jù)根據(jù) 2k n + k + 1得得 k = 3海明碼排序如下海明碼排序如下:c1=3+5+7 c2=3+6+7 c4=5+6+7二進(jìn)制序號二進(jìn)制序號

18、名稱名稱1 2 3 4 5 6 7C1 C2 C40 0101 的海明碼為的海明碼為 010010101 0 110按配偶原則配置按配偶原則配置 0011 的海明碼的海明碼 二進(jìn)制序號二進(jìn)制序號 名稱名稱1 2 3 4 5 6 7C1 C2 C41 0 000 1 1解：解： n = 4 根據(jù)根據(jù) 2k n + k + 1取取 k = 3C1= 3 5 7 = 1C2= 3 6 7 = 0C4= 5 6 7 = 0 0011 的海明碼為的海明碼為 1000011練習(xí)練習(xí)13. 海明碼的糾錯過程海明碼的糾錯過程形成新的檢測位形成新的檢測位 Pi如增添如增添 3 位位 （k = 3） 新的檢測位為新的檢測位為 P4 P2 P1以以 k = 3 為例，為例，Pi 的取值為的取值為P1 = 1 3 5 7P2 = 2 3 6 7P4 = 4 5 6 7對于按對于按 “偶校驗偶校驗” 配置的海明碼配置的海明碼 不出錯時不出錯時 P1= 0，P2 = 0，P4 = 0C1C2C4其位數(shù)與增添的檢測位有關(guān)其位數(shù)與增添的檢測位有關(guān)P1= 1 3 5 7 = 0 無錯無錯P2= 2 3 6 7 = 1 有錯有錯P4= 4 5 6 7 = 1 有錯有錯P4P2P1 = 110第第 6 位出錯，可糾正為位出錯，可糾正為 0100101，故要