3 第三章.函數(shù)極限與連續(xù)性ppt課件

1、.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx播放播放一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀

2、察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限.sin時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察函函數(shù)數(shù) xxx一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過(guò)程的過(guò)程表示表示 xXx. 0sin)(,無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf

3、x 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近A”.定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1、定義：、定義：:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬

4、為寬為為中心線(xiàn)為中心線(xiàn)直線(xiàn)直線(xiàn)圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 , 0 ,1 X取取時(shí)時(shí)恒恒有有則則當(dāng)當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故?/, 1MXM能否取問(wèn)題：對(duì)個(gè)。不一定要找最小的那一的取法有無(wú)窮多種當(dāng)然可以，可見(jiàn)定義中,X例例22221lim23xxx證明證證|3|72312222xxx時(shí)有使得當(dāng)要找XxX|, 0, 0|3-|, 3,2xxxx此時(shí)有所以限制因?yàn)?|7|3|72xx7|,|7,|3-|72xxx即只需使要使,/7, 3maxX

5、取,時(shí)有則當(dāng)Xx ,成立成立 . 2312lim22xxx231222xx二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過(guò)過(guò)程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)1、定義：、定義：2、幾何解釋、幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)

6、寬為寬為為中心線(xiàn)為中心線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx留意：留意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf2.只與任意給定的正數(shù) 有關(guān)的取法不唯一。因此義中的小的正數(shù)都可以作為的任何比后找到一個(gè)顯然,定例例3. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx處存在極限。但它在處沒(méi)有定義雖然在此例說(shuō)明函數(shù)1,11

7、1)(2xxxxxf處可以沒(méi)有定義。在這個(gè)條件下因?yàn)樵凇边@個(gè)作為條件的原因“極限定義中要求要有這就是為什么在函數(shù)的00)(,0 xxxfxx適性。普義失去數(shù)學(xué)定義應(yīng)有的這也將使函數(shù)極限的定這顯然是不合理的，限則本題的函數(shù)就沒(méi)有極”改成“如果把條件“,000 xxxx例例4.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,0 x取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx 即可。只要00 xxx.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明因?yàn)橐驗(yàn)閤0211) 1(lim521xxxx證明例) 1(| 1|2| 1|211) 1(

8、|2xxxxxx因?yàn)樽C：時(shí)，當(dāng)取則有即內(nèi)討論，限制在時(shí)，不妨把當(dāng)| 1-x|0,min1,2,21| 1|211,| 1-|0201xxxxx211) 1(lim221| 1|2| 1|211) 1(|21x2xxxxxxxx從而證得成立。從而驗(yàn)證了極限的存在此時(shí)就有時(shí)或當(dāng)則或取或使之變形為適當(dāng)放大內(nèi)討論或限制在某一范圍，將對(duì)任給出的的過(guò)程。方法如下：解不等式的過(guò)程就是或而找的過(guò)程或找就是根據(jù)的過(guò)程定義驗(yàn)證或用“|)(|,)|(|0),/)(/,min|)| /|)(|(| )(|)(|,)(|,)|(|00|)(|)(,)()(lim)(00000)(0axfXxxxXxcxaxfxxxax

9、faxfcxcxxxaxfXXaxfXxx217lim1169xx例6 用極限定義證明222271771691116916971169xxxx證22|1|1|1|(9 16)|(3 4)|(3 4)|xxxxxx1,|1| 1 4,3 45 4|1| 9 4,|3 4| 6 4,xxxxx由于可以先設(shè)即則22|1|1|1|3|1|(9 16)|(3 4)|(3 4)|2 |(3 4)|xxxxxxxx1| 1/8,|3 4| |(1) 1/4| 1 4|1| 1 8,xxxx 進(jìn)而再假定|則3 |1|38|1| 12|1|2 |3 4|2xxxx從而有1,0 |1|8,12x0,取 =min則

10、當(dāng)時(shí)，271169xlimlnln(0).xaxa a 例7 用 - 定義證明0,|lnln|,xa證： 要使即lnxa (1)(1),a exaa e易見(jiàn)上式等價(jià)于 min (1), (1)(1),a eaeae故只要取|lnln|limlnln .xaxaxa就有，因此三、單側(cè)極限三、單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無(wú)限趨近從左側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記記作作,0 xx從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記記作作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0

11、, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 oxxxxxx00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1) 1(lim0 xxxxxxx00limlim11lim0 x.11lim1的存在性討論xx

12、x21013/211xxx左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim1不存在xfx例例7證證0) 11(lim11lim11xxxxx1)01(lim11lim11xxxxx四、函數(shù)極限的定義和對(duì)偶法則000,( ),( ),24xx xxxxxf xAf x 自變量的極限過(guò)程有六種，函數(shù)的極限過(guò)程有四種，交叉后共有種的極限形式。(見(jiàn)下表見(jiàn)下表)0001);:0,:(0),:0,:(),2)( )( ),( ):0,|( )|( ):0,|( )|xxxxxxxxXxxXf xAf xAf xAf xGf xG 極限定義中的描述包含了兩部分內(nèi)容：自變量的過(guò)程的描述 如函數(shù)過(guò)程的描述

13、 如，過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(0000,lim( ),0,|,|( )|lim( ),0, |,|()|xxf xaXxXf xaf xaXxXf xa 函數(shù)極限定義的否定的對(duì)偶法則 例如：有有0101100|)(|,|0, 0,)(lim|)(|,|0:, 0,)(lim00axfxxxaxfaxfxxxaxfxxxx有：有時(shí)010101000| )(|, 0, 0)(lim| )(|

14、,:, 0, 0)(lim00GxfxxxxGxfGxfxxxxGxfxxxx有：有時(shí)其它定義的對(duì)偶寫(xiě)法可舉一反三的類(lèi)似給出。其它定義的對(duì)偶寫(xiě)法可舉一反三的類(lèi)似給出。思考題思考題試試問(wèn)問(wèn)函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.0:

15、( ).f xxx練習(xí)1 試證 函數(shù)當(dāng)時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右 極限各自存在并且相等 (2), 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限; 作業(yè)作業(yè) 小結(jié) (1), 自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限; (3), 函數(shù)極限的幾何意義; (4), 單側(cè)極限的概念; (5), 應(yīng)用函數(shù)極限的定義驗(yàn)證函數(shù)極限的方法; P86: 1, 5,6,7. 如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界 證明有使得那么取設(shè));(, 0, 1,)(lim00 xOxAxfxxo. 1)(1)(AxfAxf.);()(0內(nèi)有界在即xOxfo 函數(shù)極限的性質(zhì)1.局部有界性局部有界性 如果當(dāng)xx0時(shí)f(x

16、)的極限存在, 那么這極限是唯一的證明，xxfBA時(shí)的極限當(dāng)都是設(shè)0,)(0, 0, 0101Axfxx時(shí)有當(dāng)那么,)(0, 0202Bxfxx時(shí)有當(dāng)故有同時(shí)成立時(shí)則當(dāng)取，xx)2(),1 (0),min(021.2)()()()(BxfAxfBxfAxfBA.即其極限唯一的任意性得由BA 2.唯一性唯一性 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么對(duì)任何正數(shù)rA (或 r 0 (或f(x) -r 0)證明).(lim)(lim),()();()(),(0000 xgxfxgxfxOxgxfxxxxxx那么內(nèi)有極限都存在且在時(shí)假設(shè)o,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx設(shè))

17、1 (),(0, 0, 0101xfAxx時(shí)有當(dāng)那么)2(.)(0, 0202Bxgxx時(shí)有當(dāng)于是有同時(shí)成立與不等式時(shí)則當(dāng)令，xgxfxx)2(),1 ()()(,0,min021,)()(BxgxfA.,2BABA的任意性知由從而4.保不等式性保不等式性 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x),0|x-x0|0是 的一個(gè)周期，若則至少存在一點(diǎn)使得令則由定理可知當(dāng)，但矛盾。)(lim,)(0110 xPaxaxaxaxPxxnnnn求設(shè)求極限舉例例 )()(lim,lim,0000 xPxPcxcxNkxxkkxx對(duì)解： 有理函數(shù)的極限?)()(lim0 xQxPxx 對(duì) 當(dāng)0)(0 xQ時(shí) )

18、()()()(lim000 xQxPxQxPxx 當(dāng)0)(0 xQ且0)(0 xP時(shí) )()(lim0 xQxPxx 當(dāng)Q(x0)P(x0)0時(shí) 約去分子分母的公因式(xx0) 解 例例 例例 4 求4532lim2 1xxxx 解解 由于解解 031241513245lim22 1xxxx031241513245lim22 1xxxx 根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得 4532lim2 1xxxx 例例 37412lim231xxxxx求1)34(lim) 1(lim) 1)(34() 1)(1(lim12121xxxxxxxxxxx原式)0(lim22aaxaxaxax求例 2222limaxa

19、xaxaxax解：原式axaxaxaxaxax1)()(lim22axaxaxaxax1)(lima21先用x3去除分子及分母 然后取極限 解解 先用x3去除分子及分母 然后取極限 例例 例例 5 求357243lim2323xxxxx 解解: 73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx 例 例例 6 求52123lim232xxxxx 020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512

20、123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx 討論提示例例 7 求12352lim223xxxxx 例例 解解 解解 因?yàn)?52123lim232xxxxx 所以 12352lim223xxxxx 所以 有理函數(shù)的極限? lim110110 mmmnnnxbxbxbaxaxa mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx 0 lim00110110 ., 011lim2babaxxxx求常數(shù)已知例 由極限運(yùn)算法則得解：

21、, 01limxx111lim111lim11lim1lim02222aaxbaxxxbaxxxxbaxxxxxxxx. 111lim12xxxbax代入原式，將0011)1 ()()1 (1122baaxbxbaxabaxxxaxxxfaxfxx)(lim,)(lim證明設(shè)已知例5 )()(1)(xxfxxfxxf解：)()(1)(1)(, 0 xfxxxfxxfxxxfx有當(dāng)?shù)米C。有函數(shù)極限的夾逼性，令,x22lim,222xxbaxxbax使練習(xí)：求8. 復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限BufxgfBufAxgAuxxAuxx)(lim)(lim:,)(lim,)(lim00是是否否成成立立

22、問(wèn)問(wèn)設(shè)設(shè) 請(qǐng)看下面的例請(qǐng)看下面的例子子0)(lim, 1)(lim,0001)(,1sin)(00 xgufuuufxxxgxu顯然有令故極限不存在。有和子列顯然存在兩個(gè)趨于零的但, 1)(lim, 0)(lim11, 2, 1,/10/1, 01)(nnnnnnygfxgfnynxnnxnxxxgf導(dǎo)致復(fù)合函數(shù)導(dǎo)致復(fù)合函數(shù)f(g(x)的極限不存在的原因有兩個(gè)：的極限不存在的原因有兩個(gè)：不不能能得得到到滿(mǎn)滿(mǎn)足足；，使使得得可可以以無(wú)無(wú)窮窮多多次次取取到到時(shí)時(shí)在在|0)(|00,01sin)(xgxxxxg存在呢？件才能保證自然要問(wèn)，需要什么條)(lim0 xgfxx)0)()0(1)(lim0

23、點(diǎn)不連續(xù)在 xxffufu000000lim( ),lim( ),1)(,)( );2) lim( )( )( ( )lim( ( )lim( )(lim( )xxuAuAxxuAxxg xAf uBxxg xAf uf ABf uuAf g xf uBfg xo定理 設(shè)如果滿(mǎn)足以下條件之一的一個(gè)去心鄰域，使得在其中在點(diǎn)處連續(xù)則成立或。證證 1) 1)由條件由條件limf(u)=B(ulimf(u)=B(uA),A),對(duì)對(duì)0,0,110,0,使使 得當(dāng)?shù)卯?dāng)0|u-A|0|u-A|1,1,成立成立|f(u)-B|f(u)-B|0,0,使得使得當(dāng)當(dāng)0|x-x0|0|x-x0|, ,成立成立|g(x

24、)-A|g(x)-A|1.1.根據(jù)題設(shè)條件知在根據(jù)題設(shè)條件知在x0 x0的的去心鄰域內(nèi)去心鄰域內(nèi), ,有有0|g(x)-A| 0|g(x)-A| 1,1,因此成立因此成立|f(g(x)-|f(g(x)-B|B|0,0,10,10,使得當(dāng)使得當(dāng)|u-A|u-A|1,1,成立成立|f(u)-f(A)|f(u)-f(A)|0,0,使使得當(dāng)?shù)卯?dāng)0|x-x0|0|x-x0|, ,成立成立|g(x)-A|g(x)-A|1.1.從而成立從而成立|f(g(x)-f(A)|f(g(x)-f(A)|0(無(wú)論多么大), )(lim)(0 xfxxx記作： 0(或X0), 當(dāng)0|xxo|X)時(shí)，有|f (x)|M,則

25、稱(chēng)f (x)是x x0(或x )時(shí)的無(wú)窮大量. 若以“ f (x)M ”代替定義中的 “ |f (x)|M ”, 就得到正無(wú)窮大量的定義. )(lim)(0 xfxxx)(lim)(0 xfxxx若以“ f (x)M ”,就得到負(fù)無(wú)窮大量的定義.分別記作： 0, 0(或X0), 當(dāng)0|xxo|X)時(shí)，有|f (x)|M,.)(lim)(0 xfxxx則記特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或留意留意（1無(wú)窮大是變量無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界

26、變量,但是無(wú)但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大界變量未必是無(wú)窮大.)(lim20認(rèn)認(rèn)為為極極限限存存在在）切切勿勿將將（ xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但但不不是是無(wú)無(wú)窮窮大大是是一一個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)界界變變量量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無(wú)窮大不是無(wú)窮大無(wú)界，無(wú)界，.11lim1 xx證證明明例例證證. 0 M,11Mx 要要使使,11Mx 只只要

27、要,1M 取取,110時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線(xiàn)的圖形的鉛直漸近線(xiàn)是函數(shù)是函數(shù)則直線(xiàn)則直線(xiàn)如果如果定義定義xfyxxxfxx 11 xy例例2: 試從函數(shù)圖形判斷下列極限試從函數(shù)圖形判斷下列極限.,tglim ,tglim ,tglim ) 1 (222xxxxxx ,lim ,lim )2(xxxxee ,lnlim ,lnlim )3(0 xxxx 解：解： (1)2232xy0 xyy = tgxxy從圖上可看出.tglim ,tglim ,tglim222 xxxxxx ,lim xxe從圖上看出(2) xoyxxy

28、y ?lim ?,lim(xxxxaa一般 ).1, 10討論分aaxey . 0limxxex+x ,lnlim )3( xx ).1, 10討論分aa ?loglim ?,loglim(0 xxaxax一般.lnlim 0 xx注1：若在定義中，將“ f (x)” 換成“ xn” ,注2：若lim f (x)=, 將“ X” 換成“ N” ,將“ x” 換成就得到數(shù)列xn為無(wú)窮大量定義.“ n”,則表示在該極限過(guò)程中f (x)的極限不存在. 0, X0, 當(dāng)|x|X 時(shí), 有|f (x)|M,.)(limxfx則記注3：不能脫離極限過(guò)程談無(wú)窮大量. 注4：無(wú)窮大量一定是無(wú)界量, 任何常量都

29、不是無(wú)窮大量.但無(wú)界量不一定是無(wú)窮大量.),()cos)(sin)(在或xxxfxxxf例例3 3：.sinlim,sinlim不存在內(nèi)是無(wú)界函數(shù)，但xxxxxx只須內(nèi)無(wú)界函數(shù)是要說(shuō)明 .),(sin xxy解：解：闡明0, x0(, +)，使得|x0sinx0|M即可.為自然數(shù)，現(xiàn)在取kkx,220，充分大時(shí)當(dāng)則)(22|sin|00kMkxx.sin 是無(wú)界函數(shù)故xxy ,2Xxkkxkk充分大時(shí)當(dāng)又取| )(|kxf但.0M不大于.sinlimxxx故,) 1(1 (nnnx例4：例4：.) 1(1 (lim nnn但.2 0 2 0 2 0642是無(wú)界數(shù)列，三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系三、

30、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小; ;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大. .證證.)(lim0 xfxx設(shè)設(shè),1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使得得當(dāng)當(dāng).)(1 xf即即.)(1,0為為無(wú)無(wú)窮窮小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且設(shè)設(shè)反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(1Mxf 從從而而.)(1,0為為無(wú)無(wú)窮窮大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfxx , 0)( xf由由于于意義意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論, ,都可

31、歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論小的討論. .四、無(wú)窮小的比較四、無(wú)窮小的比較 觀察兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限v觀察與比較03lim20 xxx 203limxxx 1sinlim0 xxx 兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限的各種不同情況 反映了不同的無(wú)窮小趨于零的“快慢程度 在x0的過(guò)程中 x2比3x趨于零的速度快些 反過(guò)來(lái)3x比x2趨于零的速度慢些 而sin x與x趨于零的速度相仿 v無(wú)窮小的階 設(shè)a 及b 為同一個(gè)自變量的變化過(guò)程中的無(wú)窮小 如果0lim 就說(shuō)是比高階的無(wú)窮小 記為o() 如果lim 就說(shuō)是比低階的無(wú)窮小 如果0limc 就說(shuō)與是同階無(wú)窮小 如果0limck k0 就說(shuō)是關(guān)于的 k

32、 階無(wú)窮小 如果1lim 就說(shuō)與是等價(jià)無(wú)窮小 記為 )(o記作“屬于”。例如示中間的等號(hào)的含義是表的函數(shù)都可以記為之比的極限為，凡是與等式右邊是一個(gè)函數(shù)類(lèi)而是一個(gè)函數(shù)等式左邊兩邊的含義是不同的，等式的比較中注意：在上面無(wú)窮小階),(0)(,)()()(,xoxxxox0)(lim| )()(0 xxxxox其中)0()(cos1xxox中的一個(gè)元素。是集合即屬于函數(shù)類(lèi)上式表示函數(shù))(cos1),(cos1xoxxox)(,)2()(,) 1 (:axhfhggfaxaxfggfax則時(shí)若當(dāng)傳遞性則時(shí)若當(dāng)對(duì)稱(chēng)性”具有如下性質(zhì)等價(jià)無(wú)窮小的符號(hào)“則有因?yàn)? 1lim, 1lim)2(hggfaxax

33、11limlim, 1lim) 1 (gffggfaxaxax所以因?yàn)樽C：. 1limlimlimlimhggfhggfhfaxaxaxax的性質(zhì)。同階無(wú)窮小也具有相同同理可證,是同階無(wú)窮小。與時(shí)則稱(chēng)當(dāng)時(shí)有使得且存在正數(shù)都是無(wú)窮小與時(shí)若一般的定義同階無(wú)窮小還有一個(gè)更)()(,)()()(,)()(,:000 xgxfxxAxgxfaxxAaxgxfxxo界的。的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是有在即表示是有界量。表示則若取00)()()(1 ()(, 1)(xxfxfxxxfxgo時(shí)的無(wú)窮小量。是即表示是無(wú)窮小量。表示若類(lèi)似地00)()(),)(1 ()(,xxxfxfxxoxf定理1與是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要

34、條件為o v關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的定理 必要性: 證明 01lim) 1lim(lim所以b a=o(a)由于設(shè)ab 只需證b a=o(a) 01lim) 1lim(lim01lim) 1lim(lim 充分性: 設(shè)b=a+o(a) 那么 1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo1)(1lim)(limlimoo 因此ab v關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小的定理 設(shè) 且lim存在 則limlim 定理2 (無(wú)窮小等價(jià)代換定理） limlimlimlimlimlim 證明 limlimlimlimlimlim 定理2的意義: 求兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限時(shí) 分子

35、及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替 因此 用簡(jiǎn)單的無(wú)窮小代替復(fù)雜的無(wú)窮小 則可使計(jì)算簡(jiǎn)化 axaxxxxxexxxxxxxxxxxxln1,1)1 ( ,21cos1,1)1ln(,arcsin,tan,sin02等價(jià)時(shí)，下列函數(shù)與容易證明，在仍然成立。，上述函數(shù)的等價(jià)式子都換成的將上述等價(jià)式中有若在某一極限過(guò)程中)(, 0)(,xxx)()()(cos1 (2ln11)(1 (1)(1ln()(arcsin)(tan)(sin)()(xxxaaxexxxxxxxxgeexfxxxgxxfxxxxgxxfxxx1)(,)(,)3(1)(,1)(, 1)2(sin)(,tan)(,0) 1 (11si

36、n2sin32階比較下列各無(wú)窮小量的例同階無(wú)窮小于是時(shí)當(dāng)則令的高階無(wú)窮小是，所以當(dāng)解3133lim)1 (1limlim, 0,1,)1 (,1)2(0limsintanlimlimsintan, 0) 1 (2303013320200ttttttgftxtxxtgfxxxxxxgfxxxxxtxxxxsin2sin000(3)1,1 ,0,11sin2sinlimlim()limlim1.ttxttttxxtxtfeettgttttfg 令則當(dāng)時(shí)于是與 是等階無(wú)窮小是同階無(wú)窮小。與時(shí)當(dāng)證明例)0( 1)1 ()(sin1tan1)(,02xxgxxxfx是同階無(wú)窮小。與性，即證再由同階無(wú)窮小

37、的傳遞同階都與時(shí)我們先證當(dāng)同階比較繁與解：由于直接證)()(,0,xgxfxgfxgf1coscos1sinsin1tan11limsin1tan1lim00 xxxxxxxxxxx是同階無(wú)窮小。與性即得是同階無(wú)窮小，由傳遞都與與由于)()(lim1)1 (lim,1)1 (00 xgxfxgfxxxxxxxxxexxexxxxxxxxxeexxxxxxxxxxx2)ln()ln(sinlim)4(sintanlim) 3(2sin)1ln()(tan)2cos1)(lim)2(cos11sin1lim) 1 (3222030tan00下列極限。利用等價(jià)無(wú)窮小代換求例1sinlim22sinl

38、imcos11sin1lim,2cos1 ,21)1 ( , 0) 1 (0200221xxxxxxxxxxxxxxxx于是解： 122lim2)(tan2)(tanlim2)(tan2) 1(lim2sin)1ln()(tan)2cos1)(lim)2(22022022tan0tan0 xxexxxxxxexxxxeexxxxxeexxxxxxxxxxx21cos2limcos)cos1 (sinlimsintanlim) 3(3203030 xxxxxxxxxxxxxx1sinlim)1ln()sin1ln(limln)ln(ln)ln(sinlim2)ln()ln(sinlim)4(22

39、202220222202220 xxxxxxxxxxxxxxexexexexeexeexxexxex33003300cossincos1limlim2tansintantanlimlim0 xxxxxxxxxxxxxxxxxx 如。加減因子一般不能代換乘積因子可以代換說(shuō)價(jià)無(wú)窮小代換。換句話(huà)只對(duì)其中的一部分用等而不能做整體代換或分母即一定要對(duì)整個(gè)分子代換為也不能隨便將即使函數(shù)極限時(shí)的或代換求形如注意：利用等價(jià)無(wú)窮小,)(,)(uuuuwvuvu。實(shí)際上此極限等于無(wú)法求出。不確定失效但此方法對(duì)這樣的21,)(limsintanlim.sintanlim303030 xxoxxxxxxxxxxx)(

40、)()()(1xovuxovxouvu如進(jìn)行代換，的定理但可以利用等價(jià)無(wú)窮小1212)(32lim2)(3()(2(lim2)1 () 11(lim)21ln(1lim003030 xxoxxxxoxxoxxexxexxxxxxx例如vuvuvuvuvvuuvvuu1,)lim(lim,:，則有且不等于存在或均是無(wú)窮小量，且中在相同的某一極限過(guò)程一般地有如下的命題題也成立。因而命等于則它們比值的極限就不同號(hào)或若同時(shí)還可以看出整體替換就可以用求函數(shù)極限時(shí)在命題成立的條件下由此命題可知, 1,),(,vuvuvuvu0tanlim1,sinxxx 如上題，tanx-sinx=tanx+(-sinx

41、) 故不能替換。0)(lim:vuvuvu事實(shí)上只需證明命題的證明)1ln(sin1tan1lim0 xxxx練習(xí)：0limlim)(limvuvvvuuuvuvuvu而011limlim, 011limlimvuvuvuvvuvuuvuuu的幾階無(wú)窮小？是時(shí)當(dāng)例xaaxax)0(,045555005500limlim()11limlim2nnxxnxxaxaxxxaxaxaaxa解：階無(wú)窮小。時(shí)的是當(dāng)因此函數(shù)必須使為使極限為非零常數(shù)，50, 55xaxan思考與練習(xí)思考與練習(xí)性和傳遞性。證明同階無(wú)窮小的對(duì)稱(chēng). 1)()()5()()()4()()()()3()()()()()2()()()(

42、) 1 (,. 20 xfoxfoxfoxfooxfxfoxfxgxfoxgoxfoxgoxgoxgoxxooo下列各式成立時(shí)證明當(dāng)0)()(lim)()(lim)()()(lim).1 (2000 xgxgoxgxgoxgxgoxgoxxxxxx因?yàn)榻?0)()(lim)()(lim)()()()(lim)()()(lim)3(0000ccxfxfoxfxfxfxfoxfxfxfxfoxfxxxxxxxxooo作業(yè)作業(yè) P108 1(2)(4)(6)(8)(10),2,3. v 1 連續(xù)性概念v 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)v 3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1 連續(xù)性概念 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一

43、個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義 稱(chēng) y=f(x0+ x)-f(x0)為函數(shù)y在x0處的增量 在鄰域U(x0)內(nèi) 若自變量x從初值x0變到終值x1則稱(chēng)x=x1-x0為自變量x的增量 xy1.函數(shù)的增量 函數(shù)連續(xù)與否的概念源于對(duì)函數(shù)圖像的直觀分析。直觀的看，如果函數(shù)的圖像是一條各點(diǎn)相互“連結(jié)而不出現(xiàn)“延續(xù)的曲線(xiàn)，這樣的函數(shù)我們稱(chēng)之為連續(xù)函數(shù) 為了深入研究函數(shù)連續(xù)的概念，我們首先引入增量的概念分析:0lim0yx設(shè)x=x0+Dx 則當(dāng)Dx0時(shí) xx0 因此 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義 假設(shè)那么就稱(chēng)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)x0處連續(xù) 0lim0yx 或0lim0yx 或)()(lim

44、00 xfxfxx yfx0 xfx00lim0yx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性 那么稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)，點(diǎn) 稱(chēng)為函數(shù) 的 連續(xù)點(diǎn)。)(xf0 x0 x)(xf2、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性 定義 假設(shè) （1函數(shù) 在 處及其近旁有定義；)(xfy 0 x（2） 存在； )(lim0 xfxx（3）)()(0lim0 xfxfxx交換。與函數(shù)號(hào)可以把極限號(hào)極限時(shí)，函數(shù)連續(xù)，則在求函數(shù)這個(gè)式子意味著：如果即有下式成立點(diǎn)處連續(xù)在如果fxfxfxfxxxfxxxxlim)lim()()(lim,)(0000

45、如何用e-d 語(yǔ)言敘述函數(shù)的連續(xù)性定義？ e 0 d 0 x滿(mǎn)足|x-x0|d時(shí) 有|f(x)-f(x0)|0 d 0 x滿(mǎn)足|x-x0|0當(dāng)時(shí)，注: (1)把定理中的xx0換成x 可得類(lèi)似的定理(2)定理的結(jié)論也可寫(xiě)成)(lim)(lim00 xgfxgfxxxx 提示:93lim23xxx61 函數(shù)uy在點(diǎn)61u連續(xù) 例例4 例 3 求93lim23xxx 解 93lim23xxx93lim23xxx61 解解 93lim23xxx93lim23xxx6193lim23xxx93lim23xxx61 932xxy是由uy與932xxu復(fù)合而成的 sin u 當(dāng)-u+時(shí)是連續(xù)的 例例5 例例

46、 4 討論函數(shù)xy1sin的連續(xù)性 解解 函數(shù)xy1sin是由 ysin u 及xu1復(fù)合而成的 x1當(dāng)x0 和 0 x0,M0,對(duì)xo(,)a,b,有 |f(x)|M 但對(duì)充分大的n應(yīng)有an bn o(,)a,b,于是就得到f(x)在這樣的an,bn上有界,構(gòu)成矛盾. 因此函數(shù) f (x)在a b上有界 例例1 設(shè)設(shè)f(x)在在a,+)上連續(xù)上連續(xù),且且limf(x)(x+)存在存在,證明證明f(x)在在a,+)上有界上有界 證明證明 由題設(shè)由題設(shè),令令lim f(x)=A(x+),則對(duì)則對(duì)=1,X0,當(dāng)當(dāng)xX時(shí)時(shí),有有|f(x)-A|1,從而當(dāng)從而當(dāng)xa,+)時(shí)，有時(shí)，有 |f(x)|=|

47、f (x)-A+A|f (x)-A|+|A| 0,M0,當(dāng)當(dāng)xX時(shí)時(shí),有有|f(x)-A|A|時(shí)，時(shí)，f(x)在在a,+)上能取到最大值上能取到最大值M, 若若m-|A|,f(x)在在a,+)上能取到最小值上能取到最小值m,但不一定同時(shí)都能取到但不一定同時(shí)都能取到f(x)的最大值和最小值。的最大值和最小值。 請(qǐng)同學(xué)思考，給出反例。 例例2 設(shè)設(shè)f(x)是是a,b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),且對(duì)每一個(gè)且對(duì)每一個(gè)xa,b, 存在存在ya,b,使得使得|f(y)|f(x)|/2。證明。證明f(x)在在a,b中有零點(diǎn)中有零點(diǎn) 證明證明 f(x)是是a,b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), |f(x)|在閉區(qū)間在

48、閉區(qū)間a,b上也是連續(xù)的上也是連續(xù)的 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)|f(x)|應(yīng)用最值定理，則必存在應(yīng)用最值定理，則必存在a,b，使得，使得 |f()|是函數(shù)是函數(shù)|f(x)|在在a,b上的最小值，且上的最小值，且|f()|0. 另 一 方 面另 一 方 面 , 由 題 設(shè) 條 件 知 ， 存 在由 題 設(shè) 條 件 知 ， 存 在 y a , b , 使使|f(y)|f()|/2, 假設(shè)假設(shè)|f()|0, |f()|就不是最小值，則就與就不是最小值，則就與最值定理矛盾。所以最值定理矛盾。所以|f()|=0，從而，從而f()=0，即，即f(x)在在a,b上上有零點(diǎn)。有零點(diǎn)。 注: 如果x0使f(x0)=0 則x

49、0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的零點(diǎn) 定理3(零點(diǎn)定理，也稱(chēng)根的存在定理) 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號(hào) 那么在開(kāi)區(qū)間(a b)內(nèi)至少一點(diǎn)x 使f(x)=0 證明 用區(qū)間套定理證。 不失一般性, 設(shè)f(a)0 但對(duì)xa,b,都有f(x)0。將a,b等分,用a1,b1表示滿(mǎn)足f(a1)0的那一半?yún)^(qū)間。再將a1,b1等分,用a2,b2表示滿(mǎn)足f(a2)0的那一半?yún)^(qū)間，如此繼續(xù)下去，便得到一個(gè)閉區(qū)間套 a1,b1a2,b2 an,bn滿(mǎn)足f(an)0，且bn-an=(b-a)/2n0 (n)由閉區(qū)間套定理，存在(a,b),使得 liman=limbn= (n)再由f(x)的連續(xù)性

50、,得 f ()=limf(an)0 , f ()=limf(bn)0 (n) 這就表明f()=0。 另證 用確界原理證。 不失一般性, 設(shè)f(a)0 令 V=x |f (x)0, xa,b, 顯然集合V有界、非空,所以必有 上 界 . 設(shè) = s u p V , 由 f ( x ) 的 連 續(xù) 性 及f(a)0,xa,a+1,有f(x)0,20,對(duì)xb-2,b,有f(x)0,于是知a+1,b-2 (a,b). 由上確界定義,存在數(shù)列xnV,滿(mǎn)足 -1/nxn，f(xn)0于是xn, 再由f(x)的連續(xù)性,得 f ()=limf(xn)0 (n) 另一方面,由于是V的上確界，且0 f(1)=-2

51、0 根據(jù)零點(diǎn)定理根據(jù)零點(diǎn)定理 在在(0 1)內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得使得 f(x)=0 即即 x 3-4x 2+1=0 這說(shuō)明方程這說(shuō)明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間在區(qū)間(0 1)內(nèi)至少有一個(gè)根是內(nèi)至少有一個(gè)根是x 例例4 設(shè)設(shè)f(x)是是0,1上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),且且f(0)=f(1), 證明對(duì)任意證明對(duì)任意的自然數(shù)的自然數(shù)n, 必存在一點(diǎn)必存在一點(diǎn)0,1, 使使 f()=f(+1/n) 證明證明 這類(lèi)問(wèn)題通常的思路是構(gòu)造輔助函數(shù)。這類(lèi)問(wèn)題通常的思路是構(gòu)造輔助函數(shù)。令令 F(x)= f (x)-f (x+1/n), 顯然顯然F(x)是是0,1-1/n上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),

52、 分別令分別令 x=0, 1/n, 2/n, , (n-1)/n，那么，那么 F(0)+F(1/n)+F(2/n)+ F(n-1)/n) = f(0)-f(1) =0 因此因此F(0),F(1/n),F(n-1/n)這這n個(gè)函數(shù)值中必存在個(gè)函數(shù)值中必存在0kmn-1使得使得F(k/n)F(m/n)0,x0,1-1/n,于是于是對(duì)對(duì)k=0,1,n-1,有有 F(k/n)0 f (k/n)f(k+1)/n) 因此推出因此推出f(0)f(1/n)f(1)，可見(jiàn)與題設(shè)矛盾。，可見(jiàn)與題設(shè)矛盾。定理4(介值定理) 設(shè)函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)f(b) 那么 對(duì)于f(a)與f(b)之間的

53、任意一個(gè)數(shù)C 在開(kāi)區(qū)間(a b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x 使得f(x)=C 證明 用輔助函數(shù)方法證。 不失一般性, 設(shè)f(a)C f(b) 考察輔助函數(shù) F(x)=f (x)-C xa,b, 顯然函數(shù)F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且 F(a)=f(a)-C0,由零點(diǎn)存在定理，必有(a,b), 使得 F()=0 , 即 f ()=C推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 換句話(huà)說(shuō)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的值域也是一個(gè)閉區(qū)間。 例例5 設(shè)設(shè)f(x)在在(-,+)上有定義，具有如下的介質(zhì)性質(zhì)：上有定義，具有如下的介質(zhì)性質(zhì)：介于介于f(a)與與f(b)之間的數(shù)之間的數(shù)C,則均存在則均存在

54、(a,b),使得使得f()=C,且且f(x)的每個(gè)值僅取到一次。證明的每個(gè)值僅取到一次。證明 f(x)在在(-,+)上連續(xù)上連續(xù) 證明證明 用反證法用反證法 假設(shè)假設(shè)f(x)在在x0處不連續(xù)，則必在某一處不連續(xù)，則必在某一側(cè)側(cè)不連續(xù)，不妨假定不連續(xù)，不妨假定f (x)在在x0的右側(cè)不連續(xù)，則對(duì)的右側(cè)不連續(xù)，則對(duì)00,對(duì)對(duì)0 x，當(dāng)，當(dāng)0 x -x0f(x0)+0 或或 f(xn)f(x0)+0f(x0)由介質(zhì)定理由介質(zhì)定理,則必存在則必存在n(x0, xn)，使得，使得 f(n)=f(x0)+0。即有無(wú)窮多個(gè)即有無(wú)窮多個(gè)n取值取值f(x0)+0，這與題設(shè)矛盾。，這與題設(shè)矛盾。 例例6 設(shè)設(shè)f(

55、x)在在(a,b)上連續(xù)，若存在上連續(xù)，若存在xn,yn(a,b)滿(mǎn)足滿(mǎn)足 Limxn=linyn=a (n)使得使得limf(xn)=A,且且limf(yn)=B(n),則對(duì)則對(duì)A與與B之間的任意之間的任意數(shù)數(shù)C,證明必存在數(shù)列證明必存在數(shù)列zn(a,b),使使limzn=a,(n),且且 limf(zn)=C (n) 證明證明 不失一般性不失一般性 令令A(yù)C N 時(shí) ， 有時(shí) ， 有f(xn )(C+B)/2。 即當(dāng)即當(dāng)n充分大時(shí)有充分大時(shí)有 f(xn)C0,0,只要x1,x2X, 滿(mǎn)足|x1-x2| 就成立|f(x1)-f(x2)|0,0,都x1,x2X,滿(mǎn)足|x1-x2|0, 使得 |

56、 f (xn)- f (yn) | 0 nN+ 若取=1/n，n=1,2,于是xn,ynX, 滿(mǎn)足|xn-yn|0,取=，則對(duì)任意兩點(diǎn)x1,x2R, 只需 |x1-x2|, 就一定成立|sinx1-sinx2 |x1-x2|0,只要取=2，就可以使x1,x2,1) 且 |x1-x2|時(shí), 成立|1/x1-1/x2|。這表明f(x)=1/x在,1)上一 致連續(xù)。 但可以證明 f(x)=1/x 在,1)上一致連續(xù)。 事實(shí)上,對(duì)x1,x2,1)，有22121212121|11| )()(|xxxxxxxxxfxf函數(shù)在區(qū)間I的一致連續(xù)性是函數(shù)在I上整體變化情況的一種衡量.直觀上如果函數(shù)變化較為劇烈,

57、即函數(shù)圖像很陡，那么函數(shù)可能就不一致連續(xù)；如果連續(xù)函數(shù)變化較平緩，其函數(shù)圖像較為平坦，那么它可能是一致連續(xù)的。f xx例3 證明 ( )=在0,+ )上當(dāng)01時(shí)一致連續(xù)， 當(dāng)1時(shí)不一致連續(xù)性。0,1,1)+1x- xxxx 證 當(dāng)01時(shí),有()（1-11x- x()f xx易見(jiàn)( )=在0,+ )上當(dāng)00, ( + ) -x xx x1212對(duì),0,+ ), ,有22121112111(1(xxxxxxxxxx()1limlim(1)1limlimxxxxxxxxxxx ( + ) -1210,0,xxx于是取 充分大且有12| 1xx 。( )0,)f xx故在上不一致連續(xù)。( )( , , )( )( , )f xa bb cf xa c例4 若函數(shù)在區(qū)間和上都一致連續(xù)，證明在上一致連續(xù)。, 2/| )()(|,|), 2/| )()(|,|,(, 0,2211 xfxfxxcbxxxfxfxxbaxx成立時(shí)且當(dāng)使得又存在成立時(shí)且使得當(dāng)對(duì)由題設(shè)條件證明因此有時(shí)且，當(dāng)取,| ,|,|,min2121 bxbxxxxbx上也是一致連續(xù)的。在合并的區(qū)間就證明了此時(shí)，結(jié)論是顯然的。因或同屬當(dāng)),()(),(,caxfcbcaxx 22| )()(| )()(| )()(|b