第六講幾何計(jì)數(shù)

1、第六講學(xué)習(xí)目標(biāo)：利用排列組合解決幾何計(jì)數(shù)問題。重點(diǎn)學(xué)習(xí)類型：數(shù)格子、數(shù)組合圖形 思想方法：歸納遞推。經(jīng)典例題例1.（第7界迎春杯決賽）圖中共有 個(gè)正方形。分析：要確定一個(gè)長(zhǎng)方形或者正方形只需要確定長(zhǎng)和寬，正方形要確定一邊和鄰邊即可。 所以我們要確定正方形的個(gè)數(shù)分兩步：第一步確定一邊長(zhǎng)，第二步確定鄰邊。我們歸納一下：對(duì)于1X 1的正方形如下圖：共有11個(gè)正方形；對(duì)于2X 2的正方形如下圖:1的線段有2條，豎直的邊上長(zhǎng)度為1的線段共有2條，所以邊長(zhǎng)為2的正方形共有2 X 2=4個(gè)小正方形；橫著的邊上長(zhǎng)度為2的線段有1條，豎直的邊上長(zhǎng)度為 2的線段有1條，邊長(zhǎng)為1正方形所以共有1 X 1=1個(gè)正方形

2、。所以所有的正方形有:2 2125個(gè)正方形;對(duì)于4X 4的正方形如下圖:24=130個(gè)正方形。本題中共有正方形的個(gè)數(shù):/ 2 2 22(12 3 4)5鞏固題：一個(gè)由正方形小方格組成的(1222)100X 1004 130.2答案：根據(jù)上面的分析，共有： 1 n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和公式(2 23100根據(jù)2 22 3見附錄一):的正方形中，共有2100 個(gè)正方形。個(gè)正方形。21=6100101 201=338350.例2.如圖，求：(1)圖中正方形的個(gè)數(shù);(2)(3)(4)(5)(6)由20個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)4X5長(zhǎng)方形中有一格有“圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)；圖中含：匸的正方形個(gè)數(shù)； 圖中含、

3、'的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)；圖中所有長(zhǎng)方形的面積之和；圖中所有含 壬了的長(zhǎng)方形面積之和。長(zhǎng)度為3的線段有31的線段有4條，長(zhǎng)(1 )橫著邊上長(zhǎng)度為1的線段有5條，長(zhǎng)度為2的線段有4條,分析：條，長(zhǎng)度為4的線段有2條，長(zhǎng)度為5的線段有1條；豎直邊上長(zhǎng)度為度為2的線段有3條，長(zhǎng)度為3的線段有2條，長(zhǎng)度為4的線段有1條。所以正方形的個(gè)數(shù) 共有：5X 4+4X 3+3X 2+2 X 仁40.2 2(2) 橫著邊上線段有 C6=15條線段，豎直邊上共有線段 C5=10條線段，所以共有 15 X 10=150條線段。(3) 正方形要含五角星，所以要求這樣的正方形：橫著的邊要包含藍(lán)色的線段，豎直的邊要包含紅色

4、的線段。橫著邊上 包含藍(lán)色線段的線段：長(zhǎng)度為 1的線段有1條(線段BC);長(zhǎng) 度為2的線段有2條(線段AC和線段BD ；長(zhǎng)度為3的線段有2條(線段AD和線段BE)； 長(zhǎng)度為4的線段有2條(線段AE和線段BF);豎直的邊上包含紅色線段的線段有：長(zhǎng)度為1的有1條；長(zhǎng)度為2的有2條；長(zhǎng)度為3的有2條；長(zhǎng)度為4的線段有1條。所以包含五角 星共有：1X 1+2X 2+2X 2+2 X 1=11個(gè)正方形。(4) 同(3)橫著的邊上包含藍(lán)色線段的線段共有8條線段，豎直的邊上包含紅色線段的線 段共有6條線段，所以共有 8 X 6=48條線段。(5)如右圖，容易算出：所有長(zhǎng)方形(共9個(gè))的面積共有(c+d+(c

5、+d) )x (a+b+(a+b)，從此可以看出，所有長(zhǎng)方形的面積等于橫著邊上所有線段的長(zhǎng)度的和與豎直邊上所有線段的長(zhǎng)的和的乘積。所以，本題中所有長(zhǎng)方形的面積之和等于，橫著邊上15條線段的長(zhǎng)度之和與豎直邊上 10條線段的長(zhǎng)度之和的乘積，即： (1 X 5+2X 4+3X 3+4X 2+5X 1) X( 1 X 4+2 X 3+3X 2+4X 1) =700;(6)圖中包含五角星的長(zhǎng)方形面積之和等于，橫著邊上包含藍(lán)色線段的線段(8條)長(zhǎng)度之和，與豎直邊上包含紅色線段的線段(6條)長(zhǎng)度之和的乘積，即: (1+2X 2+3X 2+4X 2+5)X( 1+2X 2+3X 2+4) =360.例3.下圖

6、中有多少個(gè)長(zhǎng)方形？多少個(gè)正方形?分析：按照方向數(shù)。正方形的個(gè)數(shù)：(1) 正方的：1X 1的有8個(gè)；2 X 2的有2個(gè);(2)斜放的：九宮格，有f14 個(gè);長(zhǎng)方形：(1)正放的:* *車% #% * *XX幾F%Z恢%,y片# %加z-V / %*Xf當(dāng)JF%* *務(wù)*% #叫* / * %承%Z*2 2有C5 C210個(gè)長(zhǎng)方形;2 2有C3 C418個(gè)長(zhǎng)方形;2 2有C3 C23個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)是重疊部分，所以要去掉。2 2(2) 斜放的：九宮格中的長(zhǎng)方形有：C4 C4 36個(gè)長(zhǎng)方形。因此長(zhǎng)方形有25+36=61個(gè)長(zhǎng)方形。例4下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方體？（包含正方體） 分析：要確定一個(gè)長(zhǎng)方體只需要確定

7、長(zhǎng)、寬、高即可。在紅色線段所在的邊上共有線段：c5 10條線段;2藍(lán)色線段所在的邊上共有線段：C； io條線段；綠色線段所在邊上共有線段：c5 io條線段。2 2 2所以共有： c5 c5 c5 looo個(gè)長(zhǎng)方體。例5如下圖，8枚圓形棋子放在 4X 4的棋盤中，用不同的方法連接各棋子的圓心，可以得到三種位置且大小不同的正方形。如果棋盤上每個(gè)格都放一枚圓形棋子（如圖），用不同的方法連接各枚棋子的圓心，那么出現(xiàn)與左下圖那樣的位置不同 （不論大小是不是相等）的正/AOOOO可6OOOOOqIOOO方形一共有個(gè)。分析:因?yàn)橹贿B接各個(gè)圓的圓心，我們可以把各枚棋子的圓心標(biāo)出，這些圓心正好構(gòu)成一個(gè)4行4列的

8、釘子板，如圖：以點(diǎn) a為頂點(diǎn)的正方形如下圖所示：共有三個(gè)，由對(duì)稱性知道，以a、a、a4為頂點(diǎn)的正方形也各有三個(gè)（可以試一試,以b1為頂點(diǎn)的正方形如下圖所示：有5個(gè)，由對(duì)稱性知道，以 g2、g3、g4、b5、b6、B7、B8分別為頂點(diǎn)的正方形也各有5個(gè)，所以共有8X 5=40個(gè)；以C1為頂點(diǎn)的正方形如下圖所示：共有7個(gè)，由對(duì)稱性以 c2，c3，c4為頂點(diǎn)的正方形也各有7個(gè)，所以共有4X 7=28個(gè)。所以以這4X 4=16個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的大、小正方形共有12+40+28=80個(gè)，而每個(gè)正方形有 4個(gè)頂點(diǎn)，所以按照點(diǎn)為頂點(diǎn)計(jì)算，每個(gè)正方形沒重復(fù)計(jì)算4次，所以這些棋子的頂點(diǎn)可以組成80- 4=20個(gè)正方形

9、。例6.如圖，用9枚釘子釘成水平和豎直間隔都為 1厘米的正方陣。用一根橡皮筋將 3枚不 共線的釘子連接起來就形成一個(gè)三角形。 在這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三 角形共有多少個(gè)？分析：充分利用圖形的對(duì)稱性，這樣的三角形可以是底為1，高為2;也可以是底為 2,高為1.D?F(1) 以線段AC為底高分別為 AH、BI、CD的三角形共有3個(gè)；由對(duì)稱性以線段 CE、GE、AG給底的三角形也分別有 3個(gè)，所以共有3 X 4=12個(gè)面積為1的三角形；(2) 如下圖，以線段 BF為底的面積為1的三角形共有6個(gè)，由對(duì)稱性以線段 HD為底的三角形也有6個(gè)，所以共有2 X 6=12個(gè)面積為1的三角形;(

10、3) 如下圖，以線段 CG為底的面積為1的鈍角三角形可以看作是以 BC為底、以AG為 高的三角形，因?yàn)槊娣e相等；這樣的鈍角三角形有 4個(gè)；由對(duì)稱性，以線段 AE為底的面積 為1的鈍角三角形也有 4個(gè)，所以共有4X 2=8個(gè)三角形；由(1)、(2)、( 3)知，共有12+12+8=32個(gè)面積為1的三角形。例7在德國(guó)不來梅舉行的第 48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第 1堆只有1層，就一個(gè)球；第2、3、4、堆最底層(第一層) 分別按下圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以 f(n)表示第n堆的乒

11、乓球總數(shù)，則(1) f(5)=；(2) 若 f(n)=286,則 n=.分析：為了找規(guī)律，我們歸納一下：從第一堆開始，計(jì)算前幾堆的總數(shù):f(1)=1；f(2)=1+3=1+ (1+2) =4 ;f(3)=1+3+6=1+(1+2)+(1+2+3)=10;f(4)=1+3+6+10=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)=20;f(5)=1+3+6+10+15=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+(1+2+3+4+5)=35;f(n)=1+(1+2)+(1+2+3)+ + (1+2+3+ n)=1X 2-2+2 X 3-2+3X 4-2+nX (n+1) -21= X

12、 (1 X 2+2 X 3+3X 4+nX (n+1)21 1= X n X (n +1) X (n+2)=28623通過簡(jiǎn)單地估值，n=11.學(xué)案1.在圖中(單位：厘米) 一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形？ 所有這些長(zhǎng)方形面積的和是多少？2 2答案：(1)一共有 C5 C5 100個(gè)長(zhǎng)方形；(2)所求的和是：5+12+8+1+ (5+12) + (12+8) + (8+1) + (5+12+8) + (12+8+1) + (5+12+8+1 ) X 2+4+7+3+(2+4)+(4+7)+(7+3)+(2+4+7)+(4+7+3)+(2+4+7+3)=144 X 86=12384(平方厘米).學(xué)案2. 一塊

13、木板上有13枚釘子，用橡皮筋套住 其中的幾枚釘子，可以構(gòu)成三角形，正方形，梯形等， 如圖,那么一共可以構(gòu)成多少個(gè)不同的正方形？答案：共有11個(gè)。按照方向分類：(1 )正放的：1X 1的5個(gè)；2X 2的1個(gè)；紅色(2)斜放的：2的單位的有4個(gè)(藍(lán)色)；綠色一個(gè)。所以共有 5+1+4+1=11個(gè)。學(xué)案3.大正方形是由625個(gè)同樣大小的小正方形拼接而成的。條直線最多可以穿過幾個(gè)小正方形？答案：我們可以通過歸納：2X 2的正方形：一條直線最多穿過3個(gè)正方形:參考附錄'12 人1-2Vh1"31X1的正方形：一條直線最多穿過1個(gè)正方形；3X 3的正方形：一條直線最多穿過 5個(gè)正方形:4

14、X 4的正方形，一條直線最多可以穿過 7個(gè)正方形:以此類推，n x n的正方形，一條直線最多可以穿過2n-1個(gè)正方形；所以由625=25X 25的正方形，一條直線最多可以穿過2X 25-仁49個(gè)正方形。學(xué)案4.如圖所示，在直線 AB上有7個(gè)點(diǎn)，直線CD上有9個(gè)點(diǎn)，以AB上的點(diǎn)為一個(gè)端點(diǎn), CD上的點(diǎn)為另一個(gè)端點(diǎn)的所有線段中，任意3條線段都不相交于同一個(gè)點(diǎn)，求所有這些線段在AB與CD之間的交點(diǎn)數(shù)。PQ答案：如上圖，每這樣的 4個(gè)點(diǎn)就確定（對(duì)應(yīng)于）一個(gè)四邊形，每個(gè)四邊形對(duì)角線確定 一個(gè)交點(diǎn)；四邊形的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)是必須是在直線 AB上任意取的兩個(gè)點(diǎn)和直線 CD上任意

15、取的2個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的；四邊形的個(gè)數(shù)可以這樣確定： 分兩步：2第一步在直線 AB上任意取兩個(gè)點(diǎn)，共有C7 21種取法；第二步在直線CD上任意取2兩個(gè)點(diǎn)，共有 C936種取法，所以共有 21 X 36=756個(gè)四邊形，也就有 756個(gè)交點(diǎn)。家庭作業(yè)：1.圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個(gè)數(shù)與黑色小三角形的個(gè)數(shù)之比。分析：白色小三角形個(gè)數(shù)：1+2+3+6=21 ;黑色小三角形個(gè)數(shù)：1+2+3+7=28 ;213所以它們的比=亠2842.在一個(gè)圓周上標(biāo)上10個(gè)點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)中的某些點(diǎn)為頂點(diǎn)，能夠連出多少個(gè)不同的多邊 形？3答案：圓周上任意三個(gè)點(diǎn)不共線，所以任意三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)三角形，共有c10個(gè)三角形；圓周上任意四個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)四邊形，共有C：o個(gè)四邊形；圓周上任意 10個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)1010邊形，共有 c10個(gè)10邊形。所以，不同的多邊形共有：3C104C105C1010C10102110 45968個(gè)。這個(gè)計(jì)算是根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)0Cn1Cn2CnnCnn2得到。3.圖中共有多少個(gè)正方形?答案：4X 11的方格共有正方形個(gè)數(shù)：4X 11+3 X 10+2X 9+1 X 8=100個(gè)；6X 5的方格中有正方形個(gè)數(shù)：6 X 5+5 X 4+4 X 3+3X