一元二次方程總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)梳理

1、一元二次方程總復(fù)習(xí)考點(diǎn)1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且系數(shù)不為 0，這樣的方程叫一元二次方 程一般形式：ax2bx+c=0(a0）。注意：判斷某方程是否為一元二次方程時(shí)，應(yīng)首先將方程化為一般形式?？键c(diǎn)2：一元二次方程的解法1.直接開平方法：對(duì)形如(x+a）2=b（b0）的方程兩邊直接開平方而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程的方法。 X+a= =-a+ =-a-2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2bx+c=0(k0）的一般步驟是：化為一般形式；移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一

2、半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；如果b0就可以用兩邊開平方來(lái)求出方程的解；如果b0，則原方程無(wú)解3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通過(guò)配方推導(dǎo)出來(lái)的一元二次方程的求根公式是(b24ac0)。步驟：把方程轉(zhuǎn)化為一般形式；確定a，b，c的值；求出b24ac的值，當(dāng)b24ac0時(shí)代入求根公式。4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理論根據(jù)：若ab=0，則a=0或b=0。步驟是：將方程右邊化為0；將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；令每個(gè)因式等于0，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解 因式分解

3、的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5一元二次方程的注意事項(xiàng)： 在一元二次方程的一般形式中要注意，強(qiáng)調(diào)a0因當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程 應(yīng)用求根公式解一元二次方程時(shí)應(yīng)注意：先化方程為一般形式再確定a，b，c的值；若b24ac0，則方程無(wú)解 利用因式分解法解方程時(shí)，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代數(shù)式如2(x4) =3（x4）中，不能隨便約去x4。 注意：解一元二次方程時(shí)一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是：開平方法因式分解法公式法6一元二次方程解的情況b24ac0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；b24ac=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；b2

4、4ac0方程沒有實(shí)數(shù)根。解題小訣竅：當(dāng)題目中含有“兩不等實(shí)數(shù)根”“兩相等實(shí)數(shù)根”“沒有實(shí)數(shù)根”時(shí)，往往首先考慮用b24ac解題。主要用于求方程中未知系數(shù)的值或取值范圍?？键c(diǎn)3：根與系數(shù)的關(guān)系:韋達(dá)定理 對(duì)于方程ax2bx+c=0(a0）來(lái)說(shuō)，x1 +x2 =，x1x2= 。利用韋達(dá)定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如。解題小訣竅：當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個(gè)根讓你求另外一個(gè)根或未知系數(shù)時(shí)，可以用韋達(dá)定理。二、經(jīng)典考題剖析： 【考題11】下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ） Aax2bx+c=0 B. k2 x5k+6=0 C.3x22x+=0 D.( k23) x22x+1=0【考題

5、12】解方程：x22x3=0【考題13】（2009、青島，6分）已知方程5x2+kx10=0一個(gè)根是5，求它的另一個(gè)根及k的值三、針對(duì)性訓(xùn)練： 1、下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（ ） 2、若 A B、2 C、±2 D、±3、用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（ ）A.x2-2x-99=0化為(x-1)2=100B.x2+8x+9=0化為(x+4)2=25C.2t2-7t-4=0化為 D.3y2-4y-2=0化為4、關(guān)于x的一元二次方程 的一個(gè)根為x=0，則m的值為（ ） Am=3或m=1 Bm=3或m= 1 Cm=1 Dm=3 5、(2009濟(jì)南)若x1 ，x2 是

6、方程x2 5x+6=0的兩個(gè)根，則x1 +x2的值是（ ） A .1 B.5 C. 5 D.66、(2009眉山) 若x1 ，x2 是方程x2 3x1=0的兩個(gè)根，則的值為（ ） A.3 B.3 C. D7、(2009濰坊) 若x1 ，x2 是方程x2 6x+k1=0的兩個(gè)根，且，則k的值為（） A.8 B. 7 C.6 D.58、(2009成都) 若關(guān)于x的方程kx 2x1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（） A.k1 B. k1且k0C. k1 D. k1且k09、已知一元二次方程x +2x8=0的一根是2，則另一個(gè)根是_.10、(2009泰安) 若關(guān)于x的方程x +（2k+1）

7、x+2k=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_11、解方程：(1); (2)3; (3) 3(4x2 9)(2x3)=0; (4) x2 6x+8=012、(2009鄂州)關(guān)于x的方程kx+(k+2)x+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， (1)求k的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)k使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在求出k的值；不存在說(shuō)明理由?？键c(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用一、考點(diǎn)講解：1構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型，常見的模型如下： 與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等； 有關(guān)增長(zhǎng)率的應(yīng)用：此類問(wèn)題是在某個(gè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長(zhǎng)（降低）兩次得到新數(shù)據(jù)，常見的等量關(guān)系是a(1±x）2=b

8、，其中a表示增長(zhǎng)（降低）前的數(shù)據(jù)，x表示增長(zhǎng)率（降低率），b表示后來(lái)的數(shù)據(jù)。注意：所得解中，增長(zhǎng)率不為負(fù)，降低率不超過(guò)1。 經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題：總利潤(rùn)=（單件銷售額單件成本）×銷售數(shù)量；或者，總利潤(rùn)=總銷售額總成本。 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：此類問(wèn)題是一般幾何問(wèn)題的延伸，根據(jù)條件設(shè)出未知數(shù)后，要想辦法把圖中變化的線段用未知數(shù)表示出來(lái)，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程。2注重解法的選擇與驗(yàn)根：在具體問(wèn)題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法，以保證解題過(guò)程簡(jiǎn)潔流暢，特別要對(duì)方程的解注意檢驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性C二、經(jīng)典考題剖析： 【考題1】（2009、深圳南山區(qū)）課外植物小組準(zhǔn)備利用學(xué)校倉(cāng)庫(kù)旁的一塊空

9、地，開辟一個(gè)面積為130平方米的花圃（如圖121），打算一面利用長(zhǎng)為15米的倉(cāng)庫(kù)墻面，三面利用長(zhǎng)為33米的舊圍欄，求花圃的長(zhǎng)和寬 解：設(shè)與墻相接的兩邊長(zhǎng)都為米，則另一邊長(zhǎng)為米，依題意得 ， 又 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，15 不合題意，舍去 答：花圃的長(zhǎng)為13米，寬為10米【考題2】（2009、襄樊）為了改善居民住房條件，我市計(jì)劃用未來(lái)兩年的時(shí)間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10平方米提高到12.1平方米，若每年的增長(zhǎng)率相同，則年增長(zhǎng)率為（） A.9 B.10 C. 11 D.12 解：設(shè)年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得10(1+x)=12.1，解得x1=0.1，x2 =2.1因?yàn)樵鲩L(zhǎng)率不為負(fù)，所以x=0.

10、1。故選D?！究碱}3】（2009、海口）某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？ 解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)x元，依題意，得(5002 0 x)（10+x）=6000整理，得x15x50=0解這個(gè)方程，x=5，x=10要使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)取x=5答：每千克應(yīng)漲價(jià)5元 點(diǎn)撥：此類經(jīng)濟(jì)問(wèn)題在設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般設(shè)漲價(jià)或降價(jià)為未知數(shù)；應(yīng)根據(jù)“要使顧客得到實(shí)惠”來(lái)取舍根的情況 【考題4】如圖，在ABC中，B=90&

11、#176;，AB=5，BC=7，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB邊向點(diǎn)B點(diǎn)以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).（1）如果點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，PBQ的面積等于4？（2）如果點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒鐘，PQ的長(zhǎng)度等于5？PQBCA 解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘，PBQ的面積等于4， 則由題意得AP=x，BP=5x，BQ=2x, 由BP·BQ=4，得（5x）·2x=4， 解得，x=1，x=4 當(dāng)x=4時(shí)，BQ=2x=87=BC，不符合題意。故x=1 （2）由BP+BQ=5得（5x）+（2x）=5, 解得x1=0（不

12、合題意），x2=2所以2秒后，PQ的長(zhǎng)度等于5。三、針對(duì)性訓(xùn)練：1小明的媽媽上周三在自選商場(chǎng)花10元錢買了幾瓶酸奶，周六再去買時(shí)，正好遇上商場(chǎng)搞酬賓活動(dòng)，同樣的酸奶，每瓶比周三便宜05元，結(jié)果小明的媽媽只比上次多花了2元錢，卻比上次多買了2瓶酸奶，問(wèn)她上周三買了幾瓶？2合肥百貨大摟服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂(lè)”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了迎接“十·一”國(guó)慶節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫(kù)存。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少？3在寬為20

13、米、長(zhǎng)為32米的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條互相垂直的道路，余下部分作為耕地，要使耕地面積為540米2，道路的寬應(yīng)為多少？32m20m4小紅的媽媽前年存了5000元一年期的定期儲(chǔ)蓄，到期后自動(dòng)轉(zhuǎn)存.今年到期扣除利息稅（利息稅為利息的20%），共取得5145元.求這種儲(chǔ)蓄的年利率.（精確到0.1%）5如圖12-3，ABC中，B=90°，點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿BC邊向C點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)。（1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)幾秒鐘，使ABQ的面積等于8cm2?(2)如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q以

14、C后又繼續(xù)在AC邊上前進(jìn)，經(jīng)幾秒鐘，使PCQ的面積等于12.6 cm2。解：依題意，得：（6-x）·2x=8解這個(gè)方程得：x1=2，x2=4即經(jīng)過(guò)2s，點(diǎn)P到距離B點(diǎn)4cm處，點(diǎn)Q到距離B點(diǎn)4cm處；經(jīng)過(guò)4s，點(diǎn)P到距離B點(diǎn)2cm處，點(diǎn)Q到距離B點(diǎn)8cm處。故本小題有兩解。（2）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒，點(diǎn)P移動(dòng)到BC上，且有CP=（14-x）cm,點(diǎn)Q移動(dòng)到CA上，且命名CQ=（2x-8） cm，過(guò)Q作QDCB于D。CQDCAB，即QD=。依題意，得：（14-x）·=12.6，解這個(gè)方程得：x1=7，x2=11經(jīng)過(guò)7s，點(diǎn)P在BC距離C點(diǎn)7cm處，點(diǎn)Q在CA上距離C點(diǎn)6cm處，使SPC

15、Q=12.6cm2經(jīng)過(guò)11s，點(diǎn)P在BC距離C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距離C點(diǎn)14cm處， 140,點(diǎn)Q已超出CA范圍，此解不存在。故本題只有一解。中考真題1.鐘老師出示了小黑板上的題目(如圖122）后，小敏回答：“方程有一根為1”，小聰回答：“方程有一根為2”則你認(rèn)為（ ） A只有小敏回答正確 B只有小聰回答正確 C兩人回答都正確 D兩人回答都不正確2.解一元二次方程xx12=0，結(jié)果正確的是（ ） Ax=4， x=3 Bx=4，x=3 Cx=4，x=3 Dx=4，x=33.方程解是（ ） Ax=1 Bx=0，x=3 Cx=1，x=3 Dx=1，x=34.若t是一元二次方程axbx+c=0(

16、a0）的根，則判別式=b4ac和完全平方式M=(2at+b)的關(guān)系是（ ） A=M BM CM D大小關(guān)系不能確定 5.方程 的根是（ ） A0 B1 C0，1 D0，1 6.已知一元二次方程x 2x7=0的兩個(gè)根為x，x，則x+ x的值為（ ） A2 B2 C7 D77.已知x、x是方程x3x1 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是( )A、3B、3C、 D、18.用換元法解方程(xx)(xx)6時(shí)，如果設(shè)xxy，那么原方程可變形為（ ）A、yy60 B、yy60C、yy60 D、yy609.方程x5x=0的根是（） A0 B0，5 C5，5 D510.若關(guān)于x的方程x2xk=0有實(shí)數(shù)根，則（ ） Ak

17、1，Bk1 Ck1 Dk 111.如果一元二次方程x4x20的兩個(gè)根是x，x，那么xx等于（ ）A. 4 B. 4 C. 2 D. 212.用換元法解方程(xx)6時(shí)，設(shè)y，那么原方程可化為（ ）A.y60 B. y60C. y60 D. y6013.設(shè)x，x是方程2x+3x-2=0的兩個(gè)根，則xx的值是 ( ) A-3 B3 C D14.方程x-x=0的解是（ ） A0，1 B1，-1 C0，-1 D0，1，115.用換元法解方程_ _16.兩個(gè)數(shù)的和為6，差（注意不是積）為8，以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是_17.方程xx=0的解是_18.等腰ABC中，BC=8， AB、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的

18、方程x10x+m= 0的兩根，則m的值是_.19.關(guān)于x的一元二次方程ax2 +2x+1=0的兩個(gè)根同號(hào)，則a的取值范圍是 _.20.解方程21.解方程：x2x3x0.22.解方程組：23.解方程：2（x1）+5（xl）+2=024.解方程：x 2x2=025.解方程：x +5x+3=026.已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是2，求方程的另一根和k的值27.已知關(guān)于 x的一元 二次方程的一個(gè)根為0，求k的值28.如圖123為長(zhǎng)方形時(shí)鐘鐘面示意圖，時(shí)鐘的中心在長(zhǎng)方形對(duì)角線的交點(diǎn)上，長(zhǎng)方形的寬為20厘米，鐘面數(shù)字2在長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)處，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為_厘米（此題用到三角函數(shù)）中考預(yù)測(cè)題一、基礎(chǔ)經(jīng)典題(

19、 44分)(一)選擇題(每題4分，共28分 )【備考1】如果在1是方程x+mx1=0的一個(gè)根，那么m的值為（ ） A2 B3 C1 D2【備考2】方程的解是（ ） A【備考3】若n是方程的根，n0，則m+n等于（ ） A7 B6 C1 D1【備考4】關(guān)于x的方程的兩根中只有一個(gè)等于0，則下列條件中正確的是（ ） Am0，n0 Bm0，n 0 Cm0，n = 0 Dm0，n0【備考5】以52和5+2為根的一元二次方程 是（ ） A B C D 【備考6】已知，是方程xx3=0的兩根， 那么值是（ ） A1 B5 C7 D、【備考7】關(guān)于x的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)根，那么m的最大整數(shù)是（ ） A2 B1 C0 Dl（二）填空題（每題4分，共16分）【備考8】已知一元二次方程x3x+1=0的兩個(gè)根為x，x那么（1+ x）（1+ x）的值等于_.【備考9】已知一個(gè)一元二次方程x+px+l=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，則P的值是_.【備考10】如圖，在ABCD中，AEBC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x+2x3=0的根，則ABCD的周長(zhǎng)是_ EABDC【備考11】關(guān)于x的