第四章 濾波器設(shè)計(jì)

1、第四章第四章 濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)4.1 有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)vFIR（有限脈沖響應(yīng)）濾波器是非遞歸濾波器（有限脈沖響應(yīng)）濾波器是非遞歸濾波器v由于不依賴以前的輸出，所以非遞歸濾波器由于不依賴以前的輸出，所以非遞歸濾波器的脈沖響應(yīng)為有限項(xiàng)。的脈沖響應(yīng)為有限項(xiàng)。2 1210MnxbnxbnxbnxbnyMMkkknbnh04.1 有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)vFIR濾波器的濾波器的z變換表達(dá)示通過變換表達(dá)示通過z變換的時(shí)移特變換的時(shí)移特性得到：性得到：v可得到濾波器在可得到濾波器在z域的傳輸函數(shù)：域的傳輸函數(shù)：MkkkzXzbzY0)()(MMMkkk

2、zbzbzbbzXzbzXzYzH221100)()()()(4.1 有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)v通常通過離散時(shí)間傅立葉變換求出濾波器頻通常通過離散時(shí)間傅立葉變換求出濾波器頻率響應(yīng)的幅度可確定濾波器形狀率響應(yīng)的幅度可確定濾波器形狀MkjkkebH0)(4.2 論滑動(dòng)平均濾波器論滑動(dòng)平均濾波器v以五項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器例設(shè)計(jì)，此濾波器的以五項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器例設(shè)計(jì)，此濾波器的差分方程為：差分方程為：v脈沖響應(yīng)為：脈沖響應(yīng)為：v傳輸函數(shù)為：傳輸函數(shù)為：)432 1(2 . 0nxnxnxnxnxny)432 1(2 . 0nnnnnnh)1 (2 . 0)(4321zzzzzH4.2

3、論滑動(dòng)平均濾波器論滑動(dòng)平均濾波器v頻率響應(yīng)為：頻率響應(yīng)為：)1 (2 . 0)(432jjjjeeeeH4.2 論滑動(dòng)平均濾波器論滑動(dòng)平均濾波器v例例1 設(shè)計(jì)滑動(dòng)平均濾波器，要求他的設(shè)計(jì)滑動(dòng)平均濾波器，要求他的-3dB頻率為頻率為480Hz，采樣頻率為，采樣頻率為10kHz。v解：解：數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器-3dB點(diǎn)在點(diǎn)在480Hz處，采樣頻率為處，采樣頻率為10kHz。也就是數(shù)字頻率。也就是數(shù)字頻率弧度302. 01000048022sff4.2 論滑動(dòng)平均濾波器論滑動(dòng)平均濾波器對(duì)于對(duì)于M項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器，項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器，2/M處出現(xiàn)第一個(gè)零處出現(xiàn)第一個(gè)零點(diǎn)。點(diǎn)。-3dB點(diǎn)大約出現(xiàn)在此頻率的

4、一半處，即點(diǎn)大約出現(xiàn)在此頻率的一半處，即/M。因?yàn)橐驗(yàn)?3dB點(diǎn)要在點(diǎn)要在0.302弧度處，所以可以確定弧度處，所以可以確定M：得：得：M=10.4302. 0M4.2 論滑動(dòng)平均濾波器論滑動(dòng)平均濾波器因此，十一項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器的因此，十一項(xiàng)滑動(dòng)平均濾波器的-3dB頻率比要求頻率比要求的稍低些。濾波器脈沖響應(yīng)為：的稍低些。濾波器脈沖響應(yīng)為：差分方程為：差分方程為：100111kknnh100111kknxny4.2 論滑動(dòng)平均濾波器論滑動(dòng)平均濾波器4.3 逼近理想低通濾波器逼近理想低通濾波器v對(duì)于對(duì)于n=0時(shí)，將脈時(shí)，將脈沖響應(yīng)表示為沖響應(yīng)表示為sinc函數(shù)，定義：函數(shù)，定義：)sin(111

5、nnnhxxxsincsin4.3 逼近理想低通濾波器逼近理想低通濾波器4.3 逼近理想低通濾波器逼近理想低通濾波器v其中其中sinc(0)=1，并且在，并且在x=n(n 0)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)為零。為零。v這樣理想低通濾波器得脈沖響應(yīng)可表示為：這樣理想低通濾波器得脈沖響應(yīng)可表示為：)sinc()sin()(1)sin(11111111nnnnnnnnhnnnh)sin(114.3 逼近理想低通濾波器逼近理想低通濾波器v 是濾波器得截止頻率是濾波器得截止頻率v下圖得濾波器得截止頻率為：下圖得濾波器得截止頻率為：125. 014.3 逼近理想低通濾波器逼近理想低通濾波器4.3 逼近理想低通濾波器逼

6、近理想低通濾波器v設(shè)計(jì)時(shí)設(shè)計(jì)時(shí) 的選擇必須大于所要求的通帶邊緣頻率的選擇必須大于所要求的通帶邊緣頻率14.3 逼近理想低通濾波器逼近理想低通濾波器v參數(shù)參數(shù)p定義了通帶波紋：濾波器通帶內(nèi)偏離單位增定義了通帶波紋：濾波器通帶內(nèi)偏離單位增益的最大值益的最大值通帶邊緣增益定義為通帶邊緣增益定義為1- pv參數(shù)參數(shù)s定義了阻帶波紋：濾波器阻帶內(nèi)偏離零增益定義了阻帶波紋：濾波器阻帶內(nèi)偏離零增益的最大值的最大值阻帶邊緣處，濾波器增益為阻帶邊緣處，濾波器增益為 sv過渡帶寬度就是阻帶和通帶邊緣之間的距離（過渡帶寬度就是阻帶和通帶邊緣之間的距離（Hz）過渡帶寬度過渡帶寬度=阻帶邊緣頻率阻帶邊緣頻率通帶邊緣頻率

7、通帶邊緣頻率4.3 逼近理想低通濾波器逼近理想低通濾波器4.3 逼近理想低通濾波器逼近理想低通濾波器v例例2 對(duì)下圖所示的低通濾波器，確定通帶波對(duì)下圖所示的低通濾波器，確定通帶波紋、通帶邊緣頻率、阻帶波紋、阻帶邊緣頻紋、通帶邊緣頻率、阻帶波紋、阻帶邊緣頻率、過渡帶寬度、帶寬、率、過渡帶寬度、帶寬、-3dB或截止頻率。或截止頻率。4.3 逼近理想低通濾波器逼近理想低通濾波器4.4 窗函數(shù)窗函數(shù)v窗函數(shù)的作用是從理想低通脈沖響應(yīng)的無限窗函數(shù)的作用是從理想低通脈沖響應(yīng)的無限個(gè)采樣點(diǎn)中選取有限個(gè)采樣點(diǎn)，這個(gè)重要的個(gè)采樣點(diǎn)中選取有限個(gè)采樣點(diǎn)，這個(gè)重要的步驟使脈沖響應(yīng)采樣值可步驟使脈沖響應(yīng)采樣值可實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)

8、為一個(gè)實(shí)際濾為一個(gè)實(shí)際濾波器波器4.4.1 矩形窗矩形窗v矩形窗函數(shù)由理想脈沖響應(yīng)與有限長矩形窗矩形窗函數(shù)由理想脈沖響應(yīng)與有限長矩形窗相乘得到：相乘得到：vN項(xiàng)矩形窗為項(xiàng)矩形窗為v其他處為零其他處為零1nwnhnh2/ ) 1(1Nnn4.4.1 矩形窗矩形窗4.4.1 矩形窗矩形窗4.4.1 矩形窗矩形窗4.4.2 漢寧窗漢寧窗v長度為長度為N的漢寧窗定義為：的漢寧窗定義為：v 其他處為零其他處為零12cos5 . 05 . 0Nnnw2/ ) 1( nn4.4.2 漢寧窗漢寧窗4.4.2 漢寧窗漢寧窗4.4.3 哈明窗哈明窗v長度為長度為N的哈明窗定義為：的哈明窗定義為：v 其他處為零其他

9、處為零2/ ) 1( nn12cos46. 054. 0Nnnw4.4.3 哈明窗哈明窗4.4.3 哈明窗哈明窗4.4.4 布萊克曼窗布萊克曼窗v長度為長度為N的布萊克曼窗定義為：的布萊克曼窗定義為：v 其他處為零其他處為零2/ ) 1( nn14cos08. 012cos5 . 042. 0NnNnnw4.4.4 布萊克曼窗布萊克曼窗4.4.4 布萊克曼窗布萊克曼窗4.4.5 凱塞窗凱塞窗v長度為長度為N的凱塞窗定義為：的凱塞窗定義為：v 其他處為零其他處為零vI0(x)是零階修正第一類貝塞爾函數(shù)是零階修正第一類貝塞爾函數(shù),定義為定義為:vA所期望的阻帶衰減值所期望的阻帶衰減值2/ ) 1(

10、 nn)12(1020INnInw120!)2/(1jjjxI9587. 01102. 0A4.4.5 凱塞窗凱塞窗4.4.5 凱塞窗凱塞窗4.5 低通低通FIR濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)v窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，低通濾波器通帶邊緣窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，低通濾波器通帶邊緣頻率頻率1的選擇必須考慮到所有項(xiàng)引起的模。的選擇必須考慮到所有項(xiàng)引起的模。2/ )(過渡帶寬度過渡帶寬度要求的通帶頻率要求的通帶頻率設(shè)計(jì)的通帶邊緣頻率設(shè)計(jì)的通帶邊緣頻率4.5 低通低通FIR濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)4.5 低通低通FIR濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì).91. 0WTfs.32. 3WTfs.44. 3WTfs.98. 5

11、WTfs12cos5 . 05 . 0Nn12cos46. 054. 0Nn14cos08. 012cos5 . 042. 0NnNn)12(1020INnI)6(.33. 4WTfs)8(.25. 5WTfs)10(.36. 6WTfs)(1log(20dBp4.5 低通低通FIR濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)v例例3 要求濾波器阻帶衰減為要求濾波器阻帶衰減為75dB，過渡帶寬，過渡帶寬度為度為1kHz。采樣頻率為。采樣頻率為16kHz。選擇什么窗。選擇什么窗函數(shù)，長度為多少？函數(shù)，長度為多少？4.5 低通低通FIR濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)v解解由表可知有兩個(gè)窗函數(shù)最符合阻帶要求，即布萊由表可知有

12、兩個(gè)窗函數(shù)最符合阻帶要求，即布萊克曼和克曼和=8的凱塞窗。的凱塞窗。布萊克曼窗需要的項(xiàng)數(shù)為：布萊克曼窗需要的項(xiàng)數(shù)為：=8的凱塞窗需要的項(xiàng)數(shù)為：的凱塞窗需要的項(xiàng)數(shù)為：9568.9510001600098. 5858410001600025. 54.5 低通低通FIR濾波器的設(shè)計(jì)濾波器的設(shè)計(jì)v注：注：如果向上近似，濾波器性能略高于設(shè)計(jì)要求；如果向上近似，濾波器性能略高于設(shè)計(jì)要求；如果向下近似，濾波器性能將低于設(shè)計(jì)要求如果向下近似，濾波器性能將低于設(shè)計(jì)要求4.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟v加窗低通加窗低通FIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟：濾波器的設(shè)計(jì)步驟：1、在過渡帶寬度的中間，選擇通帶

13、邊緣頻率、在過渡帶寬度的中間，選擇通帶邊緣頻率（Hz）2、計(jì)算、計(jì)算1=2f1/fs，并將此值代入理想低通濾波，并將此值代入理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)器的脈沖響應(yīng)h1n中：中：2/ )(1過過渡渡帶帶寬寬度度要要求求的的通通帶帶頻頻率率 fnnnh)sin(114.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟3、從表中選擇滿足阻帶衰減及其他濾波器要求、從表中選擇滿足阻帶衰減及其他濾波器要求的窗函數(shù)，用表中的窗函數(shù)，用表中N的公式計(jì)算所需窗的非零項(xiàng)的公式計(jì)算所需窗的非零項(xiàng)數(shù)目。選擇奇函數(shù)，計(jì)算窗函數(shù)數(shù)目。選擇奇函數(shù)，計(jì)算窗函數(shù)n4、對(duì)于、對(duì)于 ，從式，從式 計(jì)計(jì)算脈沖響應(yīng)，對(duì)于其他算脈沖響應(yīng)

14、，對(duì)于其他n值值hn=0，此脈沖響應(yīng)，此脈沖響應(yīng)是非因果的是非因果的將脈沖響應(yīng)右移將脈沖響應(yīng)右移(N-1)/2,確保第一個(gè)非零值在確保第一個(gè)非零值在n=0處處,使此低通濾波器為因果使此低通濾波器為因果2/ ) 1( Nn1nnhnh4.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟v例例4 根據(jù)下列指標(biāo)設(shè)計(jì)低通濾波器根據(jù)下列指標(biāo)設(shè)計(jì)低通濾波器通帶邊緣頻率通帶邊緣頻率2kHz阻帶邊緣頻率阻帶邊緣頻率3kHz阻帶衰減阻帶衰減 40dB采樣頻率采樣頻率 10kHz4.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟v解解第一步第一步:計(jì)算過渡帶寬度計(jì)算過渡帶寬度v過渡帶寬度過渡帶寬度=3000

15、-2000=1000Hz第二步第二步:Hzf250021000200015 . 01000025002211sffnnnnnh)5 . 0sin()sin(114.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟第三步第三步,選擇窗函數(shù)選擇窗函數(shù).因?yàn)樽鑾p因?yàn)樽鑾p40dB,在表中在表中選擇漢寧窗選擇漢寧窗,并且并且:選擇選擇N=33.窗函數(shù)變成窗函數(shù)變成:其中其中2 .3310001000032. 3.32. 3WTfNs322cos5 . 05 . 012cos5 . 05 . 0nNnnw1616n4.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟第四步計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng)第

16、四步計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng),并移位并移位310002. 029002. 0270064. 0250142. 0230272. 0210495. 0190972. 0173153. 0165 . 0153153. 0130972. 0110495. 090272. 070142. 050064. 03002. 0 10002. 0nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxny4.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟4.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟v例例5 根據(jù)下列指標(biāo)設(shè)計(jì)低通濾波器根據(jù)下列指標(biāo)設(shè)計(jì)低通濾波器通帶邊緣頻率通帶邊緣頻率10k

17、Hz阻帶邊緣頻率阻帶邊緣頻率22kHz阻帶衰減阻帶衰減 75dB采樣頻率采樣頻率 50kHz4.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟v解解第一步第一步,計(jì)算過渡帶寬度計(jì)算過渡帶寬度過渡帶寬度過渡帶寬度=22 000-10 000=12 000Hz第二步第二步.Hzf160021200010000164. 050000160002211sffnnnnnh)64. 0sin()sin(114.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟第三步第三步,選擇窗函數(shù)選擇窗函數(shù).因?yàn)樽鑾p因?yàn)樽鑾p75dB,在表中在表中選擇布萊克曼窗選擇布萊克曼窗(可以避免復(fù)雜的計(jì)算可以避免復(fù)雜的

18、計(jì)算),并且并且:選擇選擇N=25.窗函數(shù)變成窗函數(shù)變成:其中其中9 .24125098. 5.98. 5WTfNs244cos08. 0242cos5 . 042. 0nnnw1212n4.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟n第四步計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng)第四步計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng),并移位并移位22001. 021002. 020002. 019010. 018009. 017018. 016049. 015020. 014110. 01328012640. 011280. 010110. 09020. 08049. 07018. 06009. 05010. 04002. 0 3

19、002. 02001. 0nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxny4.5.1 低通低通FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟濾波器設(shè)計(jì)步驟4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器v帶通和高通濾波器可以先設(shè)計(jì)低通濾波器帶通和高通濾波器可以先設(shè)計(jì)低通濾波器,再再進(jìn)行頻率移位來獲得待求的濾波器進(jìn)行頻率移位來獲得待求的濾波器.4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器v由低通濾波器轉(zhuǎn)換為高通或帶通濾波器由低通濾波器轉(zhuǎn)換為高通或帶通濾波器,低通低通濾波器的脈沖響應(yīng)必須與余弦

20、函數(shù)相乘濾波器的脈沖響應(yīng)必須與余弦函數(shù)相乘:v得到得到:v0為雙邊濾波器形狀的待求中心頻率為雙邊濾波器形狀的待求中心頻率)cos(0nnq)cos(01nnnhnh4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器v低通濾波器的設(shè)計(jì)過程做兩個(gè)修改低通濾波器的設(shè)計(jì)過程做兩個(gè)修改1、在第三步和第四步之間，數(shù)字頻率、在第三步和第四步之間，數(shù)字頻率f0是待求濾波器的中心頻率是待求濾波器的中心頻率對(duì)于帶通濾波器對(duì)于帶通濾波器,這個(gè)頻率將介于這個(gè)頻率將介于0到到fs/2之間之間對(duì)于高通濾波器對(duì)于高通濾波器,此中心頻率應(yīng)等于奈奎肆特界此中心頻率應(yīng)等于奈奎肆特界限限fs/2sff0024.6 帶通和高通帶通和高通

21、FIR濾波器濾波器2、第四步中必須包含因子、第四步中必須包含因子這時(shí)高通濾波器的脈沖響應(yīng)為這時(shí)高通濾波器的脈沖響應(yīng)為:)cos(0n) 1()cos(nhnhnnhn低低低低高高4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器v例例6 為采樣頻率為采樣頻率22kHz的系統(tǒng)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)設(shè)計(jì)FIR帶通濾帶通濾波器波器,帶通濾波器如圖所示帶通濾波器如圖所示,中心頻率中心頻率4kHz,帶帶通邊緣在通邊緣在3.5和和4.5kHz處處.過渡帶寬度過渡帶寬度500Hz,阻帶衰減阻帶衰減50dB4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器v解解:由于采樣頻率為由于采

22、樣頻率為22kHz,所以只畫出所以只畫出0到到11kHz這這段頻率段頻率.帶通濾波器的通帶邊緣頻率為帶通濾波器的通帶邊緣頻率為3.5和和4.5kHz,中心中心4kHz,所以低通濾波器的通帶邊緣必須在所以低通濾波器的通帶邊緣必須在500Hz.由于帶通濾波器過渡帶寬度為由于帶通濾波器過渡帶寬度為500Hz,所以低通濾所以低通濾波器的過渡帶寬度也為波器的過渡帶寬度也為500Hz,得通帶邊緣頻率和得通帶邊緣頻率和等效數(shù)字頻率為等效數(shù)字頻率為:4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器脈沖響應(yīng)為脈沖響應(yīng)為Hzf7502500500106818. 0220007502211sffnnnnnh)0681

23、8. 0sin()sin(114.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器查表知查表知,所需得阻帶衰減要求用哈明窗所需得阻帶衰減要求用哈明窗:最近奇整數(shù)為最近奇整數(shù)為N=151,所以窗函數(shù)為所以窗函數(shù)為:4 .1515002200044. 3.44. 3WTfNs1502cos46. 054. 0nnw4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器因?yàn)閹V波器得中心頻率要求為因?yàn)閹V波器得中心頻率要求為4kHz,故余弦故余弦函數(shù)得中心頻率函數(shù)得中心頻率0,必須位于必須位于最后脈沖響應(yīng)下式得最后脈沖響應(yīng)下式得:363. 02200040002200sff)cos(01nnnhnh4.6 帶

24、通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器v例例7 需要一個(gè)通帶邊緣需要一個(gè)通帶邊緣8kHz,阻帶邊緣為阻帶邊緣為6kHz得高通濾波器得高通濾波器,阻帶增益至少比帶通增益阻帶增益至少比帶通增益低低40dB.采樣頻率為采樣頻率為22kHz,設(shè)計(jì)濾波器并給設(shè)計(jì)濾波器并給出他得脈沖響應(yīng)出他得脈沖響應(yīng)4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器設(shè)計(jì)第一步是求出高通濾波器得低通等效。高通設(shè)計(jì)第一步是求出高通濾波器得低通等效。高通濾波器得中心頻率濾波器得中心頻率f0選在選在1/2采樣頻率處采樣頻率處,即即11kHz.高

25、通濾波器的通帶處在高通濾波器的通帶處在8kHz到到11kHz之間之間.過渡帶寬度為過渡帶寬度為8-6=2kHz,所以低通濾波器的通帶所以低通濾波器的通帶邊緣在邊緣在3kHz,阻帶邊緣在阻帶邊緣在5kHz4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器低通濾波器通帶邊緣頻率及相應(yīng)得數(shù)字頻率為低通濾波器通帶邊緣頻率及相應(yīng)得數(shù)字頻率為脈沖響應(yīng)為脈沖響應(yīng)為Hzf400022000300013636. 02200040002211sffnnnnnh)3636. 0sin()sin(114.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器查表知查表知,所需得阻帶衰減要求用漢寧窗所需得阻帶衰減要求用漢寧窗:最近奇整

26、數(shù)為最近奇整數(shù)為N=37,所以窗函數(shù)為所以窗函數(shù)為:5 .3620002200032. 3.32. 3WTfNs362cos5 . 05 . 0nnw4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器因?yàn)閹V波器得中心頻率要求為因?yàn)閹V波器得中心頻率要求為11kHz,故余故余弦函數(shù)得中心頻率弦函數(shù)得中心頻率0,必須位于必須位于最后脈沖響應(yīng)下式得最后脈沖響應(yīng)下式得:22000110002200sff)cos(01nnnhnh4.6 帶通和高通帶通和高通FIR濾波器濾波器4.7 帶阻帶阻FIR濾波器濾波器v帶阻濾波器抑制了一個(gè)范圍得頻率，而其他帶阻濾波器抑制了一個(gè)范圍得頻率，而其他部分可以通過部分

27、可以通過.v設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)方法:正確選擇通帶邊緣頻率正確選擇通帶邊緣頻率,通過把低通通過把低通和高通濾波器結(jié)合起來和高通濾波器結(jié)合起來,來構(gòu)造出帶阻濾波器來構(gòu)造出帶阻濾波器4.7 帶阻帶阻FIR濾波器濾波器4.7 帶阻帶阻FIR濾波器濾波器v兩種濾波器的脈沖響應(yīng)兩種濾波器的脈沖響應(yīng)h低低n和和h高高nh低低nh高高nXzYz)()()()()(zXzHzXzHzY高高低低4.7 帶阻帶阻FIR濾波器濾波器v總傳輸函數(shù)為總傳輸函數(shù)為v濾波器的脈沖響應(yīng)為濾波器的脈沖響應(yīng)為)()()(zHzHzH高高低低帶帶阻阻zhzhzh高高低低帶帶阻阻4.8 無限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)無限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)MkkNk

28、kknxbknya002 12 12102101MnxbnxbnxbnxbNnyanyanyaknxbknyanyMNMkkNkk4.8 無限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)無限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)v例例8 求遞歸濾波器求遞歸濾波器的脈沖響應(yīng)的脈沖響應(yīng)v解：解：用用hnhn代替代替yn,nyn,n代替代替xn,xn,則得到脈沖響則得到脈沖響應(yīng)應(yīng): : 18 . 0nxnyny 18 . 0nnhnh4.8 無限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)無限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)v遞歸濾波器的傳輸函數(shù)遞歸濾波器的傳輸函數(shù)v假定假定NM,且每項(xiàng)乘以且每項(xiàng)乘以zN,有有:NNMMzazazazbzbzbbzXzYzH2211221101)()

29、()(NNNNMNMNNNazazazzbzbzbzbzXzYzH221122110)()()(4.9 低通模擬濾波器低通模擬濾波器v在連續(xù)域中在連續(xù)域中,濾波器用濾波器用s s表示而不用表示而不用z表示表示.簡單簡單的低通模擬濾波器的傳輸函數(shù)為的低通模擬濾波器的傳輸函數(shù)為:v模擬濾波器的頻率響應(yīng)為模擬濾波器的頻率響應(yīng)為:v幅度響應(yīng)為幅度響應(yīng)為11)(ssH11)(jH11)(2H4.9 低通模擬濾波器低通模擬濾波器v若若很大很大, 趨于趨于0; 很小很小, 就趨近于就趨近于1.若若=1, 等于等于)(H)(H)(H2/14.9 低通模擬濾波器低通模擬濾波器v可以改變傳輸函數(shù)使可以改變傳輸函數(shù)

30、使-3dB頻率變?yōu)椴皇穷l率變?yōu)椴皇?1,而是其他頻率而是其他頻率v對(duì)這個(gè)模擬傳輸函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換為對(duì)這個(gè)模擬傳輸函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換為:11)(ppssH11)(111pppjjH4.9 低通模擬濾波器低通模擬濾波器v幅度為幅度為:v這仍然是一個(gè)低通濾波器這仍然是一個(gè)低通濾波器.但但-3dB的頻率在的頻率在1)(1)(21pH1p4.9 低通模擬濾波器低通模擬濾波器4.9 低通模擬濾波器低通模擬濾波器v通常模擬濾波器包括巴特沃斯、切比雪夫通常模擬濾波器包括巴特沃斯、切比雪夫型、型、切比雪夫切比雪夫型和橢圓濾波器等。型和橢圓濾波器等。v區(qū)別區(qū)別:巴特沃斯濾波器在通帶和阻帶巴特沃斯濾波器在通帶和阻

31、帶都單調(diào)都單調(diào)的的,意味著意味著他們在一個(gè)方向上平滑變化他們在一個(gè)方向上平滑變化;切比雪夫切比雪夫型在型在阻帶阻帶內(nèi)是內(nèi)是單調(diào)單調(diào)的的,但在通帶內(nèi)是有但在通帶內(nèi)是有波紋的波紋的切比雪夫切比雪夫型濾波器在型濾波器在通帶通帶內(nèi)是內(nèi)是單調(diào)單調(diào)的的,但在阻但在阻帶內(nèi)是波紋的帶內(nèi)是波紋的橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)橢圓濾波器在通帶和阻帶內(nèi)都有波紋都有波紋4.9.1 雙線性變換雙線性變換v雙線性變換為模擬濾波器和數(shù)字濾波器之間雙線性變換為模擬濾波器和數(shù)字濾波器之間的轉(zhuǎn)換提供了一種方法的轉(zhuǎn)換提供了一種方法,定義定義:vfs是采樣頻率是采樣頻率,用用ej代替代替z112zzfss22222222222)()(21

32、12jjjjsjjjjjjsjjseeeefeeeeeefeef4.9.1 雙線性變換雙線性變換v運(yùn)用歐拉等式運(yùn)用歐拉等式v進(jìn)一步簡化為進(jìn)一步簡化為:2cos2sinjjjjeejee和)2tan(2)2cos(2)2sin(22ssfjjf4.9.1 雙線性變換雙線性變換帶回原式帶回原式,s變?yōu)樽優(yōu)閖,然后將然后將j消去消去.得得:此方程稱為預(yù)扭曲方程此方程稱為預(yù)扭曲方程注意模擬頻率和數(shù)字頻率的范圍注意模擬頻率和數(shù)字頻率的范圍)2tan(2sf4.9.1 雙線性變換雙線性變換4.9.1 雙線性變換雙線性變換v例例:9下列習(xí)題說明這樣把下列習(xí)題說明這樣把z域復(fù)平面上的點(diǎn)通過雙域復(fù)平面上的點(diǎn)通過

33、雙線性變換映射到線性變換映射到s域復(fù)平面上域復(fù)平面上a、 進(jìn)行雙線性變換進(jìn)行雙線性變換2121jz2222224222)2121)(2121(2212121211212112jfjfjjjjfjjfjjfzzfsssssss4.9.1 雙線性變換雙線性變換vb、z=0進(jìn)行雙線性變換進(jìn)行雙線性變換vC、z=2+j進(jìn)行雙線性變換進(jìn)行雙線性變換ssfzzfs21125254102423331231212122112sssssssfjfjfjjjjfjjfjjfzzfs4.9.1 雙線性變換雙線性變換v例例 10 一階模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)一階模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)濾波器的濾波器的-3dB頻率是頻

34、率是2000弧度弧度/秒秒(或或2000/2= 318.31Hz).求出此濾波器相對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)求出此濾波器相對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(z),采樣率為采樣率為1500Hz11)(ppssH4.9.1 雙線性變換雙線性變換v解解模擬域原傳輸函數(shù)模擬域原傳輸函數(shù)H(s)為為:濾波器形狀為濾波器形狀為20002000)(ssH1)2000(1)(2H4.9.1 雙線性變換雙線性變換要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器必須與該模擬濾波器相匹配要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器必須與該模擬濾波器相匹配.采樣頻率采樣頻率1500Hz,雙線性變換要求模擬傳輸函數(shù)雙線性變換要求模擬傳輸函數(shù)中的每個(gè)中的每個(gè)s都要用都要用 來代替

35、來代替.數(shù)字域的數(shù)字域的傳輸函數(shù)為傳輸函數(shù)為:) 1() 1(2zzfs112 . 01)1 (4 . 02 . 0) 1(4 . 010005000) 1(2000) 1(2000) 1(3000) 1(200020001130002000)(zzzzzzzzzzzzH4.9.1 雙線性變換雙線性變換v濾波器的頻率響應(yīng)為濾波器的頻率響應(yīng)為:jjeeH2 . 01)1 (4 . 0)(4.9.1 雙線性變換雙線性變換4.9.1 雙線性變換雙線性變換v例例11 模擬傳輸函數(shù)所表示的簡單模擬低通濾波器模擬傳輸函數(shù)所表示的簡單模擬低通濾波器要轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器要轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器, ,數(shù)字濾波器的數(shù)字濾

36、波器的-3dB-3dB頻率為頻率為318.3Hz,318.3Hz,采樣頻率為采樣頻率為1500Hz.1500Hz.求數(shù)字濾波器的傳輸求數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)和頻率響應(yīng)表達(dá)示函數(shù)和頻率響應(yīng)表達(dá)示. .v解解: :-3dB-3dB頻率頻率fp1=318.3Hz,Hz,采樣頻率采樣頻率1500Hz,1500Hz,數(shù)字截止數(shù)字截止頻率為頻率為: :弧度4244. 015003 .3182211sppff4.9.1 雙線性變換雙線性變換考慮到雙線性變換的扭曲考慮到雙線性變換的扭曲, ,預(yù)扭曲模擬頻率預(yù)扭曲模擬頻率: :用這個(gè)頻率代替未扭曲的用這個(gè)頻率代替未扭曲的原型模擬濾波器的傳輸函數(shù)為原型模擬濾波器的傳

37、輸函數(shù)為: :秒秒弧弧度度/4 .2360)24244. 0tan(2)2tan(211spspff秒秒弧弧度度/2000)31.318(21p4 .23604 .2360)(11sssHpp4.9.1 雙線性變換雙線性變換用雙線性變換用雙線性變換 ,轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，得到傳輸函數(shù)波器，得到傳輸函數(shù):該扭曲的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為該扭曲的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為:) 1() 1(3000zzs111193. 01)1 (4403. 0)(zzzHjjeeH1193. 01)1 (4403. 0)(4.9.1 雙線性變換雙線性變換4.9.1 雙線性變換雙線性變換v例例12 在例在例11

38、11中中, ,預(yù)扭曲的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成預(yù)扭曲的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成1500Hz1500Hz采樣系統(tǒng)的數(shù)字濾波器采樣系統(tǒng)的數(shù)字濾波器. .用預(yù)扭曲的模擬濾波器形用預(yù)扭曲的模擬濾波器形狀表達(dá)示求出數(shù)字濾波器的形狀狀表達(dá)示求出數(shù)字濾波器的形狀v解解模擬濾波器的形狀為模擬濾波器的形狀為1)4 .2360(11)(1)(221pH4.9.1 雙線性變換雙線性變換將將 連同連同1500Hz1500Hz的采樣頻率代入模的采樣頻率代入模擬濾波器形狀表達(dá)示擬濾波器形狀表達(dá)示, ,得到數(shù)字濾波器形狀得到數(shù)字濾波器形狀: :)2tan(2sf1)4 .2360)2/tan(3000(1)(2H4.10.1 巴特沃斯濾波

39、器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)v傳輸函數(shù)為傳輸函數(shù)為:v特性為特性為:v這是一階的巴特沃斯濾波器這是一階的巴特沃斯濾波器.11)(ppssH1)(1)(21pH4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)vn階的巴特沃斯濾波器的濾波器形狀為階的巴特沃斯濾波器的濾波器形狀為:v該濾波器具有低通特性該濾波器具有低通特性,而且階數(shù)越高，他的而且階數(shù)越高，他的滾降越陡峭滾降越陡峭. .1)(1)(21npH4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)

40、計(jì)v濾波器設(shè)計(jì)通帶從選擇滿足要求的模擬濾波濾波器設(shè)計(jì)通帶從選擇滿足要求的模擬濾波器階數(shù)開始器階數(shù)開始,對(duì)于對(duì)于n n階模擬階模擬巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器,滿滿足通帶和阻帶設(shè)計(jì)要求所需的階數(shù)為足通帶和阻帶設(shè)計(jì)要求所需的階數(shù)為:v 是模擬濾波器預(yù)扭曲的通帶邊緣頻率是模擬濾波器預(yù)扭曲的通帶邊緣頻率,v 是模擬濾波器預(yù)扭曲的阻帶邊緣頻率是模擬濾波器預(yù)扭曲的阻帶邊緣頻率)log(2) 11log(112pssn1p1s4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)v傳輸函數(shù)為傳輸函數(shù)為:nnnnzazazazbzbzbbzH2211221101)(4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)

41、計(jì)v低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟:1、確定待求通帶邊緣頻率、確定待求通帶邊緣頻率 、待求阻帶邊緣頻、待求阻帶邊緣頻率率 和待求阻帶衰減和待求阻帶衰減 ,通帶邊緣頻通帶邊緣頻率必須對(duì)應(yīng)率必須對(duì)應(yīng)-3dB2、用式、用式 把由把由Hz表示的待求邊緣頻率表示的待求邊緣頻率轉(zhuǎn)換成由弧度表示的數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換成由弧度表示的數(shù)字頻率 和和3、計(jì)算預(yù)扭曲模擬頻率以避免雙線性變換帶來、計(jì)算預(yù)扭曲模擬頻率以避免雙線性變換帶來的失真。由的失真。由 求得求得 和和 ,單位單位弧度弧度/秒秒1pf1sfdBslog20sff /21p1s)2/tan(2sf1p1s4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)

42、計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)4、由已定得阻帶衰減、由已定得阻帶衰減 確定阻帶邊確定阻帶邊緣增益緣增益5、用下式計(jì)算所需濾波器的階數(shù)、用下式計(jì)算所需濾波器的階數(shù):dBslog20s)log(2) 11log(112pssn4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)6 6、把、把 代入代入n n階模擬階模擬巴特沃斯濾波器傳輸函數(shù)巴特沃斯濾波器傳輸函數(shù)H(s)H(s)中中, ,并對(duì)并對(duì)H(s)H(s)進(jìn)行雙線性變換得到進(jìn)行雙線性變換得到n n階數(shù)字傳階數(shù)字傳輸函數(shù)輸函數(shù)H(z).H(z).濾波器實(shí)現(xiàn)所需的差分方程可直接濾波器實(shí)現(xiàn)所需的差分方程可直接從傳輸函數(shù)從傳輸函數(shù)H(z)H(z)求出求出, ,把把 代入代入: :即可得到濾波器形狀即可得到濾波器形狀)2/tan(2sf1p1)(1)(21npH4.10.1 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)v例例13 設(shè)計(jì)具有巴特沃斯特性的低通設(shè)計(jì)具有巴特沃斯特性的低通IIRIIR濾波器濾波器,-,-3dB3dB頻率為頻率為1200Hz.1200Hz.在在1500Hz1500Hz處增益降到處增益降到-25dB.-25dB.采樣采樣速率為速率為8000Hz.8000Hz.選擇合適的濾波器階數(shù)并畫出濾波選擇合適的濾波器階數(shù)并畫出濾波器形狀器形狀v解解: :由于僅僅由于僅僅300Hz300Hz以內(nèi)就要使濾波器增益