八年級上學期第一章勾股定理復習及對應練習

1、八年級上學期第一章勾股定理復習及對應練習一、基礎(chǔ)知識點: (一勾股定理1、內(nèi)容:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;2、表示方法:如果直角三角形的兩直角邊分別為a ,b ,斜邊為c ,那么222a b c += 3、勾股定理的適用范圍:勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系,它只適用于直角三角形,對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征,因而在應用勾股定理時,必須明了所考察的對象是直角三角形 4、勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方法 用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后,只要沒有重疊,沒有空隙,面積不會改變 根據(jù)同一種圖形的面積不同的

2、表示方法,列出等式,推導出勾股定理 5、勾股定理的應用已知直角三角形的任意兩邊長,求第三邊在ABC 中,90C =,則22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-知道直角三角形一邊,可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系 可運用勾股定理解決一些實際問題 (二勾股定理的逆定理 1、內(nèi)容及分析:如果三角形三邊長a ,b ,c 滿足222a b c +=,那么這個三角形是直角三角形,其中c 為斜邊勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀,在運用這一定理時,可用兩小邊的平方和22a b +與較長邊的平方2c 作比較,若它們相等時

3、,以a ,b ,c 為三邊的三角形是直角三角形;若222a b c +<,時,以a ,b ,c 為三邊的三角形是鈍角三角形;若222a b c +>,時,以a ,b ,c 為三邊的三角形是銳角三角形;定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一種表現(xiàn)形式,不可認為是唯一的,如若三角形三邊長a ,b ,c 滿足222a c b +=,那么以a ,b ,c 為三邊的三角形是直角三角形,但是b 為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時,不能說成:當斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時,這個三角形是直角三角形 2、勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù),即222a b c

4、 +=中,a ,b ,c 為正整數(shù)時,稱a ,b ,c 為一組勾股數(shù)。記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度,如3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;8、15、17等。 用含字母的代數(shù)式表示n 組勾股數(shù): 221,2,1n n n -+(2,n n 為正整數(shù);2221,22,221n n n n n +(n 為正整數(shù)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 為正整數(shù)3、勾股定理逆定理的應用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形,在具體推算過程中,應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較,切不可不加思考的用

5、兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論.二、經(jīng)典例題精講題型一:驗證勾股定理的圖形應用1、 已知:如圖2,以Rt ABC 的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊AB =3,則圖中陰影部分的面積為 ( .(A 9 (B 3 (C 49 (D 292、如圖7,已知在Rt ABC 中,Rt ACB =,4AB =,分別以AC ,BC 為直徑作半圓,面積分別記為1S ,2S ,則1S +2S 的值等于 .3、 我國古代數(shù)學家趙爽“的勾股圓方圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖1所示,如果大正方形的面積是13(或25,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直

6、角邊分別是a 、b ,那么2(b a + 的值為 ( (A 49 (B 25(C 13 (D 1 題型二:利用勾股定理求線段長度例題1(“知二求一”如果梯子的底端離建筑物9米,那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米?2、暑假中,小明到某海島探寶,如圖,他到達海島登陸點后先往東走8km ,又往北走2km ,遇到障礙后又往西走3km ,再折向北走6 km 處往東一拐,僅1 km 就找到寶藏,問登陸點到埋寶藏點的直線距離是多少?例題2 (知一求二如圖(8,水池中離岸邊D 點1.5米的C 處,直立長著一根蘆葦,出水部分BC 的長是0.5米,把蘆葦拉到岸邊,它的頂端B 恰好落到D 點,并求水池的

7、深度AC. D C BA題型三:折疊問題例題1、如圖4,已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E,將ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F,求CE的長.例題2、如圖8,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)直角邊沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,則CD的長為.例3、矩形紙片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,現(xiàn)將紙片折疊壓平,使A與C重合,設(shè)折痕為EF,則重疊部分AEF的面積等于.題型四:求立體圖形中的最短問題例1、如右圖1-19,壁虎在一座底面半徑為2米,高為4米的油罐的下底邊沿A處,它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有

8、一只害蟲,便決定捕捉這只害蟲,為了不引起害蟲的注意,它故意不走直線,而是繞著油罐,沿一條螺旋路線,從背后對害蟲進行突然襲擊.結(jié)果,壁虎的偷襲得到成功,獲得了一頓美餐.請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?(取3.14,結(jié)果保留1位小數(shù),可以用計算器計算例2:如圖為一棱長為3cm的正方體,把所有面都分為9個小正方形,其邊長都是1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面A點沿表面爬行至右側(cè)面的B點,最少要花幾秒鐘?題型五:在網(wǎng)格紙中利用勾股定理完成作圖例1、如圖10,方格紙上每個小正方形的面積為1個單位.(1在方格紙上,以線段AB為邊畫正方形并計算所畫正方形的面積,解釋你的計算方法.(2你

9、能在圖上畫出面積依次為5個單位、10個單位、13個單位的正方形嗎?例2、如圖小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是( (A25 (B12.5 (C9 (D8.5三、課后訓練:一、填空題1.如圖(1,在高2米,跨度為4米的的樓梯表面鋪地毯,地毯的長至少需_米.圖(12.種盛飲料的圓柱形杯(如圖,測得內(nèi)部底面半徑為2.5,高為12,吸管放進杯里,杯口外面至少要露出4.6,問吸管要做。3.在一棵樹的10米高處有兩只猴子,一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處,距離以直線計算,如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等,則這棵樹高_米。5.如圖是一個三級臺階,它的每

10、一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm,A和B是這個臺階兩個相對的端點,A點有一只螞蟻,想到B點去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是_.二、選擇題1.已知一個Rt的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是(A、25B、14C、7D、7或252.Rt一直角邊的長為11,另兩邊為自然數(shù),則Rt的周長為(A、121B、120C、132D、不能確定3.如果Rt兩直角邊的比為512,則斜邊上的高與斜邊的比為(A、6013B、512C、1213D、601694.已知RtABC中,C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,則RtABC的面積是(A、24cm2B、36cm2C、

11、48cm2D、60cm25.等腰三角形底邊上的高為8,周長為32,則三角形的面積為(A、56B、48C、40D、326.某市在舊城改造中,計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境,已知這種草皮每平方米售價a元,則購買這種草皮至少需要(A、450a元B、225a 元C、150a元D、300a元 2032AB150°20m 30m第6題圖7.已知,如圖長方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,將此長方形折疊,使點B與點D重合,折痕為EF,則ABE的面積為(A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm28.在ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,則ABC的

12、周長為A.42B.32C.42或32D.37或339. 如圖,正方形網(wǎng)格中的ABC,若小方格邊長為1,則ABC是(A直角三角形(B銳角三角形(C鈍角三角形(D以上答案都不對三、計算1、如圖,A、B是筆直公路l同側(cè)的兩個村莊,且兩個村莊到直路的距離分別是300m和500m,兩村莊之間的距離為d(已知d2=400000m2,現(xiàn)要在公路上建一汽車停靠站,使兩村到停靠站的距離之和最小。問最小是多少?2、如圖1-3-11,有一塊塑料矩形模板ABCD,長為10cm,寬為4cm,將你手中足夠大的直角三角板PHF 的直角頂點P落在AD邊上(不與A、D重合,在AD上適當移動三角板頂點P:能否使你的三角板兩直角邊

13、分別通過點B與點C?若能,請你求出這時AP 的長;若不能,請說明理由.再次移動三角板位置,使三角板頂點P在AD上移動,直角邊PH 始終通過點B,另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2cm?若能,請你求出這時AP的長;若不能,請你說明理由. 四、思維訓練:1、如圖所示是從長為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一塊長為20cm,寬為10cm的矩形后,剩下的一塊下腳料。工人師傅要將它做適當?shù)那懈?重新拼接后焊成一個面積與原下腳料的面積相等,接縫盡可能短的正方形工件,請根據(jù)上述要求,設(shè)計出將這塊下腳料適當分割成三塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案(在圖2,3中分別畫出切割時所沿的虛線,以及拼接后所得到的正方形,保留拼接的痕跡。2、葛藤是一種刁鉆的植物,它自己腰桿不硬,為了爭