信號與系統(tǒng)第四版吳大正 第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析

1、第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.6 4.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.8 4.8 取樣定理取樣定理點擊目錄點擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)一、矢量正

2、交與正交分解一、矢量正交與正交分解 時域分析時域分析，以，以沖激函數(shù)沖激函數(shù)為基本信號，任意輸入信號可分解為為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數(shù)；而一系列沖激函數(shù)；而yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以本章將以正弦信號正弦信號和和虛指數(shù)信號虛指數(shù)信號ejt為基本信號，任意輸入信為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列號可分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。的正弦信號或虛指數(shù)信號之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率頻率。故稱為。故稱為頻域分析頻域分析。 矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與與Vy = ( vy1

3、, vy2, vy3)正交的定義：正交的定義：其內(nèi)積為其內(nèi)積為0。即。即031iyixiTyxvvVV由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為稱為正交矢量集正交矢量集如三維空間中，以矢量如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個所組成的集合就是一個正交矢量集正交矢量集。 例如對于一個三維空間的矢量例如對于一個三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以，可以用一個三維正交矢量集用一個三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合分量的線性組合表示。即表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量

4、空間正交分解的概念可推廣到矢量空間正交分解的概念可推廣到信號信號空間，空間，在信號空間找到若干個在信號空間找到若干個相互正交的信號相互正交的信號作為基本信作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。性組合。 1. 定義：定義： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)區(qū)間的兩個函數(shù) 1(t)和和 2(t),若滿足若滿足 210d)()(*21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱則稱 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 2. 正交函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)，

5、 n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱此函數(shù)集為在區(qū)間則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 二、信號正交與正交函數(shù)集二、信號正交與正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函數(shù)不存在函數(shù)(t)(0）滿足）滿足 則稱此函數(shù)集為則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。例如例如：三角函數(shù)集三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，

6、是兩組典型的是兩組典型的在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交函數(shù)集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 三、信號的正交分解三、信號的正交分解設(shè)有設(shè)有n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個正交個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù)Cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間

7、區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值通常使誤差的方均值(稱為稱為均方誤差均方誤差)最小。均方誤差為最小。均方誤差為 ttCtfttttnjjjd )()(12121122為使上式最小為使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為為0，寫為，寫為 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系數(shù)所以系數(shù)212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKttttt

8、fC代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見教材）代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過程見教材）0d)(112212221njjjttKCttftt在用正交函數(shù)去近似在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)越多，即時，所取得項數(shù)越多，即n越越大，則均方誤差越小。當(dāng)大，則均方誤差越小。當(dāng)n時（為完備正交函數(shù)時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有集），均方誤差為零。此時有 12221d)(jjjttKCttf上式稱為上式稱為(Parseval)巴塞瓦爾公式巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各在完備正交函數(shù)集中分解的各正

9、交分量能量的總和。正交分量能量的總和。 1)()(jjjtCtf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和可分解為無窮多項正交函數(shù)之和4.2 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)一、傅里葉級數(shù)的三角形式一、傅里葉級數(shù)的三角形式設(shè)周期信號設(shè)周期信號f(t)，其周期為，其周期為T，角頻率，角頻率 =2 /T，當(dāng)滿足，當(dāng)滿足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級條件時，它可分解為如下三角級數(shù)數(shù) 稱為稱為f(t)的的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱為稱為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 22d)cos()(2TTnttn

10、tfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見，可見， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中，其中， A0/2為為直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，它的角頻率與原周，它的角頻率與原周期信號相同；期信號相同； A2cos(2 t+ 2)稱為稱為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波的，它的頻率是基波的2倍；倍；一般而言，一

11、般而言，Ancos(n t+ n)稱為稱為n次諧波次諧波。 可見可見An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為將上式同頻率項合并，可寫為二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對稱縱坐標(biāo)對稱縱坐標(biāo)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展開為余弦級數(shù)。，展開為余弦級數(shù)。2 . .f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對稱于原點對稱于原點an =0，展開為正弦級數(shù)。，展開為正弦級數(shù)。實際上，任意函數(shù)實

12、際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此時此時 其傅里葉級數(shù)中只含奇次其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分諧波分量，而不含偶次諧波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三角形式三角形式

13、的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感的傅里葉級數(shù)，含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)?？蓮娜母道锶~級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪媒切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三項的上式中第三項的n用用n代換，代換，A n=An， n= n，則上式寫為則上式寫為 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A(yù)0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnAtf

14、ee21)(所以所以令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)nnjnFFAnnee21稱其為稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。，簡稱傅里葉系數(shù)。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF表明：任意周期信號表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號之和。數(shù)信號之和。 F0 = A0/2為直流分量。為直流分量。四、周期信號的功率四、周期信號的功率P

15、arseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 n0時，時， |Fn| = An/2。周期信號一般是功率信號，其平均功率為周期信號一般是功率信號，其平均功率為4.3 4.3 周期信號的頻譜及特點周期信號的頻譜及特點一、信號頻譜的概念一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種從廣義上說，信號的某種特征量特征量隨信號頻率變隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為化的關(guān)系，稱為信號的頻譜信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信，所畫出的圖形稱為信號的號的頻譜圖頻譜圖。 周期信號的頻譜周期信號的頻譜

16、是指周期信號中各次諧波幅值、是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將將An和和 n的關(guān)系分別畫在以的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位頻相位頻譜圖譜圖。因為。因為n0，所以稱這種頻譜為，所以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可畫也可畫|Fn|和和 n的關(guān)系，稱為的關(guān)系，稱為雙邊譜雙邊譜。若。若Fn為實數(shù)，也可直接畫為實數(shù)，也可直接畫Fn 。試求該周期信號的基波周期試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫，畫出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均

17、功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解解 首先應(yīng)用三角公式改寫首先應(yīng)用三角公式改寫f(t)的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號的直流分量。是該信號的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為323741212121122例：例：周期信號周期信號 f(t) = P= 34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次諧波分量；次諧波分量； 323

18、cos41是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1二、周期信號頻譜的特點二、周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度為舉例：有一幅度為1，脈沖寬，脈沖寬度為度為 的周期矩形脈沖，其周的周期矩形脈沖，其周期為期為T，如圖所示。求頻譜。，如圖所示。求頻譜。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)） nnTjnTtjn)2sin(2e122

19、)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)為實數(shù)，可直接畫成一個頻譜圖。設(shè)T = 4畫圖。畫圖。零點為零點為mn2所以所以mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。Fn022441特點特點： (1)周期信號的頻譜具有諧波周期信號的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置性。譜線位置是基頻是基頻的整數(shù)倍；的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。一般具有收斂性。總趨勢減小。譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) T一定，一定， 變小，此時變小，此時 （譜線間隔）不變。兩零點（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數(shù)目：之間的譜線數(shù)目： 1/

20、=（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(b) 一定，一定，T增大，間隔增大，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小。減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜離散頻譜就過就過渡到非周期信號的渡到非周期信號的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。于無窮小。 4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 非周期信號非周期信號f(t)可看成是周期可看成是周期T時

21、的周期信號。時的周期信號。 前已指出當(dāng)周期前已指出當(dāng)周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮大時，譜線間隔 趨趨近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率近于無窮小，從而信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。間仍有差別。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(單位頻率上的頻譜）單位頻率上的頻譜） 稱稱F(j)為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTF

22、tf1e)(考慮到：考慮到：T，無窮小，記為無窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而2d21T同時，同時， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里葉變換式傅里葉變換式“- -”傅里葉反變換式傅里葉反變換式F(j)稱為稱為f(t)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡稱，簡稱頻譜頻譜。f(t)稱為稱為F(j)的的傅里葉反變換傅里葉反變換或或原函數(shù)原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級數(shù)根據(jù)傅里葉級數(shù)也可簡記為也可簡記為 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是復(fù)函

23、數(shù)，寫為一般是復(fù)函數(shù)，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 說明說明 (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的的傅里葉變換存在的充分條件充分條件:ttfd)(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分用下列關(guān)系還可方便計算一些積分dttfF)()0(d)(21)0(jFf二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = e t(t)， 0實數(shù)實數(shù)10tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) =

24、et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt3. 門函數(shù)門函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24. 沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 5. 常數(shù)常數(shù)1有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿足絕對可積這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t

25、) ，即，即而而fn(t)滿足絕對可積條件，并且滿足絕對可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所的傅里葉變換所形成的序列形成的序列Fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅的傅里葉變換里葉變換F (j )為為)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn這樣定義的傅里葉變換也稱為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 構(gòu)造構(gòu)造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( )

26、 ) 另一種求法另一種求法： (t)1(t)1代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj將將 tt，tt- - )(de21ttj再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1ttj6. 符號函數(shù)符號函數(shù)0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)歸納記憶：1. F 變換對變換對2. 常用函數(shù)常用函數(shù) F 變換對：變換對：t域域域域t

27、etfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)一、線性一、線性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a11= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) For example F(j

28、) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -二、時移性質(zhì)二、時移性質(zhì)(Timeshifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real constant.)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtjFor example F(j) = ?Ans: f1(t) = g6(t -

29、 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468三、對稱性質(zhì)三、對稱性質(zhì)(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in (1) t ，t thentjtFftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtFftjde)(21)( F(j t) 2f () endF( jt ) 2f (

30、)For example F(j) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212 t|2e11t* if2232)(22tttttfF(j) = ?四、頻移性質(zhì)四、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property)If f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0) end)(e)(00tfjFtjFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t

31、 1 2(- -3)For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (+0)+ (- -0)For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal f(t) cos0t ? 五、尺度變換性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property)If f (t) F(j) then where “a” is a nonzero real constant.Proof: F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t )

32、d1e)(afajatajFa1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f (a t ) ajFa|1Also,letting a = - -1,f (- t ) F( - -j) ajFaatf|1)(演示For example 1Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b) e - -jb F( j)f (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1For example 2f(t) = F(j)

33、 = ?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jtUsing symmetry,using scaling property with a = - -1,so that,六、卷積性質(zhì)六、卷積性質(zhì)(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)2

34、1Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t) =dde)()(ded)()(2121ttffttfftjtjUsing timeshiftingjtjjFttfe)(de)(22So that, F f1(t)*f2(t) =de)()(de)()(1221jjfjFjFf= F1(j)F2(j)For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20七、時域的微

35、分和積分七、時域的微分和積分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F(j) then )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12tFor exampl

36、e 2Given that f (t) F1(j)Prooff (t) F1(j) + f(-)+ f() ( )j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjFjtttfjFjtttfftftProof)()()()(1)()(2)(1ffjFjfjFSo)()()()(1)(1ffjFjjFSummary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)nFor example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -

37、11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)八、頻域的微分和積分八、頻域的微分和積分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j) xjxFtfjttfd)()(1)()0(whered)(21)

38、0(jFfFor example 1Determine f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jttNotice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.For example 2Determined)sin(aAns:)sin(2)(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd)sin(1)0(2aga2d)sin(0a九、帕斯瓦爾關(guān)系九、帕斯瓦爾關(guān)系(Parsevals Rela

39、tion for Aperiodic Signals)d)(21d)(22jFttfEProofttftfttfEd)()(d)(*2tjFtftjdde)(21)(*dde)()(21*ttfjFtjd| )(|21d)()(212*jFjFjF|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 單位頻率上的頻譜單位頻率上的頻譜 (能量密度譜能量密度譜）JsFor exampleDetermine the energy of ttt5sin)997cos(2Ans:)(5sin10gtt)997()997(5sin)9

40、97cos(21010ggttt10)1010(21d)(2ttfE十、奇偶性十、奇偶性(Parity)If f(t) is real, thentttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()(= R() + jX()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RXSo that(1)R()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX()4.

41、6 4.6 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換 12()由頻移特性得由頻移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )二、一般周期信號的傅里葉變換二、一般周期信號的傅里葉變換ntjnnTFtfe)(22de)(1TTtjnTnttfTFnnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(例例1：周期為：周期為T的單位沖激周期函數(shù)的單位沖激周期函數(shù) T(t)

42、= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(122解解：)()()(2)(tnnTtnnT(1)例例2：周期信號如圖，求其傅里葉變換。：周期信號如圖，求其傅里葉變換。0- -11f(t)t t14- -4解解：周期信號：周期信號f(t)也可看作也可看作一時限非周期信號一時限非周期信號f0(t)的周的周期拓展。即期拓展。即f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0F(j) =nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2本題本題 f0(t) = g2(t)Sa(222T(2)(2)式與上頁式與上頁(1)式比較，得式比較，得)2(1)(200Tnj

43、FTjnFFn這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法。這也給出求周期信號傅里葉級數(shù)的另一種方法。4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。率的虛指數(shù)函數(shù)之和。ntjnnFtfe)(對周期信號：對周期信號：對非周期信號：對非周期信號：de)(21)(tjjFtf其其基本信號基本信號為為 ej t一、基本信號一、基本信號ej t作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)說明：頻域分析中，信號的定義域為說明：頻域分析中，信號的定義域為(，)，而，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為總可認(rèn)為系

44、統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為響應(yīng)，常寫為y(t)。 設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵是角頻率，當(dāng)激勵是角頻率的基的基本信號本信號ej t時，其響應(yīng)時，其響應(yīng) tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式積分而上式積分 正好是正好是h(t)的傅里葉變換，的傅里葉變換，記為記為H(j )，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。，常稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。de)(jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反映了響應(yīng)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t二、一般信號二、一般信號f(t)作用于

45、作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j ) ej t d 齊次齊次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )LTI* h(t) =傅傅氏氏 變變換換傅傅氏氏 反反變變換換f (t)傅傅氏氏 變變換換y(t)F(j)H(j)Y(j)頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j )可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換換Y(j )與激勵與激勵f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F(j )之比，即之比，即 )()()(jF

46、jYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 稱為稱為幅頻特性幅頻特性（或（或幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)）；）；( ) )稱為稱為相相頻特性頻特性（或（或相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)）。）。 H(j ) 是是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，( )是是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 頻域分析法步驟：頻域分析法步驟：傅里葉變換法傅里葉變換法對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。對周期信號還可用傅里葉級數(shù)法。周期信號周期信號ntjnnTFtfe)(ntjnnntjnnTjnHFthFtfthtye)(e*)()(*)()(若若10)cos(2)(nnnTtnAAtf)()()(jejHjH則可推導(dǎo)出則可推導(dǎo)出10)

47、(cos| )(|)0(2)(nnnntnjnHAHAty例例：某：某LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的 H(j ) 和和( ) )如圖，如圖，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。，求系統(tǒng)的響應(yīng)。|H(j)|()10- -1001- -解法一解法一：用傅里葉變換：用傅里葉變換F(j ) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j ) = F(j )H(j ) = 4() H(0) + 4(5) H(j5 5) + (+5) H(-j5 5)+ 4(10) H(j1010) + (+10) H(-j1010) H(j )= = H(j

48、) ejej( ( ) )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 + 2sin(5t)解法二解法二：用三角傅里葉級數(shù)：用三角傅里葉級數(shù)f(t)的基波角頻率的基波角頻率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t)三、頻率響應(yīng)三、頻率響應(yīng)H(jH(j ) )的求法的求法1. H(j ) = F h(t) 2. H(j ) = Y(j )/F(j )(1)由微分方程

49、求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。(2)由電路直接求出。由電路直接求出。 例例1：某系統(tǒng)的微分方程為：某系統(tǒng)的微分方程為 y (t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e-t(t)時的響應(yīng)時的響應(yīng)y(t)。解解：微分方程兩邊取傅里葉變換：微分方程兩邊取傅里葉變換j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 21)()()(jjFjYjHf(t) = e-t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 例例2：如圖電路，：如圖電路，R=1，C=1F，

50、以，以uC(t)為輸出，求其為輸出，求其h(t)。uC(t)uS(t)CR解解：畫電路頻域模型：畫電路頻域模型US(j)RUC(j)Cj11111)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)= e- -t (t) 四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波四、無失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的信號的傳輸傳輸，一類是，一類是濾波濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。波則濾去或削弱不需要有的成分，必然伴隨著失真。 1、無失真?zhèn)鬏?、無失真?zhèn)鬏?（1）定義定義：信號：信號無失真?zhèn)鬏?/p>

51、無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與是指系統(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有輸入信號相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出現(xiàn)時間的先后不出現(xiàn)時間的先后不同同，而沒有波形上的變化。即，而沒有波形上的變化。即 輸入信號為輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為 y(t) = K f(ttd) 其頻譜關(guān)系為其頻譜關(guān)系為 Y(j )=Ke j tdF(j ) 系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)h(t)，H(j )的要求是：的要求是： (a)對對h(t)的要求的要求： h(t)=K (t td) (b)對對H(j )的要求的要求： H(j )=Y(j

52、 )/F(j )=Ke- -j td即即 H(j ) =K ,( )= td K|H(j)| ()0 0 上述是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)纳鲜鍪切盘枱o失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐肜硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶條件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、寬的信號是，只要在信號占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿足以上條件即可。相頻特性滿足以上條件即可。 (2)無失真?zhèn)鬏敆l件無失真?zhèn)鬏敆l件：例例：系統(tǒng)的幅頻特性：系統(tǒng)的幅頻特性|H(j)|和相頻特性如圖和相頻特性如圖(a)(b)所示，則下列信所示，則下列信號通過該系統(tǒng)時，不號通過該系統(tǒng)時，不產(chǎn)生失真的是產(chǎn)生失真的是(a)(b)1010-10-105 5-

53、5-500| |H H(j(j)|)|( () )5 5-5-5(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)2、理想低通濾波器、理想低通濾波器 1|H(j)| ()0 0C C- -C C具有如圖所示幅頻、相頻特性具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器理想低通濾波器。 c稱為截止角頻率。稱為截止角頻率。 理想低通濾波器的頻率響應(yīng)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫為：可寫為： dCdtjCCtjgjHe)(, 0,e)(2(1

54、)沖激響應(yīng)沖激響應(yīng) h(t)= - -1g 2 c( )e)e-j-j t td d =)(Sadcctt 可見，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)?？梢?，它實際上是不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。(2)階躍響應(yīng)階躍響應(yīng) g(t)=h(t)* (t)= d)()(sind)(dcdctcttth經(jīng)推導(dǎo)，可得經(jīng)推導(dǎo)，可得)(0sin121)(dcttdxxxtgxxxyydsin)Si(0稱為正弦積分稱為正弦積分)(Si121)(dCtttg1t td dCdtg(t)0 0t t特點特點：有明顯失真，只要：有明顯失真，只要 c，則必有振蕩，其過沖，則必有振蕩，其過沖比穩(wěn)態(tài)值高約比穩(wěn)態(tài)值高約9%。這一由頻率截

55、斷效應(yīng)引起的振蕩現(xiàn)。這一由頻率截斷效應(yīng)引起的振蕩現(xiàn)象稱為象稱為吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象。gmax=0.5+Si()/=1.08953、物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件、物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的條件 就就時域特性時域特性而言，一個而言，一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，其沖，其沖激響應(yīng)在激響應(yīng)在t0時必須為時必須為0，即，即 h(t)=0 ,t0 即即 響應(yīng)不應(yīng)在激勵作用之前出現(xiàn)響應(yīng)不應(yīng)在激勵作用之前出現(xiàn)。 就就頻域特性頻域特性來說，佩利（來說，佩利（Paley)和維納（和維納（Wiener)證證明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足明了物理可實現(xiàn)的幅頻特性必須滿足 djH2)(djH21)(ln并且并且稱為稱為佩利佩利-維納準(zhǔn)則維納準(zhǔn)則。（。（必要條件必要條件）從該準(zhǔn)則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性從該準(zhǔn)則可看出，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶，但不能在某個有限頻帶內(nèi)為內(nèi)為0。 4.8 4.8 取樣定理取樣定理 取樣定理取樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用全可以用離散樣本值離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號。信號的全部信息，利用