可分離變量的微分方程

1、一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法第二章第二章 一階微分方程初等解法一階微分方程初等解法例例1 1 求解微分方程求解微分方程.122的通解的通解及及xxydxdyxydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積

2、分兩端積分,2 xdxydy21ln yxC.2為所求通解為所求通解xcey 又又,12xxdxydy 兩端積分兩端積分,12 xxdxydy21lnln(1)ln2yxC 21.ycx 為為所所求求通通解解)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程1.1.定義定義二、齊次方程二、齊次方程,0)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu

3、)()( ,代入代入將將xyu ,)(xyCex 得通解得通解,0u 當(dāng)當(dāng), 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解則則uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齊次方程的解得齊次方程的解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 則則,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解為微分方程的解為.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 三、可化為齊次方

4、程的方程三、可化為齊次方程的方程的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 為齊次方程為齊次方程. .,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) cc否則為非齊次方程否則為非齊次方程. .1.1.定義定義1.3dyxydxxy 例例3 3求求的的通通解解解解, 021111 1030,xyxy 方方程程組組1,2,xy . 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11uudXduXu 分離變量法得分離變量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，將將2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxy

5、xy .622122Cyxyxyx 或或方程變?yōu)榉匠套優(yōu)槔米兞看鷵Q求微分方程的解利用變量代換求微分方程的解2().dyxydx例例4 4 求求的的通通解解解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy .()()0.fxy ydxg xy xdy 例例5 5求求方方程程通通解解,xyu 令令,ydxxdydu 則則, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuu

6、gxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解為通解為解解)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的.上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)1、線性方程、線性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.四、四、 一階線性微分方程一階線性微分方程 . 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey

7、(1). 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法解法(使用分離變量法使用分離變量法)(2). 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設(shè)設(shè) ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:)(xuC 常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未

8、知函數(shù)的變量代換.),()(xyxu原未知函數(shù)原未知函數(shù)新未知函數(shù)新未知函數(shù)作變換作變換 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解20( )( )( )ln2( ).2xf xtf xfdtf x 例例6 6

9、、若若連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式，求求2)()( xfxf解：解：yy2 02 yy dxcexfy2)(xce2 2ln)0( f2ln cxexf22ln)( 則則.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例7 7伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為方程為線性微分方程線性微分方程. 方程為方程為非線性微分方程非線性微分方程.2、伯努利方程、伯

10、努利方程時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法: : 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxx

11、y即即解解，得，得兩端除以兩端除以ny例例 81、全微分方程及其求法、全微分方程及其求法（1 1）. .定義定義: :0),(),( dyyxQdxyxP則則dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰當(dāng)方程或恰當(dāng)方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程五、五、 全微分方程全微分方程 （2 2）. .解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)應(yīng)用曲線積分與路徑無(wú)關(guān).xQyP 通解為通解為 yy

12、xxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接湊用直接湊全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解為原方程的通解為,42344224yyxx 例例9 9.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,將左端重新組合將左端重新組合)32(14

13、232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解為原方程的通解為),1(32yxyd 例例102、積分因子法、積分因子法定義定義: : 0),( yx 連續(xù)可微函數(shù)，使方程連續(xù)可微函數(shù)，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成為全成為全微分方程微分方程. .則稱則稱),(yx 為方程的為方程的積分因子積分因子. .問題問題: 如何求方程的積分因子如何求方程的積分因子?1.1.公式法公式法: :,)()(xQyP xQxQyPyP ，兩邊同除兩邊同除 xQyPyPxQ lnln求解不容易求解不容易特殊地特殊地:;.有關(guān)時(shí)有關(guān)時(shí)只與只與

14、當(dāng)當(dāng)xa , 0 y ,dxdx ;.有關(guān)時(shí)有關(guān)時(shí)只與只與當(dāng)當(dāng)yb )(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 2.2.觀察法觀察法: :憑觀察湊微分得到憑觀察湊微分得到),(yx 常見的全微分表達(dá)式常見的全微分表達(dá)式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122.0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy

15、解解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( .x 例例11則原方程為則原方程為, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解為原方程的通解為.)(2123Cxyyx (公式法公式法)可積組合法可積組合法.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有例例12 求微分方程求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解為

16、原方程的通解為.)(322322Cyxx .0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx則則. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解為原方程的通解為.)1(31ln2322Cyyx 可積組合法可積組合法例例13 求微分方程求微分方程六、六、 一階隱方程與參數(shù)表示一階隱方程與參數(shù)表示 1.參參數(shù)數(shù)形形式式的的解解2.xy可可以以解解 或或 的的方方程程3.xy不不顯顯含含 或或 的的方方程程1.dy

17、yf(x,)dx :,dypxdx 解解法法令令然然后后兩兩邊邊對(duì)對(duì) 求求導(dǎo)導(dǎo)得得: :ff dppxp dx,.xp這這是是一一個(gè)個(gè)關(guān)關(guān)于于 與與 的的一一階階微微分分方方程程 且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)已已解解出出 于于是是可可用用前前面面的的方方法法進(jìn)進(jìn)行行求求解解2.( ,)dyxf ydx :,dypdx 解解法法令令然然后后兩兩邊邊對(duì)對(duì)y y求求導(dǎo)導(dǎo)得得: :1ff dppyp dy,.p這這是是一一個(gè)個(gè)關(guān)關(guān)于于y y與與 的的一一階階微微分分方方程程 且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)已已解解出出 于于是是可可用用前前面面的的方方法法進(jìn)進(jìn)行行求求解解3.( ,)0F x y :( ),( ),( ,)0pyxtptF x P 解解法法 令令并并尋尋求求恰恰當(dāng)當(dāng)?shù)牡膮?shù)數(shù)表表示示使使其其滿滿足足再再利利用用dttttdtpdxdy)()()()( 兩兩邊邊積積分分便便得得( )( )ytt dtc 于于是是得得參參數(shù)數(shù)形形式式的的通通解解為為),(,)()(),(為任意常數(shù)為任意常數(shù)為參數(shù)為參數(shù) ctcdtttytx 4.( ,)0F y y :( ),( ),( ,)0pyytptF y P 解解法法 令令并并尋尋求求恰恰當(dāng)當(dāng)?shù)牡膮?shù)數(shù)表表示示使使其其滿滿足足再再利利用用111( )( )( )( )dxdydtt dtptt 兩兩邊邊積積分分便便得得(