不等式知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)點(diǎn)

1、不等式知識(shí)結(jié)構(gòu)及知識(shí)點(diǎn)總結(jié).知識(shí)結(jié)構(gòu)磔木fl用柞士或作湎求闔旭UM超兀 次不等K1雛43面區(qū)M1-次南&TUl+h構(gòu)肅d,溝:； 4=- ii-（tl'+n -A）3構(gòu)位斜率；片套.4iY FT y C 就M山£ 下和為定值.朋行拈上值：投為定度和有最小微i t* id>o. t>n?解不等式借劭二次海物圖象.利用三個(gè)二次"網(wǎng)的關(guān)系-mor：* jfXrjfiK-ir ：&*/（<）y （f）>0 H（r?*OJ FlK w系益比為IE. 一穿梅法” .奇穿儡不穿二.知識(shí)點(diǎn)1、不等式的基本性質(zhì)（對(duì)稱(chēng)性）abu ba （傳遞性）

2、a >b,b >c a > c（可加性）a b ：= a c b c（同向可力口性）ab,cAd = a+ c:>b+d （異向可減性） a b, c ： d = a - c b - d（可積性）a b, c . 0 = ac bca b, c ：二 0 = ac :二 bc（同向正數(shù)可乘性）a >b >0,c >d >0=> ac >bd（異向正數(shù)可除性）a >b >0,0 <c<d=芻>2 c d（平方法則）a>b>0=> an>bn（n=N,且n >1）（開(kāi)方法則）a

3、>b >0= Va >n/b（n w n,且n >1）_. .1111（倒數(shù)法則）ab>0= < 一 ;a<b<0= >- a ba b2、幾個(gè)重要不等式22a2 b2a2+b222ab a, b=R ,（當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取"="號(hào)）.變形公式：ab<2（基本不等式） ab2a, bw R+）,（當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)取到等號(hào)變形公式：a +b >2Vabab <'llb :用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積 -2.最大），要注意滿足三個(gè)條件 “一正、二定、三相等”.（三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何

4、平均不等式）a*b*c >yObc （a、b、CW R4）（當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c3時(shí)取到等號(hào)）.a2 +b2 +c2之a(chǎn)b + bc +ca(a, be R )(當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí)取到等號(hào)) a3+b3+c3 3abc(a>0,b >0,c>0)(當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí)取到等號(hào)).b ab a一右ab >0,則一+22 (當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)) 右ab< 0,則一+W - 2 (當(dāng)僅當(dāng)a=b a ba b時(shí)取等號(hào))_ bbmana,一<<1<<一其中(a>b>0, m >0, n > 0)

5、規(guī)律：小于1同加則變大，大于1aambnb同加則變小.當(dāng)a >0時(shí)，x >au x2 >a2y x <-ax >a;x < au x < a u a < x < a.絕對(duì)值三角不等式 a| |b - a -b - a b .2723、幾個(gè)著名不等式平均不等式：一2_ _ OB ia_b < a,b a, b R,，(當(dāng)且僅aA bA2.2當(dāng)a =b時(shí)取"="號(hào)).(即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均工平方平均).變形公式：ab - a_ a b ； a2 b2 - (a b).222哥平均不等式：a12-a22.an2-

6、1 (a1-a2,-an)2.n二維形式的三角不等式：x；y；,x22y22一 (x -x2)2(y1 一y2)2(為，丫1?2,丫2R).二維形式的卞西不等式 (a2 +b2)(c2+d2)Wac + bd)2(a,b,c,dw R).當(dāng)且僅當(dāng)ad = bc時(shí)，等號(hào)成立.三維形式的柯西不等式:(42 +a22 +a32)(b12 +b22 +b32)之(a1bl +a2 b2 +a3b3)2.一般形式的柯西不等式：(a12 a22 . an2)(b12 b22 . bn2) 2-(a1bi ' a2b2 '. ' anbn).向量形式的柯西不等式：設(shè)J,百是兩個(gè)向量，

7、則，司綱同，當(dāng)且僅當(dāng) 田是零向量，或存在實(shí)數(shù)k,使oT=k百時(shí)， 等號(hào)成立.排序不等式(排序原理)：設(shè) a <a2 <. <an,b! Wb W. Wbn 為兩組實(shí)數(shù).G,C,.,Cn 是 b|,b2,.,bn 的任一排列，則a1bn+a2bl。+anb| wa1G+a2c2+2門(mén)孰Ea1bl+a2b2+ anbn.(反序和 w亂序和 < 順序和)當(dāng)且僅當(dāng)a1 =a2 = . = an或b =N =. = bn時(shí)，反序和等于順序和.琴生不等式：(特例：凸函數(shù)、凹函數(shù))若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f (x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn) Xl,X2(Xl ¥長(zhǎng)),有 f(X1

8、 +4)/3)+他2)或 f(x1 +X2f(XJ+f(X2)則稱(chēng) f(x)為凸(或2222凹)函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法(作差，作商法)、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、 放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法 等.31 2(a -);42常見(jiàn)不等式的放縮方法： 12 舍去或加上一些項(xiàng)，如 (a ) 2(2 _2_) 122；k k . k . k , k 、k -1 '1_ v)將分子或分母放大(縮小)，如1112，k2 k(k -1)k2 I(k = N , k >1)等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式 aX2 +bX +

9、c > 0(或<0) (a = 0,A =b2 -4ac> 0)解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù) .二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.四畫(huà)： 畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊 .6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿( 奇穿偶見(jiàn))，結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫(xiě)出不等式的解集 .段) 0= f(X) g(X) 07、分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分 標(biāo)準(zhǔn)化,貝U g(x) ,( “ <或E”時(shí)f(x) _0_ f(x) g(x)-0 g(x) g(x) =

10、 0同理)規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無(wú)理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解ff(x)>0f (x) < a2'f(x)",.函 a(a 0)上f(x) 0.f(x) g(x)：- g(x) _0-2f(x) g(x)f(x),a2 g <a(a>0) =T f(x)_0“、f(x)-0或'nfYl <-n Jf (x) <g(x)u «g(x) >0g(x)：.u2f(x)：g(x)f(x) ,0、f (x) . g(x) = g(x) ,0f(x) g(x)規(guī)律：把無(wú)理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等

11、式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng) a >1 時(shí),af (x) >ag(x) u f (x) > g(x)當(dāng) 0 <a <1 時(shí)，af(x)ag(x)= f (x) ： g(x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對(duì)數(shù)不等式的解法f(x) 0當(dāng)a >1時(shí)，| 一、 I /、1/、 c 當(dāng)0<a<1時(shí)，,loga f(x) logag(x)= g(x) 0,f(x) g(x)f(x) 0loga f(x) logag(x)= g(x) 0.f (x)二 g(x)規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.a (a 0),11、含絕對(duì)值不等

12、式的解法： 定 乂法： a = W.7平萬(wàn)法：1-a (a < 0 )f(x)| |g(x) = f2(x)Mg2(x).同解變形法，其同解定理有： x Mau a w x Wa(a 之0); x 之a(chǎn)u x 之a(chǎn)或xWa(a 2 0);f(x) Wg(x)= -g(x) < f(x) <g(x) (g(x) >0)f (x)之g(x)u f (x)占g(x)或f(x) <-g(x) (g(x) >0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).12、含有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）絕對(duì)值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、

13、含參數(shù)的不等式的解法2解形如ax +bx+c>0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論a與0的大?。挥懻?與0的大??；討論兩根的大小 .14、恒成立問(wèn)題不等式ax2+bx+c >0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng)a = 0時(shí) =b=0,c>0;當(dāng)a/0時(shí)一 了0不等式ax2+bx + c<0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng) a =0時(shí)=b =0,c<0;當(dāng)a*0時(shí) 心<。A：:0. f （x） <a 恒成立 仁 f （x）max <a; f （x） Wa恒成立 u f （x）max <a;f（x）a

14、恒成立仁f （x）mm >a; f （x）之a(chǎn)恒成立u f（x）min之a(chǎn)15、線性規(guī)劃問(wèn)題二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點(diǎn)定域法：由于直線 Ax + By + C = 0的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入Ax+By +C后所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)（x0,y0）（如原點(diǎn)），由Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷出 Ax + By+C>0（或<0）表 示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn)法二：根據(jù)Ax +By +C >0 （或<0）,觀察B的符號(hào)與不等式開(kāi)口的符號(hào)，若同號(hào)，Ax

15、+ By +C A0 （或<0）表示直線上方的區(qū)域；若異號(hào)，則表示直線上方的區(qū)域.|即：同號(hào)上方，異號(hào)下 二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù) z=Ax + By （A, B為常數(shù)）的最值：法一：角點(diǎn)法：如果目標(biāo)函數(shù)z = Ax+By （ x、y即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對(duì)應(yīng)z值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最小值法二：畫(huà)一一移一一定一一求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域

16、；第二步，作直線 l0:Ax+By = 0 ,平移直 線l0 （據(jù)可行域，將直線l0平行移動(dòng)）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解 （x,y）；第四步， 將最優(yōu)解（x, y）代入目標(biāo)函數(shù)z = Ax + By即可求出最大值或最小值 第二步中最優(yōu)解的確定方法：利用z的幾何意義：y= -X+-,-為直線的縱截距.B B B若B>0,則使目標(biāo)函數(shù)z = Ax + By所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z取得最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z取得最小值；若B <0,則使目標(biāo)函數(shù)z = Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z取得最小值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z取得最大值.常見(jiàn)的目標(biāo)函

17、數(shù)的類(lèi)型：“截距”型：z = Ax + By;“斜率”型：z = Y或z = Izb;xx-a，“距離"型：z = x2 + y2或 z = Jx2 + y2；z = (x - a)2 + (y - b)2 或z = （x -a） （y -b）.在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問(wèn) 題簡(jiǎn)單化.16.利用均值不等式:22-a +b >2ab (a, b WR )a +b >2 Jab ； ab < a 2 b ）求最值時(shí)，你是否注意到“ a, b WR +'且“等號(hào)成立”時(shí)的條件，積（ab）或和（a+b）其中之一為定

18、 值？（一正、二定、三相等）a2 + b2 a + b1- 2ab .注意如下結(jié)論：v >>< ab >a, bWR +22a b當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)等號(hào)成立。a2 +b2 +c2*ab + bc+ca （a, b e R）當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí)取等號(hào)。.1bbma naa > b >0, m >0, n > 0,貝U- <1< <a a mb nb4 .如：若x>0, 23x4的最大值為 x、門(mén)4)(設(shè) y =2 3x +4 x三 2 -2、，12 =2 -4.342 3.當(dāng)且僅當(dāng) 3x =一，又x >0, :

19、 x =時(shí)，ymax=2-4、13)x3又如：x+2y=1,貝(J2x +4y的最小值為(V2x +22y 之2d2*y =2叔,:最小值為d'2)17.不等式證明的基本方法都掌握了嗎?(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)并注意簡(jiǎn)單放縮法的應(yīng)用。11 ：- 232， n211111+n -1 n F ：二1 .n212 2 3 .111=1 1 一一 '一 一一 , 2 2 31、=2 < 2) n18解分式不等式 出 aa=0的一般步驟是什么? g(x)(移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。)19.用“穿軸法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”,從最大根的右上方開(kāi)始,23如：x 1 x -1 x -2： 020 .解含有參數(shù)的不