專題-橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題

1、橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題1已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F1，0，且，在橢圓C上。1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2已知?jiǎng)又本€l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得恒成立？假設(shè)存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：1由題意知c=1由橢圓定義得，即 -3分 ，橢圓C方程為2假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Qm，0，使得恒成立。當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A1，B1，由于=，所以， 下面證明時(shí)，恒成立。當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A，0B，0則，0，0=，符合題意。 當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，A，B，由x=ty+1及得有；，=， 綜上所述：在x軸上存在點(diǎn)Q，0使得恒成立。2如圖

2、，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)分別在軸和軸上的橢圓，都過(guò)點(diǎn)，且橢圓與的離心率均為求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過(guò)點(diǎn)引兩條斜率分別為的直線分別交，于點(diǎn)P，Q，當(dāng)時(shí)，問(wèn)直線PQ是否過(guò)定點(diǎn)？假設(shè)過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由解：；直線MP的方程為，聯(lián)立橢圓方程得： ，消去y得，則，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，又，則點(diǎn)Q為：，則直線PQ的方程為：，即,化簡(jiǎn)得，即當(dāng)時(shí)，故直線PQ過(guò)定點(diǎn)3已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為1，0，1，01求橢圓C的方程；2E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值解：1由題意，c=1，可設(shè)橢圓方

3、程為，解得b2=3，舍去所以橢圓方程為2設(shè)直線AE方程為：，代入得，設(shè)ExE，yE，F(xiàn)xF，yF，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以由韋達(dá)定理得：，所以，又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以K代K，可得，所以直線EF的斜率，即直線EF的斜率為定值，其值為4已知橢圓E：+=1ab0經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，離心率為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；過(guò)左焦點(diǎn)F任作一直線l，交橢圓E于P、Q兩點(diǎn)i求的取值范圍；ii假設(shè)直線l不垂直于坐標(biāo)軸，記弦PQ的中點(diǎn)為M，過(guò)F作PQ的垂線FN交直線OM于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)N在一條定直線上解：由題意可得b=，e=，又a2b2=c2，解得a=，c=2，即有橢圓方程為+=1；iF2，0

4、，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)Px1，y1，Qx2，y2，直線方程為x=2，可得P2，Q2，=4=；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)l：y=kx+2，設(shè)Px1，y1，Qx2，y2，代入橢圓方程x2+3y2=6，可得1+3k2x2+12k2x+12k26=0，x1+x2=，x1x2=，=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1+2x2+2=1+k2x1x2+2k2x1+x2+4k2=1+k2+2k2+4k2=，由k20，3k2+11，可得6，綜上可得，的取值范圍是6，；ii證明：由直線l的斜率一定存在，且不為0，可設(shè)PQ：y=kx+2，F(xiàn)N：y=x+2，設(shè)Mx0，y0，則x0=，由x1+x2=，可得x0=，y0=

5、kx0+2=，直線OM的斜率為kOM=，直線OM：y=x，由得，即有k取何值，N的橫坐標(biāo)均為3，則點(diǎn)N在一條定直線x=3上5橢圓C：+=1ab01假設(shè)橢圓C過(guò)點(diǎn)3，0和2，求橢圓C的方程；假設(shè)過(guò)橢圓C的下頂點(diǎn)D點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與橢圓C相交于點(diǎn)P，M，求證：直線PM經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)；2假設(shè)橢圓C過(guò)點(diǎn)1，2，求橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值解：1橢圓C：+=1ab0過(guò)點(diǎn)3，0和2，解得a=3，b=1，橢圓C的方程證明：由題意得PD、MD的斜率存在且不為0，設(shè)直線PD的斜率為k，則PD：y=kx1，由，得P，用代k，得M，=，直線PM：y=，即y=，直線PM經(jīng)過(guò)定點(diǎn)T0，解：2橢圓C的中心到

6、右準(zhǔn)線的距離d=，由=1，得，=，令t=a25，t0，則=t+92+9=4+9，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，時(shí)，等號(hào)成立，橢圓C的中心到右準(zhǔn)線的距離的最小值為6已知橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為，離心率，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，其中為常數(shù)1求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；2當(dāng)且直線與斜率均存在時(shí)，求的最小值；3假設(shè)是線段的中點(diǎn)，且，問(wèn)是否存在常數(shù)和平面內(nèi)兩定點(diǎn)，使得動(dòng)點(diǎn)滿足，假設(shè)存在，求出的值和定點(diǎn)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：1由題設(shè)可知：右焦點(diǎn)到直線的距離為： ， 又，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為2設(shè)則由得由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)3設(shè)，則由，得，即因?yàn)辄c(diǎn)、在橢圓上，所以所以即，所以點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為，則由橢圓的定義

7、得，7已知橢圓的右焦點(diǎn)為F21，0，點(diǎn)在橢圓上1求橢圓方程；2點(diǎn)在圓上，M在第一象限，過(guò)M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，問(wèn)|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說(shuō)明理由解：1右焦點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，所以橢圓方程為2設(shè) ，連接OM，OP，由相切條件知，同理可求所以為定值8分別過(guò)橢圓E：=1ab0左、右焦點(diǎn)F1、F2的動(dòng)直線l1、l2相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k1、k2、k3、k4，且滿足k1+k2=k3+k4，已知當(dāng)l1與x軸重合時(shí)，|AB|=2，|CD|=1求橢圓E的方程；2是否存在定點(diǎn)M，

8、N，使得|PM|+|PN|為定值？假設(shè)存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解：1當(dāng)l1與x軸重合時(shí)，k1+k2=k3+k4=0，即k3=k4，l2垂直于x軸，得|AB|=2a=2，|CD|=，解得a=，b=，橢圓E的方程為2焦點(diǎn)F1、F2坐標(biāo)分別為1，0，1，0，當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為1，0或1，0，當(dāng)直線l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為m1，m2，設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，由，得，=，同理k3+k4=，k1+k2=k3+k4，即m1m2+2m2m1=0，由題意知m1m2，m1m2+2=0，設(shè)Px，y，則，即，x1，由當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為1，

9、0或1，0也滿足，點(diǎn)Px，y點(diǎn)在橢圓上，存在點(diǎn)M，N其坐標(biāo)分別為0，1、0，1，使得|PM|+|PN|為定值29如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+=1，設(shè)Rx0，y0是橢圓C上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓R：xx02+yy02=8作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q1假設(shè)直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；2假設(shè)直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：2k1k2+1=0；3試問(wèn)OP2+OQ2是否為定值？假設(shè)是，求出該值；假設(shè)不是，說(shuō)明理由解：1由圓R的方程知，圓R的半徑的半徑，因?yàn)橹本€OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，所以，即，又點(diǎn)R在橢圓C上，所以，聯(lián)立，解得所以所求圓R的方程

10、為2因?yàn)橹本€OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，所以，化簡(jiǎn)得=0同理，所以k1，k2是方程x028k22x0y0k+y028=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因?yàn)辄c(diǎn)Rx0，y0在橢圓C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=03OP2+OQ2是定值，定值為36，理由如下：法一：i當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)Px1，y1，Qx2，y2，聯(lián)立解得所以，同理，得，由，所以=36ii當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36法二：i當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)Px1，y1，Qx2，y2，因?yàn)?k1k2+1=0，所以，即，因?yàn)镻x1，y1，Qx2，y2

11、，在橢圓C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以O(shè)P2+OQ2=36 ii當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=3610已知橢圓C：，左焦點(diǎn)，且離心率1求橢圓的方程；2假設(shè)直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，不是左、右頂點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)解：1由題意可知，解得， 所以橢圓的方程為 2由方程組 得， 整理得， 設(shè)，則， 由已知，即，又橢圓的右頂點(diǎn)為，所以， ， 即整理得， 解得或均滿足當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，與題意矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，故直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為11已知橢圓:的離心率為，

12、點(diǎn)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)求橢圓的方程；設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，是否存在圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為定值的定圓C，使得與圓C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)，記直線， 的斜率分別為，滿足為定值，假設(shè)存在，求出定圓的方程并求出的值，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：由題意，得，a2=b2+c2，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，解得a=2，b=1，所以橢圓C的方程為結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x2+y2=5證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為x2+y2=r2r0當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m由方程組得(4k2+1)x2+8kmx+4m24=0，因?yàn)橹本€l與橢圓C有且僅有一個(gè)公

13、共點(diǎn)，所以，即m2=4k2+1由方程組得k2+1x2+2kmx+m2r2=0，則設(shè)P1x1，y1，P2x2，y2，則，設(shè)直線OP1，OP2的斜率分別為k1，k2，所以，將m2=4k2+1代入上式，得要使得k1k2為定值，則，即r2=5，驗(yàn)證符合題意所以當(dāng)圓的方程為x2+y2=5時(shí)，圓與l的交點(diǎn)P1，P2滿足k1k2為定值當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由題意知l的方程為x=2，此時(shí)，圓x2+y2=5與l的交點(diǎn)P1，P2也滿足綜上，當(dāng)圓的方程為x2+y2=5時(shí)，圓與l的交點(diǎn)P1，P2滿足斜率之積k1k2為定值12已知橢圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形1求橢圓方程；2過(guò)橢圓右頂點(diǎn)的兩

14、條斜率乘積為的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？假設(shè)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出此定點(diǎn)，假設(shè)不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由解：1根據(jù)題意當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，舍直線過(guò)定點(diǎn)(0,0)，當(dāng)斜率不存在時(shí)也符合，即直線恒過(guò)定點(diǎn)(0,0)14已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長(zhǎng)半軸為半徑的圓與直線相切1求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；2已知點(diǎn)為動(dòng)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？假設(shè)存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解：1由得，即 又以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為半徑的圓為且與直線相切，所以代入得c=2，所以所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2由得設(shè)，所以根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)Em，0，使得為定值則=要

15、使上式為定值，即與k無(wú)關(guān)，得此時(shí)，所以在軸上存在定點(diǎn)E，0使得為定值，且定值為15已知橢圓具有如下性質(zhì)：假設(shè)橢圓的方程為，則橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題：已知橢圓和橢圓為常數(shù)1如圖1，點(diǎn)為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)作的切線，分別與軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值；2如圖2，過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作的兩條切線和，切點(diǎn)分別為，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線相切？假設(shè)存在，求出圓的方程；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：1設(shè)，則橢圓在點(diǎn)處的切線方程為令，令，所以又點(diǎn)在橢圓的第一象限上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)時(shí)，三角形的面積的最小值為2設(shè)，則橢圓在點(diǎn)處的切線為：又過(guò)點(diǎn)，所以，

16、同理點(diǎn)也滿足所以都在上，即直線的方程為，又在上，故原點(diǎn)到直線的距離為：，所以直線始終與圓相切16已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)恰與橢圓的短軸長(zhǎng)相等，橢圓的離心率求橢圓的方程；已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得無(wú)論如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)？假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：由題設(shè)可求得，又，則，所以橢圓的方程是假設(shè)直線與軸重合，則以為直徑的圓為，假設(shè)直線垂直于軸，則以為直徑的圓為，由，解得，由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是事實(shí)上點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，證明如下：當(dāng)直線的斜率不存在，即直線與軸重合時(shí)，以為直徑的圓為，過(guò)點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，

17、代入橢圓方程并整理得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)椋杂?，所以，即以為直徑的圓恒定過(guò)點(diǎn)，綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件17已知直線l：yx，圓O：x2y24，橢圓E：1ab0的離心率e，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等1求橢圓E的方程；2已知?jiǎng)又本€斜率存在與橢圓E交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)，且OPQ的面積SOPQ1，假設(shè)N為線段PQ的中點(diǎn)，問(wèn)：在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得直線NA與NB的斜率之積為定值？假設(shè)存在，求出A，B的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解：1設(shè)橢圓半焦距為c，圓心O到l的距離d，則l被圓O截得的弦長(zhǎng)為2，所以b1，由題意得e，b1，a24，b21橢圓E的方程為1

18、2設(shè)Px1，y1，Qx2，y2，直線l1的方程為：ykxm則消去y得14k2x28kmx4m240x1x2，x1x2|PQ|x1x2|原點(diǎn)O到直線l1的距離d，則SOPQ|PQ|d1，2|m|14k2，令14k2n，2|m|n，n2m2，14k22m2N為PQ中點(diǎn)，xN，yN，14k22m2，xN，yN2y1 假設(shè)x軸上存在兩定點(diǎn)As，0，Bt，0st，則直線NA的斜率k1，直線NB的斜率k2，k1k2當(dāng)且僅當(dāng)st0，st2時(shí)，k1k2，則s，t綜上所述，存在兩定點(diǎn)A，0，B，0，使得直線NA與NB的斜率之積為定值18在平角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率，且過(guò)點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上異于，

19、的動(dòng)點(diǎn)，定直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)1求橢圓的方程；2在軸上是否存在定點(diǎn)經(jīng)過(guò)以為直徑的圓，假設(shè)存在，求定點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解：1，橢圓的方程為；設(shè)，的斜率分別為，則，由：知，由：知，的中點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為，令，即，解得或，存在定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)以為直徑的圓19如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且1求橢圓的方程；2假設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)異于點(diǎn)、，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接、并分別延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接，設(shè)直線、的斜率存在且分別為、試問(wèn)是否存在常數(shù)，使得恒成立？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解：1，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，從而

20、，左焦點(diǎn)，故橢圓的方程為；2存在滿足條件的常數(shù)，設(shè)，則直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，從而，故點(diǎn)， 同理，點(diǎn)，三點(diǎn)共線，從而，從而，故，從而存在滿足條件的常數(shù)，20如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)xOy BPEA 1假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為，連結(jié)點(diǎn)與原點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積；2是否存在點(diǎn)，使得為定值？假設(shè)存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該定值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：1將代入，解得，因點(diǎn)在第一象限，從而，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得，又過(guò)原點(diǎn)，于是，所以直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離， 2假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，有當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由，解得，所以假設(shè)存在點(diǎn)，此時(shí)，為定值2