中考一元二次方程綜合題目例析

1、.中考一元二次方程綜合題例析一元二次方程綜合題是中考熱點，常常結(jié)合其他方面知識進行考查，下面通過幾個例子進行分類解析。一、一元二次方程與一次函數(shù)綜合例1.（2010年綿陽市）已知關(guān)于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的兩實數(shù)根為x1，x2（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)y = x1 + x2，當y取得最小值時，求相應(yīng)m的值，并求出最小值分析：（1）若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式=b2-4ac0，建立關(guān)于m的不等式，可求出m的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2的表達式，進而可得出y、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值

2、及對應(yīng)的m值解：（1）將原方程整理為 x2 + 2（m1）x + m2 = 0 原方程有兩個實數(shù)根， = 2（m1）24m2 =8m + 40，得 m（2） x1，x2為x2 + 2（m1）x + m2 = 0的兩根， y = x1 + x2 =2m + 2，且m因而y隨m的增大而減小，故當m =時，取得最小值1二、一元二次方程與反比例函數(shù)綜合例2（2010年山東淄博改編）已知關(guān)于x的方程若以方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數(shù)的圖象上，求滿足條件的m的最小值分析：寫出兩根之積，兩根之積等于m，進而求出m的最小值解: 設(shè)方程的兩個根為，根據(jù)題意得又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，那么

3、，所以，當k2時m取得最小值5點評：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目三、一元二次方程與二次函數(shù)綜合例3（2008年湖北荊州市）已知：如圖，RtAOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的正半軸和y軸的負半軸上，C為OA上一點且OCOB，拋物線y=(x2)(xm)(p-2)(p-m)（m、p為常數(shù)且m+22p0）經(jīng)過A、C兩點 （1）用m、p分別表示OA、OC的長； （2）當m、p滿足什么關(guān)系時，AOB的面積最大 分析：（1）因為A、C點都在x軸上，所以令y=0即可求出p的值（2）根據(jù)三角形的面積公式列出AOB的面積表達式，再根據(jù)二次函數(shù)最值得表達式求

4、解即可解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，x1=p，x2=m+2-p，m+220m+2-pp0，OA=m+2-p，OC=P（2）OC=OB，SAOB = OA?OB，SAOB= OA?OB= P?（m+2-p），=-P2+ （m+2）?P，當p=（m+2）時，SAOB最大點評：掌握二次函數(shù)的圖象，最大值，最小值，二次函數(shù)中求三角形面積的問題，通常情況下都是涉及其最高點，最低點的問題四、一元二次方程與不等式綜合例4（2008年湖北荊州市）關(guān)于的方程兩實根之和為m，且滿足，關(guān)于y的不等于組有實數(shù)解，則k的取值范圍是_.分析

5、：因為方程有兩實根，所以=2（k+1）2-4k200，又因為關(guān)于y的不等式組 y-4ym有實數(shù)解，所以y一定介于-4與m之間，即m一定大于-4，因此m=-2（k+1）-4，然后解不等式即可求出k的取值范圍解：方程x2+2（k+1）x+k2=0有兩實根，=2（k+1）2-4k20，解得k- 12；關(guān)于y的不等于組有實數(shù)解，m-4又m=-2（k+1），-2（k+1）-4，解得k1k的取值范圍是得1k-12故填空答案：1k-12點評：本題綜合考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，在解不等式時一定要注意數(shù)值的正負與不等號的變化關(guān)系五、一元二次方程與概率綜合例5（2010年黃岡市）甲、乙兩同學(xué)投擲一枚骰子，

6、用字母p、q分別表示兩人各投擲一次的點數(shù).（1）求滿足關(guān)于x的方程有實數(shù)解的概率.（2）求（1）中方程有兩個相同實數(shù)解的概率.分析：（1）方程x2+px+q=0有實數(shù)解，則p2-4q0，把投擲骰子的36種p、q對應(yīng)值，代入檢驗，找出符合條件的個數(shù)；（2）方程x2+px+q=0有相同實數(shù)解，則p2-4q=0，把投擲骰子的36種p、q對應(yīng)值，代入檢驗，找出符合條件的個數(shù)解：兩人投擲骰子共有36種等可能情況，（1）其中使方程有實數(shù)解共有19種情況：p=6時，q=6、5、4、3、2、1；p=5時，q=6、5、4、3、2、1；p=4時，q=4、3、2、1；p=3時，q=2、1；p=2時，q=1；故其概率

7、為（2）使方程有相等實數(shù)解共有2種情況：p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率為點評：本題考查一元二次方程根的判別式和概率關(guān)系，同時考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力及推理能力用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比；一元二次方程有實數(shù)根，判別式為非負數(shù)六、一元二次方程與幾何知識綜合例6（2009年黃石市）三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程的根，則該三角形的周長為（ ）A14 B12 C12或14 D以上都不對分析：易得方程的兩根，那么根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，排除不合題意的邊，進而求得三角形周長即可解：解方程得：x=5或x=7當x=7時，3+4=7，不能組成三角形；當x=5時，3+45，三邊

8、能夠組成三角形該三角形的周長為3+4+5=12，故選B點評：本題主要考查三角形三邊關(guān)系，注意在求周長時一定要先判斷是否能構(gòu)成三角形例7 （2009年襄樊市）如圖，在中，于且是一元二次方程的根，則的周長為（ ）A B C D分析：先解方程求得a，再根據(jù)勾股定理求得AB，從而計算出的周長即可解：a是一元二次方程x2+2x-3=0，（x-1）（x+3）=0，即x=1或-3，AE=EB=EC=a，a=1，在RtABD中，AB= a=2的周長=4a+2a =4+2故答案為：A點評：本題考查了用因式分解法解一元二次方程，以及平行四邊形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握例8（2010年蘭州市）已知兩圓的半徑R、r分別為方程的兩根，兩圓的圓心距為1，兩圓的位置關(guān)系是（ ）A外離 B內(nèi)切 C相交 D外切分析:本題可先求出方程的根即兩圓的半徑R、r，再根據(jù)由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法，確定兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心距為P，兩圓半徑分別為R和r，且Rr，則有：外離：PR+r；外切：P=R+r；相交：R-rPR+r；內(nèi)切:P=R-r；內(nèi)含:PR-r解：兩圓的半徑分別是方程的兩根，