高三數(shù)學(xué)正余弦定理的應(yīng)用

1、正余弦定理的應(yīng)用正余弦定理的應(yīng)用1、角的關(guān)系、角的關(guān)系2、邊的關(guān)系、邊的關(guān)系3、邊角關(guān)系、邊角關(guān)系180 CBAcbacba , 大角對大邊大角對大邊 大邊對大角大邊對大角三角形中的邊角關(guān)系三角形中的邊角關(guān)系RCcBbAa2sinsinsin CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222 例例1 在在 中，已知中，已知 ，求，求 .ABC 45, 24, 4BbaA解：由解：由 BbAasinsin 得得 21sinsin bBaA 在在 中中 ABC ba A 為銳角為銳角 30A例題分析：變題：變題：求求B B3 30 0, ,2 24 4b b, ,知知

2、a a1 1. .在在A AB BC C中中，已已A4求求B B1 15 50 0, ,2 24 4b b, ,知知a a2 2. .在在A AB BC C中中，已已A4ABC045424待求角待求角22acacbc例題分析： (04北京)在ABC中，a,b,c分別是A,B,C的對邊長，已知a,b,c成等比數(shù)列，且 (1)求A的大小 (2)sinbBc的的值值 (04北京)在ABC中，a,b,c分別是A,B,C的對邊長，已知a,b,c成等比數(shù)列，且 (1)求A的大小 (2)22acacbcsinbBc的的值值解解（1）數(shù)列數(shù)列成等成等比比cba,bcacca22又又在在ABC中，由余弦定理得中

3、，由余弦定理得acb 2bcacb22232122222cosAAbcbcbcacb在在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得aAbBsinsin233sinsin32sin,32acbcBbAacb解解（2） (04北京)在ABC中，a,b,c分別是A,B,C的對邊長，已知a,b,c成等比數(shù)列，且 (1)求A的大小 (2)22acacbcsinbBc的的值值解解（1）數(shù)列數(shù)列成等成等比比cba,bcacca22又又在在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得acb 2bcacb22232122222cosAAbcbcbcacb在在ABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得aAbBsinsin233

4、sinsin32sin,32acbcBbAacb解解（2）法一：法一：b basinBasinBc cbsinBbsinBc成等比數(shù)列c成等比數(shù)列b,b,a,a,cbba法二：法二：2 23 33 3sinsinsinAsinA (04北京)在ABC中，a,b,c分別是A,B,C的對邊長，已知a,b,c成等比數(shù)列，且 (1)求A的大小 (2)22acacbcsinbBc的的值值練習(xí)：3A,abc-cbABC222，)(中中已知已知05天津05天津 1.1. . 的值的值和和求求, ,tanBA321bc 21tanB例例3.在在ABC中，中， (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)si

5、n(A+B) 判斷判斷ABC的形狀的形狀 例題分析：分析：分析：c co os sA As si in nB Ba as si in nA Ac co os sB Bb b2 22 2例例3.在在ABC中，中， (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B) 判斷判斷ABC的形狀的形狀 分析：分析：c co os sA As si in nB Ba as si in nA Ac co os sB Bb b2 22 2A Ac co os sA As si in nB Bs si in nB Bs si in nA Ac co os sB Bs si in n2 22 20 0s

6、 si in nA As si in nB B s si in nA Ac co os sA As si in nB Bc co os sB B s si in n2 2A As si in n2 2B B2 2B BB或AB或AA A即為即為ABC等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形分析：分析：c co os sA As si in nB Ba as si in nA Ac co os sB Bb b2 22 22bc2bca ac cb b2 22ac2acb bc ca a2 22 22 22 22 22 22 2b ba aa ab b) )a ac c(b(ba a) )b

7、bc c(a(ab b2 22 22 22 22 22 22 22 24 42 22 24 42 22 2a ac ca ab bc cb b0 0) )(a)(ab b(a(a2 22 22 22 22 2cb2 22 22 2c cb bb或ab或aa a思路一：思路一：思路二：思路二：AaBbAaBbcoscossinsinAaBbcoscos思路三：思路三：A Ac co os sA As si in nB Bs si in nB Bs si in nA Ac co os sB Bs si in n2 22 20 0s si in nA As si in nB B s si in nA

8、 Ac co os sA As si in nB Bc co os sB B s si in n2 2A As si in n2 2B B2 2B BB或AB或AA A即為即為ABC等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形試試判判斷斷三三角角形形的的形形狀狀. .C C，2 2b bc cc co os sB Bc co os sB Bs si in nc cC Cs si in nb b2 22 22 22 22.在2.在ABC中，若ABC中，若練習(xí)：思考題：(06江西江西)在在ABC中設(shè)中設(shè) 命題命題p: 命題命題q: ABC是等邊三角形，那么是等邊三角形，那么 命題命題p是命題是命題q的的( )sinAsinAc csinCsinCb bsinBsinBa aA.充分不必要條件充分不必要條件 B.必要不充分條件必要不充分條件C.充要條件充要條件 D.既充分也不必要條件既充分也不必要條件C2“邊角互化”是解決三角問題常用的一個策略結(jié)論1正弦定理和余弦定理的應(yīng)用3正余定理掌握住三角地帶任漫步邊角轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵正余合璧很精彩思考題：思考題：1、已知在、已知在ABC中，角中，角A、B、C 的對的對 邊分別為邊分別為a、b、c . 向量向量 且且 （1）求角）求角C.（2）若）若 ，試求，試求 的值的值.BAmcsin,cos22BAncsin2 ,cos2nm22122