對高三上學期數(shù)學六類解答題的解題預案的總結

1、.13對高三上學期數(shù)學六類解答題的解題預案的總結 20130203 劉運河 對高三上學期數(shù)學六類解答題的解題預案的總結 維度1：三角、數(shù)列、概率、立體幾何、解析幾何、函數(shù)及其導數(shù)；維度2：數(shù)學知識及其思想方法、數(shù)學能力；維度3：解題預案關鍵詞 釋義：數(shù)學 即使用符號，把問題簡潔化，及至模式化思想方法 指可以解決一類問題的、有限的、有序的程序步驟的算法，蘊含于基礎知識的推導、理解記憶和應用的過程中。有適應于特定問題的方法，比如配方法、待定系數(shù)法、代入（加減）消元法、參數(shù)法、整體代換法、坐標法、向量法、三角代換法、分離變量法、排除法等；有貫穿高中數(shù)學各分支的普遍方法，比如函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類

2、討論、等價轉化等；有邏輯意義上的普遍方法，比如歸納、類比、三段論、完全歸納、遞推關系、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法等。能力 包括空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、分析和解決問題的能力。（1）空間想象能力：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合與變形（2）抽象概括能力：能在對具體的實例抽象概括的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質；從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能將其應用于解決問題或作出新的判斷.（3）推理論證能力：會根據(jù)已知的事實和已獲得的正確數(shù)學命題來論證某一數(shù)學命題正確性

3、.（4）運算求解能力：會根據(jù)概念、公式、法則正確對數(shù)、式、方程、幾何量等進行變形和運算；能分析條件，尋求與設計合理、簡捷的運算途徑；能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計，并能近似計算 （5）數(shù)據(jù)處理能力：會依據(jù)統(tǒng)計中的方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析，并解決給定的實際問題.（6）分析和解決問題的能力：能閱讀、理解對問題進行陳述的材料；能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學問題，并能用數(shù)學語言正確地加以表述；能選擇有效的方法和手段對新穎的信息、情境和設問進行獨立的思考與探究，創(chuàng)造性地解決問題.1.三角解答題，?？疾檎倚秃瘮?shù)的性質和解三角形。11.解題預案：111.寫

4、出函數(shù)定義域，字母常數(shù)的取值范圍；112.靈活應用三角函數(shù)的同角關系式、誘導公式、兩角和差倍角公式，對所給函數(shù)解析式進行恒等變換，變換的目標是消元化簡，比如向同一個角的三角函數(shù)轉化，向同一種三角函數(shù)名轉化等，對正余弦的齊次式轉化為正弦型函數(shù)y=Asin(wx+)+b，對非齊次式轉化為y=asin2x+bsinx+c的形式等.113.令t=wx+或t=sinx，于是112中的函數(shù)顯現(xiàn)為兩個基本函數(shù)復合而成的函數(shù)，進而得到原函數(shù)的相應性質。11a.在ABC中，寫出A、B、C(0,)，A+B+C=，畫圖并標示已知和待求條件；11b.靈活選擇正（余）弦定理的四種形式，十二個公式，布列方程（組），解得所

5、求；11c.關注 三角函數(shù)值與角的范圍相配合，才能確定 角的值。11x.由已知圖像，求出解析式y(tǒng)=Asin(wx+)中的待定系數(shù)后，轉到113。寫出函數(shù)圖像變換過程時，關注逐步變換時，用每個步驟的準確變換 保證整個變換過程的準確。12.核心思想方法運算求解能力轉化把不熟悉的函數(shù)形式，轉為熟悉的函數(shù)形式；把復雜函數(shù)轉化為兩個簡單函數(shù)的復合；ABC中，角的關系、三角函數(shù)值的關系以及邊的關系，這三種關系之間的轉化。例如，201301西城15（本小題滿分13分）在中，已知 （）求角的值；（）若，求的面積 分析：考慮到 倍角公式，于是因為，所以 因為 ， 所以 ，從而 ，所以 如果考慮到 兩角和差的正弦

6、公式，于是 依題意得 ，所以 ，即 因為 ， 所以 ，所以 所以 .同角關系式 ；誘導公式 奇變偶不變，符號看象限；兩角和差公式 ，倍角公式 2. 數(shù)列解答題，?？疾閷懗鰯?shù)列的前幾項；求數(shù)列的通項公式；求數(shù)列的前n項和；數(shù)列的單調性等性質：21. 解題預案211.對你寫出的第一個含n的表達式，寫出n的取值范圍；并隨時關注寫出的表達式中n的取值范圍，遇有變化時，寫出變化后的n的取值范圍；212.隨時判斷面對的數(shù)列是否是等差或等比數(shù)列，一旦是，求出首項a1和公差d(公比q),應用相應的定義、通項公式、前n項和公式、等差（比）中項等性質，布列相關的方程，解得首項a1和公差d(公比q),進而得到相應問

7、題的解；213.不能判定等差或等比數(shù)列時，對給出的遞推公式、an與Sn關系式或新定義式進行恒等變形（消元）。變形的目標是 等差（比）數(shù)列的定義式，手段是 代數(shù)式的運算法則及公式等，注意事項是 首先給出n=1等初始值時的結果，然后對一般表達式(含n)進行變形，并寫明n的取值范圍的變化。變形轉化成功，轉到212繼續(xù)；214.如果213中轉化失敗，那么可以考慮能否應用等差（比）數(shù)列通項公式及前n項和公式的推導方法(疊加、疊乘、倒序求和、錯位減求和、裂項相消求和、分組轉化求和、數(shù)學歸納法）；依然不能解決問題時：關注n=123時的運算結果及其過程，探尋其中隱藏的一般規(guī)律，為了發(fā)現(xiàn)和證明這一規(guī)律，繼續(xù)計算

8、n=4、5、6.的情形是可以理解的。22.核心思想方法抽象概括能力、運算求解能力方程的思想在等差（比）數(shù)列中，n, an, Sn,a1,d(q)這五個量中恰有三個互相獨立的量，故 布列三個獨立的方程，可以求得這五個量；科學的精神從簡單情況做起，觀察并歸納、驗證再論證，顯現(xiàn)一般規(guī)律。例如，201301東城（16）（本小題共13分）已知為等比數(shù)列，其前項和為，且.（）求的值及數(shù)列的通項公式；（）若，求數(shù)列的前項和.解：（）當時，. 1分當時，. 3分因為是等比數(shù)列，所以，即. 5分所以數(shù)列的通項公式為. 6分（）由（）得.則. . -得 9分 . 12分所以. 13分等差數(shù)列的通項公式前n項和公式

9、等比數(shù)列的通項公式 前n項和公式3.概率解答題 ?？疾榻y(tǒng)計數(shù)據(jù)中，隨機變量的分布列、數(shù)學期望等31.解題預案311.把經(jīng)常使用的詞句用適當?shù)淖帜副硎?。比如?為事件A；312.準確選用統(tǒng)計的概率定義、古典概型、幾何概型、概率的加（乘）法公式、二項分布、超幾何分布、數(shù)學期望、方差等知識，合理處理相關數(shù)據(jù)；313.根據(jù)312中的數(shù)據(jù)及其意義，對實際問題做出所需的判斷。32.核心思想方法數(shù)據(jù)處理能力、抽象概括能力分析并解決簡單的實際問題從較大的閱讀量中，找出有用的數(shù)量，并確認數(shù)量之間的關系；統(tǒng)計的思想用樣本估計總體，隨機事件的一般規(guī)律通過概率表現(xiàn)。例如，201301海淀16.（本小題滿分13分）汽車

10、租賃公司為了調查A,B兩種車型的出租情況,現(xiàn)隨機抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計了每輛車某個星期內的出租天數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表: A型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)51030351532B型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)1420201615105（I）從出租天數(shù)為3天的汽車（僅限A,B兩種車型）中隨機抽取一輛，估計這輛汽車恰好是A型車的概率；（）根據(jù)這個星期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計該公司一輛A型車，一輛B型車一周內合計出租天數(shù)恰好為4天的概率；（）如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A，B兩種車型中購買一輛，請你根據(jù)所學的統(tǒng)計知識，給出建議應該購買哪一種車型，并說明你的理由.解

11、：（I）這輛汽車是A型車的概率約為 這輛汽車是A型車的概率為0.6 3分（II）設“事件表示一輛型車在一周內出租天數(shù)恰好為天”， “事件表示一輛型車在一周內出租天數(shù)恰好為天”，其中則該公司一輛A型車，一輛B型車一周內合計出租天數(shù)恰好為4天的概率為 5分 7分該公司一輛A型車，一輛B型車一周內合計出租天數(shù)恰好為4天的概率為。 9分（）設為A型車出租的天數(shù)，則的分布列為12345670.050.100.300.350.150.030.02設為B型車出租的天數(shù)，則的分布列為145670.140.200.200.160.150.100.05 12分一輛A類型的出租車一個星期出租天數(shù)的平均值為3.62天

12、，B類車型一個星期出租天數(shù)的平均值為3.48天. 又 從出租天數(shù)的數(shù)據(jù)來看，A型車出租天數(shù)的方差小于B型車出租天數(shù)的方差,綜合分析，選擇A類型的出租車預期收益高，并且風險小，更加合理 . 13分超幾何分布：從m個紅球和n個白球中，隨機取出k個球，恰好有r個紅球的概率是二項分布：若P(A)=p，則在n次獨立重復試驗中，事件A恰好成功k次的概率是4.立體幾何解答題 ?？疾?平行、垂直的證明，角度的余弦值或正弦值的計算。41.解題預案411.首先找到（或證明）線面垂直關系，形成想像中的空間立體圖形；412.應用8個線面關系的判定及性質定理等，證明所需的結論。其中，對于同一平面內的兩條直線的位置關系，

13、應關注平面幾何知識的應用。比如常用中位線定理、平行四邊形的性質證明平行，可以用勾股定理逆定理證明垂直；413.當412中出現(xiàn)不簡單的情況時，找(證或作)出從一點出發(fā)的三條兩兩垂直的射線，建立空間直角坐標系。關注 作圖必須在已知平面內，用平面幾何知識完成。414.利用平面幾何知識，計算各獨立點的各個坐標值，及它們所產(chǎn)生的其它點的坐標；415.直線的方向用方向向量表示，平面的方向用該平面的法向量表示。其中方向向量即直線上兩個不同點形成的向量，法向量即與該平面垂直的向量（設為，通過它與平面內兩個不共線的已知向量垂直求解）416.求出415中相應向量所成的角的余弦值，進而得到所求的直線與直線所成的角的

14、余弦值、二面角的余弦值、或直線與平面所成的角的正弦值。42.核心思想方法空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力空間想象把握好線面垂直是關鍵；推理論證使用好8個定理，即空間直線、平面的位置關系的性質及判定定理，是課程標準的要求，也是高考的實際要求；運算求解立體幾何中，確定各點坐標時，長度和角度的每一次計算，都應該在平面圖形內完成。如果不能在在平面內完成計算，應用向量的性質及運算法則是有利的。ABCDENM2013東城（17）（本小題共14分）如圖，在菱形中，是的中點， 平面，且在矩形中，（）求證：；（）求證： / 平面；（）求二面角的大小.FABCDENMyxz解：（）連結，則.由已知平面，得

15、DNAC，又，所以平面. 2分又因為平面，所以. 4分（）與交于，連結. 由已知可得四邊形是平行四邊形，所以是的中點.又因為是的中點，所以. 7分又平面，平面，所以平面. 9分（）由于四邊形是菱形，是的中點，可得.如圖建立空間直角坐標系，則，, ，.，. 10分設平面的法向量為.則 即 令，. 12分又平面的法向量，所以.所以二面角的大小是60°. 14分八個定理5.解析幾何解答題 ?？疾橹本€與圓錐曲線的位置關系51.解題預案511.解答第一問，得到圓錐曲線的方程或性質；512.畫出草圖，研究直線無斜率及斜率是0的特殊情況；513.設出其它情況的直線方程。比如過y軸上定點B(0,b)

16、的直線y=kx+b、過x軸上定點A(a,0)的直線x=my+a、過定點P(x1,y1)的直線y-y1=k(x-x1)等514.對于圓，考慮圓心到直線的距離，然后通過弦心距、半徑、半弦長形成的直角三角形求解；對于橢圓，設直線與橢圓的交點坐標為(x1,y1)、(x2,y2),即直線與橢圓的方程組的解；將直線方程代入橢圓方程，消元得到一元二次方程。比如消y時，該一元二次方程是關于x的方程，解即x1,x2，計算判別式，并確認>0, x1+x2=*, x1x2=*。計算中盡早去分母是有利的； 對于拋物線，消拋物線方程中的一次項，可以減小計算量；515. 分析問題中的幾何性質，確定關于待定系數(shù)的其他

17、方程，消元求解待定系數(shù)。比如，確定其中的垂直關系，并轉化為向量點積等于零，軸對稱可以轉化為 對稱點的連線段，與對稱軸垂直且中點在對稱軸上；對于求最大值、取值范圍、過定點的問題，消元后常保留一個待定系數(shù)，使得所求量表示為該待定系數(shù)的函數(shù)式，進而應用函數(shù)知識得到原問題的結論。52.核心思想方法提出、分析并解決問題的能力、運算求解能力數(shù)形結合數(shù)缺形，不直觀；形少數(shù)，難入微；數(shù)形結合百般好，兩相分離萬事休。隨著解題者對幾何直觀的認識深度不同，對相應代數(shù)計算量的預判能力不同，解題者對數(shù)形轉換的節(jié)點選擇也不同，而這種選擇對問題解決的計算量大小的影響較大。待定系數(shù)法這種方法中運算的實質是解方程組，其中的未知

18、數(shù)包括x1,x2,y1,y2,k,m等，方程包括直線方程，圓錐曲線方程、兩個根系關系等。消元的方法選擇，對問題解決的計算量大小的影響較大。514中介紹的消元順序是一種最常見的有效方法。例如：201301西城19（本小題滿分14分）如圖，已知拋物線的焦點為過點的直線交拋物線于，兩點，直線，分別與拋物線交于點，（）記直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值分析：原題意也就是已知如下方程組，證明為定值。顯然，解方程組得的詳細展開是必要的，某種意義上說這也正是解題的關鍵。實際上，解析幾何問題的解決中，明晰思路距離解題起點可以很近，通過預判計算量大小，確定數(shù)形轉化的節(jié)點、消元方法、計算順序是解析幾何問題

19、解決的重難點。對原問題，另作分析如下：設直線的方程為，將其代入，消去，整理得 所以，同理可得，又故，為定值評注：弦長公式，.這屬于解題中總結的規(guī)律，熟知它的可用背景、字母意義，準確適用，可以提高計算的效率；熟知它的推導過程，可以給出類似的創(chuàng)造性的解法，比如對于設直線方程x=my+a,并消x的方式中,有類似的公式是，.練習：過點P(2,0)的直線與橢圓交于兩個不同的點A、B，若|AB|=，求證該直線的斜率的絕對值是±.6.函數(shù)及其導數(shù)解答題 常考查求曲線切線、函數(shù)的單調區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大（?。┲档?。61.解題預案611.寫出函數(shù)的定義域、字母系數(shù)的取值范圍，解答第一問；612.

20、求導函數(shù)。依據(jù)導數(shù)公式表、導數(shù)的四則運算及f(ax+b)型復合函數(shù)的求導法則；613.曲線在切點處的導函數(shù)值即相應切線的斜率，切點即在曲線也在切線上；614.判定導函數(shù)的符號，進而確定原函數(shù)的單調性、極值點、極值、閉區(qū)間上的最大（?。┲?，值域等所需結論。比如，列表給出自變量的不同取值區(qū)間，相應的導函數(shù)的符號（正、負、零），及相應的原函數(shù)的單調性，進而寫出所求結論。615.當出現(xiàn)存在、任給、恒成立、都等邏輯量詞時，可以考慮轉化為相應函數(shù)的最大（?。┲祮栴}；對于含字母系數(shù)的函數(shù)，應考慮以下兩個函數(shù)哪個更容易解決：原來的含字母系數(shù)的函數(shù)和分離變量后，不含字母系數(shù)的函數(shù)；研究兩個函數(shù)值的大小關系等價于

21、這兩個函數(shù)的差與零的大小關系；.靈活運用所學知識解決相應問題。62.核心思想方法分析并解決問題的能力、運算求解能力、推理論證能力例如，201301朝陽18.已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）設函數(shù)若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍分類討論導函數(shù)的符號討論轉化為二次函數(shù)型的符號討論是常見的,其中的字母系數(shù)的討論也是難點。比如上述問題中，的導函數(shù)的符號與h(x)=ax2-2x+a（x>0）的符號總是相同的。以下給出兩種討論h(x)的符號的方法和緣由。考慮到 二次函數(shù)的圖像及性質，討論h(x)的符號如下：S1.當a=0時，h(x)=-2x<0 這時h(x)的二次項系數(shù)是0，不是二次函數(shù)；S2.當0時，即4-4a20,a-1或a1 這時二次函數(shù)h(x)的符號是不變的；(1). a-1時，h(x)0 二次函數(shù)h(x)的圖像（拋物線）開口向下；(2). a1時，h(x)0 拋物線開口向上；S3.當>0時，即4-4a2>0,-1<a<1且a0， 由h(x)=0，得 函數(shù)h(x)的零點;(1).