第四章 矩陣博弈(二)

1、第四章 矩陣博弈(二) 4.1 矩陣博弈的數(shù)學(xué)描述4.2 矩陣博弈的純策略解4.3 矩陣博弈的混合策略解4.4求解矩陣博弈的線性規(guī)劃方法n混合策略解的引入：混合策略解的引入：n一般來(lái)說(shuō)，博弈方一般來(lái)說(shuō)，博弈方I I的得益值不會(huì)大于博弈方的得益值不會(huì)大于博弈方IIII的所損的所損失值，即總有失值，即總有 。其中其中，是博弈方是博弈方I I有把握的最小得益，博弈方有把握的最小得益，博弈方IIII把握的最把握的最大損失。大損失。n當(dāng)時(shí)，矩陣博弈當(dāng)時(shí)，矩陣博弈G存在純策略解，且存在純策略解，且但實(shí)際中出現(xiàn)的更多情形是存在嚴(yán)格不等式但實(shí)際中出現(xiàn)的更多情形是存在嚴(yán)格不等式 。 如下例。如下例。4.3 矩陣

2、博弈的混合策略解12vvijnjmiav111minmaxijnimjav112maxmin12vv12GVvv12vvn例：例：設(shè)有矩陣博弈，其中設(shè)有矩陣博弈，其中 ，得益矩陣為，得益矩陣為4.3 矩陣博弈的混合策略解12vv12,; GAS S11234,S 21234 ,S 3687545603540438A4minmax22111aavijnjmi*2i5maxmin21112aavijnimj*1j ，4.3 矩陣博弈的混合策略解）矩陣博弈混合策略的定義）矩陣博弈混合策略的定義設(shè)有矩陣博弈，其中，設(shè)有矩陣博弈，其中，。記，。記 ，則和分別稱為博弈方，則和分別稱為博弈方I I和和III

3、I的混合策略集；和分別稱為博弈方的混合策略集；和分別稱為博弈方I I和和IIII的混合策略；對(duì)的混合策略；對(duì) ， ， 稱為一個(gè)混合策略組合，稱為一個(gè)混合策略組合，博弈方博弈方I I的得益函數(shù)記成的得益函數(shù)記成 。這樣。這樣得到的一個(gè)新的博弈記成得到的一個(gè)新的博弈記成 ，稱，稱 為博弈為博弈G的的混合擴(kuò)展?；旌蠑U(kuò)展。12 ,; GAS S112,.,mS 212 ,.,nS ( )ijm nAa*11|0,1,., ,1mmiiiximSxxE 1, 1, 01*2niiinyniyEyS*1S*2S*1xS*2yS11( , )mnTijijijE x yAyyxa x*12,;EGS S*G

4、*1xS*2yS( , )x y4.3 矩陣博弈的混合策略解注意注意：n純策略實(shí)際上混合策略的特例；純策略實(shí)際上混合策略的特例；n一個(gè)混合策略可設(shè)想為兩個(gè)博弈方一個(gè)混合策略可設(shè)想為兩個(gè)博弈方多次重復(fù)多次重復(fù)進(jìn)行矩陣博弈時(shí)，分別采取純策略進(jìn)行矩陣博弈時(shí)，分別采取純策略的概率的概率；n若只進(jìn)行一次矩陣博弈，混合策略可設(shè)想成若只進(jìn)行一次矩陣博弈，混合策略可設(shè)想成博弈方對(duì)各純策略的偏好程度。博弈方對(duì)各純策略的偏好程度。12,.,m 4.3 矩陣博弈的混合策略解）矩陣博弈混合策略解的定義）矩陣博弈混合策略解的定義兩博弈方仍然采取保守態(tài)度即最不利中的最有利情形，兩博弈方仍然采取保守態(tài)度即最不利中的最有利情

5、形，博弈方博弈方I保證自己的期望得益不小于保證自己的期望得益不小于 博弈方博弈方II可保證自己的期望損失不大于可保證自己的期望損失不大于，都是存在的，都是存在的， 并且有并且有*211( , )max minyxSSE x yv*212( , )maxminyxSSE x yv*221112( , )( , )maxmaxminminyyxxSSSSE x yE x yvv*21( , )max minyxSSE x y*21( , )maxminyxSSE x y4.3 矩陣博弈的混合策略解矩陣博弈混合策略解定義矩陣博弈混合策略解定義設(shè)是矩陣博弈的混合擴(kuò)展，如果設(shè)是矩陣博弈的混合擴(kuò)展，如果記

6、其值為。則稱為博弈的值，稱滿足上式的混記其值為。則稱為博弈的值，稱滿足上式的混合策略組合為合策略組合為G在混合策略意義下的解（簡(jiǎn)稱混在混合策略意義下的解（簡(jiǎn)稱混合策略解或直接簡(jiǎn)稱為解），和分別稱為博弈方合策略解或直接簡(jiǎn)稱為解），和分別稱為博弈方I和和II的最優(yōu)混合策略（簡(jiǎn)稱最優(yōu)策略）。的最優(yōu)混合策略（簡(jiǎn)稱最優(yōu)策略）。注意：完全信息靜態(tài)博弈混合策略納什均衡的區(qū)別注意：完全信息靜態(tài)博弈混合策略納什均衡的區(qū)別*12,;EGS S12 ,; GAS S*2211( , )( , )maxmaxminminyyxxSSSSE x yE x yGVGV*G*(,)yx*x*y3)矩陣博弈的混合策略解的存在

7、性矩陣博弈的混合策略解的存在性【定理【定理】矩陣博弈矩陣博弈 有混合策略解的充要條有混合策略解的充要條件是：存在，使得對(duì)一切，件是：存在，使得對(duì)一切，有。有?！纠壳缶仃嚥┺牡慕猓渲?，【例】求矩陣博弈的解，其中，得益矩陣為得益矩陣為4.3 矩陣博弈的混合策略解12 ,; GAS S*1xS*2yS*1xS*2yS*(,)(,)(, )EEEyyyxxx12 ,; GAS S112 , S 212 , S 3 65 4A【定理【定理】設(shè)，則混合策略組合為設(shè)，則混合策略組合為G的解的充要條件是：對(duì)任意和，的解的充要條件是：對(duì)任意和，有有 3)矩陣博弈的混合策略解的存在性解*1xS*2yS*(,)yx1,.,im1,.,jn*11( ,)nmijijijjiEyyaxa x【定理【定理】設(shè)，則混合策略組合為設(shè)，則混合策略組合為G的解的充要條件是：存在數(shù)的解的充要條件是：存在數(shù)v，使得和分別是，使得和分別是不等式組不等式組（I）和和（II）的解，且的解，且 3)矩陣博弈的混合策略解的存在性解*1xS*2yS*(,)yx。 *x*yGvV11,1,.,(I)10,1,.,mijiimii