二次根式知識點及習題

1、二次根式知識點一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，+ ,，' 等是二次根式，而,一7等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1 .二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當 a叁0時，有意義，是二次根式，所以要使二次 根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2 .二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算術平方根，所以當 a<0時，沒有意義。知識點三：二次根式（）的非負性（）表示a的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即 之0 （）。

2、注：因為二次根式（）表示 a的算術平方根，而正數(shù)的算術平方根是正數(shù)，0的算術平方根是 0,所以非負數(shù)（）的算術平方根是非負數(shù)，即 之0 （）,這個性質也就是非負數(shù)的算術平方根的性質，和絕對值、 偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如若 忑+4=0 ,則a=0,b=0;若石+，則a=0,b=0;若& + , = ° ,貝U a=0,b=0。知識點四：二次根式（）2的性質文字語言敘述為：一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于這個非負數(shù)。注：二次根式的性質公式 函y二口（）是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應知識點五：二次根式的性質= kl=文字語言敘述為：一個數(shù)

3、的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值。1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負數(shù)，若是正數(shù)或0,則等于 a本身，即4a - al =H 口 “J e"如 口丘二卜| 二一忒口<0）若a是負數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即*ri '；2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。知識點六：（出產與的異同點1、不同點："“戶與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術平方根的平方，而表示一個實 數(shù)a的平方的算術平方根；在 （向口中，而中a可以是正實數(shù)，0,負實數(shù)。但（向Q與都是非負數(shù)，即

4、（、萬下之° , J4'-0。因而它的運算的結果是有差另的,2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時,（5 =；時，無意義，而"=F知識點七：二次根式的性質和最簡二次根式如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有Va (a>0)、，x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有7&A/a" V(x+y)人2、，xA2+2xy+yA2等(3)最終結果分母不含根號。知識點八：二次根式的乘法和除法1 .積的算數(shù)平方根的性質Vab=Va - (a>0, b>0)2 .乘法法則o/a - bb=Vab>0, b>0)二次根

5、式的乘法運算法則，用語言敘述為：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積 的算術平方根。3 .除法法則Va-Vbafa>0, b>0)二次根式的除法運算法則，用語言敘述為：兩個數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個數(shù)商的算 數(shù)平方根。4 .有理化根式。如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化根式，也稱有理化因式。 知識點九：二次根式的加法和減法1同類二次根式一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次 根式叫做同類二次根式。2合并同類二次根式把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。3二次根式加減時，可以先

6、將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的進行合并。 知識點十：二次根式的混合運算1確定運算順序2靈活運用運算定律3正確使用乘法公式4大多數(shù)分母有理化要及時5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化 知識點十一：分母有理化分母有理化有兩種方法I.分母是單項式如：VaZVb=A/aXA/b/A/bxVb=A/ab/b二 /eTX_ GX VT_ J ab bii.分母是多項式要利用平方差公式如 1/ v/a+ v/b=v/a- v/b/( aA v/b)( aA v/b)= v- Vb/ai b 如圖I=/a + V-F)盤二 yn ,(7 rvt)( K - jt)a-b注意：1.根式

7、中不能含有分母2.分母中不能含有根式?！岸胃健苯浀渚毩曨}【典型例題】(1) Xx 2;(2)(3) .x 12 x5 x(4) J 、x 4(5),利用二次根式的雙重非負性來解題(ja0 (a>0),即一個非負數(shù)的算術平方根是一個非負數(shù)。)i.下列各式中一定是二次根式的是()。A、3 ;B、4;C、Jx2 1 ;D、Jx 1取何值時，下列各式在實數(shù)范圍內有意義。12x 1x 3. x 3(6)若vx(x 1)jx jx1，則x的取值范圍是(7)若J 岑 J ,則x的取值范圍,x 1 x 1(7)注：(書寫格式(4)由5+x> 0且x+4w0得x> 5且xw 4,當x>

8、; 5且xw 4時代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義)3 .若d3m 1有意義，則 m能取的最小整數(shù)值是 4 .若技而是一個正整數(shù)，則正整數(shù) m的最小值是 5.當x為何整數(shù)時，V10x 1 1有最小整數(shù)值，這個最小整數(shù)值為 6 .若 2004 a Ja 2005 a,則 a 20042 =7 .若 y Vx 3 V3 x 4 ,則 x y m2 99 m2 2 .8 .設 m、n 滿足 n ,則 w mn =m 39 .若 m 適合關系式 33x5y2m V2x3ym 6199y ,199xy ,求 m 的值.10 .若三角形的三邊a、b、c滿足a2 4a 4 v'b 3=0,則第三邊c的取值范

9、圍是11 .方程|4x 81 vx y m 0,當y 0時，m的取值范圍是()A、0 m 1 B、m 2C、m 2D、m 2a(a b)二.利用二次根式的性質 va2 =|a|= 0(a 0)(即一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值)來a(a 0)解題1.已知 Vx3 3x2 = - x <x3，則()<0<- 3 C .x>- 3D.-3<x<02.1. 知a<b,化簡二次根式a3b 的正確結果是()A. av abB.aJabC. aVab D. av ab3 .若化簡|1-x|- Jx2 8x 16的結果為2x-5則x的取值范圍是()A、x

10、 為任意實數(shù)B、1 <x< 4 C、x>1 D、xW44 .已知 a, b, c為三角形的三邊，則 J(a b c)2 、(b c a)2 J(b c a)2 =5 .當-3<x<5 時，化簡 Mx2 6x 9 Vx2 10x 25=。6、化簡|x y | Vx2(x y 0)的結果是()A. y 2xB. yC. 2x y D. y7、已知：a V1 2a a2 =1,則a的取值范圍是()。A、a 0； B、a 1；C、a 0或 1 ；D、a 18、把(x 2) J根號外的因式移入根號內，化簡結果是()。x 2A、v2 x ; B、Jx 2 ; C、vx 2 D

11、、<2 x三.二次根式的化簡與計算( 二次根式的化簡是二次根式運算中的基本要求，其主要依據(jù)是二次根式的 積商算術 平方根的性質及二次根式的性質：(J&) 2=a (aR0),即Ja2 |a|。)1 .把下列各式化成最簡二次根式：(1)$|(2) V412 402(3) J25m-(4) 而xV2 .下列各式中哪些是同類二次根式:(1) J75,欄，屈，0，弓，卡，收；(2) 5 . a3b3c,3 2 3 ab、a b c , J 4 , a - cbc3.計算：(1) 6 727 ( 3J3)4a 6b化藤c5a(4)2.18(6)'2a2 b2ab(C3)4.計算(1

12、)2 <33工 3,8 112 . 50(1 J9x3x13y2 y)(4x., 1 4y,4x5.已知x 2 ,x2Jx.18 x10，則x等于（A. 4 B. 土C.D. ± 4, x y的值。四.二次根式的分母有理化-2_21已知：x ,求x3 1x 1的值。2.已知：xJ3 'Ly32,求代數(shù)式3x25xy+3y2的值。11004.已知 J15 x J19 x2，試求J19 xJ15 x的值。五.關于求二次根式的整數(shù)部分與小數(shù)部分的問題1.估算技2的值（）A.在1和2之間 B.在2和3之間C.在3和4之間D.在4和5之間2.若3的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,3.

13、已知9+ J13與9 J13的小數(shù)部分分別是a 和 b,求 ab 3a+4b+8 的值4.若a, b為有理數(shù)，且而+ 68 +=a+b v'2 ,則 b a，8六.二次根式的比較大小1（1） 一420杯口2、35(2) 5遍和6J5(3) <17 Ji5和相 J13 (倒數(shù)法)二次根式提高測試題一、選擇題1,使3 x , 1有意義的x的取值范圍是(). x 12. 一個自然數(shù)的算術平方根為a a 0 ,則與這個自然數(shù)相鄰的兩個自然數(shù)的算術平方根為(A) a 1,a 1 (B) Ja 17a 1 (C)3 .若x 0,則1后x等于()(A) 0(B) 2x(C) 2x4 .若a 0

14、,b 0 ,則J a3b化簡得(A) aj ab(B) a Tab(C)-11 y25.若、一=m.則一匕的結果為(4a 1,Va21 (D) a2 1,a2 1(D) 0 或 2x)a，ab (D) a ab4yy)(A) m2 2(B) m2 2(C) Vm 2(D) ,m 26 .已知a,b是實數(shù)，且 舊 2ab b2 b a,則a與b的大小關系是()(A) a b(B) a b(C) a b (D) a b7 .已知下列命題：，2T52 2 石；2 |3|6；22-2 TT . a3 a 3a3; vab a b.其中正確的有()(A) 0 個(B) 1 個(C) 2 個 (D) 3

15、個8,若4月m與J2m化成最簡二次根式后的被開方數(shù)相同'則 m的值為(20351(B) 一2613(C)一815(D)一89.當 a 1 時，化簡 Ji4a4a2 2a2(A) 2(B) 2 4a(C) a1等于(D) 0(A) 2(B) 4x 4(C) 2(D) 4x 4二、填空題11 .若2x 1的平方根是 5,則J4x 1 12 .當x 時，式子 ,3x有意義. x 413,已知：最簡二次根式 J4a b與a病 的被開方數(shù)相同,則a b 14 .若x是囪 的整數(shù)部分，y是曲 的小數(shù)部分，則x , y 15 .已知J2009 & 且0 x y,則滿足上式的整數(shù)對x,y有16 .若 1 x 1 ,則 J x 1 2 x 1 .17 .若xy 0 ,且Jx3y2xyA成立的條件