線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性

1、線性系統(tǒng)的可控性和可觀測性可控性和可觀測性的概念第三節(jié)介紹了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本節(jié)接著介紹系統(tǒng)另外兩個重要特性，即系統(tǒng)的可控性和可觀測性，這兩個特性是經(jīng)典控制理論所沒有的。在用傳遞函數(shù)描述的經(jīng)典控制系統(tǒng)中，輸出量一般是可控的和可以被測量的，因而不需要特別地提及可控性及可觀測性的概念?，F(xiàn)代控制理論用狀態(tài)方程和輸出方程描述系統(tǒng)，輸出和輸入構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，而狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，系統(tǒng)就好比是一塊集成電路芯片，內(nèi)部結(jié)構(gòu)可能十分復(fù)雜，物理量很多，而外部只有少數(shù)幾個引腳，對電路內(nèi)部物理量的控制和觀測都只能通過這為數(shù)不多的幾個引腳進(jìn)行。這就存在著系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否都受輸入控制和所有狀態(tài)是否都可以從輸出反映

2、出來的問題，這就是可控性和可觀測性問題。如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運(yùn)動都可以通過有限的控制點(diǎn)的輸入來使其由任意的初態(tài)達(dá)到任意設(shè)定的終態(tài)，則稱系統(tǒng)是可控的，更確切的說是狀態(tài)可控的；否則，就稱系統(tǒng)是不完全可控的，簡稱為系統(tǒng)不可控。相應(yīng)地，如果系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量任意形式的運(yùn)動均可由有限測量點(diǎn)的輸出完全確定出來，則稱系統(tǒng)是可觀測的，簡稱為系統(tǒng)可觀測；反之，則稱系統(tǒng)是不完全可觀測的，簡稱為系統(tǒng)不可觀測?？煽匦耘c可觀測性的概念，是用狀態(tài)空間描述系統(tǒng)引伸出來的新概念，在現(xiàn)代控制理論中起著重要的作用?？煽匦浴⒖捎^測性與穩(wěn)定性是現(xiàn)代控制系統(tǒng)的三大基本特性。下面舉幾個例子直觀地說明系統(tǒng)的可控性和可觀測性。 （a） (

3、b) (c)圖8-20 電路系統(tǒng)可控性和可觀測性的直觀判別 對圖8-20所示的結(jié)構(gòu)圖，其中圖（a）顯見受的控制，但與無關(guān)，故系統(tǒng)不可控。系統(tǒng)輸出量=，但是受影響的，能間接獲得的信息，故系統(tǒng)是可觀測的。圖（b）中的、,均受的控制，故系統(tǒng)可控，但與無關(guān)，故系統(tǒng)不可觀測。圖（c）中的、均受u的控制，且在中均能觀測到、，故系統(tǒng)是可控可觀測的。只有少數(shù)簡單的系統(tǒng)可以從結(jié)構(gòu)圖或信號流圖直接判別系統(tǒng)的可控性與可觀測性，如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，就只能借助于數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析與研究，才能得到正確的結(jié)論。 線性定常系統(tǒng)的可控性 可控性分為狀態(tài)可控性和輸出可控性，若不特別指明，一般指狀態(tài)可控性。狀態(tài)可控性只與狀態(tài)方程有關(guān)，

4、與輸出方程無關(guān)。下面分別對離散、連續(xù)定常系統(tǒng)的可控性加以研究，先從單輸入離散系統(tǒng)入手。1.離散系統(tǒng)的可控性 （1）單輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 n階單輸入線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)可控性定義為：在有限時間間隔內(nèi) ，存在無約束的階梯控制序列u（0），u（n-1），能使系統(tǒng)從任意初態(tài)x（0）轉(zhuǎn)移至任意終態(tài)x（n），則稱該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，簡稱可控。 下面導(dǎo)出系統(tǒng)可控性的條件，設(shè)單輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程為 （8-87）其解為 （8-88）定義 （8-89）由于和取值都可以是任意的，因此的取值也可以是任意的。將(8-89)寫成矩陣形式，有 （8-90）記 （8-91）稱(方陣為單輸入離散系統(tǒng)的可控性矩陣。式（8-9

5、0）是一個非齊次線性方程組，個方程中有個未知數(shù)u(0),，由線性方程組解的存在定理可知，當(dāng)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等時，方程組有解（在此尚有惟一解），否則無解。注意到在為任意的情況下，要使方程組有解的充分必要條件是：矩陣滿秩，即 （8-92）或矩陣的行列式不為零，或矩陣是非奇異的，即 （8-93）式（8-92）和式（8-93）都稱為可控性判據(jù)。當(dāng)rank S1n時，系統(tǒng)不可控，表示不存在能使任意轉(zhuǎn)移至任意 的控制。從以上推導(dǎo)看出，狀態(tài)可控性取決于和g，當(dāng) 不受約束時，可控系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程至多以個采樣周期便可以完成，有時狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程還可能少于個采樣周期。上述過程不僅導(dǎo)出了單輸入離散系統(tǒng)可控性條

6、件，而且式（8-90）還給出了求取控制輸入的具體方法。（2）多輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 單輸入離散系統(tǒng)可控性的方法可推廣到多輸入系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 （8-94）可控性矩陣為 （8-95） （8-96）該陣為矩陣，由于列向量構(gòu)成的控制列向量是維的。式（8-96）含有個方程和個待求的控制量。由于是任意的，根據(jù)解存在定理，矩陣的秩為時，方程組才有解。于是多輸入線性定常散離系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件是rank （8-97）或 （8-98）的行數(shù)總小于列數(shù)，在列寫時，若能知道的秩為，便不必把的其余列都計算和列寫出來。另外，用（8-98）計算一次階行列式便可確定可控性了，這比可能需要多次計算 的階行列

7、式要簡單些。多輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程一般可少于個采樣周期（例8-31）。例8-20設(shè)單輸入線性定常散離系統(tǒng)狀態(tài)方程為試判斷可控性；若初始狀態(tài)，確定使的控制序列, ；研究使的可能性。解 由題意知rank =故該系統(tǒng)可控。按式（8-96）求出,。下面則用遞推法來求控制。令k=0，1，2，可得狀態(tài)序列令，即解下列方程組其系數(shù)矩陣即可控性矩陣S1，它的非奇異性可給出如下的解若令，即解下列方程組容易看出其系數(shù)矩陣的秩為2，但增廣矩陣 的秩為3，兩個秩不等，方程組無解，意為不能在第二個采樣周期內(nèi)使給定初態(tài)轉(zhuǎn)移至原點(diǎn)。若該兩個秩相等時，便意味著可用兩步完成狀態(tài)轉(zhuǎn)移。例8-21多輸入線性定常離散系

8、統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試判斷可控性，設(shè)初始狀態(tài)為-1 , 0 ,2，研究使的可能性。解 =由前三列組成的矩陣的行列式不為零，故該系統(tǒng)可控，一定能求得控制使系統(tǒng)從任意初態(tài)在三步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。由，給出設(shè)初始狀態(tài)為，由于rank=rank=2，可求得 ，在一步內(nèi)使該初態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。當(dāng)初始狀態(tài)為亦然，只是。但本例不能一步內(nèi)使任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。2.連續(xù)系統(tǒng)的可控性（1）單輸入連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性 單輸入線性連續(xù)定常系統(tǒng)狀態(tài)可控性定義為：在有限時間間隔內(nèi) ，如果存在無約束的分段連續(xù)控制函數(shù)，能使系統(tǒng)從任意初態(tài)轉(zhuǎn)移至任意終態(tài)，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡稱是可控的。設(shè)狀態(tài)方程為 （8-99）終態(tài)解為 = （8

9、-100）定義 顯然，的取值也是任意的。于是有 （8-101）利用凱萊-哈密頓定理的推論 有 令 （8-102）考慮到是標(biāo)量，則有 (8-103)記 (8-104)S3為單輸入線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性矩陣，為 矩陣。可以證明：由于各之間線性無關(guān)，利用（8-103）式得到的um是無約束的階梯序列。同離散系統(tǒng)一樣，根據(jù)解的存在定理，其狀態(tài)可控的充分必要條件是 rank S3 (8-105)（2）多輸入線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性：對多輸入系統(tǒng) (8-106)記可控性矩陣 (8-107)狀態(tài)可控的充要條件為 rank 或 (8-108)與離散系統(tǒng)一樣，連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)可控性只與狀態(tài)方程中的A、B矩陣有關(guān)。例8

10、-22 試用可控性判據(jù)判斷圖8-21所示橋式電路的可控性。解 選取狀態(tài)變量：。電路的狀態(tài)方程如下：可控性矩陣為 S3=當(dāng)時，rank S32=n，系統(tǒng)可控；反之當(dāng)，即電橋處于平衡狀態(tài)時，系統(tǒng)不可控，顯然，u不能控制x2。 圖8-21 電橋電路 圖8-22并聯(lián)電路例8-23 試判斷圖8-22所示并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的可控性。解 網(wǎng)絡(luò)的微分方程為 式中， , 狀態(tài)方程為 于是 rank= rank當(dāng)時，系統(tǒng)可控。當(dāng),，有，rank，系統(tǒng)不可控；實際上，設(shè)初始狀態(tài)，u只能使，而不能將與分別轉(zhuǎn)移到不同的數(shù)值，即不能同時控制住兩個狀態(tài)。例8-24 判斷下列狀態(tài)方程的可控性解 顯見S4矩陣的第二、三行元素絕對值相同，

11、rank ，系統(tǒng)不可控。1. A為對角陣或約當(dāng)陣時的可控性判據(jù) 當(dāng)系統(tǒng)矩陣A已化成對角陣或約當(dāng)陣時，由可控性矩陣能導(dǎo)出更簡潔直觀的可控性判據(jù)。下面先來研究兩個簡單的引例。設(shè)二階系統(tǒng)A、b矩陣為 其可控性矩陣S3的行列式為 由時系統(tǒng)可控，于是要求：當(dāng)A有相異特征值時，應(yīng)存在，意為A陣對角化且有相異元素時，只需根據(jù)輸入矩陣沒有全零行即可判斷系統(tǒng)可控。若時，則不能這樣判斷，這時，系統(tǒng)總是不可控的。又設(shè)二階系統(tǒng)A、b矩陣為 其可控性矩陣S3的行列式為 時系統(tǒng)可控，于是要求，與b1是否為零無關(guān)，即當(dāng)A矩陣約當(dāng)化且相同特征值分布在一個約當(dāng)快時，只需根據(jù)輸入矩陣中與約當(dāng)塊最后一行所對應(yīng)的行不是全零行，即可判

12、斷系統(tǒng)可控，與輸入矩陣中的其它行是否為零行是無關(guān)的。以上判斷方法可推廣到A陣對角化、約當(dāng)化的n階系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 （8-109）式中 ，為系統(tǒng)相異特征值。將式（8-109）展開，每個方程只含一個狀態(tài)變量，狀態(tài)變量之間解除了耦和，只要每個方程中含有一個控制分量，則對應(yīng)狀態(tài)變量便是可控的，而這意味著輸入矩陣的每一行都是非零行。當(dāng)?shù)谛谐霈F(xiàn)全零時，方程中不含任何控制分量，不可控。于是A矩陣為對角陣時的可控性判據(jù)又可表為：A矩陣為對角陣且元素各異時，輸入矩陣不存在全零行。當(dāng)A為對角陣且含有相同元素時，上述判據(jù)不適用，應(yīng)根據(jù)可控性矩陣的秩來判斷。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為 （8-110）式中，為系統(tǒng)的二重特征

13、值且構(gòu)成一個約當(dāng)塊，為系統(tǒng)的相異特征值。展開式（8-110）可見，各方程的狀態(tài)變量是解耦的，上述A 對角化的判據(jù)仍適；而方程中既含又含，在受控條件下，即使 方程中不存在任何控制分量，也能通過間接傳遞控制作用，使仍可控。于是A陣約當(dāng)化時的可控性判據(jù)又可表為：輸入矩陣中與約當(dāng)塊最后一行所對應(yīng)的行不是全零行（與約當(dāng)塊其它行所對應(yīng)的行允許是全零行）；輸入矩陣中與相異特征值所對應(yīng)的行不是全零行。當(dāng)A陣的相同特征值分布在兩個或更多個約當(dāng)塊時，例如，以上判據(jù)不適用，也應(yīng)根據(jù)可控性矩陣的秩來判斷。例8-25 下列系統(tǒng)是可控的，試自行說明。1) 2) 3) 例8-26 下列系統(tǒng)不可控的，試自行說明。1) 2)

14、3) 4.可控標(biāo)準(zhǔn)型問題 在前面研究狀態(tài)空間表達(dá)式的建立問題時，曾對單輸入-單輸出定常系統(tǒng)建立的狀態(tài)方程為 （8-111）其可控性矩陣為 （8-112） 與該狀態(tài)方程對應(yīng)的可控性矩陣是一個右下三角陣，且其副對角線元素均為1，系統(tǒng)一定是可控的，這就是式（8-111）稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型的由來。 線性定常系統(tǒng)的可觀測性如果某個狀態(tài)可直接用儀器測量，它必然是可觀測的。在多變量系統(tǒng)中，能直接測量的狀態(tài)一般不多，大多數(shù)狀態(tài)往往只能通過對輸出量的測量間接得到，有些狀態(tài)變量甚至根本就不可觀測。須要注意的是，出現(xiàn)在輸出方程中的狀態(tài)變量不一定可觀測，不出現(xiàn)在輸出方程中的狀態(tài)變量也不一定就不可觀測。1.離散系統(tǒng)的狀態(tài)可

15、觀測性 其定義為：已知輸入向量序列及有限采樣周期內(nèi)測量到的輸出向量序列，能惟一確定任意初始狀態(tài)向量，則稱系統(tǒng)是完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)可觀測。下面研究多輸入-多輸出離散系統(tǒng)的可觀測條件。 （8-113）因為是討論可觀性，可假設(shè)輸入為0，其解為 將寫成展開式 （8-114）其向量-矩陣形式為 （8-115）令 （8-116）稱矩陣為線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性矩陣。式（8-115）展開后有個方程，若其中有個獨(dú)立方程，便可惟一確定一組的。當(dāng)獨(dú)立方程個數(shù)多于n時，解會出現(xiàn)矛盾；當(dāng)獨(dú)立方程個數(shù)少于n時，便有無窮解。故可觀測的充分必要條件為 （8-117）由于，故離散系統(tǒng)可觀測性判據(jù)又可以表示為 （8-11

16、8） 例8-27 判斷下列線性定常離散系統(tǒng)的可觀測性，并討論可觀測性的物理解釋。其輸出矩陣有兩種情況。解 計算可觀測性矩陣V1 (1)當(dāng)時：故系統(tǒng)可觀測。由輸出方程可見，在第k步便可由輸出確定狀態(tài)變量x2（k）。由于故在第（k+1）步便可確定。由于故在第（k+2）步便可確定。該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，可觀測意味著至多觀測三步便能由y（k），y（k+1），y（k+2）的輸出測量值來確定三個狀態(tài)變量。（2） 當(dāng)時：故系統(tǒng)不可觀測。由輸出方程 可看出三步的輸出測量值中始終不含x2（k），故x2（k）是不可觀測的狀態(tài)變量。只要有一個狀態(tài)變量不可觀測，系統(tǒng)就不可觀測。2.連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性 其定義為：已知輸

17、入及有限時間間隔 內(nèi)測量到的輸出，能惟一確定初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可觀測的，簡稱系統(tǒng)可觀測。對多輸入-多輸出連續(xù)系統(tǒng)，系統(tǒng)可觀測的充分必要條件是： （8-119）或 （8-120）均稱為可觀測性矩陣。3.A為對角陣或約當(dāng)陣時的可觀測性判據(jù) 當(dāng)系統(tǒng)矩陣A已化成對角陣或約當(dāng)陣時，由可觀測性矩陣能導(dǎo)出更簡捷直觀的可觀測性判據(jù)。設(shè)二階系統(tǒng)動態(tài)方程中A、C分別為 可觀測矩陣的行列式為 時系統(tǒng)狀態(tài)可觀測，于是要求：當(dāng)對角陣A有相異特征值（）時，應(yīng)存在 ，即只需根據(jù)輸出矩陣中沒有全零列便可判斷系統(tǒng)可觀測。若時，則不能這樣判斷，這時，系統(tǒng)總是不可觀測的。設(shè)二階系統(tǒng)動態(tài)方程中A、C分別為 則 顯見，只要，系統(tǒng)

18、便可觀測，與C2無關(guān)，意為A矩陣約當(dāng)化且相同特征值分布在一個約當(dāng)塊內(nèi)時，只需根據(jù)輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列所對應(yīng)的列不是全零列，即可判斷系統(tǒng)可觀測，與輸出矩陣中的其它列是否為全零列無關(guān)。當(dāng)A陣的相同特征值分布在兩個或更多個約當(dāng)塊內(nèi)時，例如，以上判斷方法不適用。以上判斷方法可推廣到A陣對角化、約當(dāng)化的n階系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為（令u=0）為 （8-121）式中為系統(tǒng)相異特征值，狀態(tài)變量間解耦，輸出解為 （8-122） 由式（8-122）可見，當(dāng)C陣第一列全零時，在諸分量中均不含，則不可觀測。于是A矩陣為對角陣時可觀測判據(jù)又可表為： A矩陣為對角陣且元素各異時，輸出矩陣不存在全零列。 當(dāng)A為對角陣

19、但含有相同元素時，上述判據(jù)不適用，應(yīng)根據(jù)可觀測矩陣的秩來判斷。設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為 （8-123） 為二重特征值且構(gòu)成一個約當(dāng)塊，為相異特征值。動態(tài)方程解為 （8-124）由式（8-124）可見，當(dāng)C矩陣第一列全為零時，在 諸分量中均不含；若第一列不全為零，則必有輸出分量既含，又含，于是C陣第二列允許全零。故A為約當(dāng)陣且相同特征值分布在一個約當(dāng)塊內(nèi)時，可觀測判據(jù)又可表為：輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列對應(yīng)的列是全零列（與約當(dāng)塊其它列所對應(yīng)的列允許是全零列）；輸出矩陣中與相異特征值所對應(yīng)的列是全零列。對于相同特征值分布在兩個或更多個約當(dāng)塊內(nèi)的情況，以上判據(jù)不適用，仍應(yīng)根據(jù)可觀測矩陣的秩來判斷。 例8-2

20、8 下列系統(tǒng)可觀測，試自行說明。（1）（2） 例8-29 下列系統(tǒng)不可觀測，試自行說明。（1）（2）4.可觀測標(biāo)準(zhǔn)型問題 動態(tài)方程中的A、c矩陣具有下列形式 （8-125）其可觀測性矩陣V2是一個右下三角陣，系統(tǒng)一定可觀測，這就是形如（8125）所示的A、C矩陣稱為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型名稱的由來。一個可觀測系統(tǒng)，當(dāng)A、C矩陣不具有可觀測標(biāo)準(zhǔn)型時，也可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。 可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系 1.單輸入-單輸出系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)動態(tài)方程為 (8-126)當(dāng)A矩陣具有相異特征值時，通過線性變換定可使A對角化為 （8-127) 根據(jù)A矩陣對角化的可控、可觀測性判據(jù)，可知：當(dāng)時，不可控

21、；當(dāng)時，不可觀測。試看傳遞函數(shù)所具有的相應(yīng)特點(diǎn)。由于 (8-128)其中是輸入至狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣。這可由狀態(tài)方程兩端取拉氏變換（令初始條件為零）來導(dǎo)出。 (8-129)若，即不可控，則b矩陣一定會出現(xiàn)零、極點(diǎn)對消現(xiàn)象，例如式（8-128）中，則是初始狀態(tài)至輸出向量之間的傳遞矩陣。 (8-130)若，即不可觀測，則c也一定會出現(xiàn)零、極點(diǎn)對消現(xiàn)象，例如當(dāng)及 時，系統(tǒng)既不可控，也不可觀測；當(dāng)及 時，系統(tǒng)可控、可觀測。對于A矩陣約當(dāng)化的情況，經(jīng)類似推導(dǎo)可得出相同結(jié)論，與特征值是否分布在一個約當(dāng)塊內(nèi)無關(guān)。單輸入-單輸出系統(tǒng)可控、可觀測的充要條件是：由動態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對消（即傳遞函

22、數(shù)不可約）；或系統(tǒng)可控的充要條件是不存在零、極點(diǎn)對消，系統(tǒng)可觀測的充要條件是c不存在零、極點(diǎn)對消。以上判據(jù)僅適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，對多輸入多輸出系統(tǒng)一般不適用。由不可約傳遞函數(shù)列寫的動態(tài)方程一定是可控可觀測的，不能反映系統(tǒng)中可能存在的不可控和不可觀測的特性。由動態(tài)方程導(dǎo)出可約傳遞函數(shù)時，表明系統(tǒng)或是可控、不可觀測，或是可觀測、不可控，或是不可控、不可觀測，三者必居其一；反之亦然。傳遞函數(shù)可約時，傳遞函數(shù)分母階次將低于系統(tǒng)特征方程階次。若對消掉的是系統(tǒng)的一個不穩(wěn)定特征值，便可能掩蓋了系統(tǒng)固有的不穩(wěn)定性而誤認(rèn)為系統(tǒng)穩(wěn)定。通常說用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)特性不完全，就是指它可能掩蓋系統(tǒng)的不可控性、不可觀測

23、性及不穩(wěn)定性。只有當(dāng)系統(tǒng)是可控又可觀測時，傳遞函數(shù)描述與狀態(tài)空間描述才是等價的。 例8-30 已知下列動態(tài)方程，試研究其可控性、可觀測性與傳遞函數(shù)的關(guān)系。 （1) （2) （3) 解 三個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為，存在零、極點(diǎn)對消。（1）A、b矩陣為可控標(biāo)準(zhǔn)型 故可控不可觀測。（2）A、c矩陣為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型，故可觀測不可控。（3）由A矩陣對角化時的可控、可觀測判據(jù)可知，系統(tǒng)不可控、不可觀測，為不可控、不可觀測的狀態(tài)變量。 例8-31 設(shè)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖8-23所示，試用狀態(tài)空間及傳遞函數(shù)描述判斷系統(tǒng)的可控性與可觀測性，并說明傳遞函數(shù)描述的不完全性。解 由結(jié)構(gòu)圖列寫系統(tǒng)傳遞函數(shù)為再寫成向量-矩陣形式

24、的動態(tài)方程 圖8-23 例8-31系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由狀態(tài)可控性矩陣及可觀測性矩陣有故不可控。故不可觀測。由傳遞矩陣 兩式均出現(xiàn)零極點(diǎn)對消，系統(tǒng)不可控、不可觀測。系統(tǒng)特征多項式為，二階系統(tǒng)的特征多項式是二次多項式，經(jīng)零、極點(diǎn)對消后，系統(tǒng)降為一階。本系統(tǒng)原是不穩(wěn)定系統(tǒng)，其中一個特征值，但如果用對消后的傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)時，會誤認(rèn)為系統(tǒng)穩(wěn)定。2.多輸入-多輸出系統(tǒng) 多輸入-多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣存在零、極點(diǎn)對消時，系統(tǒng)并非一定是不可控或不可觀測的，需要利用傳遞函數(shù)矩陣中的行或列的線性相關(guān)性來判斷。傳遞函數(shù)矩陣G(s) 的元素是s的多項式，設(shè)G(s)以下面列向量組來表示 (8-131)若存在不全為零的實常數(shù)使下式 (8-132)成立，則稱函數(shù)是線性相關(guān)的。若只有當(dāng)全為零時，式（8-132）才成立，則稱函數(shù)是線性無關(guān)的。下面不加證明給出用傳遞矩陣判斷多輸入-多輸出系統(tǒng)可控性、可觀測性的判據(jù)。定理 多輸入系統(tǒng)可控的充要條件是：傳遞矩陣的n行線性無關(guān)。定理 多輸出系統(tǒng)可觀的充要條件是：傳遞矩陣C 的n列線性無關(guān)。運(yùn)用以上判據(jù)判斷多輸入-多輸出系統(tǒng)的可控性、可觀測性時，只須檢查對應(yīng)