第五章多元函數(shù)微分學

1、第五章 多元函數(shù)微分學2008考試內(nèi)容 (本大綱為數(shù)學1，數(shù)學2-4需要根據(jù)大綱作部分增刪)多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的幾何意義 二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 多元函數(shù)的偏導數(shù)和全微分 全微分存在的必要條件和充分條件 多元復合函數(shù)、隱函數(shù)的求導法 二階偏導數(shù) 方向導數(shù)和梯度 空間曲線的切線和法平面 曲面的切平面和法線 二元函數(shù)的二階泰勒公式 多元函數(shù)的極值和條件極值 多元函數(shù)的最大值、最小值及其簡單應用2008年考試要求1. 理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。2. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3. 理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微

2、分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。4. 理解方向導數(shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法。5. 掌握多元復合函數(shù)一階、二階偏導數(shù)的求法。6. 了解隱函數(shù)存在定理，會求多元隱函數(shù)的偏導數(shù)。7. 了解空間曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。8. 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。9. 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。一、“三基”內(nèi)容及其拓展 1.1 . 二元函數(shù)

3、的幾何意義 或=0；定義域是平面上的一個區(qū)域，圖形是一張曲面。 1.2. 全面極限（二重極限）與累次極限（二次極限）1）全面極限（二重極限） ， 當 時，恒有，其中以任何方向和任何方式進行，而一元函數(shù)的極限只有左右兩個方向和一條直線路徑；倘若沿兩條不同的特殊路徑，不相等，則可判定極限不存在。求全面極限的方法： 1。夾逼；2。一元化；3。抓大頭與抓小頭；4。沿經(jīng)向極限相等，且與幅角無關。證明全面極限不存在的方法：1。沿經(jīng)向極限與幅角有關；2。特殊路徑的極限不存在； 3累次極限存在不相等?！纠?】求和解： 使用一元化技巧【例2】 解：方法一：取特殊路徑技巧。 可見，極限不存在。方法二：抓小頭。因為

4、，故。又如，根據(jù)抓大頭和小頭的規(guī)律，可直接得出下列結論； ； ； ； ； 【例3】討論 解：強行代入，知分母當時為零，因此特殊路徑可以考慮與相切的高次曲線，即形式。又因為分子的最低階為3，要使極限可能存在，分母必須小于等于3。故取，。由于極限與有關，故極限不存在。又如，求，故極限不存在?！纠?】求和解：無法一元化，使用夾逼法。 ，累次極限存在不等，故。又如，對極限討論方法相同。評 注 利用經(jīng)向路徑討論全面極限問題 當沿經(jīng)向路徑趨于時極限存在且相等，全面極限可能不存在，例如 極限與有關，故不存在。當沿經(jīng)向路徑趨于時極限存在且相等，并關于幅角一致，則全面極限一定存在，例如設是區(qū)域上的有界次齊次函數(shù)

5、，討論 由題意知 2）全面極限的脫帽法：其中：。3）二次極限（累次極限）為累次極限，如果連續(xù)，則。如果【例5】解：二次極限 ，故二次極限不存在。 而二重極限 由于 可見，二重極限的存并不能保證二次極限的存在，反之亦然。1.3. 二元函數(shù)的連續(xù)性的三種等價定義與可微定義 二元函數(shù)的連續(xù)性的三種等價定義全增量定義法：， 如 ，則 在點連續(xù)，也就是說，求連續(xù)函數(shù)極限時，可以將的自變量直接代入計算極限。全面極限定義法： 則 在點連續(xù)，它與一元函數(shù)的連續(xù)性定義形式上完全一致，可見，間斷點的類型也一致。具體做法是：把值同時強行代入，如果能直接得出某一數(shù)，則連續(xù)，否則不連續(xù)。 無窮小定義法：從上述定義可得常

6、用等價形式：1.3.2 二元函數(shù)的可微與全微分的定義設函數(shù)在點的某鄰域中的點，若函數(shù)的全增量能夠表示為 ，其中，則稱函數(shù)在點可微，并稱為在點的全微分。顯然，容易得到。即得可微的充要條件： 評 注 由于可微的定義是，特別地，與函數(shù)的連續(xù)定義比較，易知可微可以保證連續(xù)，而連續(xù)不能保證可微。因為，故它與可微定義是有本質(zhì)區(qū)別的，上述兩個數(shù)學關系在判斷二元函數(shù)的連續(xù)與可微性方面十分有用。如果討論的是點，則經(jīng)常利用下列關系 重要性質(zhì)：一切多元初等函數(shù)與一元函數(shù)一樣，在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復合函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)。多元初等函數(shù)的各階偏導數(shù)仍然是初等函數(shù)，故在在其定義區(qū)間

7、內(nèi)也是連續(xù)的。1.4. 偏導、全導、全微分進階 偏 導1）定義：在內(nèi)有定義，且， 對于分段函數(shù)，在分界點時要利用該定義求，在邊界點時要利用該定義求左右偏導。2）和在區(qū)域都連續(xù)，則，如果，則和在區(qū)域上一般來說至少有一個不連續(xù)。實際上，可以證明： 如果和在存在，且在點連續(xù)，則在點也存在，且。 如果在存在，且在點可微，則?！纠?】（混合偏導次序不能交換的例子） 解：讀者可以對求混合偏導，結果是在點是不連續(xù)的。3）本質(zhì)上是一個求一元函數(shù)極值的過程，所以與全面極限的相關命題，如連續(xù)，可微等等無關。但對偏導給與一定的限制，則與與全面極限的相關命題有關，例如，可以證明下列命題： 若和在有界，則在內(nèi)連續(xù)，且在

8、點可微，反之不成立。 若和在存在且連續(xù)，則在點可微，反之不成立。 若分別是單變量及的連續(xù)函數(shù)，且又對其中一個變量是單調(diào)的，則是二元連續(xù)函數(shù)。4）如果只求在某點的偏導，不必先求出該函數(shù)在任一點的偏導，而是先代入或后，再對或求偏導。一般地，存在下列關系：如 全 導（只有對空間曲線才存在全導）而 歸結為一元函數(shù)求導，符合下列疊加原理：， 稱為全導。陳氏第9技 關于顯隱式求偏導和等效表達式的結論。 偏導的表示法如果（表達式1，表達式2，表達式3），如 ，則用符號1， 2，3 分別代表對第1、第2、第3項求偏導，如。注意表示方法：，而一般不把寫成。 一般情況下因為為隱式求偏導，表示把復合函數(shù)中的當成不變

9、量，對的偏導；而為顯式求偏導，表示把復合函數(shù)中的和都當成不變量，對的偏導。例如： 只有在形如的情況下，才有 ，希望讀者體會下列例題 設的所有二階偏導數(shù)都連續(xù)，且。求 。 解： 等效表達式： 只在的形式二元函數(shù)中成立。如函數(shù)雖然也是的二元函數(shù)，但由于它是的形式三元函數(shù)，故等效表達式不成立。全微分進階 可微的充要條件是： 可微的充分條件是：一階微分形式不變性與微分法本質(zhì)形式不變性：微分法本質(zhì)評 注1.5 二元函數(shù)的四性關系（極限存在、連續(xù)、偏導及可微的關系）陳氏第10技 二元函數(shù)的四性關系與反例。評 注 偏導、二次極限是一維問題，而全面極限、連續(xù)、可微是二維問題，所以兩組問題 之間一般沒有任何關系

10、，除非給一維問題添加某些限制條件。方向導數(shù)則是單方向。 為便于比較，再列舉一元函數(shù)的四性關系 【例7】設，求，并討論點的可微性與連續(xù)性。解：于是：當時，當時，當時， 當時，當時，故：可見，可微并不能保證偏導連續(xù)?！纠?】分析的偏導與可微。 解：可見在偏導存在；而 上式右邊并不是時的高階無窮小，事實上，可見在點不可微?！纠?】證明函數(shù)在點連續(xù)且偏導存在，但偏導在不連續(xù)，而卻在可微。 解：，故在點連續(xù)。 當 而或都不存在，故偏導在不連續(xù)。當?shù)?，故可微。【?0】討論函數(shù)在點的可微性。解： 故在點的不可微。陳氏第11技 快速判斷可微方略：二元函數(shù)的整數(shù)階次大于1才可能可微，否則一定不可微。 例如：

11、 1.6. 偏導的求法陳氏第12技 復合函數(shù)的求偏導切入點：確定獨立變量的個數(shù)，再根據(jù)題意選定自變量和因變量；利用“剝皮法”畫出關系圖求之。 隱函數(shù)的求偏導一般方法：求一階偏導采用全微分法，求二階偏導則需要直接從一階偏導的結果求，而不可以采用全微分法，否則反而繁雜。復合函數(shù) 5個未知數(shù)三個方程，最后歸結為一個二元函數(shù) ； 同理可得?！纠?1】設，由方程確定，求和。解：求采用全微分法，3個未知數(shù)，1個方程，存在2個獨立自變量，按題意選 隱函數(shù)利用全微分 型型視為不變量，為獨立變量 如果；型只有一個獨立變量，確定隱函數(shù)，而可以如下求出：型獨立變量為自變量減去方程的個數(shù)等于2個，如選為為偏導獨立自變

12、量 ，確定隱函數(shù)，而可以如下求出：同理：【例12】 ，求解：方法一：方法二：可見法二要簡單些，這正是利用全微分形式的不變性的優(yōu)點。1.7 多元函數(shù)微分學在幾何上的應用空間曲線 則 代表切線方向向量易得切線和平面方程如下： 切線方程：平面方程：空間曲線 ，則為切線方向向量切線方程： 法平面方程：空間曲面 ，則表示切平面法線方向向量，易得切平面和法線方程 切平面方程：法線方程：如果曲面為形式，則評 注 以后我們假定曲面法向量的方向是向上的為正，即它的正向與軸正向的夾角為銳角。則法向量的方向余弦為。上述形式就是我們以后研究多元函數(shù)積分學中去曲面積分的使用規(guī)定，切記！評 注 特別注意，只有在可微得情況

13、下，空間曲線才有切平面。1.8方向導數(shù)與梯度方向導數(shù)定義：特別注意：為的參數(shù)方程，是以射線趨于的，即單向，而偏導是雙向的。方向導數(shù)定理：如果在點可微，那么函數(shù)沿任一射線方向 的方向導數(shù)存在，且有： 。梯度：模等于方向導數(shù)的最大值，方向為方向導數(shù)在該點取最大值的方向。當時，具有最大值，我們定義 【例13】在點的某鄰域內(nèi)有定義，且，試討論在點的連續(xù)性、可微性和方向導數(shù)。解：根據(jù)脫帽法： 又： 又因為不一定可微，所以，求點的方向導數(shù)不能利用公式： ，而只能利用定義求之如下： 可見在點任何方向的方向導數(shù)都存在，并且： 1.9 二元函數(shù)的泰勒公式 設在點的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到階連續(xù)偏導，為該鄰域內(nèi)的任

14、一點，則有 二元函數(shù)的泰勒公式的黑塞矩陣形式： 定義黑塞矩陣H： 上式取得二元拉格朗日中值公式1.10 . 多元函數(shù)的極值 駐點 駐點 中含有極值點，但極值點未必是駐點，如在點取得極小值，但都不存在。無條件極值存在的充分條件研究： 由黑塞矩陣的正定性決定極值的充分條件如下：正定負定不定時 形象記憶法： 無根取極值，負負得正。條件極值：對自變量有附加條件（一般以方程的形式給出）的極值。利用拉格朗日乘數(shù)法求解一般根據(jù)實際問題來判斷求得的點是否為極值點以及是極大值還是極小值。最值求法：比較區(qū)域內(nèi)駐點的極值和邊界曲線上的最大值與最小值，其中最大的就是 最大值，最小的就是最小值。二、需要掌握的題型【例1

15、4】 已知為某一函數(shù)的全微分，則值為多少？解： 【例15】 求 解： 【例16】設 求 解：4個未知數(shù)，三個方程，一個獨立變量，本題取。 兩邊對求偏導故 【例17】已知函數(shù)的二階偏導連續(xù)，試證明： 證明：用羅畢達法則 ：【例18】 在處的切線和法平面方程 解：為切線方向向量故切線方程 法平面 【例19】設在點可微， 求。解：只要 ，下面的解法就很好理解和掌握。 【例20】設二階偏導連續(xù)，求和。解： 【例21】設，將作為方程新變量，變換方程 解： （經(jīng)常使用這個方法把直角坐標的偏導變換到極坐標中，是考研的典型題型）【例22】設由參數(shù)方程確定，其中是初值問題 的解，求。解： 【例23】設，試將變換

16、到極坐標中。解：（請留意這種雅可比矩陣解法技巧） 則有： 將的兩邊同時對求偏導，即 【例24】設有連續(xù)的偏導數(shù)，證明：存在可微函數(shù)使得的充要條件是：。解：（1）必要性 （注意為形式一元函數(shù)） （2）充分性 令 【例25】若一階連續(xù)可導函數(shù)滿足關系，稱為齊次函數(shù)， 證明：為次齊次函數(shù)的充要條件是：。 證明：（1）必要性 （2）充分性 ， 又由于 評 注 注意在中，偏導符號中的表示對中的第一個位置求導，與中的變量無關，這一點是絕大部分考生容易出錯的地方！【例26】，求 。解：注意： 【例27】證明：的充要條件為證：必要性，對求偏導 充分性，令 【例28】變換方程 。解：本類型題目具有一定難度，關鍵

17、問題是搞清楚：誰是因變量，誰是獨立自變量。本題中，題目已知三個方程，6個未知數(shù)，則有三個獨立自變量，比如選；但加上變換方程后，則就只要兩個獨立自變量了，；我們需要做的工作是重新選擇自變量，此時的因變量當然為，而則是的中間變量。問題的難點就是如何求出和。解決它的方法是利用全微分，我們以本題的一般模型來推導一般公式：本題中，【例29】 求過直線且與曲面相切之切平面方程。 解：過直線L的平面束方程為法向向量為 而曲面 的法向向量由決定設該曲面與所求平面相切點為，則 代入（3）故所求切平面方程為 或 【例30】求常數(shù)的值，使函數(shù)在點處沿軸正向的方向導數(shù)有最大值64。解: 【例31】求曲面方程確定的的極

18、值。解：即為駐點 將 代入原式 取極小值； 取極大值。【例32】求的極值。解： 駐點： 二階偏導：1在點，但由于在直線上，；在直線上，。所以，不是極值點?？梢姡v點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點，只有偏導存在的函數(shù)的極值點才一定是駐點。2在點，3在點，故存在極小值，沒有極大值。【例33】 求函數(shù) 在條件下的極值解： 先計算在條件的極值即可使用拉氏乘數(shù)法則或當=1時不適題意，故1代入方程組可得 及又 故分別為的極小值點的極小值點為：【例34】 求二元函數(shù)在直線，軸和軸所圍成的閉域D上的最大值與最小值。解：在D內(nèi)只有駐點(2，1)求在D的邊界上的最值 在邊界和上 在邊界 上，代入 比較后可知

19、 為Max 為Min【例35】 在平面 與三坐標面所圍成的四面體內(nèi)，作一個以該平面為頂面，在坐標面上的投影為長方形的六面體體積最大者（其中）。解： 直線AB： 令 依題得應為最大體積?！纠?6】估計積分的取值范圍。解：（1）討論無條件極值. 顯然唯一的最大值為 ，無最小值，且 （2）討論條件極值 駐點有三類：第一類：第二類：第三類：邊界上的最值 綜合上述結果，可得 評 注 由于積分是個區(qū)域， 故需要討論被積函數(shù)的無條件極值和有條件極值；如果題中所給積分曲線或曲面積分，則只需討論有條件極值。【例37】求證：， 其中：。證明：等效于求函數(shù)的最大值與最小值。先求開區(qū)域 上的極值，再求邊界上的極值，一起比較得出最大值與最小值?！纠?8】求坐標原點到曲線的最短距離。解：令曲線上的點到坐標原點的距離為。 而兩個駐點到原點的距離都為1，由實際問題一定有最短距離可知，最短距離為1。又由于為雙曲線，所以坐標原點到曲線的最大距離不存在。 第五章 多元函數(shù)微分學模擬題一、填空題1、設函數(shù)由方程確定，則 2、設，則在點處的值為 3、設具有二階連續(xù)導數(shù)，則 4、由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分 5、設函數(shù)由關系式確定，其中函數(shù)可微，且，則 6、設二元函數(shù)，則 二、選擇題1、設函數(shù)，其中函數(shù)具有二階導數(shù)，具有一階導數(shù)，則必有 （A）