解析幾何答案 廖華奎 王寶富

1、第二章 直線與平面習(xí)題2.11.求通過兩點(diǎn)和的直線方程。解：直線的方向向量為，所以直線的方程為2.在給定的仿射坐標(biāo)系中，求下列平面的普通方程和參數(shù)方程。（1）過點(diǎn)；（2）過點(diǎn)和軸；（3）過點(diǎn)和，平行于軸；（4）過點(diǎn)，平行于平面。解：（1）平面的方位向量為，所以平面的參數(shù)方程平面的普通方程為即（2）平面的方位向量為，所以平面的參數(shù)方程因?yàn)檫^軸，所以也可選經(jīng)過的點(diǎn)為，那么參數(shù)方程也可以寫為 平面的普通方程為即（3）平面的方位向量為，所以平面的參數(shù)方程平面的普通方程為即（4）平面的方位向量平行于平面，方位向量滿足，因此可以選為。所以平面的參數(shù)方程平面的普通方程為即3.在直角坐標(biāo)系中，求通過點(diǎn)并與平面

2、和均垂直的平面方程。解：平面的法向量分別是，所求平面與均垂直，所以它的法向量與均垂直，因此平面的方程為即4. 在直角坐標(biāo)系中，求經(jīng)過點(diǎn)，垂直于平面的平面方程。解：設(shè)平面的法向量為，則它與垂直，它又與平面的法向量，故所以所求平面的方程為即5. 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的方程為，其中。設(shè)此平面與三坐標(biāo)軸分別交于，求三角形的面積和四面體的體積。解：由于，所以平面的三個(gè)截距分別為。因此四面體的體積為三角形的面積而所以6.設(shè)平面與連接兩點(diǎn)和的線段相交于點(diǎn)，且，證明。證明：因?yàn)?，所以由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo)將它們代入平面方程中得整理即得。習(xí)題2.21.求經(jīng)過點(diǎn)，并且通過兩平面與的交線的平面方程。解：

3、經(jīng)過交線的平面束方程為，其中不全為零。所求平面經(jīng)過點(diǎn)，將它代入上式得到，可以取，因此平面的方程為2.判斷下列各對平面的相關(guān)位置。（1）與；（2）與；（3）與。解：（1）平面的法向量分別是，它們不共線，所以兩平面相交。（2）兩平面的系數(shù)之比的關(guān)系為，所以兩平面重合。（3）第二個(gè)平面的方程化為，所以兩平面的系數(shù)之比的關(guān)系為，所以兩平面平行。3.將下列直線的普通方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程。（1）（2）解：（1）方程可寫成所以標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）標(biāo)準(zhǔn)方程為4.求通過點(diǎn)且與兩平面均平行的直線方程。解：直線的方向向量與已知兩平面均平行，所以得到于是直線的方程為5.判斷下列各對直線的位置。（1）；（2）解：（1）直線經(jīng)過

4、點(diǎn)，方向向量是，直線經(jīng)過點(diǎn)，方向向量是?；旌戏e所以兩直線異面。（2）直線方程可分別化為經(jīng)過的點(diǎn)分別是方向向量分別是混合積且所以兩直線異面且互相垂直。6.求直線與平面的交點(diǎn)。解：將直線方程代人平面方程得到所以，故交點(diǎn)為。7.求通過直線且與直線平行的平面方程。解：通過直線的平面方程可設(shè)為，由于平面與直線平行，所以，即，故平面方程為。8. 在直角坐標(biāo)系中，求直線在平面上的垂直投影直線的方程。解：垂直投影直線在過直線且垂直于平面的平面中，平面的方程為所以垂直投影直線方程是9. 在仿射坐標(biāo)系中，求過直線且在軸和軸上有相同的非零截距的平面方程。解：通過直線的平面方程可設(shè)為，由于平面在軸和軸上有相同的非零截

5、距，所以，即，故平面方程為10.在中，設(shè)分別是直線上的點(diǎn)，并且。證明三線共點(diǎn)的充要條件是。證明：取仿射標(biāo)架，則點(diǎn)的坐標(biāo)分別是直線的方程分別為三線共點(diǎn)的充要條件是的交點(diǎn)在直線上。的交點(diǎn)為，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代人直線的方程中化簡得到。11.用坐標(biāo)法證明契維定理：若三角形的三邊依次分割成，其中均為正實(shí)數(shù)，則此三角形的頂點(diǎn)與對邊分點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。證明：由于，由上題的結(jié)論知道三角形的頂點(diǎn)與對邊分點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。12.證明：如果直線與直線交于一點(diǎn)，那么。證明：由于兩直線交于一點(diǎn)，所以方程組有解，則齊次方程組有解，由齊次線性方程組有解的條件得到。13. 在直角坐標(biāo)系中，給定點(diǎn)和，直線，設(shè)各為在上的垂足，求以及

6、的坐標(biāo)。解：為向量在直線的方向向量的方向上的分量，故過點(diǎn)作與直線垂直的平面，它的方程為，過點(diǎn)作與直線垂直的平面，它的方程為，將直線的參數(shù)方程分別代人，方程中，得所以14.求與三直線都相交的直線所產(chǎn)生的曲面的方程。解：與三直線都相交的直線設(shè)為，交點(diǎn)可設(shè)為，由于三點(diǎn)共線，所以，即有。直線的方程，即消去得到直線構(gòu)成的曲面方程15.證明：包含直線，且平行于直線的平面方程為。若是之間的距離，證明。證明：包含直線的平面方程可設(shè)為，它的法向量為，它又與直線平行，此直線的方向向量是，所以，得到，于是平面方程為。直線的方向向量是，經(jīng)過點(diǎn)。直線經(jīng)過點(diǎn)，所以兩直線的距離為，因此，故。習(xí)題2.31.在直角坐標(biāo)系下，求

7、下列直線方程。（1）過點(diǎn)且垂直于平面；（2）過點(diǎn)且與三坐標(biāo)軸夾角相等。解：（1）直線的方向向量是平面的法向量，所以直線的方程為（2）設(shè)直線的方向向量是，由于直線與三坐標(biāo)軸的夾角相等，所以于是。因此直線有4條，方程為，。2. 在直角坐標(biāo)系中，求平面與面的夾角。解：平面的法向量為，面的法向量為，所以夾角的余弦為，夾角為或3.求到兩個(gè)給定平面的距離成定比的點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)點(diǎn)到兩平面的距離之比為。如果兩平面平行，則選直角坐標(biāo)系使得其中一個(gè)平面為面，另一個(gè)平面的方程為，于是，當(dāng)時(shí)，得。當(dāng)時(shí)，得如果兩平面相交，則選兩平面的角平分面為兩坐標(biāo)面和，則兩平面的方程可設(shè)為，于是即4.證明：空間中滿足條件的點(diǎn)位于中

8、心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且頂點(diǎn)與中心距離為的八面體的內(nèi)部。證明：條件等價(jià)于八個(gè)不等式：，這些點(diǎn)對于平面來說都在負(fù)側(cè)，即包含原點(diǎn)的那一側(cè)。故它們位于由八個(gè)平面構(gòu)成頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且頂點(diǎn)與中心距離為的八面體的內(nèi)部。5.在仿射坐標(biāo)系中，設(shè)，都不在平面上，且。證明：與在平面的同側(cè)的充分必要條件是與同號。證明：（1）與平面平行的充要條件是即與同號。（2）如果與平面不平行，則設(shè)直線與平面相交于點(diǎn)，且。因而與在平面的同側(cè)的充分必要條件是。因?yàn)?，所以與同號。6. 在直角坐標(biāo)系中，求與平面平行且與它的距離為的平面方程。解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則因而所求平面的方程為7.求點(diǎn)到直線的距離。解：直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

9、所以直線經(jīng)過點(diǎn)，方向向量為，則，點(diǎn)到直線的距離為8.求下列各對直線之間的距離。（1）（2）（3）解：（1）兩直線分別經(jīng)過點(diǎn)，方向向量分別是，因此兩直線平行，它們的距離為一直線的某點(diǎn)到另一直線的距離，所以，它們的距離為（2）兩直線分別經(jīng)過點(diǎn)，方向向量分別是，所以它們異面，它們的距離為（3）兩直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可寫為兩直線分別經(jīng)過點(diǎn)，方向向量分別是，不平行，所以它們相交，它們的距離為0。9.求下列各對直線的公垂線的方程。（1）與（3）與解：（1）兩直線的方向向量是，所以公垂線的方向向量為。公垂線在過直線且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是。公垂線又在過直線且與向量平行的平面上，平面

10、法向量是，所以該平面方程是，因此公垂線的方程是（2）兩直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可為，所以公垂線的方向向量為。公垂線在過直線且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是。公垂線又在過直線，且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是，因此公垂線的方程是10.求下列各對直線的夾角。（1）（2）解：（1）兩直線的方向向量是，所以夾角滿足因此夾角為。（2）兩直線的方向向量是，所以夾角滿足因此夾角為或11.求下列直線與平面的夾角。（1）（2）解：（1）直線的方向向量為，平面的法向量為，則，所以夾角滿足因此夾角（2）直線的方向向量為，平面的法向量為，則，所以夾角滿足因此夾角12.已知兩條異面直線

11、與，證明：連接上任一點(diǎn)和上任一點(diǎn)的線段的中點(diǎn)軌跡是公垂線段的垂直平分面。證明：以公垂線為軸，過公垂線段的中點(diǎn)與公垂線垂直的平面為面，兩異面直線在面上的投影直線的角平分線為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系。則兩異面直線的方程可設(shè)為與其中是兩直線的距離，?，F(xiàn)在從兩直線上分別任取一點(diǎn)，則它們的中點(diǎn)滿足，這是公垂線段的垂直平分面的參數(shù)方程，所以中點(diǎn)軌跡是公垂線段的垂直平分面。13.設(shè)在直角坐標(biāo)系中，平面與的方程分別為和求由與構(gòu)成的二面角的角平分面的方程，在此二面角內(nèi)有點(diǎn)。解：角平分面上的點(diǎn)到兩平面的距離相等，所以，由于該二面角內(nèi)有點(diǎn)，且，所以在的負(fù)側(cè)，在的正側(cè)，因此角平分面上的點(diǎn)在的負(fù)側(cè)，在的正側(cè)，或在的正側(cè)，在的負(fù)側(cè)，所以角平分面上的點(diǎn)滿足，整理得到14.證明