中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)圓專題解析

1、中考數(shù)學(xué)綜合題專題復(fù)習(xí)【圓】專題解析 一. 教學(xué)內(nèi)容： 1. 圓的內(nèi)容包括：圓的有關(guān)概念和基本性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，正多邊形和圓。 2. 主要定理： （1）垂徑定理及其推論。 （2）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理。 （3）圓周角定理、弦切角定理及其推論。 （4）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及其推論。 （5）切線的性質(zhì)及判定。 （6）切線長(zhǎng)定理。 （7）相交弦、切割線、割線定理。 （8）兩圓連心線的性質(zhì)，兩圓的公切線性質(zhì)。 （9）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)；圓、扇形，弓形面積。 （10）圓柱、圓錐側(cè)面展開圖及面積計(jì)算。 （11）正n邊形的有關(guān)計(jì)算。 二. 中考聚焦： 圓這一章知識(shí)在中考試

2、題中所占的分?jǐn)?shù)比例大約如下表： 圓的知識(shí)在中考中所占的比例大，題型多，常見的有填空題、選擇題、計(jì)算題或證明題，近年還出現(xiàn)了一些圓的應(yīng)用題及開放型問題、設(shè)計(jì)型問題，中考的壓軸題都綜合了圓的知識(shí)。三. 知識(shí)框圖： 【典型例題】 【例1】. 爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.9cm，點(diǎn)導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點(diǎn)120m以外的安全區(qū)域。這個(gè)導(dǎo)火索的長(zhǎng)度為18cm，那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？ 分析：爆破時(shí)的安全區(qū)域是以爆破點(diǎn)為圓心，以120m為半徑的圓的外部，如圖所示： 解： 點(diǎn)導(dǎo)火索的人非常安全 【例2】. 已知梯形ABCD內(nèi)接于O，ABCD，O的半徑為4，AB6，CD2，求梯形ABC

3、D的面積。 分析：要求梯形面積必須先求梯形的高，即弦AB、CD間距離，為此要構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求高。為了便于運(yùn)用垂徑定理，故作OECD于E，延長(zhǎng)EO交AB于F，證OFAB。 此題容易出現(xiàn)丟解的情況，要注意分情況討論。 解：分兩種情況討論： （1）當(dāng)弦AB、CD分別在圓心O的兩側(cè)時(shí)，如圖（1）： 過O作OECD于E，延長(zhǎng)EO交AB于F 連OC、OB，則CEDE ABCD，OECD OFAB，即EF為梯形ABCD的高 在RtOEC中，EC1，OC4 （2）當(dāng)弦AB、CD在圓心O的同側(cè)時(shí)，如圖（2）： 過O作OECD于E，交AB于F 以下證法同（1），略。 【例3】. 如圖，已知AB為O的直

4、徑，P是OB的中點(diǎn)，求tanC·tanD的值。 分析：為了求tanC·tanD的值，需要分別構(gòu)造出含有C和D的兩個(gè)直角三角形。而AB是直徑，為我們尋找直角創(chuàng)造了條件。連BC、BD，則得到RtACB和RtADB?？梢园l(fā)現(xiàn)ACDABD，ADCABC，于是，可以把tanC·tanD轉(zhuǎn)化為 解：連結(jié)BC、BD AB是O的直徑，ACBADB90° ACDABD，ADCABC 作AECD于E，作BFCD于F 則AECADB AC·ADAE·AB 同理，BD·BCBF·AB APEBPF P為半徑OB的中點(diǎn) tanC·

5、tanD3 【例4】. 分析：由已知條件，等邊ABC可得60°角，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得ADB60°，利用截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法可得一個(gè)新的等邊三角形，再證兩個(gè)三角形全等，從而轉(zhuǎn)移線段DC。 證明：延長(zhǎng)DB至點(diǎn)E，使BEDC，連結(jié)AE ABC是等邊三角形 ACBABC60°，ABAC ADBACB60° 四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形 ABEACD 在AEB和ADC中， AEAD ADB60° AED是等邊三角形 ADDEDBBE BEDC DBDCDA 說明：本例也可以用其他方法證明。如： （1）延長(zhǎng)DC至F，使CFBD，連結(jié)AF，再證ACFABD，得出A

6、DDF，從而DBCDDA。 （2）在DA上截取DGDC，連結(jié)CG，再證BDCAGC，得出BDAG，從而DBCDDA。 【例5】. 如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，ADDC，分別延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，BFEC交EC的延長(zhǎng)線于F，若EAAO，BC12，求CF的長(zhǎng)。 分析：在RtCFB中，已知BC12，求CF，故可尋找與之相似的直角三角形，列比例式求解。 解：連結(jié)OD，BD ABCAOD ODBC EAAO，EAAOBO AB16，BE24 四邊形ABCD內(nèi)接于O EDAEBC E是公共角 EDAEBC 設(shè)ADDCx，EDy，則有 AB為O的直徑 ADBF90° 又DABF

7、CB RtADBRtCFB 說明：與圓有關(guān)的問題，大都與相似三角形聯(lián)系在一起。 此題運(yùn)用了兩次相似三角形，找到線段之間的關(guān)系，并且運(yùn)用了方程的思想解幾何問題，這是解幾何問題的一種重要方法。 【例6】. 如圖，已知等腰ABC中，ABAC，以AB為直徑的O分別交AC、BC于 解：連結(jié)FD AB是直徑，ADBC ABAC，BDDC，F(xiàn)ADDAB 四邊形ABDF是圓內(nèi)接四邊形 CFDB C是公共角 ABCDFC ABAC CDDF （也可以證CFDB，ABAC，BC，CCFD，CDDF。） DE切O于D FADEDF 又CDEEDFFADDAB CDEDAB CDEEDF CDFD CEEF，DECF

8、 設(shè)CD3x，AC5x EC9 【例7】. 如圖，相交兩圓的公共弦長(zhǎng)為120cm，它分別是一圓內(nèi)接正六邊形的邊和另一圓內(nèi)接正方形的邊。求兩圓相交弧間陰影部分的面積。 解：公共弦AB120 【例8】.一個(gè)長(zhǎng)方體的香煙盒里，裝滿大小均勻的20支香煙。打開煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，如圖（1）所示。經(jīng)測(cè)量，一支香煙的直徑約為0.75cm，長(zhǎng)約為8.4cm。 （1）試計(jì)算煙盒頂蓋ABCD的面積（本小題計(jì)算結(jié)果不取近似值）。 （2）制作這樣一個(gè)煙盒至少需要多少面積的紙張（不計(jì)重疊粘合的部分，計(jì)算結(jié)果 解題點(diǎn)撥：四邊形ABCD中，AD長(zhǎng)為7支香煙的直徑之和，易求；求AB長(zhǎng)，只要計(jì)算出如圖（2）中的

9、O1E長(zhǎng)即可。 解：（1）如圖（2），作O1EO2O3 四邊形ABCD的面積是： （2）制作一個(gè)煙盒至少需要紙張： 【例9】. 在直徑為20cm的圓中，有一弦長(zhǎng)為16cm，求它所對(duì)的弓形的高。 解：一小于直徑的弦所對(duì)的弓形有兩個(gè)：劣弧弓形與優(yōu)弧弓形。 如圖，HG為O的直徑，且HGAB，AB16cm，HG20cm 故所求弓形的高為4cm或16cm【例10】.求：CAD所夾圓內(nèi)部分的面積。 解：符合題設(shè)條件的圖形有兩種情況： （1）圓心O在CAD的內(nèi)部，如圖（1），連結(jié)OC、OD，過O作OEAD于點(diǎn)E OCAB （2）圓心O在DAC的外部時(shí)，如圖（2），有： 【例11】. 分析：由已知條件可知AB

10、、CD弦的位置不確定，所以要分多種情況討論，可分為四種情況。 解：（1）當(dāng)AB、CD不相交時(shí)，且AB、CD在圓心的兩側(cè)，如圖（1）連結(jié)OD、OB。 M、N分別是弦AB、CD的中點(diǎn)，OD、OB過圓心O 圖（1） （2）當(dāng)AB、CD不相交，且在圓心O的同側(cè)時(shí)，如圖（2），連結(jié)OB、OC 圖（2） （3）當(dāng)AB、CD相交于點(diǎn)P，且圓心O在DPA的內(nèi)部時(shí)，如圖（3），DPA是圓內(nèi)角， 圖（3） （4）當(dāng)AB、CD相交于點(diǎn)P，且圓心O在DPA的外部時(shí)，如圖（4） 圖（4） 【例12】.已知：如圖，圓心A（0，-3），圓A與x軸相切，圓B的圓心B在x正半軸上，且圓B與圓A外切于點(diǎn)P。兩圓內(nèi)公切線MP交y軸

11、于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N：（1）求證AOBNPB；（2）設(shè)圓A半徑為r1，圓B半徑為r2，若r1：r23：2，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及公切線MP的函數(shù)解析式；（3）設(shè)點(diǎn)B（x1，0），點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B（x2，0），若x1·x2-6，求過B、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；（4）若圓A的位置大小不變，圓心B在x正半軸上移動(dòng)，并始終有圓B與圓A外切，過點(diǎn)M作圓B的切線MC，C為切點(diǎn)，MC時(shí)，B點(diǎn)在x軸的什么位置？從你的解答中能獲得什么猜想？ 解：（1） 設(shè)直線MP的解析式為ykxb， （3）設(shè)拋物線為yax2bxc（a0） 令y0，則有ax2bxc0 B與B關(guān)于y軸對(duì)稱， x1x20，即b0， 又

12、點(diǎn)A（0，-3），C=-3 （4）MCMP 可證APMAOB 猜想：圓心B在x軸的正半軸上任一位置時(shí)，都有切線MP的長(zhǎng)等于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)或四邊形MOBC是長(zhǎng)方形?！灸M試題】一. 選擇題：（本題共24分，每小題4分，每道題只有一個(gè)正確答案） 1. 已知AB是O的直徑，半徑EOAB于O，弦CDEO于F點(diǎn)，若CDB120°，則的度數(shù)為（ ） A. 10°B. 15°C. 30°D. 60° 2. 如圖，已知O中，M是弦CD的中點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)，并且的度數(shù)為130°、90°，則MON的度數(shù)為（ ） A. 70°B. 9

13、0°C. 130°D. 160° 3. 已知ABC中，a、b、c是A、B、C的對(duì)邊，若r是內(nèi)切圓半徑，則ABC的面積可以表示為（ ） A. B. C. D. 4. 已知兩圓的半徑分別為R、r，且圓心距為d，若，則這兩圓的位置關(guān)系為（ ） A. 外離或外切B. 相交或內(nèi)切 C. 外切或內(nèi)切D. 內(nèi)切或內(nèi)含 5. 已知正多邊形的邊長(zhǎng)為a與外接圓半徑R之間滿足，則這個(gè)多邊形是（ ） A. 正三邊形B. 正四邊形C. 正五邊形D. 正六邊形 6. 已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為5，剪去四個(gè)角后成正八邊形，則正八邊形的邊長(zhǎng)為（ ） A. B. C. D. 二. 填空題：（本題共1

14、6分，每小題4分） 7. 已知ABC，C90°，B28°，以C為圓心，以CA為半徑的圓交AB于D，則的度數(shù)為_。 8. 已知ABC內(nèi)接于O，F(xiàn)、E是的三分之一點(diǎn)，若AFE130°，則C_度。 9. 已知PA切O于A，APO30°，若，OP交于O于C，則PC_。 10. 兩圓半徑之比為2：1，大圓內(nèi)接正六邊形與小圓外切正六邊形的面積比為_。三. 求解下列各題：（本題共18分，每小題6分） 11. 已知AB是O的直徑，弦CDAB于E，若弦CD把O分為2：1的兩部分，且，求O的直徑及AE長(zhǎng)。 12. 已知等邊ABC內(nèi)接于O，E是上一點(diǎn)，AE交BC于D，若BD：

15、DC2：1，且AB6，求DE長(zhǎng)。 13. 如圖所示，AB是O的弦，EF切O于B，ACEF于C。 求證：四. 解答題：（本題共24分，每小題8分） 14. 如圖所示，AB切O于B，AE過O點(diǎn)交O于E、C，過C作O切線交AB于D，若。 求證： 15. 如圖所示，ABC中，A90°，O是BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓切AB、AC于D、E，若AB3，AC4，求陰影部分的面積。 16. 如圖所示，O與O'交于A、B，過A點(diǎn)任意作兩圓的割線CAD，若連結(jié)CB、DB，問因割線CAD的位置不確定，CBD的大小是否改變？五. 解答題：（本題共18分，每小題9分） 17. 如圖所示，PA切O于A，P

16、O交O于B、C，若，AE交BC于D，且BEA30°，DB1，求AP及PB長(zhǎng)。 18. 已知一塊直徑為30cm的圓形鐵板，已經(jīng)截去直徑分別為20cm，10cm的圓形鐵板各一塊?，F(xiàn)在剩余的鐵板中再截出兩塊同樣大小的圓形，問這兩個(gè)圓形的最大半徑是多少？參考答案一. 選擇題。 1. D 2. D 3. B 提示：設(shè)ABC的內(nèi)切圓的圓心為O 連結(jié)OA、OB、OC，則ABC可分割成三個(gè)三角形：ABO，BCO，ACO 則 應(yīng)選B 4. C 提示：依題意，有： 所以，或 即，或 兩圓內(nèi)切或外切 5. C 提示：正多邊形的邊數(shù)越多，則邊長(zhǎng)越小，而有 因?yàn)椋?則，是正五邊形，應(yīng)選C。 6. D 提示

17、：如圖所示，所截的四個(gè)角是全等的等腰三角形，且GEEFFH 設(shè)EFx，則根據(jù)勾股定理， 則有 即 應(yīng)選D二. 填空題。 7. 56° 8. 75°或105° 提示：如圖所示： AFE130°，的度數(shù)為260° 則的度數(shù)為 F、E是的三分之一點(diǎn) 或 9. 12 10. 3：1 如圖所示，設(shè)大圓與小圓的半徑為2r和r 則大圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為2r，小圓外切正六邊形的邊長(zhǎng)為 因?yàn)檫@兩個(gè)正六邊形相似，所以面積比等于邊長(zhǎng)比的平方 即三. 求解下列各題： 11. 解：如圖，分兩種情況：（1）點(diǎn)E在OA上；（2）點(diǎn)E在OB上 （1）直徑AB弦CD于E， 根

18、據(jù)垂徑定理，有： A、B分別為和的中點(diǎn) CD把O分成2：1兩部分 的度數(shù)為120°，的度數(shù)為240° 連結(jié)BC，則 在中， （2）當(dāng)點(diǎn)E在OB上時(shí)，AE6 直徑為8，AE6或2 12. 解法一：如圖（1），ABC是等邊三角形，AB6圖（1） BCABAC6，BACB60° BD：DC2：1 BD4，CD2 AD·DEBD·CD8 連結(jié)CE，BE60° ACBE CAD是公共角 ACDAEC 解法二：如圖（2），過A作AGBC于G圖（2） ABC是等邊三角形，BC6 CGGB3 由解法一得：CD2，BD4 DG1 在中， 在中， 根據(jù)相交弦定理，有： 13. 證明一：延長(zhǎng)AD交O于D，連結(jié)BD，如圖（1） AD是直徑，ABD90°，2AOAD EF切O于B 1D ACEF于