費馬定理介紹

1、.費馬定理費馬原理是光學(xué)中最為基礎(chǔ)的原理，它在物理學(xué)發(fā)展的歷程中有著至關(guān)重要的作用。它用一種新的看法將幾何光學(xué)的三個基本實驗定律（光的反射定律和折射定律、光的獨立傳播定律光的直線傳播定律直線傳播）進行統(tǒng)一，并表述了三者的聯(lián)系。通過研究幾何光學(xué)問題，能彰顯出費馬定理的重要性， 能更加系統(tǒng)化光學(xué)理論。 可見通過費馬原理推導(dǎo)上述三個基本實驗定律，能使我們更加系統(tǒng)的理解光學(xué)理論，這對廣大學(xué)者都有著不可或缺的意義。費馬原理的直觀表達: 光從空間的一點到另一點的實際路徑是沿著光程為極值的路徑傳播的?；蛘哒f ,光沿著光程為極大、極小或者常量的路徑傳播。tl i1vini li光線從 Q 點傳播到P 點所需的

2、總時間：i 1c i 11tQP ndlc費馬原理：在所有可能的光傳播路徑中，實際路徑所需的時間取極值。 t1QP ndl 0c在光傳播的所有可能存在的路徑中，其實際路徑所對應(yīng)的光程取極致。 直線傳播定律：兩點間的所有可能連線中，線段最短光程取極小值。 內(nèi)橢球面的反射：橢球面上任一點到兩個焦點連線的角平分線即過該點的面法線，且兩線段長度之和相等。用費馬原理導(dǎo)出反射定律如下圖， PQ 為兩個介質(zhì)間的平面反射鏡 , 從 A點發(fā)射出的光線照射到經(jīng)過反射到達 B 點。假設(shè)光線所處的介質(zhì)為均勻介質(zhì)。 光線的透射點 O到足 P 的長度為 x。那么點 A 到點 B 的光程為：LQP ndl0PQ平面上的 O

3、點，A 點與反射平面垂L nAOnOBn H 12x2H 22a x 2.很明顯，光程 L 是關(guān)于變量 x 的函數(shù)，由費馬原理分析， 真實的光程是固定的，在均勻介質(zhì)中的一階導(dǎo)數(shù)是 0，即dLnxn axdx0H12x2H 22a x 2即有 n sin In sin - I 即 II反射定律由上面推導(dǎo)出來了。進一步可以證明d2 L>0 ,這說明滿足反射定律的光線具有dx2最短光程。從費馬原理導(dǎo)出折射定律下圖中，兩個介質(zhì)均為均勻介質(zhì)，它們的折射率分別為n1 、 n2 ，光線從 n1 介質(zhì)投射到折射面的 O點，光線折射后進入n2 介質(zhì)，然后通過B 點。設(shè) O點到 A 點垂足的距離是 x，由下

4、圖可以得出A 點到 B 點的光程為Ln1 AOn2 OBn1 H12x2n2 H 22a x 2根據(jù)費馬原理 ,有 dLn1xx2n2 ax0 因而有 n1 sin I1 n2 sin I 2dxH12H 22a x 2.這就是折射定律。同理可得,可證明 d 2 L0，這說明滿足折射定律的光線有最短的光dx程。利用費馬原理導(dǎo)出單球面折射成像公式如上圖所示，在一個半徑為r 的單球面的分界面，其兩側(cè)的折射率分別為n 和 n' 。主光軸上的一點 P 發(fā)出一條光線PA，光線進入 n' 介質(zhì)時會發(fā)生折射，折射后的折射光線與主光軸相交于點 P'。光線 PAP'的光程 LnPA'n' AP '，通過上圖的幾何關(guān)系，有L n r 2r s 21r 2s'2122r rs cosnr cos2'rsr s'光程 L 是關(guān)于變量的函數(shù)，通過費馬原理dLn rsn' s'r0 推導(dǎo)出，AP'，又由于dPA.它們處于條件為近軸，的角度近視于0， cos1，我們可以得出