高考數(shù)學(xué)專題：立體幾何新題型的解題技巧

1、本文由wqqq1貢獻(xiàn) doc文檔可能在WAP端瀏覽體驗(yàn)不佳。建議您優(yōu)先選擇TXT，或下載源文件到本機(jī)查看。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 第六講 立體幾何新題型的解題技巧 【命題趨向】在 2007 年高考中立體幾何命題有如下特點(diǎn)： 年高考中立體幾何命題有如下特點(diǎn) 立體幾何命題有如下特點(diǎn)： 在 1.線面位置關(guān)系突出平行和垂直，將側(cè)重于垂直關(guān)系 1.線面位置關(guān)系突出平行和垂直，將側(cè)重于垂直關(guān)系 線面位置關(guān)系突出平行和垂直 2.多面體中線面關(guān)系論證 空間“ 多面體中線面關(guān)系論證， 距離”的計(jì)算常在解答題中綜合出現(xiàn) 2.多面體中線面關(guān)系論證，空間“角

2、”與“距離”的計(jì)算常在解答題中綜合出現(xiàn) 3.多面體及簡(jiǎn)單多面體的概念 性質(zhì)多在選擇題，填空題出現(xiàn) 多面體及簡(jiǎn)單多面體的概念、 3.多面體及簡(jiǎn)單多面體的概念、性質(zhì)多在選擇題，填空題出現(xiàn) 4.有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題，特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點(diǎn) 4.有關(guān)三棱柱、四棱柱、三棱錐的問題，特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點(diǎn) 有關(guān)三棱柱 分之間， 個(gè)選擇題， 個(gè)填空題， 個(gè)解答題. 此類題目分值一般在 1722 分之間，題型一般為 1 個(gè)選擇題，1 個(gè)填空題，1 個(gè)解答題 【考點(diǎn)透視】(A版.掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì) 版 計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距

3、離.掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面 的距離的概念.掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面間的距離的概念. (B版. 版 理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘. 了解空間向量的基本定理，理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積公式. 理解直線的方向向量、平面的法向量，向量在平面內(nèi)的射影等概念. 了解多面體、凸多面體、正多面體、棱柱、棱錐、球的概念. 掌握棱柱、棱錐、球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式. 會(huì)畫直棱柱、正棱錐的直觀圖. 空間距離和角是高考考查的重點(diǎn)：特別是以兩點(diǎn)間距離

4、，點(diǎn)到平面的距離，兩異面直 空間距離和角是高考考查的重點(diǎn) 線的距離，直線與平面的距離以及兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角等作 為命題的重點(diǎn)內(nèi)容， 高考試題中常將上述內(nèi)容綜合在一起放在解答題中進(jìn)行考查， 分為多個(gè) 小問題，也可能作為客觀題進(jìn)行單獨(dú)考查.考查空間距離和角的試題一般作為整套試卷的 中 檔題，但也可能在最后一問中設(shè)置有難度的問題. 不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來完成，即寓證 明于運(yùn)算之中，正是本專題的一大特色. 求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量。 【例題解析】 考點(diǎn) 1 點(diǎn)到平面的距離 求點(diǎn)到平面的距

5、離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂 足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用. 典型例題 例 1（2007 年福建卷理）如圖，正三棱柱 ABC A1 B1C1 的所有棱長都為 2 ， D 為 CC1 中點(diǎn) 年福建卷理） （ （）求證： AB1 平面 A1 BD ； （）求二面角 A A1 D B 的大?。?（）求點(diǎn) C 到平面 A1BD 的距離 考查目的： 考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的 B 大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維 能力和運(yùn)算能力 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 A A1

6、 C D C1 B1 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 解答過程：解法一： （）取 BC 中點(diǎn) O ，連結(jié) AO 解答過程 ABC 為正三角形， AO BC A F C O B D A1 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC 平面 BCC1 B1 ， AO 平面 BCC1 B1 C1 B1 連結(jié) B1O ，在正方形 BB1C1C 中， O，D 分別為 BC，CC1 的中點(diǎn)， B1O BD ， AB1 BD 在正方形 ABB1 A1 中， AB1 A1 B ， AB1 平面 A1 BD （） AB1 與 A1 B 交于點(diǎn) G ， 設(shè)

7、在平面 A1 BD 中， GF A1 D 于 F ， 作 連結(jié) AF ， （） AB1 由 得 平面 A1BD AF A1D ， AFG 為二面角 A A1 D B 的平面角 在 AA1 D 中，由等面積法可求得 AF = 4 5 ， 5 又 AG = 1 AB1 = 2 ， sin AFG = AG = 2 = 10 2 4 AF 4 5 5 所以二面角 A A1 D B 的大小為 arcsin 10 4 （） A1 BD 中， BD = A1 D = 5，A1 B = 2 2， S A BD = 6 ， S BCD = 1 1 在正三棱柱中， A1 到平面 BCC1 B1 的距離為 3 設(shè)

8、點(diǎn) C 到平面 A1 BD 的距離為 d 由 VA BCD = VC A BD ，得 1 S BCD i 3 = 1 S A BD i d ， 1 1 3 3 1 d = 3S BCD 2 = S A1BD 2 點(diǎn) C 到平面 A1BD 的距離為 2 2 解法二： （）取 BC 中點(diǎn) O ，連結(jié) AO ABC 為正三角形， AO BC 在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC 平面 BCC1 B1 ， AD 平面 BCC1 B1 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源 下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資

9、源下載 取 B1C1 中點(diǎn) O1 ，以 O 為原點(diǎn)， OB ， OO1 ， OA 的方向?yàn)?x，y，z 軸的正方向建立空間直角坐 標(biāo)系，則 B(1， 0 ， D ( 11， ， A1 (0， 3 ， A(0， 3 ， B1 (1， 0 ， 0， 0， 2， ，0 2， AB1 = (1， 3 ， BD = (2，0 ， BA1 = (1， 3 2， 1， 2， AB1 i BD = 2 + 2 + 0 = 0 ， AB1 i BA1 = 1 + 4 3 = 0 ， AB1 BD ， AB1 BA1 AB1 平面 A1 BD z A F C O B D A1 C1 y B1 x （）設(shè)平面 A1

10、 AD 的法向量為 n = ( x，y，z AD = (11， 3 ， AA1 = (0， 0 n AD ， n AA1 ， ， 2， ni AD = 0， x + y 3 z = 0， y = 0， 2 y = 0， x = 3 z ni AA1 = 0， 令 z = 1 得 n = ( 3，1 為平面 A1 AD 的一個(gè)法向量 0， 由（）知 AB1 平面 A1BD ， AB1 為平面 A1 BD 的法向量 cos < n ， AB >= ni AB1 = 3 3 = 6 1 4 2i 2 2 n i AB1 二面角 A A1 D B 的大小為 arccos 6 4 （）由（）

11、 AB1 為平面 A1BD 法向量， ， BC = (2， 0 AB1 = (1， 3 0， 2， 點(diǎn) C 到平面 A1BD 的距離 d = BC i AB1 = 2 = 2 AB1 2 2 2 小結(jié)：本例中（）采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離.解法二采用了平面向量的計(jì)算方法， 小結(jié) 把不易直接求的 B 點(diǎn)到平面 AMB1 的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn) K 到平面 AMB1 的距離的計(jì)算 方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何 作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法. 例 2.( 2006 年湖南卷如圖,已知兩個(gè)正四棱錐 P-ABCD 與 Q-ABC

12、D 的高分別為 1 和 2,AB=4. 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 (證明 PQ平面 ABCD； (求異面直線 AQ 與 PB 所成的角； (求點(diǎn) P 到平面 QAD 的距離. 命題目的： 異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基 命題目的 本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、 本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力. 過程指引： 過程指引 方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離 和角； 方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一 般方法. 解答過程：

13、 解答過程 方法一 （）取 AD 的中點(diǎn)，連結(jié) PM，QM. 因?yàn)?PABCD 與 QABCD 都是正四棱錐， 所以 ADPM，ADQM. 從而 AD平面 PQM. 又 PQ 平面 PQM，所以 PQAD. 同理 PQAB，所以 PQ平面 ABCD. （）連結(jié) AC、BD 設(shè) AC BD = O ，由 PQ平面 ABCD Q A M D O B C P 及正四棱錐的性質(zhì)可知 O 在 PQ 上，從而 P、A、Q、C 四點(diǎn)共面.取 OC 的中點(diǎn) N，連接 PN. 因?yàn)?PO 1 NO NO 1 PO NO = , = = ，所以 = ， OQ 2 OA OC 2 OQ OA 從而 AQPN，BPN

14、（或其補(bǔ)角）是異面直線 AQ 與 PB 所成的角. 因?yàn)?PB = OB + OP = 2 2 (2 2 2 + 12 = 3 ， PN = ON 2 + OP 2 = ( 2 2 + 1 = 3. 2 BN = OB 2 ON 2 = ( 2 2 + ( 2 2 = 10 所以 cos BPN PB 2PN 2 BN 2 9 + 3 10 3 = = . 2 PB PN 9 2× 3× 3 3 . 9 從而異面直線 AQ 與 PB 所成的角是 arccos (連結(jié) OM，則 OM = 所以MQP45°. 1 1 AB = 2 = OQ. 2 2 由（）知 AD平

15、面 PMQ，所以平面 PMQ平面 QAD. 過 P 作 PHQM 于 H，PH平 面 QAD.從而 PH 的長是點(diǎn) P 到平面 QAD 的距離. 又 PQ = PO + QO = 3, PH = PQ sin 450 = 3 2 . 2 z P 即點(diǎn) P 到平面 QAD 的距離是 方法二 3 2 . 2 D （）連結(jié) AC、BD，設(shè) AC BD = O . A C O B y x 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 Q 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 由 PABCD 與 QABCD 都是正四棱錐，所以

16、PO平面 ABCD，QO平面 ABCD. 從而 P、O、Q 三點(diǎn)在一條直線上，所以 PQ平面 ABCD. （）由題設(shè)知，ABCD 是正方形，所以 ACBD. 由（） ，QO平面 ABCD. 故可分別以直線 CA、DB、QP 為 x 軸、y 軸、z 軸建立空 間直角坐標(biāo)系（如圖） ，由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 P（0，0，1） ，A（ 2 2 ，0，0） ， Q（0，0，2） ，B（0， 2 2 ，0）. 所以 AQ = (2 2 ,0,2 PB = (0, 2 2, 1 于是 cos AQ , PB = 3 . 9 (由（） ，點(diǎn) D 的坐標(biāo)是（0， 2 2 ，0） AD = ( 2 2

17、,2 2 ,0 ， ， PQ = (0, 0, 3 ，設(shè) n = ( x, y, z 是平面 QAD 的一個(gè)法向量，由 n AQ = 0 2 x + z = 0 得 . n AD = 0 x + y = 0 取 x=1，得 n = (1,1, 2 . 所以點(diǎn) P 到平面 QAD 的距離 d = 考點(diǎn) 2 異面直線的距離 此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法， 考綱只要求掌握已給出公垂線段的 異面直線的距離. 典型例題 例 3 已知三棱錐 S ABC ，底面是邊長為 4 2 的正三角形，棱 SC 的長為 2，且垂直于底 面. E、D 分別為 BC、AB 的中點(diǎn)，求 CD 與 SE 間的距

18、離. 思路啟迪：由于異面直線 CD 與 SE 的公垂線不易尋找，所以設(shè)法 思路啟迪 將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步 轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離. 解答過程： 解答過程 如圖所示，取 BD 的中點(diǎn) F，連結(jié) EF，SF，CF， PQ n n = 3 2 . 2 EF 為 BCD 的中位線， EF CD , CD 面 SEF , CD 到平面 SEF 的距離即為兩異面直線間的距離. 又 線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線 CD 上一點(diǎn) C 到平面 SEF 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高

19、中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 的距離，設(shè)其為 h，由題意知， BC = 4 2 ,D、E、F 分別是 AB、BC、BD 的中點(diǎn)， CD = 2 6 , EF = 1 CD = 6 , DF = 2 , SC = 2 2 VS CEF = 1 1 1 1 2 3 EF DF SC = 6 2 2 = 3 2 3 2 3 在 Rt SCE 中， SE = 在 Rt SCF 中， SF = 又 EF = SC 2 + CE 2 = 2 3 SC 2 + CF 2 = 4 + 24 + 2 = 30 6, S SEF = 3 1 1 2 3 2 3 ，解得 h = S SEF h ，即 3 h = 3

20、3 3 3 2 3 . 3 由于 VC SEF = VS CEF = 故 CD 與 SE 間的距離為 小結(jié)：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程. 小結(jié) 考點(diǎn) 3 直線到平面的距離 此類題目再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化. 典型例題 例 4 如圖，在棱長為 2 的正方體 AC1 中，G 是 AA1 的中點(diǎn)，求 BD 到平面 GB1 D1 的距離. 思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離 思路啟迪 的方法求解. 解答過程： 解答過程 解析一 BD 平面 GB1 D1 ， D1 O1 A1 H G D O A B C1 B1 BD

21、 上任意一點(diǎn)到平面 GB1 D1 的距離皆為所求，以下求 點(diǎn) O 平面 GB1 D1 的距離, C B1 D1 A1C1 ， B1 D1 A1 A ， B1 D1 平面 A1 ACC1 , 又 B1 D1 平面 GB1 D1 平面 A1 ACC1 GB1 D1 ，兩個(gè)平面的交線是 O1G , 作 OH O1G 于 H，則有 OH 平面 GB1 D1 ，即 OH 是 O 點(diǎn)到平面 GB1 D1 的距離. 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 在 O1OG 中， S O1OG

22、= 又 S O1OG = 1 1 O1O AO = 2 2 = 2 . 2 2 1 1 2 6 . OH O1G = 3 OH = 2 , OH = 2 2 3 2 6 . 3 即 BD 到平面 GB1 D1 的距離等于 解析二 BD 平面 GB1 D1 ， BD 上任意一點(diǎn)到平面 GB1 D1 的距離皆為所求，以下求點(diǎn) B 平面 GB1 D1 的距離. 設(shè)點(diǎn) B 到平面 GB1 D1 的距離為 h，將它視為三棱錐 B GB1 D1 的高，則 V B GB1D1 = V D1 GBB1 ,由于S GB1D1 = V D1 GBB1 = 1 × 2 2 × 3 = 6， 2

23、4 2 6 1 1 4 = , × × 2× 2× 2 = , h = 3 2 3 3 6 2 6 . 3 即 BD 到平面 GB1 D1 的距離等于 小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求 小結(jié) 線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn) 直接作出距離； 解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離. 考點(diǎn) 4 異面直線所成的角 此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形來求角.異面直線所 成的角是高考考查的重點(diǎn). 典型例題 年北京卷文） 例 5（2007 年北京卷文） （ 如圖，在

24、RtAOB 中， OAB = ，斜邊 AB = 4 Rt AOC 可以通過 6 A Rt AOB 以直線 AO 為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角 B AO C 的直二面 角 D 是 AB 的中點(diǎn) D （I）求證：平面 COD 平面 AOB ； （II）求異面直線 AO 與 CD 所成角的大小 思路啟迪： 思路啟迪 （II）的關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi). 解答過程：解法 1： （I）由題意， CO AO ， BO AO ， 解答過程 BOC 是二面角 B AO C 是直二面角， CO BO ，又 AO BO = O ， O C E B CO 平面 AOB ， 又 CO 平面 COD 平面

25、COD 平面 AOB （II）作 DE OB ，垂足為 E ，連結(jié) CE （如圖） ，則 DE AO ， z A 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 D 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 CDE 是異面直線 AO 與 CD 所成的角 在 RtCOE 中， CO = BO = 2 ， OE = 1 BO = 1 ， 2 CE = CO 2 + OE 2 = 5 又 DE = 1 AO = 3 2 在 RtCDE 中， tan CDE = CE = 5 = 15 DE 3 3 異面直線 AO 與 CD 所成角

26、的大小為 arctan 15 3 解法 2： （I）同解法 1 （II）建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz ，如圖，則 O (0， 0 ， A(0， 2 3 ， C (2， 0 ， D (0， 3 ， 0， 0， 0， 1， 1， OA = (0， 2 3 ， CD = ( 2， 3 ， 0， cos < OA， >= CD OAiCD OA i CD = 6 6 = 4 2 3 i2 2 異面直線 AO 與 CD 所成角的大小為 arccos 6 4 小結(jié)： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直 小結(jié) 線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)” ，作另一條直線的

27、平行線，如解析一，或利用中位線，如 解析二；補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的 關(guān)系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法.同 時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍： 0, . 2 （2006 年廣東卷）如圖所示，AF、DE 分別是O、O1 的直徑.AD 與兩圓所在的平 例 6 面均垂直，AD8,BC 是O 的直徑，ABAC6，OE/AD. (求二面角 BADF 的大小； (求直線 BD 與 EF 所成的角. 命題目的：本題主要考查二面角以及異面直線 所成的角等基 命題目的 本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.

28、 過程指引：關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角并 過程指引 掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法. 解答過程： (AD 與兩圓所在的平面均垂直, 解答過程 ADAB, ADAF,故BAF 是二面角 BADF 的平面角. AF、BC 是圓 O的直徑， ABFC 是矩形 又 AB = AC = 6， ABFC 是正方形 由于 ABFC 是正方形，所以BAF450. 即二面角 BADF 的大小為 450； ， 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 (以 O 為原點(diǎn)，BC

29、、AF、OE 所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示） ，則 O（0，0，0） ，A（0， 3 2 ，0） ，B（ 3 2 ，0，0）,D（0， 3 2 ，8） ，E（0，0，8） ， F（0， 3 2 ，0） 所以， BD = (3 2 ,3 2 ,8, FE = (0,3 2 ,8 cos < BD, FE >= BD FE 0 + 18 + 64 82 = = . 10 | BD | FE | 100 × 82 設(shè)異面直線 BD 與 EF 所成角為 ，則 . cos = cos < BD, FE > = 82 . 10 82 . 10 故直線 B

30、D 與 EF 所成的角為 arccos 考點(diǎn) 5 直線和平面所成的角 此類題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計(jì)算. 線面角在空間角中占有重要地位，是高考的?？純?nèi)容. 典型例題 例 7.（2007 年全國卷理） （ 全國卷 四棱錐 S ABCD 中，底面 ABCD 為平行四邊形，側(cè)面 SBC 底面 ABCD 已知ABC = 45 ， S AB = 2 ， BC = 2 2 ， SA = SB = 3 D C A B （）證明 SA BC ； （）求直線 SD 與平面 SAB 所成角的大小 考查目的： 考查目的：本小題主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系， 二面角的大小，點(diǎn)到平面的距

31、離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力 解答過程： （）作 SO BC ，垂足為 O ，連結(jié) AO ，由側(cè)面 SBC 底面 ABCD ， 解答過程：解法一： 得 SO 底面 ABCD 因?yàn)?SA = SB ，所以 AO = BO ， 又 ABC = 45 ，故 AOB 為等腰直角三角形， AO BO ， 由三垂線定理，得 SA BC （）由（）知 SA BC ，依題設(shè) AD BC ， 故 SA AD ，由 AD = BC = 2 2 ， SA = 3 ， AO = S 2 ，得 SO = 1 ， SD = 11 C O B A SAB 的面積 S1 = 1 ABi SA2 1 AB

32、 = 2 2 2 2 D 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 連結(jié) DB ， 得 DAB 的面積 S 2 = 1 AB i AD sin135 = 2 2 設(shè) D 到平面 SAB 的距離為 h ，由于 VD SAB = VS ABD ，得 1 1 hi S1 = SO i S 2 ，解得 h = 2 3 3 設(shè) SD 與平面 SAB 所成角為 ，則 sin = h = SD 2 22 = 11 11 所以，直線 SD 與平面 SBC 所成的我為 arcsin 22 11

33、解法二： （）作 SO BC ，垂足為 O ，連結(jié) AO ，由側(cè)面 SBC 底面 ABCD ，得 SO 平面 ABCD 因?yàn)?SA = SB ，所以 AO = BO 又 ABC = 45 ， AOB 為等腰直角三角形， AO OB S 如圖，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OA 為 x 軸正向，建立直角坐標(biāo)系 O xyz ， z A( 2， 0 ， B (0， 2， ， C (0， 2， ， S (0，1 ， SA = ( 2， 1 ， 0， 0 0 0， 0， CB = (0， 2， ， SAiCB = 0 ，所以 SA BC 2 0 （）取 AB 中點(diǎn) E ， E 2 ， 2 ， ， 0 2 2 1

34、 連結(jié) SE ，取 SE 中點(diǎn) G ，連結(jié) OG ， G 2 ， 2 ， 4 4 2 G C O A D E B y x 2 2 1， 2 2 ， AB = ( 2， 2， 0 OG = 1 4 ，4 ， SE = 2 ，2 ， 2 SE iOG = 0 ， ABiOG = 0 ， OG 與平面 SAB 內(nèi)兩條相交直線 SE ， AB 垂直 所以 OG 平面 SAB ，OG 與 DS 的夾角記為 ，SD 與平面 SAB 所成的角記為 ， 與 則 互余 D ( 2， 2， ， DS = ( 2， 2， 2 0 2 1 cos = OG i DS OG i DS = 22 ， sin = 22 ，

35、 11 11 所以，直線 SD 與平面 SAB 所成的角為 arcsin 22 11 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系； （2） 小結(jié) 當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：構(gòu)造作出斜線與射影所成的角，證明論 證作出的角為所求的角， 計(jì)算常用解三角形的方法求角， 結(jié)論點(diǎn)明直線和平面 所成的角的值. 考點(diǎn) 6 二面角 此類題主要是如何確定二面角的平面角， 并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個(gè)合 適

36、的三角形中進(jìn)行求解.二面角是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)重視. 典型例題 （2007 年湖南卷文） 年湖南卷文） 例 8 （ 如圖，已知直二面角 PQ ， A PQ ， B ， C ， CA = CB ， BAP = 45 ， 直線 CA 和平面 所成的角為 30 C P （I）證明 BC PQ ； （II）求二面角 B AC P 的大小 命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思 命題目的 維能力和運(yùn)算能力. 過程指引： 過程指引 （I）在平面 內(nèi)過點(diǎn) C 作 CO PQ 于點(diǎn) O ，連結(jié) OB 因 為 ， = PQ ，所以 CO ， 又因?yàn)?CA = CB ，所以

37、OA = OB 而 BAO = 45 ，所以 ABO = 45 ， AOB = 90 ， 從而 BO PQ ，又 CO PQ ， 所以 PQ 平面 OBC 因?yàn)?BC 平面 OBC ，故 PQ BC （II）解法一：由（I）知， BO PQ ，又 ， = PQ ， P A B Q C B O H A Q BO ，所以 BO 過點(diǎn) O 作 OH AC 于點(diǎn) H ，連結(jié) BH ，由三垂線定理知， BH AC 故 BHO 是二面角 B AC P 的平面角 由（I）知， CO ，所以 CAO 是 CA 和平面 所成的角，則 CAO = 30 ， 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多

38、資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 不妨設(shè) AC = 2 ，則 AO = 3 ， OH = AO sin 30 = 3 2 在 RtOAB 中， ABO = BAO = 45 ，所以 BO = AO = 3 ， 于是在 RtBOH 中， tan BHO = BO = OH 3 3 2 = 2 故二面角 B AC P 的大小為 arctan 2 解法二：由（I）知， OC OA ， OC OB ， OA OB ，故可以 O 為原點(diǎn)，分別以直線 OB，OA，OC 為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖） 因?yàn)?CO

39、 a ，所以 CAO 是 CA 和平面 所成的角，則 CAO = 30 不妨設(shè) AC = 2 ，則 AO = 3 ， CO = 1 在 RtOAB 中， ABO = BAO = 45 ， 所以 BO = AO = 3 則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 P C z A B O y Q x O (0， 0 ， B ( 3， 0 ， A(0，3， ， C (0，1 0， 0， 0 0， 所以 AB = ( 3， 3， ， AC = (0， 3， 0 1 設(shè) n1 = x，y，z 是平面 ABC 的一個(gè)法向量，由 n1 i AB = 0， 3 x 3 y = 0， 得 n1 i AC = 0 3 y + z =

40、 0 ， ， 取 x = 1 ，得 n1 = (11 3 ， 0 易知 n2 = (1 0， 是平面 的一個(gè)法向量 n2 設(shè)二面角 B AC P 的平面角為 ，由圖可知， =< n1， > 所以 cos = n1 n2 1 5 = = | n1 |i| n2 | 5 ×1 5 5 5 故二面角 B AC P 的大小為 arccos 小結(jié)：本題是一個(gè)無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平 小結(jié) 面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱， 由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱， 補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱； 解法二則是

41、利用 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 平面向量計(jì)算的方法， 這也是解決無棱二面角的一種常用方法， 即當(dāng)二面角的平面角不易作 出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小. ( 在四棱錐 PABCD 中， 底面 ABCD, DAB 為直角， PA AB 例 9 2006 年重慶卷如圖， CD，AD=CD=2AB, E、F 分別為 PC、CD 的中點(diǎn). （）試證：CD 平面 BEF； （） PAk 設(shè) AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30° , 求

42、k 的取值范圍. 命題目的：本題主要考查直線與平面垂直、二面角等基本 命題目的 知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力. 過程指引： 方法二關(guān)鍵是掌握利用空 過程指引 方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角； 間向量求空間距離和角的一般方法. 解答過程： 解答過程 解法一： （）證：由已知 DF / AB 且 DAD 為直角， = 故 ABFD 是矩形，從而 CD BF. 又 PA 底 面 ABCD,CD AD ， 故 由 三 垂 線 定 理 知 CD PD.在PDC 中，E、F 分別 PC、CD 的中點(diǎn)，故 EFPD,從而 CD EF,由此得 CD 面 BEF. （） 連結(jié)

43、AC 交 BF 于 G.易知 G 為 AC 的中點(diǎn).連接 EG,則在PAC 中易知 EGPA.又因 PA 底面 ABCD,故 EG 底面 ABCD.在底面 ABCD 中， 過 G 作 GH BD,垂足為 H,連接 EH.由三垂線定理知 EH BD.從而 EHG 為二面角 E-BD-C 的平面角. 設(shè) AB=a,則在PAC 中，有 EG= 1 1 PA= ka. 2 2 以下計(jì)算 GH，考察底面的平面圖.連結(jié) GD. 因 SGBD= 1 1 BDGH= GBDF. 2 2 GB DF 故 GH= . BD 在ABD 中，因?yàn)?ABa,AD=2a,得 BD= 5 a. 而 GB= 1 1 FB=

44、AD=a，DF=AB,從而得 2 2 GH= GB AB a a 5 = a. BD 5 5a 1 ka 5 EG 2 因此 tanEHG= = = k. GH 2 5 a 5 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 由 k0 知 EHG 是銳角，故要使 EHG 30° ，必須 5 3 k tan 30° = , 2 3 解之得，k 的取值范圍為 k 解法二： （）如圖，以 A 為原點(diǎn)，AB 所在直線為 x 軸，AD 所在直線為 y 軸，AP 所在直線為

45、z 軸 建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AB=a,則易知點(diǎn) A,B,C,D,F 的坐標(biāo)分別為 A(0,0,0,B(a,0,0,C(2a,2a,0,D(0,2a,0, F(a,2a,0. 從而 DC =(2a,0,0, BF =(0,2a,0, 2 15 . 15 DC BF =0,故 DC BF . 設(shè) PA=b,則 P(0,0,b,而 E 為 PC 中點(diǎn).故 E a, a, b . 2 從而 BE = 0, a, b ， DC BE =0,故 DC BE . 2 由此得 CD 面 BEF. （） E 在 xOy 平面上的投影為 G， G 作 GH BD 垂足為 H,由三垂線定理知 EH BD. 設(shè)

46、過 從而 EHG 為二面角 E-BD-C 的平面角. 由 PAkAB 得 P(0,0,ka,E a, a, ka ,G(a,a,0. 2 設(shè) H(x,y,0，則 GH =(x-a,y-a,0, BD =(-a,2a,0, 由 GH BD =0 得-a(x-a+2a(y-a=0,即 x-2y=-a 又因 BH =(x-a,y,0,且 BH 與 BD 的方向相同，故 2x+y=2a 由解得 x= xa y ，即 a 2a 3 4 5 1 2 a,y= a,從而 GH a, a,0 ， GH a. 5 5 5 5 5 ka 5 tanEHG= = 2 = k. 2 5 GH a 5 EG 狀元源打造

47、最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 由 k0 知，EHG 是銳角，由 EHG 30°, 得 tanEHGtan 30°, 即 5 3 k . 2 3 故 k 的取值范圍為 k 2 15 . 15 考點(diǎn) 7 利用空間向量求空間距離和角 眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定.當(dāng)掌握了用向量的方法解 決立體幾何問題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)， 不僅會(huì)降低題目的難度， 而且使得作題具有很強(qiáng)的操 作性. 典型例題 江蘇卷） 例 10 2007 年江蘇卷） （ 如圖

48、，已知 ABCD A1 B1C1 D1 是棱長為 3 的正方體， 點(diǎn) E 在 AA1 上，點(diǎn) F 在 CC1 上，且 AE = FC1 = 1 （1）求證： E，B，F(xiàn)，D1 四點(diǎn)共面； （2）若點(diǎn) G 在 BC 上， BG = D1 C1 F M D A1 B1 E A H C G B 2 ，點(diǎn) M 在 BB1 上， 3 GM BF ，垂足為 H ，求證： EM 平面 BCC1 B1 ； （3）用 表示截面 EBFD1 和側(cè)面 BCC1 B1 所成的銳二面角的大小，求 tan 命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、 命題意圖：本小題主要考查平面的基本性質(zhì)、線線平行、線面

49、垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)和 基本運(yùn)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力 能力和運(yùn)算能力 基本運(yùn)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力 過程指引：解法一： 過程指引 （1）如圖，在 DD1 上取點(diǎn) N ，使 DN = 1 ，連結(jié) EN ，CN ， 則 AE = DN = 1 ， CF = ND1 = 2 因?yàn)?AE DN ，ND1 CF ， 所以四邊形 ADNE ，CFD1 N 都為平行四邊形 從而 EN ， FD1 CN AD D1 A1 B1 C1 F N M D E A H C G B 又因?yàn)?AD ，所以 EN ，故四邊形 BCNE 是平行四邊形，由此推知 CN BE ， B

50、C BC 從而 FD1 BE 因此， E，B，F(xiàn)，D1 四點(diǎn)共面 （2）如圖， GM BF ，又 BM BC ，所以BGM = CFB ， 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 BM = BG itan BGM = BGi tan CFB = BG i BC 2 3 = × = 1 CF 3 2 因?yàn)?AE BM ，所以 ABME 為平行四邊形，從而 AB EM 又 AB 平面 BCC1 B1 ，所以 EM 平面 BCC1 B1 （3）如圖，連結(jié) EH 因?yàn)?MH

51、 BF ， EM BF ，所以 BF 平面 EMH ，得 EH BF 于是EHM 是所求的二面角的平面角，即EHM = 因?yàn)镸BH = CFB ，所以 MH = BM isin MBH = BM isin CFB = BM i BC BC + CF 2 2 = 1× 3 3 +2 2 2 = EM 3 ， tan = = 13 MH 13 解法二： 3， （1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 BE = (3，1 ， BF = (0， 2 ， BD1 = (3，3 ， z 0， 3， D1 所以 BD1 = BE + BF ，故 BD1 ， BE ， BF 共面 又它們有公共點(diǎn) B ，所以

52、E，B，F(xiàn)，D1 四點(diǎn)共面 A1 B1 E M C1 F D y 2 （2）如圖，設(shè) M (0， z ，則 GM = 0， ，z ， 0， 3 2 而 BF = (0， 2 ，由題設(shè)得 GM i BF = i3 + z i 2 = 0 ， 3， 3 得 z = 1 因?yàn)?M (0，1 ， E (3，1 ，有 ME = (3， 0 ， 0， 0， 0， x A H C G B 0， 又 BB1 = (0， 3 ， BC = (0，0 ，所以 ME i BB1 = 0 ， ME i BC = 0 ，從而 ME BB1 ， 3， ME BC 故 ME 平面 BCC1 B1 （3）設(shè)向量 BP = (

53、 x，y， 截面 EBFD1 ，于是 BP BE ， BP BF 3 而 BE = (3，1 ， BF = (0， 2 ， 得 BPi BE = 3x + 3 = 0 ， BP i BF = 3 y + 6 = 0 ， 解 得 0， 3， x = 1 ， y = 2 ，所以 BP = (1， 2， 3 又 BA = (3， 0 平面 BCC1 B1 ，所以 BP 和 BA 的夾角等于 或 （ 為銳角） 0， 于是 cos = BP i BA BP i BA = 1 14 故 tan = 13 狀元源打造最全的免費(fèi)高考復(fù)習(xí)、學(xué)業(yè)水平考試復(fù)習(xí)資料，更多資料請(qǐng)到狀元源下載。 狀元源 免注冊(cè)、 免費(fèi)提

54、供中學(xué)高考復(fù)習(xí)各科試卷下載及高中學(xué)業(yè)水平測(cè)試各科資源下載 小結(jié)：向量法求二面角的大小關(guān)鍵是確定兩個(gè)平面的法向量的坐標(biāo)，再用公式求夾角；點(diǎn)面 小結(jié) 距離一般轉(zhuǎn)化為 AB 在面 BDF 的法向量 n 上的投影的絕對(duì)值. 例 11 （2006 年全國卷） 如圖,l1、l2 是互相垂直的兩條異面直線，MN 是它們的公垂線段，點(diǎn) A、 B 在 l1 上，C 在 l2 上，AM=MB=MN （I）證明 AC NB； ° （II）若 ACB = 60 ，求 NB 與平面 ABC 所成角的余弦值. A M B N C 命題目的：本題主要考查異面直線垂直、直線與平面所成角的有關(guān) 命題目的 知識(shí)，考查空

55、間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力. 過程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g角； 過程指引 方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間角的一般方法. 解答過程： 解答過程 解法一： (由已知 l2MN, l2l1 , MNl1 =M, 可得 l2平面 ABN. 由已知 MNl1 , AM=MB=MN,可知 AN=NB 且 ANNB. ACNB 又 AN 為 AC 在平面 ABN 內(nèi)的射影. C H A M B N （）RtCANRtCNB, AC=BC,又已知ACB=60°,因此ABC 為正三角形. RtANBRtCNB, NC=NA=NB,因此 N 在平面 ABC 內(nèi)的射影 H

56、是正三角形 ABC 的中 心,連結(jié) BH,NBH 為 NB 與平面 ABC 所成的角. 3 AB 3 HB 6 在 RtNHB 中,cosNBH= = = . NB 3 2 AB 2 解法二： 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系 Mxyz. 令 MN=1, M z C H o B N 則有 A(1,0,0,B(1,0,0,N(0,1,0, (MN 是 l1、l2 的公垂線, l1l2, l2平面 ABN. l2 平行于 z 軸. 故可設(shè) C(0,1,m. 于是 =(1,1,m, =(1,1,0. ACNB. x y =1+(1+0=0 ( =(1,1,m, =(1,1,m, |=|, 又已知ACB=60