第四講一次方程與一次不等式-吉林市教育信息網(wǎng)

1、文件sxjsck0018.doc科目數(shù)學(xué)關(guān)鍵詞初一 /方程/不等式標(biāo)題內(nèi)容一次方程與一次不等式一次方程與一次不等式1. 一次方程(組)一次方程(組)是最簡(jiǎn)單的方程，是進(jìn)一步研究函數(shù)、方程、不等式等的基礎(chǔ)，先看一個(gè)含 字母系數(shù)的一元一次方程的討論 .例1 (第36屆美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè) a, a，b, b，是實(shí)數(shù)，且a和#不為零，當(dāng)且僅當(dāng) ()時(shí)，ax+b=0的解小于a，x+b，=0的解.(A)a，b v ab，(B) ab，v a，bbbbb(D)Y 一(E)一 YaaF aa(C) abv a，b，解 /0,. ax+b=0 的解是,aA */ a，* 0, a，x+b，=0 的解是-一.

2、， a" 根據(jù)題意得-b b，即b b.IF 1fa a a aX1,X2,X3,X4和X5滿足下列方程組:故應(yīng)選(E).(第4屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)若2x1 +X2 +X3 +X4+ X5=0,X1+ 2XX3 +X4+ X5= 12,儀+ X2 +2X3 +X4+ X5= 24,X1+ X2 +X3 +2X4+ X5= 48,ix1+ X2 +X3 +X4 +2X5= 96.確疋3x4+2x 5的值.解將已知的五個(gè)方程加起來，然后，把所得方程的兩邊除以6得X1+X2+X3+X4+X5=31,(*)由第4、第5個(gè)方程分別減去方程(* )，得X4=17,X5=65,3X4+2X5=1

3、81說明，上面解答所提供的用 31代換X什X2+X3+X4+X5的整體代換方法是一種重要的解題策略 . 例3 (1982年天津初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)已知關(guān)于 x, y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5 2a=0, 當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)就有一個(gè)方程， 而這些方程有一個(gè)公共解， 你能求出這個(gè)公共解， 并證明 對(duì)任何a值它都能使方程成立嗎？分析依題意，即要證明存在一組與a無關(guān)的x, y的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取兩個(gè)特殊值(如 a=1或a=-2),可得兩個(gè)方程，解由這兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組 得到一組解，再代入原方程驗(yàn)證，如滿足方程則命題獲證，我們也可以這樣想：將原

4、方程整理成為形如a(x+y-2)+(-x+2y+5)=0a取任意值成立必須且只須將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母a的一元一次方程，由題知該方程對(duì)x+y-2=0,同時(shí)-x+2y+5=0.聯(lián)立以上兩方程易得原方程的解.以上所提出的兩種解法將在本書的其它部分有更詳細(xì)的講述2. 次不等式解一元一次不等式主要依據(jù)下列不等式的性質(zhì):（1）不等式的兩邊加上（或減去）同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向;（2 ）不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，所得不等式與原不等式同向；（3 ）不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，所得不等式與原不等式反向例4 （上海1989年初二競(jìng)賽題）如果關(guān)于關(guān)于x的不等式ax> b的解是多

5、少？x的不等式（2a-b）x+a-5b > 0的解為那么分析由（2a-b）x+a-5b > 0可得（2a-b） x> 5b-a,注意到題目已給出的解得知僅當(dāng)2a-bv 0時(shí),有5b -a2a b107-3 .故，對(duì)不等式a 5ax> b,當(dāng) a> 0 時(shí),33x >,av 0,x>55(I)1；£x 5,5 - x - 2x -3 1;例5 （1973年加拿大中學(xué)生競(jìng)賽題）求滿足 |x+3|-|x-1|=x+1的一切實(shí)數(shù)解分析解絕對(duì)值方程的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)，令x+3=0,x-仁0 ,分別得x=-3,x=1,-3,1將全部實(shí)數(shù)分成3段：xv

6、-3或-3< xv 1或x> 1,然后在每一段上去絕對(duì)值符號(hào)解方程，例如，當(dāng) xv -3 時(shí)，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化為-x-3+x-1=x+1，二 x=-5 , x=-5 滿足 xv -3，故是 原方程的一個(gè)解，求出每一段上的解，將它們合并，便得到原方程的全部解，這種方法叫做“零點(diǎn)”分段法，x=-3 , x=1叫做零點(diǎn).例6 （1978年上海競(jìng)賽題）解絕對(duì)值不等式|x-5|-|2x+3| v 1.3解 令x-5=0,或2x=3=0,得x=5,或x=，它們將實(shí)數(shù)分成三部分，如圖4-1（此處無圖）.2原不等式的解由下面三個(gè)不等式組的解的全體組成：325 -

7、x 2x 3x色5,（川）（X-5-2x -3 "1由（I）得xv -7;由（n）得一< x v 5 ;由（川）得x > 5,所以原不等式的解為 x v -7或x31> -3例7 （1978年廣東數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）不等式|x|+|y|v 100的整數(shù)解有多少組（y）?解 |x|+|y|v 1OO,. 0w |x|w 99, 0< |y|< 99，故 x、y 分別可取-99 到 99 之間的 199 個(gè)整數(shù)，且xm y，現(xiàn)將所有可能的情況列有如下：（此處無表）故滿足不等式|x|+|y| v 100且xM y的整數(shù)解組數(shù)為：198+2 (1+3+ +99) +2

8、 (100+102+196) =198+ 2(1")5°2492 2=198+100 X50+296 X49=19702 （組）.若有依次排列著的一列數(shù)，每后一個(gè)數(shù)與它前面一個(gè)數(shù)的差總等于一個(gè)常數(shù)，我們稱這一列數(shù)形成一個(gè)等差數(shù)列，依據(jù)這一概念我們來解答下面這個(gè)題目例8 （1988年日本大學(xué)入學(xué)試題）設(shè)有滿足 1 v av bv c的四個(gè)數(shù)1, a, b, c,其中兩兩之 和組成的六個(gè)數(shù)各不相同，而把它們從小到大排起來形成一個(gè)等差數(shù)列，且其和為201，求a、b、c之值.解由條件知其兩兩之和為六個(gè)數(shù)，且有關(guān)系式1+av 1+b v 1+c;a+bv a+cv b+c1+bv a

9、+b;1+c v a+c根據(jù)1+ c和a+b的大小關(guān)系可分為兩種情況：i) 1+a v 1+bv 1+cv a+bv a+cv b+c;ii) 1+a v 1+b v a+bv 1+cv a+cv b+c.在i)情況下，由等差數(shù)列性質(zhì)知(b+c)-(a+c)=(a+c)-(a+b)=(c+b)-(1+c)設(shè)公差為k,即b-a = c-b=a+b-c-仁k 從而有 b=a+k c=b+k=a+2k 代入 a+b-c-仁k 中，得a+a+k-a-2k-1=k于是 a=2k+1b=3k+1c=4k+1又因?yàn)榱鶄€(gè)數(shù)之和為20 1,所以3(a+b+c+1)=20 1a+b+c=66即(2k+1)+(3k

10、+1)+(4k+1)=66k=7/ a=15b=22c=29類似地在ii）情況下可解得a=10b=19 c=373. 二元一次不定方程我們把形如ax+by=c（ab豐0）的方程叫做二元一次不定方程，在這里我們只研究方程系數(shù)a,b, c為整數(shù)的情況（以下不再作說明）.關(guān)于二元一次不定方程的整數(shù)解，有下面的簡(jiǎn)單定理.定理1若a, b的最大公約數(shù)d不能整除c,則方程ax+by=c沒有整數(shù)解. 以下約定記號(hào)（a, b）=1表示整數(shù)a, b互質(zhì).定理2對(duì)于方程ax+by=c, （a, b）=1如果（x°, y°）是方程的一組整數(shù)解，那么x =x0 +bt丿（t為整數(shù)）y =y。at是

11、方程的全部整數(shù)解.我們不證明這兩個(gè)定理，定理的證明完全可以仿照下面例題的解答給出例9x,y是滿足條件2x+3y=a的整數(shù)（a是整數(shù)），證明必存在一整數(shù) b,使x, y能表示為x=-a+3b, y=a-2b 的形式.證明：T 2x+3y=aa 3y x ="y,t x, y是整數(shù). 口也是整數(shù),2令 b = ay，貝U y=a-2b.a 3y a - 3(a 2b)這時(shí)，x3b 一 a ,2 22x+3y=2(3b-a)+3(a-2b) =6b-2a+3a-6b=a這說明整數(shù)b能使x=-a+3b , y=a-2b滿足方程2x+3y=a.上面證明中用到的輾轉(zhuǎn)相除法實(shí)際上是解二元一次不定方

12、程常用的方法例10求37x+41y=1的一組整數(shù)解.解 37x+41y=1 即1-41 y丄 1 -4yxy ,3737當(dāng)時(shí)=十4（一9）=13737為整數(shù)，這時(shí)x=+9+仁10，故x=10, y=-9是方程的一組整數(shù)解.說明：本題只要求求出一組整數(shù)解，依定理2這個(gè)方程的全部整數(shù)解為:'x =10+41tt為參數(shù)）y - -9 - 37t例11小張和他的朋友小王兩人都有工作，小張每工作八天后休息一天，小王每工作五天后休息一天，小張今天休息，小王明天休息，問他們哪天(如果有這一天的話)一同休息？ 解 出題設(shè)知小張工作周期是 9天，小王工作周期是 6天.如果他們?cè)谀程煲煌菹?，則可 設(shè)小張

13、已工作了 x周，小王已工作了 y周，據(jù)題意列方程： 9x-6y =1.顯然 31( 9x-6y), 31,所以方程無整數(shù)解，5錢，母雞每只值 3錢，雛雞每三故小張和小王不可能同一天休息 例12(中國(guó)古代數(shù)學(xué)問題)百錢買百雞，公雞每只值只值1錢，問公、母、雛雞各買了幾只？ 解設(shè)買公、母、雛雞的數(shù)目分別為x、y、z只，則x y z =100,15x 3y z = 100.x 3-并化簡(jiǎn)得7x+4y=100由于(-1, 2)是方程為：I37x+4y=1的一組解，所以(-100, 200)是方程的一組解，因此通解x = 100+4t斗齢沁 (t為整數(shù)) y =200 7t令丿Q< 7t 200

14、乞 100.<4t 100 蘭 100200解得25 _ t :7.t=25, 26, 27, 28,故公、母、雛雞的數(shù)量分別為(0, 25, 79),或(4, 18, 78)或(8, 11, 81 )或(12, 4, 84).1選擇題(1)練習(xí)四如果xv -2,那么|1-|1+x|的值應(yīng)是()(A)x(B)-x(C)2+x(D)-2-x(2)已知 |x-1|+|x-2|-1，則 x 的值(A)只能為1(C)可能為任何實(shí)數(shù)(B)(D(3)(1987年全國(guó)競(jìng)賽題)已知方程()(A) a> -1(B)a=12.填空題(1)讀一本書，如一天讀80頁，需)只能為2)為滿足1 w x<

15、 2的一切實(shí)數(shù)(C)a > 1(D)非上述答案90頁，需3天多讀完，現(xiàn)為使1 13的學(xué)生得良2的學(xué)生得及兇=ax+1有一個(gè)負(fù)根而沒有正根，那么a的取值范圍是4天多讀完，如一天讀每天讀的頁數(shù)與讀完的天數(shù)相等，則每天應(yīng)讀 頁.1(2)某班學(xué)生不到50人，在一次測(cè)驗(yàn)中，有的學(xué)生得優(yōu),格，則不及格的學(xué)生有(3)人.(1989年上海初一試題)，方程x-a-b x-b-c x-c-a -3 cababcz 0,那么 x使得不等式3x-aw 0只有三個(gè)正整數(shù)解，那么這時(shí)正數(shù)7a的取值范圍是并且(4)3解不等式 a(x-a) > x-1.4. |x-5|-|2x+3| v 1，求 x 的取值范圍.5. 求11x+15y=7的全部整數(shù)解6. 用一元錢買15張郵票，其中有4分，8分，1角的三種郵票，問有多少種買法?7已知某個(gè)六位數(shù)abcdef的首位移到末位而其余數(shù)字不動(dòng)，所得新數(shù)bcdefa是原數(shù)的3倍, 求原來的六位數(shù).1118. (歐拉問題)一頭豬賣3-銀幣,一頭山羊