兩個平面垂直的判定和性質(zhì)

1、文件sxglija0021.doc科目數(shù)學年級高中章節(jié)關(guān)鍵詞平面垂直標題兩個平面垂直的判定和性質(zhì)（二）內(nèi)容兩個平面垂直的判定和性質(zhì)（二）北京師大實驗中學李青霞教學目標1. 使學生掌握兩個平面垂直的性質(zhì)定理及其證明.并能應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理解決簡單問題；2. 通過兩個定理的兩種引入方式，培養(yǎng)學生觀察，歸納、猜想、證明的科學思維方式及辯證 思維能力.教學重點和難點性質(zhì)定理的引入及證明.教學用具兩個互相垂直的平面，一根直的細木棍教學設(shè)計過程師：上一節(jié)課我們學習了面面垂直的定義和判定面面垂直的定理.如果兩個平面相交，所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.判定定理是用來判定兩個平面垂直的方法

2、.請問判定定理是如何敘述的呢？生：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直師:好.應(yīng)用定理的關(guān)鍵是在其中一個平面中尋找另一個平面的垂線.下面我們一起來解決上節(jié)課留的思考題.（板書）如圖，四邊形 BCDE是正方形，AB丄面BCDE,則圖中所示 7個平面中，有幾對平面互相 垂直？圖生：共7組.AB丄面 BCDE， 所以 面ABE丄面BCDE，面ABC丄面BCDE，面ABD丄面BCDE， 且 AB丄 BC，AB丄CE，AB丄 CD.又正方形BCDE，所以BC丄BE， 所以BC丄面ABE.因為 面ABC丄面ABE， 因為 DE II BC， 所以DE丄面ABE， 故 面ADE丄面A

3、BE.又CD丄BC， 因為CD丄面ABC, 所以 面ACD丄面ABC.又CE丄BD,所以CE丄面ABD,故 面ACE丄面ABD.師：通過對本題的研究，我們對判定定理有了更深入的理解.下面我們一起來研究面面垂直有哪些性質(zhì).生：兩個平面互相垂直，所成的二面角是直二面角師:很好.這是由定義的雙重性得到的，定義既提供了兩個平面垂直的判定方法，又指岀了 兩個平面互相垂直的性質(zhì) .上節(jié)課我們由線面垂直，推岀面面垂直，也就是面面垂直的判定 定理.那么現(xiàn)在從面面垂直岀發(fā)，能否得到線面垂直呢？（取岀教具，并拿細木棍在其中一個面上移動）生：當棍與棱垂直時，棍與另一平面垂直師:很好.如果棍與棱不垂直時，棍與面垂直嗎

4、？生：不垂直.師:好.也就是說只有當棍與棱垂直時，棍才與面垂直.那么是不是與棱垂直，就一定與面垂直呢？保持棍與棱相交垂直，將棱移開平面，使之與平面不垂直生：不是，棍必須在平面內(nèi).師：意思是說當棍在面內(nèi)時，如果棍與棱垂直，則它與面垂直.好，請你整理一下剛才的想法，該怎樣敘述這個命題的內(nèi)容呢？注意面面垂直的大前提.生：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.師:很好，下面我們一起來完成命題的證明 .先分析命題的條件和結(jié)論，然后畫岀圖形，再 結(jié)合圖形，用符號語言敘述已知，求證 .圖 2生：已知如圖，a丄B , a Q B =AB，CD a，CD丄AB. 求證:CD丄B

5、 .師:這個命題的結(jié)論是線面垂直.考慮已學過的判定線面垂直的方法有哪些，由本題的已知 看看哪個方法最適合.生：由已知CD丄AB，AB在B內(nèi)，想證 CD丄B，只需在B內(nèi)再找一條直線與 CD垂直. 師:很好.但B內(nèi)沒有這樣的直線.應(yīng)該怎樣作出這條直線呢 ？生：因為a丄B，根據(jù)定義作岀這個二面角的平面角，就是90 ° .在平面B內(nèi)，過D作DE丄AB，因為CD丄AB，所以 / CDE是a -AB- B的平面角，又 a丄B，所以 / CDE=90 °即CD丄DE.又 AB B，DE B，故CD丄B .師:好.利用兩個平面垂直的定義，作岀直線CD丄AB，最終證明了 AB丄B .它就是面

6、面垂直的性質(zhì)定理.也可稱為線面垂直的判定定理（板書）剖析:（2）為判定或作岀線面垂直提供依據(jù).師：這個定理由面面垂直岀發(fā)，借助于線線垂直，結(jié)論是線面垂直.給我們提供了解決線面垂直的一種新的思路一一尋找面面垂直.這一點也是這一定理最突岀的作用.師：下面繼續(xù)來看，保持面面垂直的條件不變，交換一下命題的條件和結(jié)論，看看結(jié)論是否有價值.（與學生一起分析得岀）命題 1a 丄 B，a A 3 =AB，CD 二 a ，CD丄B，貝0CD丄 AB.命題 2a 丄 3 ,a A 3 =AB，CD丄 AB，CD丄3,貝UCD 二 a .師：命題1，由AB二3，CD丄3，可得CD丄AB，與a丄3的大前提無關(guān)，不做研

7、究 .命題2， 條件重復，去掉 CD丄AB.這個結(jié)論正確嗎？（取出教具，保持棍與面垂直，將棍移出平面，引導學生說出棍上必須有一個點在面a 上,才可以保證棍在面內(nèi)）師：好，修改一下命題.（擦去AB丄CD,添加C a，或D a ）師：現(xiàn)在的命題正確嗎？要證直線在平面內(nèi)，直接證法是依據(jù)公理1，需要在直線上找到兩點在平面內(nèi).已知只有一點 C a，再找合題意的點很困難 .應(yīng)該采用什么對策 ？生：利用反證法.假設(shè)CD二a ,過點C作CE丄AB于E.因為 a丄3 ,所以CE丄3 .圉3又CD與CE確定平面丫，令 丫 A 3 =a ,則CD丄a,CE丄a.所以在平面丫內(nèi)，有兩條直線 CD, CE,同時垂直直線

8、 a ,這與平面幾何定理矛盾 ！所以CD 二a .師:很好.這也是面面垂直的一個性質(zhì)，它的作用是判定直線在平面內(nèi).用語言敘述就是：（板書在命題1的位置）如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi).師：請同學們打開書 p.41.書上給岀了面面垂直的兩個性質(zhì)定理.我們看一下定理的證明.看書的同時，指岀書上所用的證明方法是同一法，有唯一性定理做保證.定理內(nèi)容是：經(jīng)過空間一點有且只有一條直線與一個平面垂直師：上面我們研究了面面垂直的兩個性質(zhì)定理.定理1是判定線面垂直的有效方法，性質(zhì)2是判定直線在平面內(nèi)的一種方法.從應(yīng)用上看，定理 1更廣泛一些.例垂直于同一平面的

9、兩平面的交線垂直于這個平面圖4已矢知 : a 丄 丫， 3 丄 Y, a A 3 =a , 求證:a丄丫 .師：本題條件是面面垂直，結(jié)論是線面垂直.選擇適當?shù)呐卸ň€面垂直的方法，給岀證明證法一：設(shè)aY =b, BQy =c,在丫內(nèi)任取一點 P，作PM丄b于M, PN丄C于N.圖5因為a丄Y , B 丄 Y ,所以PM丄a , PN 丄 B因為aQB =a ,所以PM丄a, PN 丄 a,所以a丄Y 證法二圖6任取P a,過點P作b丄丫 . 因為 a丄丫 .所以b二a , 因為 B丄Y , 因此b 二B , 故 aQ B =b. 由已知 a Q B =a , 所以a與b重合， 所以 a丄丫 .

10、證法三：圏?設(shè)a丄Y于b,B丄丫于C.在a內(nèi)彳作b，丄b,所以b，丄Y 同理在B內(nèi)作C'丄C,有C '丄Y ,所以b，/c ',又 b ' <- B , c '二 B所以b，/B .又b，二a ,a Q B =a ,所以b,/a,故a丄Y 師:這道題的三種證法，從三個不同角度入手，解決了線面垂直的問題，證法一利用線線垂直得面面垂直的判定定理.證法二通過面面垂直的性質(zhì)利用同一法.證法三則利用線線平行解決線面垂直問題.到此，有關(guān)師：好，我們用兩節(jié)課的時間完成了面面垂直的判定和性質(zhì)定理的推導和證明 垂直的內(nèi)容可以做一小結(jié) .我們知道，立體幾何中，主要依靠

11、線面關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化解決問題.由線線垂直到線面垂直，再到面面垂直；也可由面面垂直到線面垂直，再到線線垂直.以線面垂直為核心，結(jié)合線與面之間垂直和平行的關(guān)系，可以得到有關(guān)垂直的結(jié)構(gòu)圖.（與同學一起小結(jié)）線線垂直線面垂直面面垂直三垂線定理線線平行面面平行師：結(jié)合已知，靈活的應(yīng)用這些定理，就可以尋找到解題思路，從而順利的解決有關(guān)垂直的 位置關(guān)系的問題思考題圖 81. 如圖，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，（正三棱柱指底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）E BB1，且 BE=EB1求證：截面A1EC丄側(cè)面AC1.2. 影響異面直線上兩點間距離的因素有哪些，如何求出異面直線上兩點間距離 課堂教學設(shè)計說明本節(jié)課的重點內(nèi)