向?qū)W生學(xué)習(xí)學(xué)與教

1、向?qū)W生學(xué)習(xí)學(xué)與教江蘇省揚(yáng)中高級(jí)高級(jí)中學(xué)許建數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一是教學(xué)生會(huì)學(xué)，這就要引導(dǎo)學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。我的做法是轉(zhuǎn)換角度，反過(guò)來(lái)向?qū)W生學(xué)習(xí)。我注意觀察、研究?jī)?yōu)秀學(xué)生或進(jìn)步較大的學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，長(zhǎng)期研究學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成功經(jīng)驗(yàn)和失敗教訓(xùn)，以研究學(xué)生的學(xué)促進(jìn)我的教學(xué)水平提高。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)和做法給了我很多啟示，結(jié)合心理學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)理論，我覺(jué)得最重要的啟示就是把養(yǎng)成科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，究竟有哪些特點(diǎn)與品質(zhì)需要我們了解和學(xué)習(xí)呢？1、了解學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性主體性是任何學(xué)習(xí)方式必須遵循的基本理念，是學(xué)習(xí)成功的基礎(chǔ)。一旦學(xué)生的主觀能動(dòng)性調(diào)動(dòng)起來(lái)，就會(huì)激

2、發(fā)巨大的潛能，有例為證:例2:已知拋物線C:y2 =4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)K(-1,0)的直線丨與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D,證明：點(diǎn)F在直線BD上；這是一節(jié)習(xí)題課的例題，學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考探究了多種解法，在課堂 上展示后并沒(méi)有就此滿足，許多學(xué)生基于已獲得的變題經(jīng)驗(yàn)，紛紛探究是 否能夠變題，第二節(jié)課上學(xué)生通過(guò)自主探究展示了許多結(jié)論。變式1：已知拋物線c：y2 =4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)K(-1,0)的直線丨與C相交于A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn)B與F連線交拋物線于 D點(diǎn)，證明：AD X軸.變式2 :已知拋物線c：y2 =4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線l與C相交于B、D兩點(diǎn)， 過(guò)D作x軸的垂線交拋

3、物線于 A點(diǎn)，則AB連線經(jīng)過(guò)定點(diǎn) K(-1,0)以上結(jié)論對(duì)于一般拋物線也成立，即：變式3:已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,過(guò)定點(diǎn)K(-衛(wèi),0)的直線I與C相交于A、2B兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D,證明：點(diǎn)F在直線BD上 .變式4:已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,過(guò)定點(diǎn)K(-衛(wèi),0)的直線I與C相交于A、2B兩點(diǎn)，點(diǎn)B與F連線交拋物線于 D點(diǎn)，證明：AD x軸.變式5：已知拋物線C : y =2px的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線I與C相交于B、d兩點(diǎn), 過(guò)D作x軸的垂線交拋物線于 A點(diǎn)，則AB連線經(jīng)過(guò)定點(diǎn) KH,0)2若定點(diǎn)K不是焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，仍有以下結(jié)論：變式6：已知拋物線C

4、:y2 =2px，過(guò)點(diǎn)K(-a,O)(a . 0)的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D,證明：Q(a,O)在直線BD上.同理可對(duì)變式(1)(2)進(jìn)行推廣橫向類比猜想橢圓、雙曲線也具有類似性 質(zhì)呢：2 2 2變式7：已知橢圓 冷 厶-1(a b 0),過(guò)x軸上一點(diǎn)K(,0)，作直線l與a bmC相交于A,B，過(guò)A作x軸對(duì)稱點(diǎn)為D,則B D Q(m,0)三點(diǎn)共線.2 2 2變式&已知雙曲線 冷一爲(wèi)=1,過(guò)x軸上一點(diǎn)K(,0)作直線l與Ca bm相交于A,B，過(guò)A作x軸對(duì)稱點(diǎn)為D,則B D、Q(m,0)三點(diǎn)共線.一道例題因?yàn)閷W(xué)生有了自主探究的積極性和興趣，掌握了變式探究的

5、基本方法，因而獲得了意想不到的效果，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)因此煥發(fā) 出無(wú)限的生命力，學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。2、尊重學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)性化多元智能理論指出，“世界上沒(méi)有兩個(gè)人的智能是完全相同的”，因此，對(duì)于同樣的知識(shí)，各人運(yùn)用其自身各種智能的組合去學(xué)習(xí)，就會(huì)形成不同的方式方法。同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，不同的人往往運(yùn)用多種方法去解決問(wèn)題，這就可以解釋，為什么往往有些學(xué)習(xí)成績(jī)并不冒尖的學(xué)生常常會(huì)給出一些出人意料的解題思路，且能出奇制勝。有些學(xué)生往往在解題中鉆牛角尖，固執(zhí)地偏好用某種方法解決各類問(wèn)題。因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式因各人智能和學(xué)習(xí)風(fēng)格差異往往使用不同的方式和方法。由于每個(gè)人的自我認(rèn)識(shí)智能存在差異，必然導(dǎo)致認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象和

6、學(xué)習(xí)策略產(chǎn)生差異，而且各人對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、態(tài)度、情感各不相同，因而必然產(chǎn)生不同的情感體驗(yàn)，同時(shí)也直接影響對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行自覺(jué)的、有效的監(jiān)控，隨著時(shí)間的推移，各人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)不斷變化，呈現(xiàn)出顯著的個(gè)性化色彩。以下例子可以說(shuō)明學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)特點(diǎn)。例3 :已知橢圓的長(zhǎng)軸、短軸及焦距之和為8,求半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值。我首先請(qǐng)學(xué)生分析題目條件，考慮能獲取什么樣的信息，這些信息與結(jié)論有何聯(lián)系，借助已學(xué)知識(shí)能否構(gòu)建已知信息與結(jié)論的橋梁？能否找到解題思路，然后由學(xué)生思考、討論、 交流，互相借鑒：S,:(b C)2 乞 2(b2 C2) b c2(b2 c2)又 b c = 4 - ab2 c2 二 a24 -

7、 a - 2a4J .2= 4(., 2 _1)T：很好！ 你是怎么想到此種解法的?S,:根據(jù)已學(xué)求最值的方法，要求a的最小值，就要構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解出a的范圍，從而求出最小值，由條件中的b c及b2 ca2聯(lián)想到基本不等式a2 亠b2_（耳）2從而求出a的最小值。S2我與3的解題思路相似，但我運(yùn)用了a b _ ab得到如下解法:2a2 =b2 c2得 a = b2 c2 由.b2 c2 b c = 4 得.2bc 2 be 乞 416 -2bc8bc 2416-2 又 a2 二b2 c2 = 4-a 2 -2bc_2 _丄 24 _16.2 =4 . 2 _44當(dāng)且僅當(dāng)b = c時(shí)

8、a有最小值4、-2 - 4S3:受前面兩位同學(xué)的啟發(fā),T：兩位同學(xué)的解題方法都很好，運(yùn)用不同的不等式，構(gòu)建含a的不等式求出最小值。我構(gòu)造了一元二次方程根的判別式也得到了相同的結(jié)果, 其方法如下:由b+c=4a得 b+c = 4 ab c=abe = 8 - 4a-b、c 是方程 x2 -(a-4)x 8 - 4a = 0 的兩根，則； =(a -4)2 -4(8-4a) 一0a 0 a4,24 當(dāng) a=42 4 時(shí) b二c=422即 當(dāng) b=c = 4 2： 2 時(shí)，amin 2-4。S4:我用換元法找到了關(guān)于 a的不等式,b c=4-a 可設(shè) b =t24at.a2 =（2 -a t）2（2

9、-？ -t）2 整理得2 222a 8a -16 =4too4t _0. a 8a -16 _0 且a 0從而 a _ 4 . 2 - 4” a的最小值為412-4。t ：以上四位同學(xué)用所學(xué)知識(shí)為橋梁，構(gòu)建含有a的不等式，最終求出a的最小值,這些方法都很好，還能發(fā)現(xiàn)其他方法嗎？S5：求最小值往往與函數(shù)緊密聯(lián)系，我想把a(bǔ)表示成b或c的函數(shù)，由c2b2(4_b)22(4 - b)但這個(gè)函數(shù)的最小值我不會(huì)求!T: S5的方法盡管未求出結(jié)果且運(yùn)算較繁，但利用函數(shù)求最值是常用的基本方法，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，如何求上式的最小值？S6：我想到換元法：設(shè)4-b=t,則0<t<4，t 8 -4 亠 2

10、 . 8 -4 = 4、2 -4.2ttp當(dāng)且僅當(dāng)t = ,t =2.2,b =4 -2、.2時(shí)，等號(hào)成立！tT:很好！用不等式求函數(shù)的最小值可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。S7：上述同學(xué)用代數(shù)方法求解問(wèn)題，我還想到解析法，請(qǐng)看:由已知條件b2 c2可看作點(diǎn)（b,c）在圓x2y2 = a2上，又在直線a,rxya-4=0上，.直線與圓有公共點(diǎn)，貝y圓心到直線的距離不大于匸 0 <a <4,.” 4a 蘭 aJ2,a 蘭 一=4(J一1)： a 的最小值為 4(J2 1)。 2+1S7學(xué)習(xí)平面幾何興趣尤其濃，遇到許多代數(shù)問(wèn)題，往往習(xí)慣于聯(lián)想幾何模型，運(yùn)用平面幾何知識(shí)加以解決。S8 :受S7的啟發(fā)，我由

11、b2 C2二a2聯(lián)想到直角三角形：設(shè)一個(gè) 銳角為二則b = a si n v, c = a cos：,由 a b c=4，得 a a（si n v cos：） = 4，41 sin v cos-/- Hf-sin v cos 2 sin() _ . 2，4= 4( .2 -1),. a 的最小值為 4( . 2-1)。S8平時(shí)偏愛(ài)三角，經(jīng)常想到將一些問(wèn)題運(yùn)用三角換元轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題求解。他認(rèn)為三角公式多，三角變換越復(fù)雜越有趣。此外，學(xué)生還探究了其他幾種方法，分析學(xué)生的各種解法不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、 思維方式、各種智能差異有機(jī)融合，必然導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)方式千差萬(wàn)異、五彩紛呈。3、借鑒學(xué)生善于

12、聯(lián)想的品質(zhì)。我們要將新的知識(shí)與已掌握的知識(shí)聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)異同點(diǎn),便于記憶與理解：1如學(xué)生學(xué)習(xí)三角中的扇形面積公式scl。就有學(xué)生與三角形面積公式2聯(lián)系，認(rèn)為只要將扇形的弧拉直就可看作底邊。將過(guò)圓弧中點(diǎn)的半徑（由對(duì)稱性）看作高， 即可用三角形的面積公式表示。再如學(xué)習(xí)余弦定理時(shí)，將余弦定理與兩數(shù)和的平方公式聯(lián)系起來(lái)，將公式（a - b） a2 b2 2ab中數(shù)a,b換成三角形兩邊所在的向量a，b即得到兩向量和的公式，再由數(shù)量積定義即得余弦定理，還可以得到三角形中從一點(diǎn)出發(fā)的兩邊所對(duì)應(yīng)的是a，b則有a.b此謂向量數(shù)量積的三角形式,這不就是心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾的著名論斷：“如果我不得不把所有的教育心理學(xué)還原為

13、一條原理的話，那么我就將會(huì)說(shuō)，影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么？”教學(xué)生掌握知識(shí)聯(lián)系、 融會(huì)貫通正是最好的教法。4、學(xué)習(xí)學(xué)生喜歡類比的習(xí)慣。在數(shù)學(xué)中，等差數(shù)列與等比數(shù)列，橢圓和雙曲線，數(shù)與形，等與不等有許多相似性質(zhì)。學(xué)生通過(guò)類比發(fā)現(xiàn)了許多結(jié)論。如在學(xué)習(xí)圓錐曲線后，學(xué)生總結(jié)了許多橢圓與雙曲線的奇妙性質(zhì)：設(shè)Al, A,2為橢圓b2x2 +a2y2 =a2b2的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，過(guò)長(zhǎng)軸任一點(diǎn)作長(zhǎng)軸的垂 線，交橢圓于PP則直線RAi, P2A2的交點(diǎn)P的軌跡為雙曲線b2x2-a2y2 = a2b2。 設(shè)：A，A2為雙曲線b2x2 -a2y2 = a2b2的實(shí)軸端點(diǎn)，過(guò)實(shí)軸延長(zhǎng)線一點(diǎn)作 實(shí)軸的垂 線交雙

14、曲線于Pi,F2，則直線RAi, P2A2的交點(diǎn)P的軌跡為橢圓b2x2-a2y2 = a2b2。p為橢圓（雙曲線）上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為橢圓（雙曲線）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2作nFPF2 的外（內(nèi)）角平分線的垂線，則垂足的軌跡是圓。若橢圓（雙曲線）上有兩點(diǎn)代B與中心的連線互相垂直，則1OA2為定值2 2(b -a )。 (22)。a b橢圓（雙曲線）的焦點(diǎn)為f,f2， P為曲線上任一點(diǎn)，n FPF =日，則 S FiPF2 二 b2 tan 二（b2 cot R（b為 短 半軸長(zhǎng)。P、Q為橢圓（雙曲線）上任意兩點(diǎn)（P、Q位于兩支），直線PQ交準(zhǔn)線于K，F(xiàn)為 準(zhǔn)線相應(yīng)的焦點(diǎn)，貝U F、K平分.PFQ

15、的外角（內(nèi)角）。過(guò)橢圓（雙曲線）準(zhǔn)線上的任一點(diǎn)引兩切線，則切點(diǎn)弦必過(guò)焦點(diǎn)。過(guò)橢圓（雙曲線）的焦點(diǎn)作焦半徑的垂線與過(guò)此焦半徑另一端點(diǎn)的切線必相交于準(zhǔn) 線。以橢圓的任一焦半徑為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相切，以雙曲線任一焦半徑為直徑的圓與以實(shí)軸為直徑的圓相切。以橢圓（雙曲線）焦點(diǎn)弦為直徑的圓必與相應(yīng)準(zhǔn)線相離（相交）。設(shè)圓錐曲線焦點(diǎn)弦 AB在相應(yīng)準(zhǔn)線上的射影對(duì)焦點(diǎn)所張角為二，則當(dāng)曲線為橢圓時(shí),齊 兀H；當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)，7122數(shù)學(xué)教育家波利亞先生曾說(shuō)過(guò)：“教師在課堂上講什么當(dāng)然是重要的，然而學(xué)生想的是而聯(lián)想、類比、什么更加千百倍的重要”。其實(shí)想什么、怎樣想恰恰是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本問(wèn)題,歸納是怎樣想的基

16、本方法。5、遵循學(xué)生樂(lè)于探究的天性探究是人的天性，教師的職責(zé)就是激活學(xué)生的探究意識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生的探究方法，開(kāi)發(fā)學(xué)生的探究潛能，提高學(xué)生的探究能力。例4 :過(guò)拋物線y2 =2px（p 0）的焦點(diǎn)的一條直線與這拋物線相交，兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)2為 yi,y2，求證：yiy2=-P此題似乎平淡無(wú)奇， 但其條件在眾多問(wèn)題中均出現(xiàn)過(guò)，抓住這一共性條件， 將題中結(jié)論去掉，變成一個(gè)結(jié)論開(kāi)放問(wèn)題，問(wèn)由上述條件，能探索出哪些結(jié)論？并給予證明。學(xué)生依據(jù)條件，充分運(yùn)用拋物線定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，圖形及其數(shù)量關(guān)系，借助特殊引路、聯(lián)想類比、歸 納猜想、直覺(jué)洞察、變換對(duì)應(yīng)等數(shù)學(xué)思想方法，查閱資料，合情推理，得到一系列結(jié)論。以 下是學(xué)生

17、探索的部分結(jié)果（如圖）其中 f為焦點(diǎn)，M為弦 AB的中點(diǎn)，直線 AB的傾斜角 為二：（1） CFD -90° ；（2） ANB =90° ；（3）NF _ AB ；（4）AN _ FC（BN _ FD）;（5）'FK| =CK|DK| ；（6）A,O,D（B,O,C）三點(diǎn)共線（7）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線 丨相切；(8)CF _ BN ；(9)AB2psin2 二(10)S.abo2P2 sin T(h) koA koB 二 M ；(12)L JAF BF6、珍惜學(xué)生互學(xué)互教的機(jī)會(huì)學(xué)生需要什么樣的數(shù)學(xué)教學(xué)？我經(jīng)常研究學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有何需求，學(xué)生之間如何互幫互教，從學(xué)生的需求和做法中尋求教學(xué)良方。 試卷評(píng)講課是平時(shí)教學(xué)與高三復(fù)習(xí)的一種常見(jiàn) 課型，許多評(píng)講課往往效益不高，我問(wèn)計(jì)于學(xué)生， 在全體高三學(xué)生中進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，如你對(duì) 提高試卷評(píng)講課效益有何建議，學(xué)生提出了許多寶貴的建議。（1）評(píng)講前必先讓學(xué)生自己訂正。(2) 評(píng)講要與以前的同類問(wèn)題歸類評(píng)講、上掛下聯(lián)。(3) 容易出現(xiàn)普遍性錯(cuò)誤的題目，要當(dāng)堂用變題測(cè)試鞏固。(4) 講題時(shí)要先讓學(xué)生討論錯(cuò)誤，這樣糾錯(cuò)的印象才深。(5) 講題目重點(diǎn)是講思路，學(xué)生自己講了以后更容易記住。(6) 講解法不是越多越好，適合自己的解法才能掌握，并靈活運(yùn)用。(7) 評(píng)講如何減少錯(cuò)誤。(8) 試卷評(píng)講要成為學(xué)生的加油