第3章 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換及DFT

1、燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25第第3 3章章 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換及離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換及DFTDFT要求：要求：1.1.掌握連續(xù)時(shí)間傅里葉變換掌握連續(xù)時(shí)間傅里葉變換FTFT2.2.掌握離散時(shí)間傅里葉變換掌握離散時(shí)間傅里葉變換DTFTDTFT及性質(zhì)及性質(zhì)3.3.掌握離散傅里葉變換掌握離散傅里葉變換DFTDFT及應(yīng)用及應(yīng)用 燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-253.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉設(shè)x(t)為一連續(xù)信號(hào)，若x(t)屬于L1空間，即滿(mǎn)足：dttx| )(|那么，x(t

2、)的傅里葉變換存在，并定義為：dtetxjXtj)()(反變換為：dejXtxtj)(21)( X(j)是的連續(xù)函數(shù)，稱(chēng)為x(t)的頻譜密度函數(shù)或頻譜。 時(shí)域連續(xù)的非周期信號(hào)其傅里葉變換FT在頻域上是連續(xù)的、非周期的。0tx(t)0|X(j)|（1 1）非周期時(shí)間信號(hào)傅里葉變換）非周期時(shí)間信號(hào)傅里葉變換燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25tttxt其余008 . 0)(時(shí)域信號(hào)時(shí)域信號(hào) 頻域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的歐拉公式：jnjneen21cosjnjneejn21sin，求其傅里葉變換。設(shè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)0)()(atuetxatdte

3、tuedtetxjXtjattj)()()(3.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉0510152025303540455000.511.52x(t)t-25-20-15-10-505101520250246|X(j)|jaejadtetjatja110)(0)(燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25，求其傅里葉變換。其余設(shè)信號(hào)ttrtx00)(0)()(dterdtetxjXtjtj 任何周期信號(hào)在滿(mǎn)足狄義赫利條件下，可以展開(kāi)為完備正交函數(shù)線(xiàn)性組合的無(wú)窮級(jí)數(shù)。如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集，則此時(shí)展成的級(jí)數(shù)稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)三角形式，如果正交函

4、數(shù)集是復(fù)指數(shù)函數(shù)集，則稱(chēng)為傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)形式。3.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉010203040506070809010000.511.52x(t)t-2000-1500-1000-50005001000150020000102030|X(j)| 為抽樣函數(shù)。稱(chēng)xxxSasin)(信號(hào)與系統(tǒng)，徐守時(shí)：176頁(yè)222sin2sin22sin2cos2sin2cos1|222sin22222220SaererjejrjjejreeejrejrejrjSajjjjjjjtj燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 設(shè)x(t)為一連續(xù)時(shí)間

5、周期信號(hào)，周期為T(mén)，即x(t) =x(t+nT)，該信號(hào)不屬于L1空間。但如果x(t)滿(mǎn)足狄義赫利條件，可以將其展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，即： , 1, 0)/2()()(000kTekXtxtjkk條件 k0為第k次諧波頻率。因?yàn)閄(k0)僅在0的整數(shù)倍取值，即在頻率軸取值是離散的，稱(chēng)為x(t)在k次諧波的傅里葉系數(shù)。X(k0) 表示為：TtttjkdtetxTkX0)(1)(0 那么，周期信號(hào)x(t)的傅里葉變換為：dteekXdtetxjXtjtjkktj)()()(003.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉（2 2）周期時(shí)間信號(hào)傅里葉變換）周期時(shí)間信號(hào)傅里葉變換dtekXdt

6、eekXtkjktjtjkk)(0000)()(燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 函數(shù)定義及性質(zhì)：00)(1)(ttdtt)0()()(fdtttf)()()(00tfdttttf)()()(00tfdttttf 函數(shù)傅里葉變換性質(zhì)：1)()(FT0jtjedtett1)(FTt3.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉（補(bǔ)充）連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉（補(bǔ)充）0tx(t)01X(j)燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25)(21FT0X(j)反變換定義得，所以由非周期傅里葉因?yàn)?)(FTt和t互換dtetj21)(dt

7、etj1 1 FTdtetj)(2dtetj)(2)(2)(21 1 FTdtetj3.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉（補(bǔ)充）連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉（補(bǔ)充）求x(t)=1的FT。0t1x(t)dettj21)(燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25dtedteeetjtjtjtj)(000FTdettj21)(因?yàn)橐驗(yàn)椋篸tetj21)(dtetj)(0021)()(20)(0dtetj)(20FT0tje)(2)(200，所以因?yàn)?()(00tttt)(20FT0tje3.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉（補(bǔ)充）連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉（補(bǔ)充）dedett

8、jtj21121 1 IFT)(0)()(FT00tjtjedtetttt燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25)(21FT)cos(FT000tjtjeet )()()(2)(221)(21FT000000tjtjee)()()()()(21FT)sin(FT0000000jjeejttjtj 求周期函數(shù)cos(0t) 和sin(0t)的傅里葉變換。)(2FT00tje3.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉（補(bǔ)充）連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉（補(bǔ)充）燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25)()(2)(00kkXjXk 該式

9、表明，一個(gè)周期信號(hào)的傅里葉變換是：由在頻率軸上間距為0的沖擊序列所組成線(xiàn)譜。 不具備傅里葉變換條件的周期信號(hào)，在引入沖激信號(hào)后可以作傅里葉變換。時(shí)域連續(xù)周期信號(hào)傅里葉變換在頻率上是離散的、非周期的。3.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉由上述函數(shù)傅里葉變換性質(zhì)，周期信號(hào)的傅里葉變換FS為：)(2FT00tjedteekXjXtjtjkk0)()(0)()(2)()(00FSkkXnTtxtxk燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25計(jì)算周期信號(hào) 的傅里葉變換。)(tx2/02/1)()()(tttrlTtrtxl，其中2/)2/sin(1

10、1)(1)(002/2/000kkTdteTdtetxTkXtjkTtttjk周期信號(hào)的傅里葉系數(shù) xxxsinSa抽樣函數(shù)00)2/(Sa0kTkkT3.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉-2T -T -/2 0 /2 T 2T 3T t)(tx1信號(hào)與系統(tǒng)，徐守時(shí)：199頁(yè)燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25)()(2)(FS00kkXtxk因?yàn)?(2Sa2)(00kkTjXk 3.1 3.1 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉T2-2/ 0 2/T 2/ 4/（1）周期矩形信號(hào)頻譜是離散的，譜線(xiàn)間隔是0=2/T；（2）當(dāng)=

11、2k/時(shí)，譜線(xiàn)的包絡(luò)線(xiàn)過(guò)零點(diǎn)。燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-253.2.1 DTFT的定義 對(duì)序列傅里葉變換兩邊乘以ejm并在-內(nèi)對(duì)積分njnjenxeX)()( 此式即為離散時(shí)間序列的傅里葉變換DTFT。X(ej)是的連續(xù)函數(shù)，且是周期的，周期為2。njnnjnjnjenxeenxeX)()(2)2()2(deenxdeeXnjmjnmjj )()(3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 設(shè)x(n)為一序列，該序列傅里葉變換為：denxnmjn)()(njnnjnenxenxnjn)()()2sin()2cos(燕山大

12、學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25denxnmjn)()()(2)(mnnxn)(2mxdeeXnxnjj)(21)(3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換dettj21)(其余01mn DTFT的反變換為，求其傅里葉變換。例：設(shè)序列1)()(anuanxnjnnjnjnnnjnjaeaeeaenxeX11)()(00cos211)(2aaeXjcos1sinarctan)(aa信號(hào)與系統(tǒng)，徐守時(shí)：187頁(yè)燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25N=50;3n=0:1:N;w=-3*pi:

13、pi/1000:4*pi;a=0.8;xn=a.n;X=1./(1-a*exp(-j*w);Xmax=max(abs(X);subplot(311);stem(n,xn);grid;ylabel(x(n);xlabel(n);subplot(312);plot(w/pi,abs(X);ylabel(|X(j)|);xlabel();grid;text(0.1,5,leftarrow |X(j)|=,num2str(Xmax),fontsize,10); subplot(313);plot(w/pi,angle(X);ylabel();xlabel();grid;3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的

14、傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 常用DTFT的變換jnaenua11)(DTFT信號(hào)與系統(tǒng)，徐守時(shí)：196頁(yè)1)(DTFT n0102030405000.51x(n)n-3-2-1012340510|X(j)| |X(j)|=5-3-2-101234-101燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25的傅里葉變換。求窗函數(shù)111201)(1NnNnnxNlNlNenxnjNNnN21222/sin2/12sin1)(DTFT11121113.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換信號(hào)與系統(tǒng)，徐守時(shí)：188頁(yè)4-4-3-2-101

15、234-2-10123456DgwN=2 max=52*pi/(2*N+1)=0.4pimatlab應(yīng)用Web和MATLAB的信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)：246Matlab信號(hào)處理與應(yīng)用_懂長(zhǎng)虹：68燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-251.線(xiàn)性 令x1(n)，x2(n)的DTFT分別為X1(ej) 和X2(ej) ，并令x(n)=ax1(n)+bx2(n)，則X(ej)= aX1(ej)+ bX2(ej)。njnjenbxnaxeX)()()(213.2.2 DTFT的性質(zhì)3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換2.時(shí)移)()(0nnx

16、ny令njnjennxeY)()(0則)(0)()(lnjljelxeY)()()(00jnjljlnjjeXeelxeeY令n-n0=l)()(0DTFT0jnjeXennx )()()()(2121jjnjnnjnebXeaXenxbenxa燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25)(0)()()(njjjjjeeXeeYeY 這說(shuō)明，如果序列在時(shí)域的平移，將不導(dǎo)致傅里葉變換的模改變，只造成其相位附加一個(gè)線(xiàn)性相移-n0。求x(n)=(n-n0)的傅里葉變換。，所以由時(shí)移性質(zhì)有因?yàn)?)(DTFT n0DTFT0)(njenn 3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)

17、的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 序列的時(shí)延n0，導(dǎo)致其傅里葉變換乘以一個(gè)時(shí)移因子 。從頻域的模和相位來(lái)看0nje燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-253.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換3.頻移njenxny0)()(令)()(0jjeXeY則000)()()(jnjnnjnjnjeXenxeenxeY)(00DTFTjnjeXnxe)()1(DTFT0jneXnx，則若 如果x(n)在時(shí)域被(-1)n加權(quán)，即原序列交替改變符號(hào)，等效于在頻域頻移。在低頻部分經(jīng)頻移到最高頻率(= )。 時(shí)間序列在時(shí)域被頻率為0的復(fù)

18、正弦 加權(quán)，等于頻域中分別將其傅里葉變換沿頻率軸右移0。nje0燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 按頻移性質(zhì)有：)(2IDTFT)(2IDTFT)(00njenx 設(shè)X (ej) =2(-0)，()是以2為周期的單位沖激函數(shù)，計(jì)算IDTFTX (ej) 。21)(21)(IDTFTdenj因?yàn)?頻移性質(zhì)的頻譜搬移技術(shù)在通信和信號(hào)處理中得到廣泛應(yīng)用，如載波幅度調(diào)制、同步解調(diào)、變頻或混頻等技術(shù)。3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換njnjeenx00)(2IDTFT)(lnjle220DTFT0 由于離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉

19、變換是以2為周期的，因此，頻域沖擊應(yīng)該是周期的，即燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25求周期函數(shù)cos(0n) 和sin(0n)的傅里葉變換。利用歐拉公式，分別有0021)cos(0jnjneen0021sin0jnjneejn信號(hào)與系統(tǒng)，徐守時(shí)：245頁(yè)質(zhì)有，由傅里葉變換線(xiàn)性性因?yàn)?lnjle)2(20DTFT0llljjjlllleXeXeX)2()2()2(2)2(221)()()(000021 llln)2()2(cos00DTFT0 llljn)2()2(sin00DTFT0-2 - -0 0 2 X(ej)-2 - -0 0 2 j j X

20、(ej) -j -j -j3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-254.奇、偶、虛、實(shí)對(duì)稱(chēng)性)()()()(njxnxnxnxIR可表示為復(fù)信號(hào)njnIRnjnjenjxnxenxeX)()()()(3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換nIRjRnnxnnxeX)sin()()cos()()(nIRjInnxnnxeX)cos()()sin()()()sin()cos()()(njnnjxnxnIRnIRIRnnxnnjxnnjxnnx)sin()()sin(

21、)()cos()()cos()(nIRIRnnxnnxjnnxnnx)cos()()sin()()sin()()cos()()()(jIjReXeX燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25deejXeXnxnjjIjR)()(21)(dneXneXnxjIjRR)sin()()cos()(21)(dneXneXnxjIjRI)cos()()sin()(21)(3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 如果x(n)是實(shí)信號(hào)，即xI (n)=0，則X (ej)的實(shí)部XR(ej)可表示為：nnRnIRjRnnxnnxnnxnnxeX)

22、cos()()cos()()sin()()cos()()(dnjnejXeXjIjR)sin()cos()(21dneXneXjneXneXjIjRjIjR)cos()()sin()()sin()()cos()(21dneXneXjdneXneXjIjRjIjR)cos()()sin()(21)sin()()cos()(21)()(nxnxIR燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25結(jié)論1：實(shí)信號(hào)x(n)傅里葉變換X(ej) 的實(shí)部XR(ej)是的偶函數(shù)。nnRnIRjInnxnnxnnxnnxeX)sin()()sin()()cos()()sin()()

23、(結(jié)論2：實(shí)信號(hào)x(n)傅里葉變換X(ej) 的虛部XI (ej)是的奇函數(shù)。3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 實(shí)信號(hào)x(n)傅里葉變換的虛部XI (ej)可表示為：)()(jIjIeXeX)()(jRjReXeX)()(jjeXeX結(jié)論3： X(ej) 的幅頻響應(yīng)是的偶函數(shù)。)()()(arctan)(jRjIeXeX結(jié)論4： 相頻響應(yīng)是的奇函數(shù)。燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25求實(shí)信號(hào)x(n)=0.8n的DTFT。n=0:20;k=-200:200;4-1w=(pi/100)*k;x=(0.8).n;X=x*

24、(exp(-j*pi/100).(n*k);subplot(411);stem(n,x);grid;title(x(n); subplot(323);plot(w/pi,real(X);grid;title(real);subplot(324);plot(w/pi,imag(X);grid;title(imag); subplot(325);plot(w/pi,abs(X);grid;title(|DTFTx(n)|);subplot(326);plot(w/pi,angle(X);grid;title(arctanx(n);3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換

25、0246810121416182000.51x(n)-3-2-10120246real-3-2-1012-505imag-3-2-10120246|DTFTx(n)|-3-2-1012-101arctanx(n)數(shù)字信號(hào)處理 使用MATLAB_維納.K.恩格爾:40燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25)()()(jIjRjejXeXeX因?yàn)?()(jjeXeX3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 對(duì)于實(shí)信號(hào)，由結(jié)論1、2得：)()()()()()()()(jjIjRjIjRjIjRjeXejXeXejXeXejXeXeX

26、所以，求其傅里葉變換。設(shè)序列1)()(anuanxn)()()(nnuaanxnnjeXnxDTFT)()()()()(jnjnnjnjeXenxenxeY jeXnxDTFTjeXnxDTFT)()(DTFT)(nnuaaeXnnj 對(duì)于復(fù)信號(hào)有：燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25)()()(nhnxnynjnmnjnjemnhmxenhnxeY )()()()()()()()(mnjmnmjemnhemx5. 時(shí)域卷積定理 )(DTFTDTFTDTFT)(naaeXnnj，所以和因?yàn)閖jneXnxaenuaDTFDDTFT)(11)(11111)

27、(jjjaeaeeX信號(hào)與系統(tǒng)，徐守時(shí)：255頁(yè))()()()(DTFTjjeHeXnhnx 時(shí)域兩個(gè)序列卷積，對(duì)應(yīng)著在頻域中，它們的傅里葉變換相乘。3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換)()(jjeHeX燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25deeHenxenhnxeYnjmjnjnjmj)(21)()()()(6. 頻域卷積定理)()()(nhnxny3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換)()(21)()(jjeHeXnhnx 時(shí)域兩個(gè)序列相乘，對(duì)應(yīng)著在頻域中，它們的傅里葉變換卷積再乘以

28、1/2。)(00DTFTjnjeXnxe應(yīng)用頻域卷積定理計(jì)算)(DTFTDTFT21)(DTFT00nxenxenjnj0000)(2DTFTjjeeXeXnjdeXeHdenxeHjjmnjj)(21)()(21)()()()(21jjeXeH燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-257. 尺度變換插值，則若 2, 1, 00)(llmnlmnmnxnymmjjeXeY)(3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換)()(DTFTjmmeXnx 倍插零的傅里葉變換。按求窗函數(shù)mNnNnnxN111201)(1，所以因?yàn)?/sin2

29、/12sin1)(DTFT112111NenxnjNNnN2/sin2/12sin1)/(DTFT1/12111mNmemnxmnjNNnN燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 x(n)在時(shí)域上擴(kuò)展m倍，導(dǎo)致其頻域壓縮m倍。X(ej) 周期變?yōu)?/m，在x(n)之間插零，加快了信號(hào)的變化速度，改變了信號(hào)的頻域分布。3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換-4-3-2-101234-20246Dgwm=1-4-3-2-101234-20246Dgwm=2-4-3-2-101234-20246Dgwm=35燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系

30、燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25抽取，則若)()(mnxny10/ )2(1)(mkmkjjeXmeY 時(shí)域使得x(n)在時(shí)域上壓縮m倍，導(dǎo)致其頻域擴(kuò)展m倍。頻域擴(kuò)展產(chǎn)生了混頻，甚至與原來(lái)頻域分布不一樣。3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換X(ej)-2 0 2X(ej)-2 0 2X(ej2)-2 0 211/21/2燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-258. 時(shí)域相關(guān)定理nmnhnxmy)()()(mjmnjemnhnxeY )()()()()()(mnjnmnjemnhenx3.2 3.2 離

31、散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換如果y(n)是x(n)和h(n)的相關(guān)函數(shù)，即2DTFT)()(jxeXmr 能量信號(hào)x(n)的自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于信號(hào)傅里葉變換的幅值平方。| X(ej)|2稱(chēng)為信號(hào)的能量密度譜或能譜密度、能量密度譜或能譜密度、能量譜能量譜。)()()(DTFTjjxheHeXmr 兩個(gè)能量信號(hào)互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，等于其中一個(gè)信號(hào)的傅里葉變換乘以另一個(gè)傅里葉變換的共軛，通常把能量互相關(guān)的傅里葉變換稱(chēng)為互譜密度互譜密度。)()()(DTFTjjyxeXeYmr )()(jjeHeX燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-0

32、2-259. 巴塞伐定理（帕什瓦爾定理）deXnxxnxjn2222)(21)()(，則對(duì)于能量信號(hào)deeXnxnxnxEnjjnnx)(21)()()(3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 一個(gè)能量信號(hào)在時(shí)域的總能量，等于其頻域的總能量。 能量譜能量譜由信號(hào)傅里葉變換的模確定，與相位無(wú)關(guān)。具有相同幅度的譜而相位不同的信號(hào)，都具有相同的能量譜。denxeXnjjn)()(21denxeXnjjn)()(21deXeXjj)()(21deXj2)(21燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25mxmjjemreP)()(3.2

33、3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換10. 維納-辛欽定理 稱(chēng)Px(ej)為功率信號(hào)x(n)的功率密度譜或功率譜密度、功率譜功率譜。功率信號(hào)x(n)的自相關(guān)函數(shù)和其功率譜是一對(duì)傅里葉變換。 若x(n)是功率信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換為)()(121lim)(DTFTjjNxyeYeXNmr 2DTFT)(121lim)(jNxeXNmr mjemnxnxNmNNnN)()(121limmNNnNmnjnjemnxenxN)()()(121limNNnmNmnjnjemnxenxN)()()(121lim)()(121lim2jjeXeXNNN12)(lim22NeX

34、jNN燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-253.2.3 DTFT的應(yīng)用 取一復(fù)序列x(n)=(0.8)ne jn/3 ， 0 n8求它的DTFT并探討其對(duì)稱(chēng)性與周期性。 按上式計(jì)算，a= 0.8*e j/3。3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換k=-200:200;w=(pi/100)*k; 6a=0.8*exp(j*pi/3);n=0:0.1:10;x=a.n;subplot(221);stem(n,real(x);grid;title(實(shí)部);subplot(222);stem(n,imag(x);grid;title

35、(虛部);X=1./(1-(a*exp(-j*w);subplot(223);plot(w/pi,abs(X);grid;title(幅度);subplot(224);plot(w/pi,angle(X);grid;title(相角);jnaenua11)(DTFT0510-1-0.500.51實(shí) 部0510-0.500.51虛 部-4-2020246幅 度-4-202-1-0.500.51相 角燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 NkNNkknjnjnjnjnjnjnjnjnjNeeeeeeeeenxnxnxKXXX212222111211)(),

36、(),()(),2(),1 (21 如果頻率向量表示為=1, 2 k =kd，則DTFT可表示為：X(ej)=x*exp(-j*dw*n*k)njnjenxeX)()(DTFT 的表達(dá)式為：3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換DTFT計(jì)算表達(dá)式常用表達(dá)方法數(shù)字信號(hào)處理教程MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)_陳懷琛:54燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25n=0:10;7x=(0.8*exp(j*pi/3).n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*n*w); % (0.8)ne jn/3傅里葉變換x

37、1=(0.8).n;X1=x1*(exp(-j*n*w); % (0.8)n傅里葉變換 subplot(421);stem(real(x);grid;title(復(fù)序列);ylabel(實(shí)部);subplot(423);stem(imag(x);grid;ylabel(虛部); subplot(425);plot(w/pi,abs(X);grid;ylabel(幅度);subplot(427);plot(w/pi,angle(X);grid;ylabel(相角); subplot(422);stem(real(x1);grid;title(實(shí)序列);subplot(424);stem(imag

38、(x1);grid;subplot(426);plot(w/pi,abs(X1);grid;subplot(428);plot(w/pi,angle(X1);grid;3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換按公式： X(ej)=x*exp(-j*dw*n*k) 編程為：燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25051015-101復(fù) 序 列實(shí)部051015-101虛部-4-20205幅度-4-202-101相角05101500.51實(shí) 序 列051015-101-4-20205-4-202-101討論：（1）復(fù)序列的DTFT的幅

39、頻特性和相頻特性是的周期函數(shù)，但不是對(duì)稱(chēng)的，既不是偶對(duì)稱(chēng)，也不是奇對(duì)稱(chēng)；3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換（2）去掉復(fù)數(shù)因子ej/3 后x(n)就為實(shí)序列，實(shí)序列的幅頻特性和相頻特性是的周期函數(shù)，幅值偶對(duì)稱(chēng)，相位奇對(duì)稱(chēng)；（3）把復(fù)序列變?yōu)閷?shí)序列，相當(dāng)于讓時(shí)間序列乘以e-j/3 后，它引起DTFT特性頻移。燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 求有限長(zhǎng)序列x(n)=1，3，5，3，1的DTFT，畫(huà)出在=-8+8 rad/s范圍內(nèi)的頻率特性，討論其對(duì)稱(chēng)性，再把序列左右移動(dòng)，討論對(duì)DTFT的影響。8813531)()()(3

40、231jjjnjnjnnjnjeeeeenxenxeXx=1,3,5,3,1;nx=-1:3;8w=linspace(-8,8,1000);%將=-88 分成1000份X=x*exp(-j*nx*w);subplot(3,1,1);stem(nx,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(原序列); ylabel(x(n);subplot(3,2,3);plot(w/pi,abs(X);grid;ylabel(幅度);subplot(3,2,4),plot(w/pi,angle(X);grid;ylabel(相角);subplot(3,2,5);plot(w/pi,real(

41、X);grid;ylabel(實(shí)部);subplot(3,2,6);plot(w/pi,imag(X);grid;ylabel(虛部);3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換-2-101234560246原 序 列x(n)-3-2-10123051015幅度-3-2-10123-505相角-3-2-10123-1001020實(shí)部-3-2-10123-10010虛部數(shù)字信號(hào)處理教程MATLAB釋義與實(shí)現(xiàn)_陳懷琛:55燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25x=1,3,5,3,1;nx=-1:3;9w=linspace(-8,8,

42、1000);X=x*exp(-j*nx*w);subplot(5,3,1);stem(nx,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(原序列);ylabel(x(n);subplot(5,3,4);plot(w/pi,abs(X);grid;ylabel(幅度);subplot(5,3,7),plot(w/pi,angle(X);grid;ylabel(相角);subplot(5,3,10);plot(w/pi,real(X);grid;ylabel(實(shí)部);subplot(5,3,13);plot(w/pi,imag(X);grid;ylabel(虛部);%右移2位nx1=

43、nx+2;X=x*exp(-j*nx1*w);subplot(5,3,2);stem(nx1,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(右移2位);subplot(5,3,5);plot(w/pi,abs(X);grid;subplot(5,3,8),plot(w/pi,angle(X);grid;subplot(5,3,11);plot(w/pi,real(X);grid;subplot(5,3,14);plot(w/pi,imag(X);grid;nx2=nx-1;X=x*exp(-j*nx2*w);subplot(5,3,3);stem(nx2,x);axis(-2,6

44、,-1,6);grid;title(左移1位);subplot(5,3,6);plot(w/pi,abs(X);grid;subplot(5,3,9),plot(w/pi,angle(X);grid;subplot(5,3,12);plot(w/pi,real(X);grid;subplot(5,3,15);plot(w/pi,imag(X);grid;3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-253.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換-202460246原 序 列

45、x(n)-4-202401020幅度-4-2024-505相角-4-2024-20020實(shí)部-4-2024-10010虛部-202460246右 移 2位-4-202401020-4-2024-505-4-2024-20020-4-2024-20020-202460246左 移 1位-4-202401020-4-2024-202x 10-16-4-202401020-4-2024-101x 10-15燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25（1）序列的DTFT是連續(xù)的；（2）序列的DTFT是周期函數(shù)，周期為2，因此，只要知道它在-+內(nèi)的值，就可以知道在全部

46、范圍內(nèi)的值；（3）實(shí)序列的DTFT具有對(duì)稱(chēng)性，其幅頻特性和實(shí)頻特性是偶對(duì)稱(chēng)的，相頻特性和虛頻特性是奇對(duì)稱(chēng)的；（4）信號(hào)在時(shí)間軸的平移不影響DTFT的幅頻特性，只影響相頻特性；（5）時(shí)域?qū)ΨQ(chēng)序列，具有相位隨頻率線(xiàn)性變換的特點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)中心的位置決定相頻特性的斜率大小。當(dāng)對(duì)稱(chēng)中心位于n=0處時(shí)，相位恒為0。3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25令x(n)=(n-m) ，求X(e j) 并討論其幅頻和相頻響應(yīng)。mjnjnjeemneX)()(1| )(|mjjeeXmmmeXeXjRjI)cos(

47、)sin(arctan)()(arctan)(m=-200:200;w=(pi/100);10X=exp(-j*w*m);subplot(211);plot(w*m/pi,abs(X);grid;title(幅度);axis(-2 2 -0.5 2);subplot(212);plot(w*m/pi,angle(X);grid;title(相角);axis(-2 2 -4 4);3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換-2-1.5-1-0.500.511.52-0.500.511.52幅 度-2-1.5-1-0.500.511.52-4-2024相 角燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)

48、院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 為其它值，nNnnd01101)( 一個(gè)有限長(zhǎng)信號(hào)xN(n)，n=0，1，N-1 可以看作無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)x (n)，n= - ，乘上一個(gè)矩形窗作自然截?cái)嗟慕Y(jié)果，試研究d(n)對(duì)原信號(hào)頻譜的影響。njNnjendeD10)()(3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換對(duì)窗函數(shù)d(n)進(jìn)行傅里葉變換：10NnnjejNjee112/2/2/2/2/2/jjjNjNjNjeeeeee2/sin2/sin2/ )1(NeNj2/ )1(2/sin2/sinNjgNDgeD燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電

49、系Yd-lbh 2009-02-253.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 Dg第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)的部分稱(chēng)為主瓣，主瓣寬度B=4/N，主瓣以外的部分稱(chēng)為邊瓣，主瓣寬度B隨N的增大而減小。 對(duì)于N=20，主瓣對(duì)應(yīng)寬帶：B1=4/20=0.2。 d(n)和Dg圖形為：051015202500.511.5dn-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1001020DgwN=20-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-200204060DgwN=5011燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2

50、009-02-25L=5;N=100;12n=1:N;xn=ones(1,L),zeros(1,N-L);w=1:1000*2*pi/1000;a=length(w);d=(sin(L.*w/2)./sin(w/2).*exp(-j.*w*(L-1)/2);f=abs(d(a/2+1:a) d(1:a/2+1); k=-a/2:a/2;subplot(221);stem(xn);grid;axis(0 30 0 2);title(序列);subplot(222);plot(k,f);grid;axis(-600 600 0 6);title(幅度); L=10;N=100;n=1:N;xn=o

51、nes(1,L),zeros(1,N-L);w=1:1000*2*pi/1000;a=length(w);d=(sin(L.*w/2)./sin(w/2).*exp(-j.*w*(L-1)/2);f=abs(d(a/2+1:a) d(1:a/2+1); k=-a/2:a/2;subplot(223);stem(xn);grid;axis(0 30 0 2);subplot(224);plot(k,abs(f);grid;axis(-600 600 0 12);3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 D(ej)的MATLAB程序?yàn)椋貉嗌酱髮W(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械

52、學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-253.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換 d(n)和D(ej)圖形為：燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 有限長(zhǎng)序列是無(wú)限長(zhǎng)序列與一窗函數(shù)乘積的結(jié)果，即時(shí)域xN(n)= x(n)d(n) 對(duì)應(yīng)頻域卷積，由XN(ej)=X(ej)* D(ej)卷積結(jié)果是D(ej)主瓣對(duì)X(ej)起到了“平滑”作用，降低了X(ej)中譜峰的分辨能力。3.2 3.2 離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的的傅里葉變換N=input(N=);13T=0.1;n=1:N;D=2*pi/(N*T);xa=

53、sin(5*n*T)+sin(6*n*T);Xa=T*fftshift(fft(xa);xa(1)k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2); %floor(x)把x向下負(fù)無(wú)窮去整，保證-/Ts區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時(shí)域上，就是恢復(fù)出的模擬信號(hào)是臺(tái)階形的。因此需要在DAC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對(duì)時(shí)間波形起平滑作用（在模擬信號(hào)數(shù)字處理框中加平滑濾波）。3.3 3.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣 對(duì)h(t)進(jìn)行傅里葉變換，得到頻譜為： 由圖看到，零階保持器是一個(gè)低通濾波器，能夠起到將時(shí)域離散信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)的作用。圖中虛線(xiàn)表示理想低通濾波器的幅度特性。

54、|H(j)|-4/Ts -2/Ts 0 /Ts 2/Ts 4/Ts 雖然零階保持器恢復(fù)的模擬信號(hào)有些失真，但簡(jiǎn)單、易實(shí)現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。 燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-253.4 3.4 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換 設(shè) 是周期信號(hào) 的抽樣， 的周期為T(mén)，每個(gè)周期內(nèi)抽N個(gè)點(diǎn)，即T=NTs。這樣， 也是周期的，周期為NTs或N。周期信號(hào)可用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為)(snTx)(tx)(tx)(snTxktjkekXtx0)()(0 是 的傅里葉系數(shù)，它是離散、非周期的，對(duì) 抽樣得：)(0KX)(tx)(txTknTjknTts

55、ssekXtxnTx2000)(| )()( 由于離散信號(hào)的頻譜是周期的，周期為s，所以將上式的X(k0)改寫(xiě)為 。)(0kX3.4.1 周期序列傅里葉變換的引入knkNjekX20)(燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 取抽樣信號(hào)的一個(gè)周期（每個(gè)周期內(nèi)抽N個(gè)點(diǎn)）的傅里葉系數(shù)，并用X(k)表示，則周期信號(hào)可表示為： 102NknkNjsekXnTx3.4.2 周期序列傅里葉變換的表達(dá)式次諧波。波、二次諧波，直至一個(gè)周期內(nèi)，包含有基的的基波頻率。在是，由于NkXtxNTNTss)()(/2/2000 上式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個(gè)諧波頻率為k

56、=(2/N)k， k=0, 1, 2 N-1， 幅度為X(k) 。一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。 3.4 3.4 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 當(dāng)在n=0,1,., N-1求和與在n=N,.,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的，也就是該式只能計(jì)算出N個(gè)抽樣值，并表示為序列x(n)，n=0，1， N-1。102)()(NknkNjekXnx求和，則到然后從的兩端乘以將式10,)()(2102NneekXnxnlNjNknkNj 1010)(2102)()(NkNnnlkNjNn

57、nlNjekXenxlmmNlkNeNnnlkNj，其他為任意整數(shù)，由于010)(2102)(1)(NnnkNjenxNkX3.4 3.4 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 1, 1 ,0)()(1, 1 ,0)(1)(102102NnekXnxNkenxNkXNkknNjNnknNj 所以，對(duì)應(yīng)離散周期信號(hào)，可得： 通常將定標(biāo)因子1/N移到反變換表示式中，這樣通常表示的離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換表達(dá)式為： 12, 1 ,0)(1)(12, 1 ,0)()(102102NnekXNnxNkenx

58、kXNkknNjNnknNj3.4 3.4 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-253.4.3 周期序列傅里葉變換的習(xí)慣表示方法1, 1 ,0)()(DFS)(10 NkWnxnxkXNnnkN正變換1,1 ,0)(1)(IDFS)(10NnWkXNKXnxNKnkN反變換3.4 3.4 離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換離散時(shí)間信號(hào)傅里葉變換通常用符號(hào)WN=e-j2/N代入，則：連續(xù) 非周期離散 非周期連續(xù) 周 期 離散 周 期時(shí)域信號(hào)時(shí)域信號(hào) 頻域信號(hào)頻域信號(hào)連續(xù) 非周期-F

59、T連續(xù) 周 期-FS離散 非周期-DTFT離散 周 期-DFS燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 前面討論的三種傅里葉變換對(duì)，都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算，因?yàn)橹辽僭谝粋€(gè)域 (時(shí)域或頻域) 中，函數(shù)是連續(xù)的。因?yàn)閺臄?shù)字計(jì)算角度，我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況，只有離散變換才能夠在計(jì)算機(jī)上使用。 從前面的幾種變換知：周期性時(shí)間信號(hào)產(chǎn)生頻譜是離散的；離散時(shí)間信號(hào)可以產(chǎn)生頻譜是周期性的。 周期性離散時(shí)間信號(hào)其頻譜為周期性離散的。也即我們所希望的。總之，一個(gè)域的離散必然造成另一個(gè)域的周期延拓。3.5.1 DFS傅里葉變換的意義3.5 3.5 離散傅里葉變換

60、離散傅里葉變換 我們先從周期性序列的離散傅里葉變換(DFS) 開(kāi)始討論，然后再討論可作為周期函數(shù)一個(gè)周期的有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換(DFT)。燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系燕山大學(xué)機(jī)械學(xué)院機(jī)電系Yd-lbh 2009-02-25 周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值才有意義，因而它的離散傅里葉變換表示式也適用于有限長(zhǎng)序列。 這樣，我們只要把DFS的定義式兩邊取主值區(qū)間，就得到關(guān)于有限長(zhǎng)序列的時(shí)頻域的對(duì)應(yīng)變換對(duì)。這就是離散傅里葉變換離散傅里葉變換 (DFT)。 12 , 1 , 0)(1)(12 , 1 , 0)()(102102NnekXNnxNkenxkXNkknNjNnknNj 對(duì)于有限長(zhǎng)序列對(duì)于有限