二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及典型例題一、二次函數(shù)的概念和圖像 1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開(kāi)口方向；有對(duì)稱軸；有頂點(diǎn)。3、二次函數(shù)圖像的畫(huà)法五點(diǎn)法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫(huà)出對(duì)稱軸（2）求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A,B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)D。將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)

2、交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D。由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫(huà)出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次連接五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖像。二、二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根和存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。三、二次函數(shù)的性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)（1）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的

3、左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，2、二次函數(shù)中，的含義：表示開(kāi)口方向：>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上 <0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下與對(duì)稱軸有關(guān)：對(duì)稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，）3、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二

4、次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)。當(dāng)>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。補(bǔ)充：1、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用此方法拓展思路，以尋求解題方法） y如圖：點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度為 A 0 x B2、函數(shù)平移規(guī)律（中考試題中，只占3分，但掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)提高答題速度有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時(shí)間）左加右減、上加下減四、二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂

5、點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。典型例題1. 已知函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為（ ）A0B1C2D3【答案】D2. 如圖為拋物線的圖像，A、B、C 為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且OA=OC=1，則下列關(guān)系中正確的是 Aab=1 B ab=1 C b<2a D ac<0 【答案】B3. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與

6、一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）.【答案】D4. 如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），（1，2），當(dāng)隨的增大而增大時(shí)，的取值范圍是 （1,-2）-1【答案】5. 在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（ ）A B C D【答案】B6. 已知二次函數(shù)的圖像如圖，其對(duì)稱軸，給出下列結(jié)果，則正確的結(jié)論是（ ）A B C D 【答案】 D7拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表：x21012y04664從上表可知，下列說(shuō)法中正確的是 （填寫(xiě)序號(hào)）拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）； 函數(shù)的最大值為6；拋物線的對(duì)稱軸是； 在對(duì)稱軸左側(cè)

7、，隨增大而增大【答案】8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4），過(guò)點(diǎn)A作ABy軸，垂足為B，連結(jié)OA(1)求OAB的面積；(2)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A求c的值；將拋物線向下平移m個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在OAB的內(nèi)部（不包括OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫(xiě)出答案即可）解：(1) 點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4），ABy軸，AB=2，OB4，(2)把點(diǎn)A的坐標(biāo)（2，4）代入，得，c4，拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1，5)，AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，4），OA的中點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，2），m的取值范圍為l<m<39已知二次函數(shù)y= x 2+ x的圖像如圖（1）求它的

8、對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將該拋物線沿它的對(duì)稱軸向上平移，設(shè)平移后的拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B、C三點(diǎn)，若ACB=90°，求此時(shí)拋物線的解析式； （3）設(shè)（2）中平移后的拋物線的頂點(diǎn)為M，以AB為直徑，D為圓心作D，試判斷直線CM與D的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由解：（1）二次函數(shù)y=-x2+x的對(duì)稱軸為x=3，D（3，0）（2）設(shè)拋物線向上平移h個(gè)單位（h0），則平移后的拋物線解析式為y=-x2+x+h ACB=90°，OC2=OA·OB 設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，則h2=- x1·x2 x1、x2是一元二次方程-x2+x+h=0的兩

9、個(gè)根，x1·x2=-4h，h2=4h，h=4，拋物線的解析式為y=-x2+x+4（3）CM與D相切，理由如下：連結(jié)CD、CM，過(guò)點(diǎn)C作CNDM于點(diǎn)D，如下圖所示：AB是D的直徑，ACB=90°，點(diǎn)C在D上根據(jù)平移后的拋物線的解析式y(tǒng)=-x2+x+4可得：OD=3，OC=4，DM=，CD=5CN=3，MN=，CM=CM=，CD=5，DM=，CDM是直角三角形且DCM=90°，CM與D相切10. 如圖10，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB在x軸上，AB10，以AB為直徑的O與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接BC，AC.CD是O的切線，ADCD于點(diǎn)D，tanCAD，拋物線過(guò)A，B

10、，C三點(diǎn).（1）求證：CADCAB；（2）求拋物線的解析式；判定拋物線的頂點(diǎn)E是否在直線CD上，并說(shuō)明理由；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PBCA是直角梯形.若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫(xiě)求解過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（1）證明：連接OC.CD是O的切線，OCCD ADCD，OCAD，OCACADOCOA，OCACAB， CADCAB（2）AB是O的直徑，ACB90°OCAB，CABOCB，CAOBCO，即tanCAOtanCAD，OA2OC又AB10， ， OC0OC4，OA8，OB2A（8，0），B（2，0），C（0，4）拋物線過(guò)A，B，C三點(diǎn).c4由題意得，解之

11、得，設(shè)直線DC交x軸于點(diǎn)F，易證AOCADC，ADAO8.OCAD，F(xiàn)OCFAD，8(BF5)5(BF10)，設(shè)直線DC的解析式為，則，即由得頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為將代入直線DC的解析式中，右邊左邊.拋物線的頂點(diǎn)E在直線CD上11. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90°，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、M、N（1）求拋物線的解析式（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P使得PA= PC若存在，求出

12、點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）設(shè)拋物線與x軸的另個(gè)交點(diǎn)為E點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有最大？并求出最大值。ABCDOENMxy圖（1）解：由題意可得M（0，2），N（-3，2） ， 解得：y=（2）PA= PC ，P在AC的垂直平分線上，依題意，AC的垂直平分線經(jīng)過(guò)B（-1，2），（1，0）， 這條直線為y=x+1 解得：， P1（）， P2（）（3）D為E關(guān)于對(duì)稱軸x=15對(duì)稱，CD所在的直線y=x+3 yQ=45，Q（-15，45）最大值為CD=個(gè)單位/秒 （3）（）, 當(dāng)時(shí)，有最大值為， 此時(shí) 12如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交

13、于C點(diǎn)，且A（一1，0）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；判斷ABC的形狀，證明你的結(jié)論；點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求m的值（1）點(diǎn)A（-1，0）在拋物線y=x2 + bx-2上，× (-1 )2 + b× (-1) 2 = 0，解得b =拋物線的解析式為y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (, -). （2）當(dāng)x = 0時(shí)y = -2, C（0，-2），OC = 2當(dāng)y = 0時(shí)， x2-x-2 = 0， x1 = -1, x2 = 4, B (4,0)OA = 1, OB =

14、 4, AB = 5. AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20,AC2 +BC2 = AB2. ABC是直角三角形.（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C，則C（0，2），OC=2，連接CD交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MD的值最小設(shè)直線CD的解析式為y = kx + n , 則，解得n = 2, . .當(dāng)y = 0時(shí)， ， . 13. （2011浙江金華， 10分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖1，將n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過(guò)矩形頂點(diǎn)B、C.（1）當(dāng)n1時(shí)，如果a=1，試求b的值；（2）當(dāng)n2時(shí)，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長(zhǎng)為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點(diǎn)也在拋物線上，求出此時(shí)拋物線的解析式；（3）將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，試求出當(dāng)n=3時(shí)a的值；直接寫(xiě)出a關(guān)于n的關(guān)