用“動(dòng)態(tài)圓”模型求解磁場題

1、用“動(dòng)態(tài)圓”模型求解磁場題帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)經(jīng)常涉及動(dòng)態(tài)圓。 常見的動(dòng)態(tài)圓模型有兩種， 往往都還涉及邊界 （極 值）問題。模型 1 如圖 1，一束帶負(fù)電的粒子以初速度垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，若初速度方向相同，大小不 同，所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心都在垂直于初速度的直線上，速度增大時(shí)，軌道半徑隨著增大， 所有粒子的軌跡組成一組動(dòng)態(tài)的內(nèi)切圓。模型 2 如圖 2，一束帶負(fù)電的粒子以初速度垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，若初速度大小相同，方向不 同，則所有粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑相同，但不同粒子的圓心位置不同，其共同規(guī)律是：所有粒 子的圓心都在以入射點(diǎn)為圓心，以軌道半徑為半徑的圓上，從而可以找出動(dòng)態(tài)圓的圓心軌跡。 使用時(shí)應(yīng)注意

2、各圓的繞向。其他模型： 粒子的射入位置變化對應(yīng)的平移圓：練習(xí)：1如圖所示，在圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，一束速率各不相同的質(zhì)子從A 點(diǎn)沿圓形磁場的半徑方向射入磁場。關(guān)于質(zhì)子在該磁場內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況，下列說法正確的是 （）A運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長的，其軌跡越長B運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長的，其射出磁場時(shí)的速率越大C運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長的，其軌跡對應(yīng)的圓心角越大D運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長的，其速度方向的偏轉(zhuǎn)角越大2. 一束電子以不同的速率沿如圖所示方向飛入橫截面是一個(gè)正方形的，方向垂直于紙面向里 的勻強(qiáng)磁場中，則下列說法中正確的是（ ）A. 在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長的電子，其軌跡線一定越長B. 在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同的電子，其軌跡線一定

3、重合C. 在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長的電子，其軌跡所對應(yīng)的圓心角一定越大D. 速率不同的電子，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定不同3. （單選）如圖所示，在正三角形區(qū)域內(nèi)存在著方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B 的勻強(qiáng)磁場一個(gè)質(zhì)量為 m、電量為 +q 的帶電粒子（重力不計(jì)）從 AB 邊以速度 V 進(jìn)入磁場， 粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度方向垂直于磁場且與 AB 邊的夾角為 60°若粒子能從 AB邊穿出磁場，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的過程中，粒子到AB邊的最大距離為（A. B.C. D.4. （單選）如圖所示，直角三角形ABC區(qū)域中存在一勻強(qiáng)磁場，比荷相同的兩個(gè)粒子（不計(jì)重力）沿 AB方向射入磁場，分別從 AC

4、邊上的 P、 Q兩點(diǎn)射出，則（）A從 P 點(diǎn)射出的粒子速度大B兩個(gè)粒子射出磁場時(shí)的速度一樣大C從 Q點(diǎn)射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長 D兩個(gè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一樣長5. （單選）如圖，沿 x 方向有界、沿 y 方向無界的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直紙面向 內(nèi)，大量的速率不同的電子（不計(jì)重力）從 O 點(diǎn)沿 x 軸正方向進(jìn)入磁場，最終離開磁場，下 列判斷正確的是A所有的電子都向 x 軸下方偏轉(zhuǎn)B所有的電子都做類平拋運(yùn)動(dòng)C所有的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度不變 D只要是速率不同的電子，它們在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就一定不同6. （ 多選 ） 如圖所示，一足夠長的矩形區(qū)域abcd 內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、

5、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場，在 ad 邊中點(diǎn) O，方向垂直磁場向里射入一速度方向跟ad 邊夾角 =30°、大小為 v0 的帶正電粒子， 已知粒子質(zhì)量為 m，電量為 q ，ad 邊長為 L，ab 邊足夠長， 粒子重力不計(jì)， 則粒子不能從 ab 邊上射出磁場的 v0 為AqBL3mv0qBLmB v0qBL C v0qBLm 3mD v0qBL2m7. 如圖，在一水平放置的平板 MN的上方有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的 大小為 B，磁場方向垂直于紙面向里 . 許多質(zhì)量為 m帶電量為 +q 的粒 子，以相同的速率 v 沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔 O 射入磁場 區(qū)域 . 不計(jì)重力，不計(jì)粒子間的

6、相互影響。下列圖中陰影部分表示帶OM2R2RORNN1CD 2C 3B 4D 5A 6BCD 7A8、（2004 年廣東省高考試題）如圖8 所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 B=0 60T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距 ab 的距離 l=16cm 處，有一個(gè)點(diǎn)狀的放射源 S，它向各個(gè)方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是 v=3 0× 10 6m/s，已知粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=5 0× 107C/kg ，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的粒子，求 ab 上被粒子打中的區(qū)域的長度。答案 粒子 打 中的 區(qū)域 的長 度 P1P2

7、=20cm 9（ 2010 全國 I，第 26題）如下圖，在區(qū)域內(nèi)存在與 xy 平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度 的大小為 B在 t=0 時(shí)刻，一位于坐標(biāo)原點(diǎn)的粒子源在 xy 平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子， 所有粒子的初速度大小相同，方向與 y 軸正方向的夾角分布在 0 180°范圍內(nèi)。已知沿 y 軸 正方向發(fā)射的粒子在時(shí)刻剛好從磁場邊界上點(diǎn)離開磁場。求：（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R及粒子的比荷 q m；（ 2）此時(shí)刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y 軸正方向夾角的取值范圍；（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時(shí)間。2t 010（ 2009海南，第 16 題）如圖， ABC

8、D是邊長為的正方形。質(zhì)量為、電荷量為的電子以大 小為的初速度沿紙面垂直于 BC變射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場。電子 從 BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A 點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力，求：（1）次勻強(qiáng)磁場區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大??；（2）此勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積。11（2011浙江，高考樣卷， 第 24題）有一等腰直角三角形區(qū)域， 直角邊長為。 在該區(qū)域， 有一垂直紙面向內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場。一束質(zhì)量為、電荷量為，速度范圍在之間的帶 負(fù)電粒子從中點(diǎn)垂直直角邊射入該磁場區(qū)域，在另一直角邊放置一塊足夠大的熒光屏，如圖 所示。重力不計(jì)，求：（ 1）速度至少為多大的帶電粒子，能夠在熒光

9、屏上留下光斑。2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和速度的關(guān)系。3）磁場區(qū)域內(nèi)，熒光屏上亮點(diǎn)的位置和速度的關(guān)系。4）熒光屏上光斑的分布區(qū)域。答：（1）速度至少為的帶電粒子，能夠在熒光屏上留下光斑（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和速度的關(guān)系為當(dāng)半徑滿足 0 時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)半徑滿足時(shí) t= ，當(dāng)半徑大于 a 時(shí)，t=（ 3）磁場區(qū)域內(nèi)，熒光屏上亮點(diǎn)的位置和速度的關(guān)系為v=（4）熒光屏上光斑的分布區(qū)域?yàn)?0， （ 2a， 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，要求同學(xué)們能畫出 粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，知道如何求小球在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，能熟練運(yùn)用幾何關(guān)系解題， 難度較大，屬于難題12、 如圖，真

10、空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=，在磁場內(nèi)建立一直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系平面與磁場垂直。坐標(biāo)系平面內(nèi)的P 點(diǎn)距 x、 y 軸的距離分別為 16cm和 18cm。P 處有一個(gè)點(diǎn)狀的 放射源，它向各個(gè)方向發(fā)射 粒子， 粒子的速度 都是 v 3.0 106m/s，已知 粒子的電荷與質(zhì)量之比 q 5.0 107C/kg ，現(xiàn)只考慮在坐標(biāo) m系平面中運(yùn)動(dòng)的 粒子，求： x 軸上的什么區(qū)域可以被 粒子打中。分析：（ 1） 粒子在該磁場中的運(yùn)動(dòng)由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡 在圖中 N左側(cè)與 ab相切時(shí)，此切點(diǎn) P1就是 粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)任何 粒 子在運(yùn)動(dòng)中離 S 的

11、距離不可能超過軌跡直徑 2R，根據(jù)幾何關(guān)系求解 ab 下側(cè)被 粒子 打中的區(qū)域的長度（2）要全部打中 ab 上側(cè)， ab的長度應(yīng)在圖示的圓內(nèi)，根據(jù)幾何關(guān)系可求得ab 的長度解答：解：（ 1） 粒子帶正電，故在磁場中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 用 R 表示軌道半徑，有 qvB=m2vR由此得： R=mvqB代入數(shù)值得： R=10cm可見， 2R>l >R因朝不同方向發(fā)射的 粒子的圓軌跡都過 S，由此可知， 某一圓軌跡在圖中 N 左側(cè)與 ab相切，則此切點(diǎn) P1就是 粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)為定出 P1點(diǎn)的位置，可作平 行于 ab 的直線 cd，cd 到 ab 的距離為 R，以 S 為

12、圓心， R為半徑，作弧交 cd 于 Q點(diǎn)， 過Q作 ab的垂線，它與 ab的交點(diǎn)即為 =R2- （l-R） 2解得： NP1=8cm再考慮 N的右側(cè)任何 粒子在運(yùn)動(dòng)中離 S 的距離不可能超過 2R，以 2R為半徑、 S 為圓心作圓，交 ab 于 N右側(cè)的 P2點(diǎn)，由圖中幾何關(guān)系得： NP2=（2R） 2- l 2解得： NP2=12cm 由于右側(cè)實(shí)際長度 Nb=10cm< NP 12cm，應(yīng)取 Nb=10cm所以所求長度為： P1P2=NP1+Nb=18cm （2）要全部打中 ab 上側(cè)， ab的長度應(yīng)在圖示的圓內(nèi)，根據(jù)幾何知識(shí)可得： cb2=sc×（ 2R-sc ），解得：

13、cb=8cm，所以 ab <16cm時(shí)就能打中 ab 上側(cè)答：（ 1）ab 下側(cè)被 粒子打中的區(qū)域的長度為 18cm（2）要使 ab上側(cè)能全部被 粒子打中， ab的長度應(yīng)小于 16cm 點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)解題的關(guān)鍵在于確定圓心和半徑，然后再由幾何關(guān)系 即可求得要求的問題試題分析： 粒子帶正電，故在磁場中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R 表示軌道半徑，（ 2 分）由此得（1 分）過 P 點(diǎn)作 x 軸的垂線段， 與 x 軸交于 D 點(diǎn)。因朝不同方向發(fā)射的 粒子的圓軌跡都過 S，由此可知， 某一圓軌跡在圖中 D 左側(cè)與 x 軸相切，則此切點(diǎn) B就是 粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。過圓心O點(diǎn)

14、做 x 軸的平行線，并與 PD交于 E 點(diǎn)（ 2 分）再考慮 D的右側(cè)。任何 粒子在運(yùn)動(dòng)中離 S 的距離不可能超過 2R，以 2R為半徑、 S為圓心作圓， 交 x 軸于 A 點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。由圖中幾何關(guān)系得（ 2 分）由于 ，所以左側(cè)圓周與 y 軸相切（1 分）粒子打在 x 軸上的區(qū)域?yàn)?AB 之間B點(diǎn)坐標(biāo)（1 分）A點(diǎn)坐標(biāo)（1 分）點(diǎn)評(píng)：偏難。相同的粒子以相同的速率沿不同方向射入強(qiáng)磁場中，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道中， 運(yùn)動(dòng)周期是相同的，但粒子運(yùn)動(dòng)徑跡所在空間位置不同，所有粒子經(jīng)過的空間區(qū)域在以入射點(diǎn)為 圓心，運(yùn)動(dòng)軌跡圓的直徑為半徑的圓內(nèi) 當(dāng)磁場空間有界時(shí)， 粒子在有界磁場內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)

15、間不同 所 能達(dá)到的最遠(yuǎn)位置不同，從而形成不同的臨界狀態(tài)或極值問題此類問題中有兩點(diǎn)要特別注意： 一是旋轉(zhuǎn)方向?qū)\(yùn)動(dòng)的影響，二是運(yùn)動(dòng)中離入射點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離不超過2R，因 R 是相同的，進(jìn)而據(jù)此可自利用 來斷定轉(zhuǎn)過的圓心角度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間等極值問題，其中 l 是最遠(yuǎn)點(diǎn)到入射點(diǎn)間距離即 軌跡上的弦長9. 一足夠長的矩形區(qū)域 abcd 內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，矩形區(qū) 域的左邊界 ad 長為 L，現(xiàn)從 ad中點(diǎn) O垂直于磁場射入一速度方向與 ad 邊夾角為 30°、大小 為 v0 的帶正電粒子，如下圖所示已知粒子電荷量為q ，質(zhì)量為 m（ 重力不計(jì) ） ：1）若要求粒子能

16、從 ab 邊射出磁場， v0應(yīng)滿足什么條件？2）若要求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長，粒子應(yīng)從哪一條邊界處射出，出射點(diǎn)位于該邊界 上何處？最長時(shí)間是多少？【解析】略1） qBL v0 qBL3m m2）tmaxmax1 5 2 m2 3 Bq5m3Bq【解析】（ 1）當(dāng)粒子軌跡恰好與 cd 邊相切時(shí)，是粒子能從 ab 邊射出磁場區(qū)域時(shí)軌跡圓半徑 最大的情況，設(shè)此半徑為 R1，如圖甲所示。則有 R1 cos600 L R12可得： R1 L 2 分 當(dāng)粒子軌跡恰好與 ab 相切時(shí)是粒子能從 ab 邊射出磁場區(qū)域時(shí)軌跡圓半徑最小的情況，設(shè)此 半徑為 R2，如圖乙所示則有： R2 sin 30 0 R2 L2得： R2 L 2 分3故粒子從 ab 邊射出的條件為 R2 R R1，1分根據(jù)qv0Bv0m ，得 v0qBRRm所以qBLqBLv03mm2分2）因?yàn)?tT2mBq1分所以粒子運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的圓心角越大，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長，從圖中可以看出，如果粒子從 cd 邊射出，則圓心