直線平面平行的判定與性質(zhì)

1、§8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)2014高考會這樣考1.考查空間平行關(guān)系的判定及性質(zhì)有關(guān)命題的判定；2.解答題中證明或探索空間的平行關(guān)系復(fù)習(xí)備考要這樣做1.熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，解答過程的敘述步驟要完整，避免因條件書寫不全而失分；2.學(xué)會應(yīng)用“化歸思想”進行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉(zhuǎn)化，牢記解決問題的根源在“定理”1 直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件aa，b，abaa，a，b結(jié)論abaab2. 面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a，b，abP，a，b，a，b，a結(jié)論aba難點正本疑點清源1證

2、明線面平行是高考中常見的問題，常用的方法就是證明這條線與平面內(nèi)的某條直線平行但一定要說明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi)2在判定和證明直線與平面的位置關(guān)系時，除熟練運用判定定理和性質(zhì)定理外，切不可丟棄定義，因為定義既可作判定定理使用，亦可作性質(zhì)定理使用3輔助線(面)是解(證)線面平行的關(guān)鍵為了能利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，往往需要作輔助線(面)1 已知不重合的直線a，b和平面，若a，b，則ab；若a，b，則ab；若ab，b，則a；若ab，a，則b或b.上面命題中正確的是_(填序號)答案解析若a，b，則a，b平行或異面；若a，b，則a，b平行、相交、異面都有可能；若ab，b，則a或a.2

3、 已知、是不同的兩個平面，直線a，直線b，命題p：a與b沒有公共點；命題q：，則p是q的_條件答案必要不充分解析a與b沒有公共點，不能推出，而時，a與b一定沒有公共點，即pD/q，qp，p是q的必要不充分條件3 已知平面平面，直線a，有下列命題：a與內(nèi)的所有直線平行；a與內(nèi)無數(shù)條直線平行；a與內(nèi)的任意一條直線都不垂直其中真命題的序號是_答案解析因為，a，所以a，在平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a平行，但不是所有直線都與直線a平行，故命題為真命題，命題為假命題在平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線a垂直，故命題為假命題4 (2011·浙江)若直線l不平行于平面，且l，則 ()A內(nèi)的所有直線與l異面B

4、內(nèi)不存在與l平行的直線C內(nèi)存在唯一的直線與l平行D內(nèi)的直線與l都相交答案B解析由題意知，直線l與平面相交，則直線l與平面內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系，因而只有選項B是正確的5 (2012·四川)下列命題正確的是()A若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行B若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行C若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行答案C解析利用線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)解答A錯誤，如圓錐的任意兩條母線與底面所成的角相等，但兩條母線相交；B錯誤，ABC的三個頂點中，A、B在

5、的同側(cè)，而點C在的另一側(cè)，且AB平行于，此時可有A、B、C三點到平面的距離相等，但兩平面相交；D錯誤，如教室中兩個相鄰墻面都與地面垂直，但這兩個面相交，故選C.題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)例1正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點P、Q，且APDQ.求證：PQ平面BCE.思維啟迪：證明直線與平面平行可以利用直線與平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性質(zhì)證明方法一如圖所示作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，連接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，AEBD.又APDQ，PEQB，又PMABQN，PM綊QN，即四邊形PMNQ為平行四邊形，

6、PQMN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.方法二如圖，連接AQ，并延長交BC延長線于K，連接EK，AEBD，APDQ，PEBQ，又ADBK，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.方法三如圖，在平面ABEF內(nèi)，過點P作PMBE，交AB于點M，連接QM.PM平面BCE，又平面ABEF平面BCEBE，PMBE，又AEBD，APDQ，PEBQ，MQAD，又ADBC，MQBC，MQ平面BCE，又PMMQM，BEBCB，平面PMQ平面BCE，又PQ平面PMQ.PQ平面BCE.探究提高判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平

7、行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，aa) 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60°，AB2，PA1，PA平面ABCD，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點求證：BE平面PDF.證明取PD中點為M，連接ME，MF，E是PC的中點，ME是PCD的中位線，ME綊CD.F是AB的中點且四邊形ABCD是菱形，AB綊CD，ME綊FB，四邊形MEBF是平行四邊形，BEMF.BE平面PDF，MF平面PDF，BE平面PDF.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例2如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB

8、，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.思維啟迪：要證四點共面，只需證GHBC；要證面面平行，可證一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面平行證明(1)GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點共面(2)E、F分別為AB、AC的中點，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG.A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.探究提高證明面面平行的方法：(1)面面平行的定

9、義；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化 證明：若一條直線與兩個相交平面都平行，則這條直線平行于兩個平面的交線解已知：直線a平面，直線a平面，b.求證：ab.證明：如圖所示，過直線a作平面，分別交平面，于直線m，n(m，n不同于交線b)，由直線與平面平行的性質(zhì)定理，得am，an，由平行線的傳遞性，得mn，由于n，m，故n平面.又n，b，故nb.又an，故ab.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)

10、用例3如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問截面在什么位置時其截面面積最大？思維啟迪：利用線面平行的性質(zhì)可以得到線線平行，可以先確定截面形狀，再建立目標(biāo)函數(shù)求最值解AB平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH.ABFG，ABEH，F(xiàn)GEH，同理可證EFGH，截面EFGH是平行四邊形設(shè)ABa，CDb，F(xiàn)GH (即為異面直線AB和CD所成的角或其補角)又設(shè)FGx，GHy，則由平面幾何知識可得，兩式相加得1，即y(ax)，SEFGHFG·GH·sin x··(ax)·sin x(ax)x>

11、;0，ax>0且x(ax)a為定值，當(dāng)且僅當(dāng)xax時，x(ax)，此時x，y.即當(dāng)截面EFGH的頂點E、F、G、H為棱AD、AC、BC、BD的中點時截面面積最大探究提高利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，問：當(dāng)點Q在什么位置時，平面D1BQ平面PAO?解當(dāng)Q為CC1的中點時，平面D1BQ平面PAO.證明如下：Q為CC1的中點，P為DD1的中點，QBPA.P、O分別為DD1、DB的中點，D1BPO.又

12、D1B平面PAO，PO平面PAO，QB平面PAO，PA平面PAO，D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，D1B、QB平面D1BQ，平面D1BQ平面PAO.立體幾何中的探索性問題典例：(12分)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結(jié)論審題視角(1)可過E作平面ABB1A1的垂線、作線面角；(2)先探求出點F，再進行證明B1F平面A1BE.注意解題的方向性規(guī)范解答解(1)如圖(a)所示，取AA1的中點M，連接EM，BM.因為E是DD1的中點，

13、四邊形ADD1A1為正方形，所以EMAD.2分又在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影，EBM為BE和平面ABB1A1所成的角4分 圖(a)設(shè)正方體的棱長為2，則EMAD2，BE3.于是，在RtBEM中，sinEBM，5分即直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值為.6分(2)在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE.事實上，如圖(b)所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連接B1F，EG，BG，CD1，F(xiàn)G.因A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，因此D1CA

14、1B.又E，G分別為D1D，CD的中點， 圖(b)所以EGD1C，從而EGA1B.這說明A1，B，G，E四點共面所以BG平面A1BE.8分因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四邊形B1BGF是平行四邊形，所以B1FBG，10分而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE.12分答題模板對于探索類問題，書寫步驟的格式有兩種：一種：第一步：探求出點的位置第二步：證明符合要求第三步：給出明確答案第四步：反思回顧查看關(guān)鍵點，易錯點和答題規(guī)范另一種：從結(jié)論出發(fā)，“要使什么成立”，“只需使什么成立”，

15、尋求使結(jié)論成立的充分條件，類似于分析法溫馨提醒(1)本題屬立體幾何中的綜合題，重點考查推理能力和計算能力(2)第(1)問常見錯誤是無法作出平面ABB1A1的垂線，以致無法確定線面角(3)第(2)問為探索性問題，找不到解決問題的切入口，入手較難(4)書寫格式混亂，不條理，思路不清晰方法與技巧1 平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系2 直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)面與面平行的性質(zhì)3 平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法；(2)判定定理；(3)推論；(4)a，a.失誤與防范1在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤2在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“

16、低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過于“模式化”3解題中注意符號語言的規(guī)范應(yīng)用A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1 若直線m平面，則條件甲：“直線l”是條件乙：“l(fā)m”的 ()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案D2 已知直線a，b，c及平面，下列條件中，能使ab成立的是 ()Aa，b Ba，bCac，bc Da，b答案C解析由平行公理知C正確，A中a與b可能異面B中a，b可能相交或

17、異面，D中a，b可能異面3 在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，則直線CD與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是 ()A平行 B平行和異面C平行和相交 D異面和相交答案B解析CD，CD和平面內(nèi)的直線沒有公共點4 設(shè)m、n表示不同直線，、表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是 ()A若m，mn，則nB若m，n，m，n，則C若，m，mn，則nD若，m，nm，n，則n答案D解析D中，易知m或m，若m，又nm，n，n，若m，過m作平面交平面于直線p，則mp，又nm，np，又n，p，n.二、填空題(每小題5分，共15分)5 過三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的

18、直線共有_條答案6解析過三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，記AC，BC，A1C1，B1C1的中點分別為E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，則直線EF，E1F1，EE1，F(xiàn)F1，E1F，EF1均與平面ABB1A1平行，故符合題意的直線共6條6. 如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP，過P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分別是A1B1、B1C1的中點，AP，CQ，從而DPDQ，PQa.7. 如圖所示，在正四棱柱ABCDA1

19、B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M滿足條件_時，有MN平面B1BDD1.答案M線段HF解析由題意，得HN面B1BDD1，F(xiàn)H面B1BDD1.HNFHH，面NHF面B1BDD1.當(dāng)M在線段HF上運動時，有MN面B1BDD1.三、解答題(共22分)8 (10分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：PAGH.證明如圖，連接AC交BD于點O，連接MO，四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC的中點，又M是PC的

20、中點，APOM.則有PA平面BMD.平面PAHG平面BMDGH，PAGH.9. (12分)如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC6，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(1)求證：GH平面CDE；(2)若CD2，DB4，求四棱錐FABCD的體積(1)證明方法一EFAD，ADBC，EFBC.又EFADBC，四邊形EFBC是平行四邊形，H為FC的中點又G是FD的中點，HGCD.HG平面CDE，CD平面CDE，GH平面CDE.方法二連接EA，ADEF是正方形，G是AE的中點在EAB中，GHAB.又ABCD，GHCD.HG平面CDE，CD平面CDE，GH平面CDE.(2

21、)解平面ADEF平面ABCD，交線為AD，且FAAD，F(xiàn)A平面ABCD.ADBC6，F(xiàn)AAD6.又CD2，DB4，CD2DB2BC2，BDCD.SABCDCD·BD8，VFABCDSABCD·FA×8×616.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1 設(shè)m，n是平面內(nèi)的兩條不同直線；l1，l2是平面內(nèi)的兩條相交直線，則的一個充分而不必要條件是 ()Am且l1 Bml1且nl2Cm且n Dm且nl2答案B解析對于選項A，不合題意；對于選項B，由于l1與l2是相交直線，而且由l1m可得l1，同理可得l2，故可得，充

22、分性成立，而由不一定能得到l1m，它們也可以異面，故必要性不成立，故選B；對于選項C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分條件；對于選項D，由于nl2可轉(zhuǎn)化為n，同選項C，故不符合題意綜上選B.2 下面四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形是 ()A B C D答案A解析由線面平行的判定定理知圖可得出AB平面MNP.3 給出下列關(guān)于互不相同的直線l、m、n和平面、的三個命題：若l與m為異面直線，l，m，則；若，l，m，則lm；若l，m，n，l，則mn.其中真命題的個數(shù)為()A3 B2 C1 D0答案C解析中當(dāng)與不平行時，也能存在符合題意的l、m.中l(wèi)與m也可能異面中l(wèi)m，同理ln，