經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)典型案例

1、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用典型問題 1按照銀行規(guī)定，某種外幣一年期存款的年利率為4.2%，半年期存款的年利率為4.0%，每筆存款到期后，銀行自動(dòng)將其轉(zhuǎn)存為同樣期限的存款，設(shè)將總數(shù)為A單位貨幣的該種外幣存入銀行，兩年后取出，問存何種期限的存款能有較多的收益，多多少？ 解()設(shè)貨幣存一年期，則一年后貨幣總數(shù)為： 兩個(gè)后貨幣總數(shù)： ()設(shè)貨幣存半年期，則存半年的利率：2.0% 半年后貨幣總數(shù)： 一年后貨幣總數(shù)： 一年半后貨幣總數(shù)： 兩年后貨幣總數(shù)： 比較()，()知貨幣存一年期有較多收益，多0.00333A. 2.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年產(chǎn)量為x，每臺(tái)售價(jià)250元，當(dāng)年產(chǎn)量為600臺(tái)以內(nèi)時(shí)，可以全部售出，當(dāng)年產(chǎn)量超過6

2、00臺(tái)時(shí)，經(jīng)廣告宣傳又可再多售出200臺(tái)，每臺(tái)平均廣告費(fèi)20元，生產(chǎn)再多，本年就售不出去了，建立本年的銷售總收入R與年產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系. 解()當(dāng)時(shí)， ()當(dāng)時(shí)， () 當(dāng)時(shí)， 故3.某廠生產(chǎn)的手掌游戲機(jī)每臺(tái)可賣110元，固定成本為7500元，可變成本為每臺(tái)60元. (1)要賣多少臺(tái)手掌機(jī)，廠家才可保本（收回投資）； (2)賣掉100臺(tái)的話，廠家贏利或虧損了多少？ (3)要獲得1250元利潤，需要賣多少臺(tái)？ 解(1)設(shè)廠家生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)為x，則總成本 總收益，令， 解得： 故要賣150臺(tái)，廠家才可保本. (2) 故賣掉100臺(tái)的話，廠家虧損2500元 (3) ，則，解得 故要獲得1250元利潤，需

3、賣175臺(tái). 4.有兩家健身俱樂部，第一家每月會(huì)費(fèi)300元，每次健身收費(fèi)1元，第二家每月會(huì)費(fèi)200元，每次健身收費(fèi)2元，若只考慮經(jīng)濟(jì)因素，你會(huì)選擇哪一家俱樂部（根據(jù)你每月健身次數(shù)決定）？ 解設(shè)每月健身次數(shù)為x， 則第一家每月總費(fèi)用 第二家每月總費(fèi)用 令，則300+x=200+2x,解得：x=100 當(dāng)時(shí)，這時(shí)選擇第二家俱樂部 當(dāng)時(shí)，這時(shí)選擇第一家俱樂部 當(dāng)時(shí)，這時(shí)選擇任一家俱樂部 5.設(shè)某商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為和. (1)找出均衡價(jià)格，并求此時(shí)的供給量與需求量； (2)在同一坐標(biāo)中畫出供給與需求曲線； (3)何時(shí)供給曲線過P軸，這一點(diǎn)的經(jīng)濟(jì)意義是什么？ 解(1)令，則，解得： 故均衡價(jià)

4、格為80，此時(shí)供給量與需求量為：(2) (3)令，即，故價(jià)格時(shí)，供給曲線過P軸，這一點(diǎn)的經(jīng)濟(jì)意義是當(dāng)價(jià)格低于10時(shí)，無人供貨. 6.某化肥廠生產(chǎn)某產(chǎn)品1000噸，每噸定價(jià)為130元，銷售量在700噸以內(nèi)時(shí)，按原價(jià)出售，超過700噸時(shí)超過的部分需打9折出售，請(qǐng)將銷售總收益與總銷售量的函數(shù)關(guān)系用數(shù)字表達(dá)式表出.解Q為銷售量，為總收益。由題意知y是x的一次函數(shù)，故設(shè) 且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)， 故有 故 故租金為x時(shí)，飯店房租收入為： 故租金為400元/套時(shí)，房租收入最大，為16000元， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)飯店將空出20套高級(jí)客房.（圖形略） 7.收音機(jī)每臺(tái)售價(jià)為90元，成本為60元，廠方為鼓勵(lì)銷售商大量采購，決定凡

5、是訂購量超過100臺(tái)以上的，每多訂購100臺(tái)售價(jià)就降低1元，但最低價(jià)為每臺(tái)75元： (1)將每臺(tái)的實(shí)際售價(jià)P表示為訂購量x的函數(shù)； (2)將廠方所獲的利潤L表示成訂購量x的函數(shù)； (3)某一商行訂購了1000臺(tái)，廠方可獲利潤多少？ 解(1)當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由題意P是x的一次函數(shù) 設(shè)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故，解得：，故 但，故，即 故當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故 (2)()當(dāng)時(shí)，收益，成本 故利潤 ()當(dāng)時(shí)，收益，成本 故利潤 ()當(dāng)時(shí)，收益，成本 故利潤 故利潤 (3)當(dāng)時(shí)， 故廠方可獲21000元的利潤. 8.一種汽車出廠價(jià)45000元，使用后它的價(jià)值按年降價(jià)率的標(biāo)準(zhǔn)貶值，試求此車的價(jià)值y（元）與使用時(shí)間t（

6、年）的函數(shù)關(guān)系. 解使用一年的汽車的價(jià)值 使用兩年的汽車的價(jià)值 故使用t年的汽車的價(jià)值 9.某大樓有50間辦公室出租，若定價(jià)每間每月租金120元，則可全部租出，租出的辦公室每月需由房主負(fù)擔(dān)維修費(fèi)10元，若每月租金每提高一個(gè)5元，將空出一間辦公室，試求房主所獲得利潤與閑置辦公室的間數(shù)的函數(shù)關(guān)系，并確定每間月租金多少時(shí)才能獲得最大利潤？這時(shí)利潤是多少？ 解設(shè)為每間月租金，為閑置辦公室的間數(shù)，為利潤 則 由已知當(dāng)時(shí)，是的一次函數(shù)，故設(shè) ，當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 故有 故 ， 則 故 即 故當(dāng)，即當(dāng)閑置辦公室14間時(shí)，可獲得最大利潤，最大利潤為6480元，此時(shí)每間月租金為190元 10. 每印一本雜志的成本為1.

7、22元，每售出一本雜志僅能得1.20元的收入，但銷售額超過15000本時(shí)還能取得超過部分收入的10%作為廣告費(fèi)收入，試問應(yīng)至少銷售多少本雜志才能保本？ 銷售量達(dá)到多少時(shí)才能獲利達(dá)1000元？ 解()設(shè)為銷售量，則成本 收益 令，則 解得： 故至少銷售18000本雜志才能保本. () 令，則，解得故銷售量達(dá)到28000時(shí)才能獲利達(dá)1000元. 11.某企業(yè)計(jì)劃發(fā)行公司債券，規(guī)定以年利率6.5%的連續(xù)復(fù)利計(jì)算利息，10年后每份債券一次償還本息1000元，問發(fā)行時(shí)每份債券的價(jià)格應(yīng)定為多少元？ 解設(shè)發(fā)行時(shí)每份債券的價(jià)格定為元，則，(元) 12.一片森林現(xiàn)有木材，若以年增長(zhǎng)率1.2%均勻增長(zhǎng)，問年后，這

8、片森林有木材多少？解一年后森林木材數(shù)：二年后森林木材數(shù)： 故年后森林木材數(shù)：. 13.國家向某企業(yè)投資2萬元，這家企業(yè)將投資作為抵押品向銀貸款，得到相當(dāng)于抵押品價(jià)格80%的貸款，該企業(yè)將這筆貸款再次進(jìn)行投資，并且又將投資作為抵押品向銀行貸款，得到相當(dāng)于新抵押品價(jià)格80%的貸款，該企業(yè)又將新貸款進(jìn)行再投資，這樣貸款投資再貸款再投資，如此反復(fù)擴(kuò)大再投資，問其實(shí)際效果相當(dāng)于國家投資多少萬元所產(chǎn)生的直接效果？ 解設(shè) 則 故其實(shí)際效果相當(dāng)于國家投資10萬元所產(chǎn)生的直接效果.14設(shè)某商品的總收益關(guān)于銷售量的函數(shù)為求：(1)銷售量為時(shí)總收入的邊際收入； (2)銷售量個(gè)單位時(shí)總收入的邊際收入； (3)銷售量個(gè)

9、單位時(shí)總收入對(duì)的彈性. 解(1) (2) (3) 15.某化工廠日產(chǎn)能力最高為1000噸，每日產(chǎn)品的總成本(單位：元)是日產(chǎn)量(單位：噸)的函數(shù) (1)求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的邊際成本； (1)求當(dāng)日產(chǎn)量為100噸時(shí)的平均單位成本. 解(1) 16.某商品的價(jià)格關(guān)于需求量的函數(shù)為求： (1)總收益函數(shù)、平均收益函數(shù)和邊際收益函數(shù)； (2)當(dāng)個(gè)單位時(shí)的總收益、平均收益和邊際收益. 解 17.某廠每周生產(chǎn)(單位：百件)產(chǎn)品的總成本(單位：千元)是產(chǎn)量的函數(shù)如果每百件產(chǎn)品銷售價(jià)格為萬元，試寫出利潤函數(shù)及邊際利潤為零時(shí)的每周產(chǎn)量. 解 可得 故邊際利潤為零時(shí)的每周產(chǎn)量為14百件. 18.設(shè)巧克力糖每周

10、的需求量(單位：公斤)是價(jià)格(單位：元)的函數(shù) 求當(dāng)(元)時(shí)，巧克力糖的邊際需求量，求說明其經(jīng)濟(jì)意義. 解 其經(jīng)濟(jì)意義為：巧克力糖價(jià)格由原10元價(jià)再增加1元.每周需求量將減少0.432公斤. 19.證明：若是可導(dǎo)函數(shù)，則： (1) (2)當(dāng)時(shí)， (3)若都可導(dǎo)，則 證明 20.設(shè)某商品的需求函數(shù)為求： (1)需求彈性函數(shù)； (2)時(shí)的需求彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義. 解(1) (2)說明當(dāng)時(shí)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，即時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求減少0.6%. 說明當(dāng)時(shí)，價(jià)格與需求變動(dòng)的幅度相同. 說明當(dāng)時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度，即時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求減少1.2%. 21.設(shè)某商

11、品的需求函數(shù)為其中分別表示需求量和價(jià)格，試分別求出需求彈性大于1，等于1的商品價(jià)格的取值范圍. 解 時(shí) 時(shí) 可得. 22.某商品需求函數(shù)為 (1)求需求彈性函數(shù)； (2)求時(shí)的需求彈性； (3)在時(shí)，若價(jià)格上漲1%，總收益增加還是減少？將變化百分之幾？ 解(1) (2) (3) 故 在時(shí)，若價(jià)格上漲1%，總收益增加0.67%. 23.設(shè)某商品的供給函數(shù)，求供給彈性函數(shù)及時(shí)的供給彈性. 解 時(shí)， 24.設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為收益函數(shù)其中為產(chǎn)品價(jià)格.為單調(diào)減少函數(shù).如果當(dāng)價(jià)格為對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為時(shí)，邊際收益收益對(duì)價(jià)格的邊際收益為，需求對(duì)價(jià)格的彈性為，求與. 解 又故 由可得 25.某企業(yè)生產(chǎn)一種商品，年需求

12、量是價(jià)格的線性函數(shù)其中試求： (1)需求彈性； (2)需求彈性等于1時(shí)的價(jià)格. 解(1) (2)時(shí) 可得26.設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為,其中表示產(chǎn)品的產(chǎn)量，求： (1)邊際成本函數(shù)、邊際收入函數(shù)、邊際利潤函數(shù)； (2)已生產(chǎn)并銷售25個(gè)單位產(chǎn)品，第26個(gè)單位產(chǎn)品會(huì)有多少利潤？ 解(1) (2) 27.某商品的需求量為價(jià)格的函數(shù)求：(1)當(dāng)時(shí)的邊際需求，并說明其經(jīng)濟(jì)意義； (2)當(dāng)時(shí)的需求彈性，并說明其經(jīng)濟(jì)意義； (3)當(dāng)時(shí)，若價(jià)格下降2%，總收益將變化百分之幾？是增加還是減少？ 解(1) 說明當(dāng)價(jià)格為6時(shí)，再提高(下降)一個(gè)單位價(jià)格，需求將減少(增加)24個(gè)單位商品量. (2) 說明

13、價(jià)格上升(下降)1%，則需求減少(增加)1.85%. (3)若價(jià)格下降2%，總收益增加，即1.692%.28.求下列經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題中的最大值或最小值： (1) 假設(shè)某種商品的需求量是單價(jià)的函數(shù)，商品的總成本是需求量的函數(shù)，每單位商品需納稅2.試求使銷售利潤最大的商品價(jià)格和最大利潤； (2) 設(shè)價(jià)格函數(shù)(為產(chǎn)量)求最大收益時(shí)的產(chǎn)量、價(jià)格和收益； (3) 某工廠生產(chǎn)某種商品，其年銷售量為100萬件，分為批生產(chǎn)，每批生產(chǎn)需要增加生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件商品的一年庫存費(fèi)為0.05元，如果年銷售率是均勻的，且上批售完后立即生產(chǎn)出下批(此時(shí)商品的庫存量的平均值為商品批量的一半).問為何值時(shí)，才能使生產(chǎn)準(zhǔn)

14、備費(fèi)與庫存費(fèi)兩項(xiàng)之和最小？ (4) 設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品件時(shí)的總收益為，總成本函數(shù)為，問政府對(duì)每件商品征收貨物稅為多少時(shí)，在企業(yè)獲得最大利潤的情況下，總稅額最大？ (5) 設(shè)生產(chǎn)某商品的總成本為(為產(chǎn)量)，問產(chǎn)量為多少時(shí)，每件產(chǎn)品的平均成本最低？ 解(1) 得 ，為極小值點(diǎn). 依題意，最值一定存在，所以為使銷售利潤最大的商品價(jià)格，此時(shí)最大利潤為 (2) 得 時(shí) 時(shí) 為極大值點(diǎn) 依題意，此唯一的極大值點(diǎn)即為最大值點(diǎn)，即時(shí)有最大收益 此時(shí) 最大收益為 (3) 設(shè)每年的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫存費(fèi)之和為，批量為則 由得駐點(diǎn) 由，知駐點(diǎn)為最小值點(diǎn)， 因此，萬件時(shí)，最小，此時(shí). (4) 設(shè)每件商品征收的貨物稅為

15、， 令得.此時(shí)取最大值. 稅收為 時(shí)取最大值. 故征收貨物稅應(yīng)為25. (5) 令得(舍去) 時(shí)取得最小值，即產(chǎn)量為100時(shí)，平均成本最低. 29.求下列經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題的最大、最小值： (1) 某商場(chǎng)一年內(nèi)要分批購進(jìn)某商品2400件，每件商品批發(fā)價(jià)為6元(購進(jìn))，每件商品每年占用銀行資金為10%利率，每批商品的采購費(fèi)用為160元，問分幾批購進(jìn)時(shí)，才能使上述兩項(xiàng)開支之和最少(不包括商品批發(fā)價(jià))？ (2) 某企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品件時(shí)，總成本函數(shù)為，總收益函數(shù)為 ，當(dāng)企業(yè)按最大利潤投產(chǎn)時(shí)，對(duì)每件產(chǎn)品征收稅額為多少才能使總稅額最大？ 解(1) 設(shè)分批購進(jìn)，兩項(xiàng)開支之和為 令得 在取得極小值，由于駐點(diǎn)唯一，所以在

16、也取最小值.故分三批購進(jìn)，兩項(xiàng)開支之和最少. (2) 設(shè)每件產(chǎn)品稅額為，那么利潤為 ， ， 令，得駐點(diǎn)，又 所以此時(shí)取得最大利潤， 總稅額為 即 此時(shí)總稅額最大.征收稅額應(yīng)為.30.已知某產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是時(shí)間的函數(shù)該此產(chǎn)品的產(chǎn)量為 解依題意得 31.設(shè)某商品的需求量是價(jià)格的函數(shù)，該商品的最大需求量為1000（即時(shí)），已知需求量的變化率（也除需求）為求需求量關(guān)于價(jià)格的彈性. 解 32.已知邊際成本為，固定成本為1000，求總成本函數(shù). 解， 又，2.已知邊際收益，求收益函數(shù). 解，又， 32汽船所耗燃料與其行進(jìn)的速度的立方成正比，已知汽船行進(jìn)中，當(dāng)速度是10哩/小時(shí)時(shí)，燃料耗費(fèi)是元，其他耗費(fèi)是

17、元(人力、保險(xiǎn)、以及各種耗費(fèi))問汽船的經(jīng)濟(jì)速度是多少？ 解 設(shè)汽船的速度是哩/小時(shí)，每小時(shí)運(yùn)行汽船的費(fèi)用是元/小時(shí)則，設(shè)汽船行進(jìn)了哩，則總費(fèi)用是，則 上式兩端對(duì)求導(dǎo)，則得，由此求出駐點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在達(dá)到極小值又由題設(shè)條件有，從而求得，最后得到 33.已知邊際成本，求當(dāng)產(chǎn)量由增加到時(shí)，應(yīng)追加的成本數(shù). 解應(yīng)追加的成本數(shù)為： 34.已知邊際成本，邊際收益為，求最大利潤(設(shè)固定成本為0). 解(固定成本為0) ， 當(dāng)時(shí)有最大利潤，最大利潤為 35.某地區(qū)居民購買冰箱的消費(fèi)支出的變化率是居民總收入的函數(shù)，當(dāng)居民收入由4億元增加至9億元時(shí)，購買冰箱的消費(fèi)支出增加多少？ 解(億) 故購買冰箱的消費(fèi)支

18、出增加億. 36.某公司按利率10%(連續(xù)復(fù)利)貸款100萬元購買某設(shè)備，該設(shè)備使用10年后報(bào)廢，公司每年可收入元. (1) 為何時(shí)，公司不會(huì)虧本？ (2) 當(dāng)萬元時(shí)，求內(nèi)部利率(應(yīng)滿足的方程), (3) 當(dāng)萬元時(shí)，求收益的資本價(jià)值. 解(1) 10年后這筆貸款的本利和： 10年后的總收益： 若公司不虧本，則，則 (2) 設(shè)內(nèi)部利率為，則 即 (3) 資本價(jià)值=收益流現(xiàn)值-投入資金的現(xiàn)值 .37.解下列經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題。 (1) 已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本，問當(dāng)產(chǎn)量由12單位減少到3單位時(shí)，總成本減少多少？ (2) 某企業(yè)投資232萬元擴(kuò)建一個(gè)工廠，該廠投產(chǎn)期20年，每年收益20萬元，求內(nèi)部利率，(

19、只需求出個(gè)滿足的方程) (3) 已知某商場(chǎng)銷售電視機(jī)的邊際利潤為 試求 售出40臺(tái)電視機(jī)的總利潤 售出60臺(tái)時(shí)，前30臺(tái)與后30臺(tái)的平均利潤各為多少？ 解(1) 減少的成本 (2) 設(shè)內(nèi)部利潤為，則 解得: (3) , 售出40臺(tái)電視機(jī)的總利潤為: 故售出60臺(tái)時(shí)，前30臺(tái)的平均利潤為248.5后30臺(tái)的平均利潤為245.5. 38.X公司和Y公司機(jī)床行業(yè)的兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手，這兩家公司的主要產(chǎn)品的供給函數(shù)分別為 (1)X公司和Y公司當(dāng)前的價(jià)格彈性是多少？ (2)假定Y降價(jià)后，使增加到300個(gè)單位，同時(shí)導(dǎo)致X的銷售量下降到75個(gè)單位，試問X公司產(chǎn)品的交叉價(jià)格彈性是多少？ 解(1)X公司 故X公司當(dāng)前

20、的價(jià)格彈性為. Y公司 故Y公司當(dāng)前的價(jià)格彈性為. (2)時(shí)， 時(shí)， X公司產(chǎn)品的交叉價(jià)格彈性為 (注：用弧交叉彈性公式). 39.某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售，售價(jià)分別為P1和P2，銷售量分別為Q1和Q2，需求函數(shù)分別為；總成本函數(shù)為，問廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià)，能使得獲得的總利潤最大？最大利潤為多少？ 解設(shè)利潤函數(shù)為L(zhǎng)，則 又 令其為0，解得P1=80，P2=30，此為唯一駐點(diǎn). 又由題意知最大利潤一定存在，故P1=80，P2=30時(shí)取得最大利潤336. 36.某養(yǎng)殖場(chǎng)飼養(yǎng)兩種魚，若甲種魚放養(yǎng)(萬尾)，乙種魚放養(yǎng)(萬尾)，收獲時(shí)兩種魚的收獲量分別為，求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)？

21、解設(shè)產(chǎn)魚總量為T，則 令為0，解得. 唯一駐點(diǎn)，且由題意知最大值一定存在，故即為所求. 40.假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的需求函數(shù)分別是P1=18-2Q1；P2=12-Q2，其中P1和P2分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格(單位：萬元/噸)，Q1和Q2分別表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的銷售量(即需求量，單位：噸)，并且該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是，其中Q表示該產(chǎn)品在兩個(gè)市場(chǎng)的銷售總量即. (1)如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量和價(jià)格，使該企業(yè)獲得最大利潤； (2)如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售最及其統(tǒng)一的價(jià)格，使該企業(yè)

22、的總利潤最大，并比較兩種價(jià)格策略下的總利潤大少. 解(1)設(shè)利潤函數(shù)為L(zhǎng)，則 令 為0，解得唯一駐點(diǎn)，又因最大利潤一定存在. 故Q1=4，P1=10；Q2=5，P2=7時(shí)有最大利潤L=52； (2)令P1=P2=P，則 令，得唯一駐點(diǎn)P=8. 因最大利潤一定存在，故時(shí)有最大利潤L=49，顯然，實(shí)行價(jià)格差別策略時(shí)總利潤要大些. 41.從斜邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形. 解設(shè)另兩邊長(zhǎng)分別為x，y，則， 周長(zhǎng)，題目即為求在約束條件下的極值問題. 設(shè)拉格朗日函數(shù) 令 為0，聯(lián)立解方程組得，唯一駐點(diǎn)，且最大周長(zhǎng)一定存在， 故當(dāng)時(shí)有最大周長(zhǎng). 42.某公司可通過電臺(tái)及報(bào)紙兩種方式做

23、銷售某商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銥售收入R(萬元)與電臺(tái)廣告費(fèi)用X1(萬元)及報(bào)紙廣告費(fèi)用X2(萬元)之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗(yàn)公式： (1)在廣告費(fèi)用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略； (2)若提供的廣告費(fèi)用為1.5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略. 解(1)利潤函數(shù) 令 為0，聯(lián)立解得(萬元)，(萬元) 又 ，故點(diǎn)(0.75，1.25)為極大值點(diǎn)， 由問題的實(shí)際意義可知，它為最大值點(diǎn)，即此時(shí)的最優(yōu)廣告策略為用0.75萬元作電臺(tái)廣告，用1.25萬元作報(bào)紙廣告. (2)做拉格朗日函數(shù) 令 為0，聯(lián)立解得 即廣告費(fèi)用1.5萬元全部用于報(bào)紙廣告，可使利潤最大. 43.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要投入兩種要素，x1和x2分

24、別為兩要素的投入量，Q為產(chǎn)出量，若生產(chǎn)函數(shù)為，其中為正常數(shù)，且，假設(shè)兩種要素的價(jià)格分別為P1和P2，試問：當(dāng)產(chǎn)出量為12時(shí)，兩要素各投入多少可以使得投入總費(fèi)用最小. 解此為有約束條件的多元函數(shù)的極值問題，即投入總費(fèi)用在約束條件下的極值問題. 設(shè)拉格朗日函數(shù) 令 為0，聯(lián)立解得由題意分析可知，此時(shí)投入總費(fèi)用最小 44.某企業(yè)在雇用名技術(shù)工人、名非技術(shù)工人時(shí)，產(chǎn)品的產(chǎn)量 若企業(yè)只能雇用230人，那么該雇用多少技術(shù)工人，多少非技術(shù)工人才能使產(chǎn)量最大？ 解問題為產(chǎn)量函數(shù)在附加條件下的極值問題 作拉格朗日函數(shù) 令 解得 因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大產(chǎn)量一定存在，所以用90名技術(shù)工人、140名非技術(shù)工人時(shí)產(chǎn)量Q

25、最大45.為修建高速公路，要在一山坡中辟出一條長(zhǎng)500，寬20的通道，據(jù)測(cè)量，以出發(fā)點(diǎn)一側(cè)為原點(diǎn)，往另一側(cè)方向?yàn)檩S，往公路延伸方向?yàn)檩S，且山坡的高度為 試計(jì)算所需挖掉的土方量。 解這是一個(gè)二重積分的應(yīng)用問題，其中積分區(qū)域于是所需挖掉的土方量46.某商品的銷售量是價(jià)格的函數(shù)，如果要使該商品的銷售收入在價(jià)格變化的情況下保持不變，則銷售量對(duì)于價(jià)格的函數(shù)關(guān)系滿足什么樣的微分方程？在這種情況下，該商品的需求量相對(duì)價(jià)格的彈性是多少？ 解由題意得銷售收入(常數(shù))，在上式兩端對(duì)求導(dǎo)，得到所滿足的微分方程. 即 且47.已知某商品的需求價(jià)格彈性為且當(dāng)時(shí)，需求量 (1)求商品對(duì)價(jià)格的需求函數(shù)； (2)當(dāng)時(shí)，需求是

26、否趨于穩(wěn)定. 解(1)由得到 兩端積分得 將初始條件時(shí)，代入上式得于是所求的需求函數(shù)為 (2)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，即需求趨于穩(wěn)定. 48.已知某商品的需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性而市場(chǎng)對(duì)該商品的最大需求量為1萬件，求需求函數(shù). 解由得到 兩邊積分，得 即 又時(shí)，故于是所求的需求函數(shù)為 49.已知某商品的需求量Q與供給量S都是價(jià)格P的函數(shù)：其中為常數(shù)，價(jià)格P是時(shí)間t的函數(shù)，且滿足(K為正常數(shù))，假設(shè)當(dāng)時(shí)，價(jià)格為1，試求： (1)需求量等于供給量的均衡價(jià)格 (2)價(jià)格函數(shù) (3) 解(1)由即得 (2)由(1)得將其代入方程 得到 即 兩邊積分，得 將代入上式，得于是 (3)因?yàn)楣?0.某銀行帳戶，以連續(xù)復(fù)利方式

27、計(jì)息，年利率為5%，希望連續(xù)20年以每年12000元人民幣的速率用這一帳戶支付職工工資，若t以年為單位，號(hào)上余額所滿足的微分方程，且問當(dāng)初始存入的數(shù)額為多少時(shí)，才能使20年后帳戶中的余額精確地減至0. 解雖然，銀行余額的變化速率=利息盈取速率工資支付速率 因?yàn)闀r(shí)間t以年為單位，銀行余額的變化速率為利息盈取的速率為每年0.05B元，工資支付的速率為每年12000元，于是，有 利用分離變量法解此方程得 由得 故 由題意，令時(shí)，即 由此得時(shí)，20年后銀行的余額為零. 51.在某池塘內(nèi)養(yǎng)魚，該池塘內(nèi)最多能養(yǎng)1000尾，設(shè)在時(shí)刻該池塘內(nèi)魚數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)其變化率與魚數(shù)y及的乘積成正比，比例常數(shù)為已知在池

28、塘內(nèi)放養(yǎng)魚100尾，3個(gè)月后池塘內(nèi)有魚250尾求放養(yǎng)七個(gè)月后池塘內(nèi)魚數(shù)的公式，放養(yǎng)6個(gè)月后有多少魚？ 解時(shí)間t以月為單位，依題意有 是 對(duì)方程分離變量且積分，得到 將代入，得于是 ，再將代入，求出 于是，放養(yǎng)t個(gè)月后池塘內(nèi)的魚數(shù)為 放養(yǎng)6個(gè)月后池塘內(nèi)的魚數(shù)為 52.設(shè)總?cè)藬?shù)是不變的，時(shí)刻得某種傳染病的人數(shù)為設(shè)時(shí)刻對(duì)時(shí)間的變化率與當(dāng)時(shí)未得病的人數(shù)成正比，(比例常數(shù)其表示傳染給正常人的傳染率).求并對(duì)所求結(jié)果予以解釋. 解由題意，有 求解這一問題，可得 令得 這表明，在題目給出的條件下，最終每個(gè)人都要染上傳染病. 53.已知某地區(qū)在一個(gè)已知時(shí)期內(nèi)國民收入的增長(zhǎng)率為國民債務(wù)的增長(zhǎng)率為國民收入的若時(shí)，

29、國民收入為5億元，國民債務(wù)為0.1億元.試分別求出國民收入及國民債務(wù)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系. 解設(shè)該時(shí)期內(nèi)任一時(shí)刻的國民收入為國民債務(wù)為由題意 由(1)得 由時(shí)，得 故 將(3)式代入(2)式得于是， 由時(shí)，可知 故 因此，國民收入為 國民債務(wù)為 54.某汽車公司在長(zhǎng)期的運(yùn)營中發(fā)現(xiàn)每輛汽車的總維修成本對(duì)汽車大修時(shí)間間隔的變化率等于已知當(dāng)大修時(shí)間間隔(年)時(shí)，總維修成本(百元).試求每輛汽車的總維修成本與大修的時(shí)間間隔的函數(shù)關(guān)系.并問每輛汽車多少年大修一次，可使每輛汽車的總維修成本最低？ 解設(shè)時(shí)間間隔以年為單位，由題意 由可得 因此 又令得 (負(fù)根舍去) 因此是的極小值點(diǎn)，從而也是最小值點(diǎn)，即每輛汽

30、車3年大修一次，可使每輛汽車的總維修成本最低. 55.某汽車公司的小汽車運(yùn)行成本及小汽車的轉(zhuǎn)賣值s均是時(shí)間t的函數(shù)，若已知且時(shí)(萬元/每輛).試求小汽車的運(yùn)行成本及轉(zhuǎn)賣值各自與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系. 解由 得 代入初始條件：得 于是 將上式代入方程得 解之得 代入初始條件：得 于是56.設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)期的價(jià)格，總供給與總需求分別為，并設(shè)對(duì)于有(1)；(2)；(3).(注：教材上題目印刷有誤) 求證：由(1)、(2)、(3)可推出差分方程 已知時(shí)，求上述方程的解 解由，知 即，即 不難求得上述方程的通解為 由；得 故 57.設(shè)為期國民收入，為期消費(fèi)，為投資(各期相同)，設(shè)三者有關(guān)系 ，且已知時(shí)，其中，

31、試求和. 解由，得差分方程 解特征方程，得，該方程所對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的通解為 由于1不是特征方程的根，故可設(shè) 為非齊次方程的一個(gè)特解，將之代入原方程，得 因此上述差分方程的通解為 由，得故從而 58.設(shè)某商品在時(shí)期的供給量與需求量都是這一時(shí)期該商品的價(jià)格的線性函數(shù)，已知.且在時(shí)期的價(jià)格由時(shí)期的價(jià)格及供給量與需求量之差按關(guān)系式確定，試求商品的價(jià)格隨時(shí)間變化的規(guī)律. 解將代入關(guān)系式 得 解此一階差分方程，得59設(shè)某商品的供需方程分別為， 且以箱為計(jì)量單位，設(shè)和分別為第期和第期的價(jià)格(單位：百元箱)，供方在期售價(jià)為，需方以價(jià)格就可使該商品在第期的供給量售完，已知，試求出的表達(dá)式. 解因?yàn)?根據(jù)題意

32、，在期內(nèi)有，即， 即 解特征方程，得 故對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 因，1不是特征方程的根，故可設(shè)上述非齊次方程的一個(gè)特解為，代入原方程，得 故原方程的通解為 由初始條件，得由此得故所求的滿足初始條件特解為. 60. 人們往往對(duì)工資收入在整個(gè)社會(huì)中的分布感興趣，帕雷托(Pareto)定律認(rèn)為，每個(gè)社會(huì)都有一個(gè)常數(shù)()使得所有比你富有的人的平均收入是你的收入的倍，如果表示社會(huì)中收入為或高于的人的數(shù)量，對(duì)充分小的，定義. (1)說明收入在和之間的人和數(shù)量可由表示，從而證明收入在和之間的人的收入總數(shù)可近似表示為； (2)利用帕雷托定律，證明收入為和以上的人的總收入為，然后證明收入在和之間的人的收入總數(shù)可

33、近似地表示為； (3)證明滿足微分方程：； (4)解上面的微分方程，求出； (5)分別取畫出的草圖，由此說明的值的不同是如何影響隨的變化的. 解(1)因?yàn)闉槭杖霝榛蚋哂诘娜说臄?shù)量，為收入為或高于的人的數(shù)量，顯然，.于是，收入在和之間的人的數(shù)量為. 由于考慮的是整個(gè)社會(huì)，因此可以把看作一個(gè)連續(xù)函數(shù)，甚至我們還假設(shè)它是可導(dǎo)的，因很小，當(dāng)收入在和之間時(shí)，將之近似看作，從而收入在與之間的人的收入總數(shù)近似為. (2)設(shè)某人收入為，由帕雷托(Pareto)定律，社會(huì)中收入為或高于的人的平均收入為，而社會(huì)中收入為或以上的人為.因此收入為或以上的人的總收入為.由此可知，收入在或以上的人的總收入為.于是，收入在

34、和之間的人的總收入為 即收入在和之間的人和總收入可近似表示為 (3)由(1)和(2)的分析可知，在相差一個(gè)關(guān)于的高階無窮小的意義下，有 兩邊除以，得 令則， 即 此即為所滿足的微分方程. (4)對(duì)方程分離變量，得 積分得 即 由實(shí)際意義，這里的為任意正常數(shù). (5)當(dāng) 顯然，對(duì)同一個(gè)，的值越小，相應(yīng)的就越小，即社會(huì)中收入為或高于的人的數(shù)量越小，社會(huì)的貧富懸殊就越小.61. (新產(chǎn)品的推銷問題)設(shè)有某種耐用商品在某地區(qū)進(jìn)行推銷，最初商家會(huì)采取各種宣傳活動(dòng)以打開銷路，假設(shè)該商品確實(shí)受歡迎，則消費(fèi)者會(huì)相互宣傳，使購買人數(shù)逐漸增加，銷售速率逐漸增大，但由于該地區(qū)潛在消費(fèi)總量有限，所以當(dāng)購買者占到潛在消費(fèi)總量的一定比例時(shí)，銷售速率又會(huì)逐漸下降，且該比例越接近于1，銷售速率越低，這時(shí)商家就應(yīng)更新商品了. (1)假設(shè)消費(fèi)者總量為，任一時(shí)刻已出售的新商品總量為，試建立所應(yīng)滿足的微分方程； (2)假設(shè)，求出； (3)分析的性態(tài)，給出商品的宣傳和生產(chǎn)策略. 解(1)設(shè)在該地區(qū)時(shí)刻已售出的該新商品的總量為，由于潛在消費(fèi)者總量為，則在銷售初期或當(dāng)很大時(shí)，該商品銷售速率主要受已購者數(shù)量的影響，即每一個(gè)已購者在一定時(shí)間內(nèi)吸引若干個(gè)欲購者，