《植樹問(wèn)題(兩端都栽)》教學(xué)案例

1、植樹問(wèn)題（兩端都栽）教學(xué)案例【教材分析】“植樹問(wèn)題” 是人教版新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材四年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角” 的內(nèi)容。關(guān)于植樹問(wèn)題教材共安排了3 個(gè)例題。例 1 是探討植樹問(wèn)題中兩端都要栽的情況，讓學(xué)生先通過(guò)畫線段圖發(fā)現(xiàn)棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題。例 2 是在例 1 的基礎(chǔ)上繼續(xù)討論兩端都不栽的情況。例 3 是關(guān)于一個(gè)封閉圖形的植樹問(wèn)題?！窘滩奶幚怼繌慕滩牡脑O(shè)計(jì)意圖來(lái)看，植樹問(wèn)題的教學(xué)，并非只是讓學(xué)生會(huì)熟練解題，而是通過(guò)生活中的簡(jiǎn)單事例，滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、模型思想等。教會(huì)學(xué)生解題并不是主要的教學(xué)目的。主要的任務(wù)是向?qū)W生滲透一種思想，一種在數(shù)學(xué)上

2、、在研究問(wèn)題上都很重要的思想化歸思想。這種思想的滲透能很好地幫助學(xué)生理解尋求解決復(fù)雜問(wèn)題的一般方法，那就是從簡(jiǎn)單問(wèn)題、簡(jiǎn)單事例入手，尋求規(guī)律，通過(guò)規(guī)律的得出，最終解決問(wèn)題?！緦W(xué)情分析】我班現(xiàn)有學(xué)生20 人，從知識(shí)和能力二個(gè)方面分析情況如下：知識(shí)方面：“植樹問(wèn)題” 對(duì)知識(shí)面較廣的學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生。 通過(guò)課前調(diào)查，部分學(xué)生對(duì)這一內(nèi)容已經(jīng)有所了解，四年級(jí)上學(xué)期也做過(guò)一些植樹問(wèn)題的題目，但并沒(méi)有真正理解植樹問(wèn)題的本質(zhì)特征。能力方面： 從學(xué)生的思維特點(diǎn)看， 雖然四年級(jí)學(xué)生仍以形象思維為主，但抽象思維能力也有了初步的發(fā)展，具備了一定的分析綜合、抽象概括、歸類梳理的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1、通過(guò)合作探究

3、， 動(dòng)手實(shí)踐， 讓學(xué)生在做數(shù)學(xué)的過(guò)程中經(jīng)歷由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到數(shù)學(xué)建模，理解并掌握植樹棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。2、讓學(xué)生掌握通過(guò)畫線段圖來(lái)解決問(wèn)題的方法，并初步認(rèn)識(shí) “化大為小”的數(shù)學(xué)思想方法，能靈活解答植樹問(wèn)題。3、讓學(xué)生在探索、 建模、用模的過(guò)程中體驗(yàn)到學(xué)習(xí)成功的喜悅和認(rèn)識(shí)歸納規(guī)律對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的重要性，培養(yǎng)學(xué)生探索歸納規(guī)律的意識(shí)，體會(huì)解決植樹問(wèn)題的思想方法?！窘虒W(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：在探究活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取數(shù)學(xué)模型，并能夠用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決生活中的一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)教學(xué)讓學(xué)生理解“兩端都種”情況下棵數(shù)和間隔數(shù)之間的規(guī)律，并利用規(guī)律來(lái)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。在應(yīng)用的過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)很多種情

4、況，一邊或兩旁；有的求全長(zhǎng)；有的求課數(shù)；有的求間隔數(shù)?！窘叹邷?zhǔn)備】課件表格【課堂流程】一、談話引入，明確課題。師：同學(xué)們，讓我們先來(lái)觀看一組圖片吧！ （看完后，）這些圖片漂亮嗎？你們知道人們?yōu)槭裁匆矘洌可褐矘淇梢悦阑覀兊沫h(huán)境，保護(hù)地球。生：植樹可以凈化空氣。師：植樹不僅可以保護(hù)環(huán)境、美化家園，而且其中還有一些有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。你們想知道嗎？今天我們就來(lái)研究植樹問(wèn)題。（板書：植樹問(wèn)題）【過(guò)程反思】：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)求知欲。上課伊始，教師用漂亮的樹木圖片引出植樹問(wèn)題，這其中滲透了環(huán)保教育，使學(xué)生初步感知植樹與我們的生活密切聯(lián)系。植樹中還藏著有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲。二、引

5、導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)“兩端要種”的規(guī)律。1、課件出示例1：理解題意，學(xué)生獨(dú)立解答。例 1：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng) 100 米的跑道一邊植樹，每隔 5 米栽一棵（兩端要栽）。一共需要栽多少棵樹苗？師：從題中你們了解到了哪些信息呢 ?生：路長(zhǎng) 100 米，每隔 5 米栽一棵，兩端要栽等。師：誰(shuí)能理解“兩端要栽”是什么意思?生：兩端要栽也就是兩頭都要種。師： ( 實(shí)物演示 ) 指一指哪里是這根小棒的兩端。師：如果把這根小棒看做是這條跑道，在跑道路的兩端要種就是在小棒的兩頭要種。師：題目的意思我們都理解了，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)筆算一算，一共需要多少棵樹苗？生反饋答案。方法一： 100 5=20( 棵)方法二： 100 5

6、=20( 棵)20+2=22( 棵)方法三： 100 5=20( 棵)20+1=21( 棵)師：現(xiàn)在出現(xiàn)了3 種答案，到底哪種答案是正確的呢?通過(guò)舉手，了解學(xué)生的解題清況。師：哪一種解法才是對(duì)的呢？怎么樣驗(yàn)證呢？【過(guò)程反思】：我設(shè)計(jì)了一道在 100 米的跑道一邊植樹的問(wèn)題，是為了先讓學(xué)生獨(dú)立自主的思考，解答問(wèn)題，得到不同的算法，引起學(xué)生們的思考，哪種才是對(duì)的呢？怎么驗(yàn)證？激發(fā)他們的求知欲，引入下一步的教學(xué)。2、簡(jiǎn)單驗(yàn)證。發(fā)現(xiàn)規(guī)律。畫圖實(shí)際種一種。 （課件演示）生：可以畫圖實(shí)際驗(yàn)證一下，一共可以栽多少棵？師：那應(yīng)該怎么畫呢？生：可以用一條線段表示這條跑道。 “兩端要種” 是指從這條跑道的這頭開始

7、，先在頭上種一棵，然后隔 5 米再種一棵，再隔 5 米再種一棵，再隔 5 米再種一棵，照這樣一棵一棵地種下去 師：大家看，已經(jīng)種了多少米 ?(45 米。 ) 這么長(zhǎng)時(shí)間才種了 45 米，一共要種多少米 ?(100 米。 ) 要一棵一棵一直種到 100 米! 同學(xué)們，你有什么想法 ?生：太累了，太麻煩了，太浪費(fèi)時(shí)間了。師：老師也有同感，一棵一棵地種到100 米確實(shí)太麻煩了。其實(shí)，像這種比較復(fù)雜的問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上還有一種更好的研究方法，大家想知道嗎 ?這種方法就是：遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題先想簡(jiǎn)單的，從簡(jiǎn)單的問(wèn)題人手來(lái)研究。畫一畫，簡(jiǎn)單驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。師：在全長(zhǎng) 10 米的小路一邊植樹，每隔 5 米栽一棵

8、（兩端要栽） 。一共需要栽多少棵樹苗？畫圖種一種，看種了多少棵。比一比，看誰(shuí)畫得快種得好。師：想想這一題如何解答？生： 105 = 2 （個(gè)）2 + 1 = 3（棵）答: 一共需要 3 棵樹苗。師：算式中10 5 = 2 （個(gè)）的 2 個(gè)表示什么？生：表示 2個(gè)5米。師：對(duì)了，說(shuō)明有2 個(gè)間隔。也就是間隔數(shù)為2 個(gè)。那為什么要加1呢？生：因?yàn)閺膱D中可以看出棵數(shù)比間隔數(shù)多1 個(gè)。師：跟上面一樣，再種一種其它的長(zhǎng)度，看一看，這次你又分了幾段，種了幾棵 ?分小組活動(dòng)： 畫一畫、算一算、議一議、填一填，并找一找規(guī)律。學(xué)生分組合作，畫一畫、填一填、想一想、說(shuō)一說(shuō)。師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你的結(jié)果?兩端都栽間隔數(shù)全長(zhǎng)

9、（米） 間隔長(zhǎng)度（米）棵數(shù)（棵）（個(gè)）551210523155342054525556師：這些分成的段數(shù)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)叫間隔數(shù)。師：聽(tīng)了你們的匯報(bào)， 我似乎發(fā)現(xiàn)了什么，你們有新的發(fā)現(xiàn)嗎?請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這幾組數(shù)據(jù)，先動(dòng)腦想想，然后把你的發(fā)現(xiàn)和同組的伙伴們說(shuō)一說(shuō)。( 引導(dǎo)學(xué)生在小組內(nèi)先討論，互相說(shuō)說(shuō)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。)師：誰(shuí)愿意代表你們小組說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)?生：棵數(shù) =間隔數(shù) +1。師：你們真了不起， 發(fā)現(xiàn)了植樹問(wèn)題中非常重要的一個(gè)規(guī)律。那就是 ( 板書：兩端要種：棵數(shù) =間隔數(shù) +1。 )師：我在說(shuō)這個(gè)規(guī)律的時(shí)候，一直在強(qiáng)調(diào)什么?生：必須是兩端都種。( 師在課題后板書：兩端都種。)師：同學(xué)們，要總結(jié)出這

10、一規(guī)律，除了用畫線段圖的方法以外，我們還可以借助手來(lái)理解驗(yàn)證這一規(guī)律。請(qǐng)同學(xué)們伸出小手看一看，數(shù)一數(shù)我們 5 個(gè)手指之間有幾個(gè)間隔。(4 個(gè)。 )兩端要種：棵數(shù) =間隔數(shù) +1?！具^(guò)程反思】：在滲透化歸思想的同時(shí)，還要讓學(xué)生必須明確簡(jiǎn)單事例中的各部分名稱的實(shí)際意義。如在研究 10 米的路上種樹的情況時(shí)，必須明確 2 段是什么意思。 怎么得到的， 為什么是 3 棵樹，它跟 2 段有什么關(guān)系，20 米、 25 米 等同樣如此。在經(jīng)歷了從簡(jiǎn)單事例入手之后，各部分名稱的實(shí)際意義已經(jīng)得到了強(qiáng)化。與此同時(shí)，植樹問(wèn)題( 兩端都栽 ) 的一般解法也已經(jīng)得到了歸納。再讓學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷“畫一畫” 、“數(shù)一數(shù)”、“議

11、一議”的步步滲透，最后求 100 米種幾棵也是自然而然的事。在這里我們著重強(qiáng)調(diào)兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是算式的滲透。用算式來(lái)表示學(xué)習(xí)的過(guò)程與結(jié)果是數(shù)學(xué)教學(xué)的特色，這一點(diǎn)必須貫穿整個(gè)研究過(guò)程。二是關(guān)注和強(qiáng)化理解“段數(shù)”也就是間隔數(shù)的概念，因?yàn)樗墙鉀Q一切植樹問(wèn)題的基礎(chǔ)與起點(diǎn)。只有在理解間隔數(shù)的基礎(chǔ)上來(lái)研究棵數(shù)，學(xué)生學(xué)起來(lái)才不顯得那么難。3、應(yīng)用規(guī)律，解決問(wèn)題。( 課件出示：前面例題。)師：應(yīng)用這個(gè)規(guī)律，前面這個(gè)問(wèn)題，能不能解決了?哪個(gè)答案是正確的?1005=20，這里的 20 指什么 ?生：指的是段數(shù)。( 間隔數(shù)。 )師： 20+1=21，為什么還要 +1?生：棵數(shù)等于間隔數(shù)加1。師：現(xiàn)在你們說(shuō)剛上課

12、時(shí)，哪個(gè)同學(xué)的做法是正確的?師：你真了不起。師：通過(guò)把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，發(fā)現(xiàn)了“兩端都要種”求棵數(shù)的解題規(guī)律，你們能夠獨(dú)立解決植樹問(wèn)題了嗎?【過(guò)程反思】 經(jīng)歷探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，新課程倡導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，合作探究的學(xué)習(xí)方式。因此，首先讓學(xué)生小組合作動(dòng)手操作，可以畫線段圖，可以擺石子，通過(guò)線段圖和擺石子等活動(dòng)模擬在路的一側(cè)種樹，找到間隔數(shù)和樹的棵數(shù)之間的關(guān)系，即發(fā)現(xiàn)植樹問(wèn)題的規(guī)律。探究過(guò)程中大膽放手讓學(xué)生想一想、畫一畫、說(shuō)一說(shuō)，既滿足了學(xué)生的表現(xiàn)欲望。又培養(yǎng)了他們自主探索的意識(shí)。教師恰當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生滲透“遇到比較復(fù)雜的問(wèn)題先想簡(jiǎn)單的，從簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手來(lái)研究”這一數(shù)學(xué)思想。三、鞏固新知，應(yīng)

13、用深化.1、教師講解現(xiàn)實(shí)生活中類似這種栽樹問(wèn)題還有很多，比如安裝路燈、設(shè)公交車站、敲鐘等。2、以闖關(guān)游戲完成習(xí)題。第一關(guān)我會(huì)想：環(huán)衛(wèi)工人要在我鎮(zhèn)城外公路沿河的一側(cè)栽柳樹，這條公路全長(zhǎng)1000 米，每隔 5 米種一棵樹（兩端都要種） 。一共需要多少棵樹苗？學(xué)生解答，并說(shuō)明思考過(guò)程。第二關(guān)我會(huì)變：在一條全長(zhǎng)2000 米的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔 50 米安一座。一共要裝多少座路燈？演板同學(xué)算式是200050 = 4040+1=41（座）師：有不同的做法？生：這個(gè)題目中要求在“兩旁”裝，所以還應(yīng)加上一步41 2 =82 （座）師：你觀察得很仔細(xì)，真不錯(cuò)！讓我看看這幅圖吧！第三關(guān)解決問(wèn)題

14、我能行：園林工人沿公路一側(cè)植樹，每隔 6 米種一棵，一共種了36 棵。從第 1 棵到最后一棵的距離有多遠(yuǎn)？學(xué)生解答，老師講解師：恭喜所有順利過(guò)關(guān)的同學(xué)，你們真棒！不僅能通過(guò)自己的觀察、思考找到植樹問(wèn)題中當(dāng)兩端都栽樹時(shí)棵數(shù) =間隔數(shù) +1，而且還運(yùn)用規(guī)律解決了生活中的實(shí)際問(wèn)題。【過(guò)程反思】 應(yīng)用規(guī)律，解決問(wèn)題。結(jié)合生活實(shí)際運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題，從而促進(jìn)理解，提高解決問(wèn)題的能力。通過(guò)分層練習(xí)的設(shè)計(jì)，滿足不同學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需求，讓每個(gè)學(xué)生得到最大程度的提高。有關(guān)研究表明， 小學(xué)生的有意注意一般只能持續(xù)到上課的前20 分鐘左右，因此在練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)， 大多數(shù)學(xué)生都比較疲憊。 針對(duì)學(xué)生的注意特點(diǎn)，設(shè)計(jì)

15、了闖關(guān)游戲， 并且三關(guān)的習(xí)題設(shè)計(jì)形式多樣， 難易度上呈現(xiàn)梯次分布。這樣，不僅有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并且使新知的應(yīng)用檢測(cè)落到實(shí)處。四、全課總結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？生：我知道了兩端都種： 間隔數(shù) +1=棵樹生：我還知道了化難為簡(jiǎn)的解題方法。師：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)了植樹問(wèn)題中兩端要種的規(guī)律，而且還學(xué)習(xí)了一種研究問(wèn)題的方法，那就是遇到復(fù)雜問(wèn)題先想簡(jiǎn)單的。【過(guò)程反思】 幫助學(xué)生梳理知識(shí)， 反思自己的學(xué)習(xí)過(guò)程， 領(lǐng)會(huì)學(xué)習(xí)方法，獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)?！景鍟O(shè)計(jì)】植樹問(wèn)題105 = 2 （個(gè)）2+1=3（棵）兩端都種間隔數(shù) +1=棵樹棵樹 -1 = 間隔數(shù)植樹問(wèn)題課后反思這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的原型是

16、一條直線路上用不同的間隔來(lái)栽樹，得到不同的棵樹，通過(guò)數(shù)字間的歸納，得出規(guī)律性結(jié)論并應(yīng)用。教材將植樹問(wèn)題分為幾個(gè)層次：兩端都種，兩端不種，只種一端。在教學(xué)中，側(cè)重于向?qū)W生滲透化歸的數(shù)學(xué)思想。在我看來(lái)，我們不僅僅是讓學(xué)生會(huì)熟練地解決與植樹問(wèn)題相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，而應(yīng)該是將此類題作為滲透學(xué)生化歸思想和原型提煉方法、甚至是培養(yǎng)學(xué)生雙向可逆思維的一個(gè)學(xué)習(xí)支點(diǎn)，我要做的就是借助內(nèi)容的教學(xué)發(fā)展學(xué)生的思維并提升思維的能力，通過(guò)課堂結(jié)果來(lái)看，還是取得了一定成效。1、首先教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)分兩條線走：一條線以構(gòu)建學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)為線索，使學(xué)生對(duì)植樹問(wèn)題的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了“生活問(wèn)題 - 猜想驗(yàn)證 - 建立模型”不斷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，較好的實(shí)

17、現(xiàn)了由生活中的具體問(wèn)題過(guò)渡到相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模式”，為上升到更抽象的數(shù)學(xué)高度奠定了基礎(chǔ)。然后又讓學(xué)生運(yùn)用模型解決問(wèn)題，把數(shù)學(xué)化的東西又回歸生活，也讓學(xué)生再一次體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。另一條線以滲透數(shù)學(xué)思想方法為線索。對(duì)于植樹問(wèn)題的探究，不僅讓學(xué)生通過(guò)畫線段圖的方式，自主探究、小組合作、尋找、掌握等模式，而且結(jié)合線段圖讓學(xué)生理解了為什么兩端都要種時(shí)，棵樹要比段數(shù)多1，多的 1 指的是哪棵樹。讓學(xué)生不僅要知其然，還要知其所以然。2、注重學(xué)生的自主探索，體驗(yàn)探究之樂(lè)。體驗(yàn)是學(xué)生從舊知識(shí)向隱含的新知識(shí)遷移的過(guò)程。教學(xué)中，我創(chuàng)設(shè)了情境，向?qū)W生提供多次體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種民主、寬松、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，

18、 給了學(xué)生充分的時(shí)間與空間。1強(qiáng)調(diào)小組的合作發(fā)現(xiàn)。教師把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生，為學(xué)生留下較大的思維空間，讓他們跳起來(lái)摘果子。課始引導(dǎo)學(xué)生從錄像入手，使學(xué)生通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)感悟到植樹的意義。課堂貫穿了師生合作，生生合作，集體合作等形式。3 創(chuàng)設(shè)生活的教學(xué)情境。將學(xué)生熟悉的生活情境和感興趣的事物作為教學(xué)活動(dòng)的切入點(diǎn)，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了植樹、插彩旗、放焰火等情境，使學(xué)生身臨其境地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。3 營(yíng)造和諧的學(xué)習(xí)氛圍。通過(guò)解決兩端都要栽樹的植樹問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生概括出規(guī)律，變知識(shí)的接受過(guò)程為和諧的創(chuàng)新過(guò)程。三、教學(xué)中，我認(rèn)為以下幾點(diǎn)有待改進(jìn):1、由于這節(jié)課充分展示多媒體對(duì)教學(xué)的輔助作用，所以容量