特殊分式方程的幾種特殊解法

1、特殊分式方程的幾種特殊解法解分式方程最常用的方法是去分母法， 把分式方程化為整式方程，以之求解的 過程，但在一些具體方程中，若用去分母的方法，其未知數(shù)的次數(shù)會(huì)增大，運(yùn)算 復(fù)雜，計(jì)算量加大，易出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此要善于觀察具體方程的特點(diǎn)，對一些特分式方程，采用特殊方法，會(huì)簡化解題過程。比例法例1.x - 1解方程x-n(b = 0)A _ £分式：觀察方程，形如： B 一 C的形式，可根據(jù)比例”兩外項(xiàng)之積等于兩 內(nèi)項(xiàng)之積”而直接求解。解：原方程化為(x -1)(a b) = (a -b)(x 1)整理得2bx = 2aa b # 0, ，x =一 b2 -3x _ 3 -2x例2.解方程：雙

2、=-2x+2解：原方程化為(2-3x)(2x 2) =(3-2x)(3x -1)7x =整理得13x=7,137 x =經(jīng)檢驗(yàn)13是原方程的根。.換元法y-3 4y 8=0例3.解方程y 2 y -3 A D分析：本題若移項(xiàng)，形如 B C ,如果用比例法則去分母后方程變?yōu)?3y 24y+7=0,對一元二次方程我們還不能求解。因此，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)4y 8 _ 4 y 2 y 2 y -3y-3y3,其中y-3與y+2互為倒數(shù)關(guān)系，可利用換元法簡便求解。解：設(shè)y .2A - 二0A二 A,則原方程變形為.2,整理得A =4y -3二 2當(dāng) A =2 時(shí)，y+2,解得，=-7；=-2當(dāng) a = 2時(shí)，y

3、+3經(jīng)檢驗(yàn),yi = -7, 、2 =13都是原方程的解。例4.解方程組y -x x + y(2)1分析：方程(1) , (2)中都含有x - y1 一 1 U設(shè) x y ' x -yx+y 因此可運(yùn)用換元法,則方程組變形為3b - 2a = 5b 4a = 4，和，解這個(gè)二元一次方程組，求出a、b的值，代入x + y x-y中，即可解出 x, y的值。三.倒數(shù)法x = 2,求x2例5.已知： x 21分析：已知條件中，x, x：為倒數(shù) 利用此關(guān)系，可有下面解法。2,12互為倒數(shù)關(guān)系,解： x2,1x = 一211=4 = 4 442x -1 3x 217 r =例6.解方程：3x+2

4、 2x-14分析：方程的左邊兩項(xiàng)為倒數(shù)之和，因此可用倒數(shù)法簡化求解,2x -1設(shè)53x 212x -1yy+-=4+二 . y =4或丫 =-2x -1,43x 22x -1 _ 13x 2 一 4解：原方程變形為 y 44當(dāng)y = 4時(shí)，則1y =1時(shí)，則當(dāng) 49 x1 = 一解之得 106x2 =解之得 596x1 = , x2 =一經(jīng)檢驗(yàn) 105是原方程的根。四局部通分法:解方程:例1.x - 3x - 4x -6x -7x -4x -5x-7x- 8相鄰兩個(gè)分式的分子與分子, 1 ,象這類通常采取局部通分分析：該方程的特點(diǎn)是等號(hào)兩邊各是兩個(gè)分式, 分母與分母及每個(gè)分式的分子與分母都順序

5、相差 法。解：方程兩邊分別通分并化簡，得:(x -4)(x -5) (x -7)(x -8)去分母得:(x - 4)(x - 5) = (x - 7)(x - 8)解之得：x = 6經(jīng)檢驗(yàn)：x=6是原分式方程的根。點(diǎn)撥：此題如果用常規(guī)法，將出現(xiàn)四次項(xiàng)且比較繁，而采用局部通分法，就 有明顯的優(yōu)越性。但有的時(shí)候采用這種方法前需要考慮適當(dāng)移項(xiàng)，組合后再進(jìn)行局部通分。3.拆項(xiàng)裂項(xiàng)法：二、1 4x 2解方程：=1例 3.x 2x-42-x分析：這道題雖然可用通分去分母的常規(guī)解法，但若將第二項(xiàng)拆項(xiàng)、裂項(xiàng), 則更簡捷。解：原方程拆項(xiàng)，變形為:1 2x 2 2x-2x 2 x 2 x -22x 2裂項(xiàng)為:12

6、2+x 2 x -2 x 2五湊合法:x 13 x 1例4. 解方程： +=4 x-44-x 2分析：觀察此方程的兩個(gè)分式的分母是互為相反數(shù)，考慮移項(xiàng)后易于運(yùn)算合并，能使 運(yùn)算過程簡化。解：部分移項(xiàng)得：x 13 x 1=_+_ 4x 4 4 -x 2x 13 -x 1二.一=4x-4 x-4 2. x42. . x= 2經(jīng)檢驗(yàn)：x= 2是原分式方程的根。6.構(gòu)造法:2例5.解方程：x + x +10分析：此方程在形式上有很明顯的特征，可以構(gòu)造為11 ,、 一x+= k+型的方程來求解，而不用常規(guī)解法。解:原方程可化為:x2 x1二3 3解之得:x 1,2經(jīng)檢驗(yàn):x1,2-1 - . 133,4

7、x3,4-6-21-1 . 21均是原分式方程的根。66.比例法:_2_2_例6.解方程:2x5x -6 x2x 42= 2 2x5x -8 x2x 2分析：由于方程兩邊分子、分母未知數(shù)的對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，因此可以利用這樣的恒等變形，即若a = £,則有 里辿=的性質(zhì)，可使分母化為常數(shù)，從而簡化b d a - b c - d運(yùn)算。解：應(yīng)用上述性質(zhì)，可將方程變形為：2x2 5x -6 2x2 5x -8x2 2x 4x2 2x 22x2 5x -6 - 2x2 5x -8 x2 2x 4 - x2 2x 2化簡得:.224x 10x -14 2x 4x 6.22 4x 10x -14 = 2x 4x 6：xx2 -6x -4 x2 -6x 5 x2 -6x 9 3x - 10 = 0. . (x 5)(x -2) = 0x1 =2或乂2 = -5經(jīng)檢驗(yàn)：x1 =2, x2 = -5是原方程的解?！灸M試題】（答題時(shí)間：20分鐘）解下列分式方程:x1x6x2x51.2.3.4.+-+x2x7x3x6_