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文檔簡(jiǎn)介
1、總結(jié)離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第二章命題邏輯1.7,前鍵為真,后鍵為假才為假; 一,相同為真,不同為假;2 .主析取范式:極小項(xiàng)(m)之和;主合取范式:極大項(xiàng)(M)之積;3 .求極小項(xiàng)時(shí),命題變?cè)目隙?,否定為0,求極大項(xiàng)時(shí)相反;4 .求極大極小項(xiàng)時(shí),每個(gè)變?cè)蜃冊(cè)姆穸ㄖ荒艹霈F(xiàn)一次,求極小項(xiàng) 時(shí)變?cè)粔蚝先≌?,求極大項(xiàng)時(shí)變?cè)粔蛭鋈〖伲? .求范式時(shí),為保證編碼不錯(cuò),命題變?cè)詈冒碢,Q,R的順序依次寫;6 .真值表中值為1的項(xiàng)為極小項(xiàng),值為0的項(xiàng)為極大項(xiàng);7 .n個(gè)變?cè)灿?n個(gè)極小項(xiàng)或極大項(xiàng),這2n為(02n-1)剛好為化簡(jiǎn)完 后的主析取加主合??;8 .永真式?jīng)]有主合取范式,永假式?jīng)]有主析取范式
2、;9 .推證蘊(yùn)含式的方法(=):真值表法;分析法(假定前鍵為真推出后鍵 為真,假定前鍵為假推出后鍵也為假)10 .命題邏輯的推理演算方法:P規(guī)則,T規(guī)則 真值表法;直接證法;歸謬法;附加前提法;第三章謂詞邏輯1 .一元謂詞:謂詞只有一個(gè)個(gè)體,一元謂詞描述命題的性質(zhì); 多元謂詞:謂詞有n個(gè)個(gè)體,多元謂詞描述個(gè)體之間的關(guān)系;2 .全稱量詞用蘊(yùn)含一,存在量詞用合取八;3 .既有存在又有全稱量詞時(shí),先消存在量詞,再消全稱量詞;第四章集合1 .N,表示自然數(shù)集,1,2,3,不包括0;2 .基:集合A中不同元素的個(gè)數(shù),|A|;3 .募集:給定集合A,以集合A的所有子集為元素組成的集合,P(A);4 .若集
3、合A有n個(gè)元素,募集P(A)有2n個(gè)元素,|P(A)尸21A1 = 2n ;5 .集合的分劃:(等價(jià)關(guān)系)每一個(gè)分劃都是由集合 A的幾個(gè)子集構(gòu)成的集合;這幾個(gè)子集相交為空,相并為全(A);6 .集合的分劃與覆蓋的比較:分劃:每個(gè)元素均應(yīng)出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次在子集中;覆蓋:只要求每個(gè)元素都出現(xiàn),沒(méi)有要求只出現(xiàn)一次;第五章 關(guān)系1 .若集合A有m個(gè)元素,集合B有n個(gè)元素,則笛卡爾AXB的基數(shù)為mn, A到B上可以定義2伽種不同的關(guān)系;2 .若集合A有n個(gè)元素,則|A淤尸n2, A上有2n2個(gè)不同的關(guān)系;3 .全關(guān)系的性質(zhì):自反性,對(duì)稱性,傳遞性;空關(guān)系的性質(zhì):反自反性,反對(duì)稱性,傳遞性;全封閉環(huán)的性質(zhì)
4、:自反性,對(duì)稱性,反對(duì)稱性,傳遞性;4 .前域(domR):所有元素x組成的集合;后域(ranR):所有元素y組成的集合;5 .自反閉包:r(R)=RU lx;對(duì)稱閉包:s(R)=RU R-1;傳遞閉包:t(R)=RU R2UR3U6 .等價(jià)關(guān)系:集合A上的二元關(guān)系R滿足自反性,對(duì)稱性和傳遞性,則R稱為等價(jià)關(guān)系;7 .偏序關(guān)系:集合A上的關(guān)系R滿足自反性,反對(duì)稱性和傳遞性, 則稱R是A上的一個(gè)偏序關(guān)系;8 .covA=<x,y>|x,y 屬于 A, y 蓋住 x;9 .極小元:集合A中沒(méi)有比它更小的元素(若存在可能不唯一);極大元:集合A中沒(méi)有比它更大的元素(若存在可能不唯一);最
5、小元:比集合A中任何其他元素都?。ㄈ舸嬖诰鸵欢ㄎㄒ唬?;最大元:比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一);10 .前提:B是A的子集上界:A中的某個(gè)元素比B中任意元素都大,稱這個(gè)元素是 B的 上界(若存在,可能不唯一);下界:A中的某個(gè)元素比B中任意元素都小,稱這個(gè)元素是 B的 下界(若存在,可能不唯一);上確界:最小的上界(若存在就一定唯一);下確界:最大的下界(若存在就一定唯一);第六章 函數(shù)1 .若|X|=m,|Y|=n,則從X到Y(jié)有2種不同的關(guān)系,有nm種不同的函數(shù);2 .在一個(gè)有n個(gè)元素的集合上,可以有2n2種不同的關(guān)系,有nn種不 同的函數(shù),有n!種不同的雙射;3 .若|X|二
6、m,|Y|=n ,且m<=n ,則從X到Y(jié)有a;種不同的單射;4 .單射:f:X-Y ,對(duì)任意2,X2屬于X,且xia,若f(xi)力(X2);滿射:f:X-Y,對(duì)值域中任意一個(gè)元素 y在前域中都有一個(gè)或多個(gè) 元素對(duì)應(yīng);雙射:f:X-Y,若f既是單射又是滿射,則f是雙射;5 .復(fù)合函數(shù):fog=g(f(x);6 .設(shè)函數(shù)f:A-B, g:B-C,那么如果f,g都是單射,則fcg也是單射;如果f,g都是滿射,則fcg也是滿射;如果f,g都是雙射,則fcg也是雙射;如果fcg是雙射,則f是單射,g是滿射;第七章代數(shù)系統(tǒng)1 .二元運(yùn)算:集合A上的二元運(yùn)算就是A2到A的映射;2 .集合A上可定義
7、的二元運(yùn)算個(gè)數(shù)就是從 AXA到A上的映射的個(gè)數(shù), 即從從AXA到A上函數(shù)的個(gè)數(shù),若|A|=2,則集合A上的二元運(yùn)算的 個(gè)數(shù)為22*2 = 24 =16種;3,判斷二元運(yùn)算的性質(zhì)方法:封閉性:運(yùn)算表內(nèi)只有所給元素;交換律:主對(duì)角線兩邊元素對(duì)稱相等;哥等律:主對(duì)角線上每個(gè)元素與所在行列表頭元素相同;有幺元:元素所對(duì)應(yīng)的行和列的元素依次與運(yùn)算表的行和列相同;有零元:元素所對(duì)應(yīng)的行和列的元素都與該元素相同;4.同態(tài)映射:<A,*>,<BJ>,滿足 f(a*b)=f(a)7(b),貝U f為由 <A,*> 至k8,八> 的同態(tài)映射;若f是雙射,則稱為同構(gòu);第八章
8、群1 .廣群的性質(zhì):封閉性;半群的性質(zhì):封閉性,結(jié)合律;含幺半群(獨(dú)異點(diǎn)):封閉性,結(jié)合律,有幺元;群的性質(zhì):封閉性,結(jié)合律,有幺元,有逆元;2 .群沒(méi)有零元;3,阿貝爾群(交換群):封閉性,結(jié)合律,有幺元,有逆元,交換律;4 .循環(huán)群中幺元不能是生成元;5 .任何一個(gè)循環(huán)群必定是阿貝爾群;第十章格與布爾代數(shù)1 .格:偏序集合A中任意兩個(gè)元素都有上、下確界;2 .格的基本性質(zhì):1)自反性a<a 對(duì)偶:a>a2)反對(duì)稱性a< b A b >a => a=b對(duì)偶:a nb Ab wa => a=b3)傳遞性a< b A b < c => a&l
9、t; c對(duì)偶:a nb Ab Ac => a>c4)最大下界描述之一aAb<a對(duì)偶 avb >aAAb< b對(duì)偶 avb > b5)最大下界描述之二c< a,c< b => c<aAb對(duì)偶 cAa,cnb => c>avb6)結(jié)合律aA(bAc)=(aAb)Ac對(duì)偶 av(bvc)=(avb)vc7)等哥律aAa=a 對(duì)偶 ava=a8)吸收律aA(avb)=a對(duì)偶 av(aAb)=a9)a< b <=>aAb=aavb=b10)a<c,b < d=> aAb < cAd avb
10、< cvd11)保序性b<c =>aAb < aAc avb < avc12)分配不等式av(bAc) < (avb)A(avc)對(duì)偶 aA(bvc) > (aAb)v(aAc)13)模不等式a <c <=>av(bAc) < (avbc3 .分酉己格:滿足 aA(bvc)=(aAb)v(aAc)和 av(bAc)=(avb)A(avc);4 .分配格的充要條件:該格沒(méi)有任何子格與鉆石格或五環(huán)格同構(gòu);5 .鏈格一定是分配格,分配格必定是模格;6 .全上界:集合A中的某個(gè)元素a大于等于該集合中的任何元素,則稱a為格<A,&l
11、t;=>的全上界,記為1;(若存在則唯一)全下界:集合A中的某個(gè)元素b小于等于該集合中的任何元素,則稱b為格<A,<=>的全下界,記為0;(若存在則唯一)7 .有界格:有全上界和全下界的格稱為有界格,即有 0和1的格;8 .補(bǔ)元:在有界格內(nèi),如果 aAb=0,avb=1 ,則a和b互為補(bǔ)元;9 .有補(bǔ)格:在有界格內(nèi),每個(gè)元素都至少有一個(gè)補(bǔ)元;10 .有補(bǔ)分配格(布爾格):既是有補(bǔ)格,又是分配格;11 .布爾代數(shù):一個(gè)有補(bǔ)分配格稱為布爾代數(shù);第十一章圖論1 .鄰接:兩點(diǎn)之間有邊連接,則點(diǎn)與點(diǎn)鄰接;2 .關(guān)聯(lián):兩點(diǎn)之間有邊連接,則這兩點(diǎn)與邊關(guān)聯(lián);3 .平凡圖:只有一個(gè)孤立點(diǎn)
12、構(gòu)成的圖;4 .簡(jiǎn)單圖:不含平行邊和環(huán)的圖;5 .無(wú)向完全圖:n個(gè)節(jié)點(diǎn)任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都有邊相連的簡(jiǎn)單無(wú)向圖; 有向完全圖:n個(gè)節(jié)點(diǎn)任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都有邊相連的簡(jiǎn)單有向圖;6 .無(wú)向完全圖有n(n-1)/2條邊,有向完全圖有n(n-1)條邊;7 .r-正則圖:每個(gè)節(jié)點(diǎn)度數(shù)均為r的圖;8 .握手定理:節(jié)點(diǎn)度數(shù)的總和等于邊的兩倍;9 .任何圖中,度數(shù)為奇數(shù)的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)必定是偶數(shù)個(gè);10 .任何有向圖中,所有節(jié)點(diǎn)入度之和等于所有節(jié)點(diǎn)的出度之和;11 .每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)至少為2的圖必定包含一條回路;12 .可達(dá):對(duì)于圖中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)M,Vj,若存在連接Vi到的路,則稱m 與Vj相互可達(dá),也稱Vi與Vj是連通
13、的;在有向圖中,若存在 Vi到Vj的 路,則稱M到Vj可達(dá);13 .強(qiáng)連通:有向圖章任意兩節(jié)點(diǎn)相互可達(dá);單向連通:圖中兩節(jié)點(diǎn)至少有一個(gè)方向可達(dá);弱連通:無(wú)向圖的連通;(弱連通必定是單向連通)14 .點(diǎn)割集:刪去圖中的某些點(diǎn)后所得的子圖不連通了,如果刪去其他幾個(gè)點(diǎn)后子圖之間仍是連通的,則這些點(diǎn)組成的集合稱為點(diǎn)割集;割點(diǎn):如果一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成點(diǎn)割集,即刪去圖中的一個(gè)點(diǎn)后所得子圖是不連通的,則該點(diǎn)稱為割點(diǎn);15 .關(guān)聯(lián)矩陣:M(G), mj是m與ej關(guān)聯(lián)的次數(shù),節(jié)點(diǎn)為行,邊為列;無(wú)向圖:點(diǎn)與邊無(wú)關(guān)系關(guān)聯(lián)數(shù)為 0,有關(guān)系為1,有環(huán)為2;有向圖:點(diǎn)與邊無(wú)關(guān)系關(guān)聯(lián)數(shù)為 0,有關(guān)系起點(diǎn)為1終點(diǎn)為-1,關(guān)聯(lián)矩陣的特
14、點(diǎn):無(wú)向圖:行:每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊,即節(jié)點(diǎn)的度;列:每條邊關(guān)聯(lián)的節(jié)點(diǎn);有向圖:所有的入度(1)=所有的出度(0);16 .鄰接矩陣:A(G), a。是w鄰接到看的邊的數(shù)目,點(diǎn)為行,點(diǎn)為歹U;17 .可達(dá)矩陣:P(G),至少存在一條回路的矩陣,點(diǎn)為行,點(diǎn)為列;P(G)=A(G)+ A2 (G)+ A3 (G)+ A4 (G)可達(dá)矩陣的特點(diǎn):表明圖中任意兩節(jié)點(diǎn)之間是否至少存在一條路,以及在任何節(jié)點(diǎn)上是否存在回路;A(G)中所有數(shù)的和:表示圖中路徑長(zhǎng)度為1的通路條數(shù);A2(G)中所有數(shù)的和:表示圖中路徑長(zhǎng)度為 2的通路條數(shù);A3(G)中所有數(shù)的和:表示圖中路徑長(zhǎng)度為 3的通路條數(shù);A4(G)中所有數(shù)的
15、和:表示圖中路徑長(zhǎng)度為 4的通路條數(shù);P(G)中主對(duì)角線所有數(shù)的和:表示圖中的回路條數(shù);18 .布爾矩陣:B(G), m到力有路為1,無(wú)路則為0,點(diǎn)為行,點(diǎn)為列;19 .代價(jià)矩陣:鄰接矩陣元素為1的用權(quán)值表示,為0的用無(wú)窮大表 示,節(jié)點(diǎn)自身到自身的權(quán)值為0;20 .生成樹:只訪問(wèn)每個(gè)節(jié)點(diǎn)一次,經(jīng)過(guò)的節(jié)點(diǎn)和邊構(gòu)成的子圖;21 .構(gòu)造生成樹的兩種方法:深度優(yōu)先;廣度優(yōu)先;深度優(yōu)先:選定起始點(diǎn)V。;選擇一個(gè)與V0鄰接且未被訪問(wèn)過(guò)的節(jié)點(diǎn)V1 ;從V1出發(fā)按鄰接方向繼續(xù)訪問(wèn),當(dāng)遇到一個(gè)節(jié)點(diǎn)所 有鄰接點(diǎn)均已被訪問(wèn)時(shí),回到該節(jié)點(diǎn)的前一個(gè)點(diǎn),再尋求未被訪問(wèn)過(guò) 的鄰接點(diǎn),直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問(wèn)過(guò)一次;廣度優(yōu)先:選
16、定起始點(diǎn)V0 ;訪問(wèn)與V0鄰接的所有節(jié)點(diǎn)V1,V2,,Vk,這些作為第一層節(jié)點(diǎn);在第一層節(jié)點(diǎn)中選定一個(gè)節(jié)點(diǎn)V1為起點(diǎn);重復(fù),直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問(wèn)過(guò)一次;22 .最小生成樹:具有最小權(quán)值(T)的生成樹;23 .構(gòu)造最小生成樹的三種方法:克魯斯卡爾方法;管梅谷算法;普利姆算法;(1)克魯斯卡爾方法將所有權(quán)值按從小到大排列;先畫權(quán)值最小的邊,然后去掉其邊值;重新按小到大排序;再畫權(quán)值最小的邊,若最小的邊有幾條相同的,選擇時(shí)要滿 足不能出現(xiàn)回路,然后去掉其邊值;重新按小到大排序;重復(fù),直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問(wèn)過(guò)一次;(2)管梅谷算法(破圈法)在圖中取一回路,去掉回路中最大權(quán)值的邊得一子圖;在子圖中再取一回
17、路,去掉回路中最大權(quán)值的邊再得一子圖;重復(fù),直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問(wèn)過(guò)一次;(3)普利姆算法在圖中任取一點(diǎn)為起點(diǎn)5,連接邊值最小的鄰接點(diǎn)V2;以鄰接點(diǎn)V2為起點(diǎn),找到V2鄰接的最小邊值,如果最小邊值 比Vi鄰接的所有邊值都小(除已連接的邊值),直接連接,否則退回, 連接Vi現(xiàn)在的最小邊值(除已連接的邊值);重復(fù)操作,直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問(wèn)過(guò)一次;24 .關(guān)鍵路徑例2求PERT圖中各頂點(diǎn)的最早完成時(shí)間,最晚完成時(shí)間,緩沖時(shí)間 及關(guān)鍵路徑.解:最早完成時(shí)間TE(v1)=0TE(V2)=max0+1=1TE(v3)=max0+2,1+0=2TE(v4)=max0+3,2+2=4TE(v5)=max1+3,
18、4+4=8TE(v6)=max2+4,8+1=9TE(v7)=max1+4,2+4=6TE(v8)=max9+1,6+6=12最晚完成時(shí)間TL(v8)=12TL(v7)=min12-6=6TL(v6)=min12-1=11TL(v5)=min11-1=10TL(v4)=min10-4=6TL(v3)=min6-2,11-4,6-4=2TL(v2)=min2-0,10-3,6-4=2TL(v1)=min2-1,2-2,6-3=0緩沖時(shí)間TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1 = 1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)
19、=6-6=0TS(v8)=12-12=0關(guān)鍵路徑:v1-v3-v7-v825 .歐拉路:經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次的通路;歐拉回路:經(jīng)過(guò)圖中每條邊一次且僅一次的回路;歐拉圖:具有歐拉回路的圖;單向歐拉路:經(jīng)過(guò)有向圖中每條邊一次且僅一次的單向路;歐拉單向回路:經(jīng)過(guò)有向圖中每條邊一次且僅一次的單向回路;26 . (1)無(wú)向圖中存在歐拉路的充要條件:連通圖;有0個(gè)或2個(gè)奇數(shù)度節(jié)點(diǎn);(2)無(wú)向圖中存在歐拉回路的充要條件:連通圖;所有節(jié)點(diǎn)度數(shù)均為偶數(shù);(3)連通有向圖含有單向歐拉路的充要條件:除兩個(gè)節(jié)點(diǎn)外,每個(gè)節(jié)點(diǎn)入度=出度;這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)中,一個(gè)節(jié)點(diǎn)的入度比出度多1 ,另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的入;度比出度少1;(4)
20、連通有向圖含有單向歐拉回路的充要條件:圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的出度=入度;27 .哈密頓路:經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)一次且僅一次的通路; 哈密頓回路:經(jīng)過(guò)圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)一次且僅一次的回路; 哈密頓圖:具有哈密頓回路的圖;28 .判定哈密頓圖(沒(méi)有充要條件)必要條件:任意去掉圖中n個(gè)節(jié)點(diǎn)及關(guān)聯(lián)的邊后,得到的分圖數(shù)目小于等于n; 充分條件:圖中每一對(duì)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)之和都大于等于圖中的總節(jié)點(diǎn)數(shù);29 .哈密頓圖的應(yīng)用:安排圓桌會(huì)議;方法:將每一個(gè)人看做一個(gè)節(jié)點(diǎn),將每個(gè)人與和他能交流的人連接,找到一條經(jīng)過(guò)每個(gè)節(jié)點(diǎn)一次且僅一次的回路 (哈密頓圖),即可;30 .平面圖:將圖形的交叉邊進(jìn)行改造后,不會(huì)出現(xiàn)邊的交叉,則是平面圖;31 .面次:面的邊界回路長(zhǎng)度稱為該面的次;32 .一個(gè)有限平面圖,面的次數(shù)之和等于其邊數(shù)的兩倍;33 .歐拉定理:假設(shè)一個(gè)連通平面圖有 v個(gè)節(jié)點(diǎn),e條邊,r個(gè)面,則 v-e+r=2 ;34 .判斷是平面圖的必要條件:(若不滿足,就一定不是平面圖) 設(shè)圖G是v個(gè)節(jié)點(diǎn),e條邊的簡(jiǎn)單連通平面圖,若v>=3 ,則e<=3v-6 ;35 .同胚:對(duì)于兩個(gè)圖G1,G2,如果它們是同構(gòu)的,或者通過(guò)反復(fù)插入和除去2度節(jié)點(diǎn)可以變成同構(gòu)的圖,則稱 G1, G2
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