高中數(shù)學會考知識點會考

1、高中數(shù)學會考知識數(shù)學學業(yè)水平復(fù)習提綱第一章 集合與簡易邏輯1、 集合 （1）、定義：某些指定的對象集在一起叫集合；集合中的每個對象叫集合的元素。集合中的元素具有確定性、互異性和無序性；表示一個集合要用 。（2）、集合的表示法：列舉法（）、描述法（）、圖示法（）；（3）、集合的分類：有限集、無限集和空集（記作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；（4）、元素a和集合A之間的關(guān)系：aA，或aA；（5）、常用數(shù)集：自然數(shù)集：N ；正整數(shù)集：N；整數(shù)集：Z ；整數(shù)：Z；有理數(shù)集：Q；實數(shù)集：R。2、子集 （1）、定義：A中的任何元素都屬于B，則A叫B的子集 ；記作：AB，注意：AB時，A有兩種

2、情況：A與A（2）、性質(zhì)：、；、若，則；、若則A=B ；3、真子集 （1）、定義：A是B的子集 ，且B中至少有一個元素不屬于A；記作：；A（2）、性質(zhì)：、；、若，則；4、 補集、定義：記作：；BA、性質(zhì)：； 5、 交集與并集（1）、交集：AB性質(zhì)：、 、若，則（2）、并集：性質(zhì)：、 、若，則6、一元二次不等式的解法：（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三者之間的關(guān)系）判別式：=b2-4acx1x2xyOx1=x2xyOxyO二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩相異實數(shù)根有兩相等實數(shù)根沒有實數(shù)根一元二次不等式的解集“”取兩邊R一元二次不等式的解集“”取中間不等式解集的邊界值是相應(yīng)方程的解含參數(shù)的不等式

3、axb xc>0恒成立問題含參不等式axb xc>0的解集是R；其解答分a0(驗證bxc>0是否恒成立)、a0（a<0且<0）兩種情況。7、絕對值不等式的解法：（“”取兩邊，“”取中間）（1）、當時，的解集是，的解集是（2）、當時， （3）、含兩個絕對值的不等式：零點分段討論法：例：8、簡易邏輯： （1）命題：可以判斷真假的語句；邏輯聯(lián)結(jié)詞：或、且、非；原命題若p則q逆命題若q則p否命題若p則q逆否命題若q則p否逆為互互否互逆互逆互否互為逆否簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題；復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題； 三種形式：p或q、p且q、非p；判斷復(fù)合命題真

4、假：1、思路：、確定復(fù)合命題的結(jié)構(gòu)，、判斷構(gòu)成復(fù)合命題的簡單命題的真假，、利用真值表判斷復(fù)合命題的真假；2、真值表：p或q，同假為假，否則為真； p且q，同真為真；非p，真假相反。（2）、四種命題：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p； 否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p；互為逆否的兩個命題是等價的。 原命題與它的逆否命題是等價命題。（3）、反證法步驟：假設(shè)結(jié)論不成立推出矛盾否定假設(shè)。（4）、充分條件與必要條件：若，則p叫q的充分條件；若，則p叫q的必要條件；若，則p叫q的充要條件；第二章 函數(shù)1、映射：按照某種對應(yīng)法則f ，集合A中的任何一個元素，在B中都有唯一確定的元素和它對應(yīng)，記作f

5、：AB，若，且元素a和元素b對應(yīng)，那么b叫a的象，a叫b的原象。2、函數(shù)：（1）、定義：設(shè)A，B是非空數(shù)集，若按某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任意一個數(shù)x，集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），（2）、函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則；自變量x的取值范圍叫函數(shù)的定義域，函數(shù)值f（x）的范圍叫函數(shù)的值域，定義域和值域都要用集合或區(qū)間表示；（3）、函數(shù)的表示法常用：解析法，列表法，圖象法（畫圖象的三個步驟：列表、描點、連線）；（4）、區(qū)間：滿足不等式的實數(shù)x的集合叫閉區(qū)間，表示為：a ，b滿足不等式的實數(shù)x的集合叫開區(qū)間，表示

6、為：（a ，b）滿足不等式或的實數(shù)x的集合叫半開半閉區(qū)間，分別表示為：a ，b）或（a ，b；（5）、求定義域的一般方法：、整式：全體實數(shù)，例一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R；、分式：分母，0次冪：底數(shù)，例：、偶次根式：被開方式，例：、對數(shù)：真數(shù)，例：（6）、求值域的一般方法：、圖象觀察法：、單調(diào)函數(shù)：代入求值法： 、二次函數(shù)：配方法：， 、“一次”分式：反函數(shù)法：、“對稱”分式：分離常數(shù)法：、換元法：（7）、求f（x）的一般方法：、待定系數(shù)法：一次函數(shù)f（x），且滿足，求f（x）、配湊法：求f（x）、換元法：，求f（x）、解方程（方程組）：定義在（-1，0）（0，1）的函數(shù)f（x）滿足，求f（

7、x）3、函數(shù)的單調(diào)性：（1）、定義：區(qū)間D上任意兩個值，若時有，稱為D上增函數(shù)；若時有，稱為D上減函數(shù)。（一致為增，不同為減）（2）、區(qū)間D叫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間定義域；（3）、判斷單調(diào)性的一般步驟：、設(shè)，、作差，、變形，、下結(jié)論（4）、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：內(nèi)外一致為增，內(nèi)外不同為減；4、反函數(shù)：函數(shù)的反函數(shù)為；函數(shù)和互為反函數(shù)；反函數(shù)的求法：、由，解出，、互換，寫成，、寫出的定義域（即原函數(shù)的值域）；反函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域；函數(shù)的圖象和它的反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；點（a，b）關(guān)于直線的對稱點為（b，a）；5、指數(shù)及其運算性質(zhì)：（1）、如果一個數(shù)的n次

8、方根等于a（），那么這個數(shù)叫a的n次方根；叫根式，當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時， （2）、分數(shù)指數(shù)冪：正分數(shù)指數(shù)冪：；負分數(shù)指數(shù)冪：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于1，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義（0的負數(shù)指數(shù)冪沒有意義）；（3）、運算性質(zhì)：當時：，；6、對數(shù)及其運算性質(zhì)：（1）、定義：如果，數(shù)b叫以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫底數(shù)，N叫真數(shù)，以10為底叫常用對數(shù)：記為lgN，以e=2.7182828為底叫自然對數(shù)：記為lnN（2）、性質(zhì)：負數(shù)和零沒有對數(shù)，、1的對數(shù)等于0：，、底的對數(shù)等于1：，、積的對數(shù)：， 商的對數(shù)：，冪的對數(shù)：， 方根的對數(shù)：，7、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義

9、 （）（）1yxy=axO圖象（非奇非偶）a>10<a<1 a>10<a<11y=axxyOO1y=logaxxyO1yxy=logax性質(zhì)定義域（-，+）（-，+）（0，+）（0，+）值域（0，+）（0，+）（-，+）（-，+）單調(diào)性在（-，+）上是增函數(shù)在（-，+）上是減函數(shù)在（0，+）上是增函數(shù)在（0，+）上是減函數(shù)函數(shù)值變化圖象定 點過定點（0，1）過定點（1，0）圖象特征圖象在x軸上方圖象在y軸右邊圖象關(guān)系的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱第三章 數(shù)列（一）、數(shù)列：（1）、定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列；每個數(shù)都叫數(shù)列的項；數(shù)列是特殊的函數(shù)：定義域：正

10、整數(shù)集（或它的有限子集1，2，3，n），值域：數(shù)列本身，對應(yīng)法則：數(shù)列的通項公式；（2）、通項公式：數(shù)列的第n項與n之間的函數(shù)關(guān)系式；例：數(shù)列1，2，n的通項公式= n1，-1，1，-1，的通項公式= ； 0，1，0，1，0，的通項公式（3）、遞推公式：已知數(shù)列的第一項，且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系用一個公式表示，這個公式叫遞推公式；例：數(shù)列 ：，求數(shù)列 的各項。（4）、數(shù)列的前n項和：； 數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系：（二）、等差數(shù)列 ：（1）、定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d

11、表示。（2）、通項公式： （其中首項是，公差是；整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)），（3）、前n項和：1 2. （整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)）（4）、等差中項：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項。即：或說明：在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項（有窮等差數(shù)列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數(shù)列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項。 （5）、等差數(shù)列的判定方法：、定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列。 、等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列。 （6）、等差數(shù)列的性質(zhì)：、等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等差數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公差為，則

12、有、等差數(shù)列，若，則。也就是：，如圖所示：、若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等差數(shù)列。如下圖所示：、設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項的和，是偶數(shù)項項的和，是前n項的和，則有：前n項的和， 當n為偶數(shù)時，其中d為公差；當n為奇數(shù)時，則，（其中是等差數(shù)列的中間一項）。、等差數(shù)列的前項的和為，等差數(shù)列的前項的和為，則。（三）、等比數(shù)列：（1）、定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（）。（2）、通項公式：（其中：首項是，公比是）（3）、前n項和 （推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減）說明： 當時為常

13、數(shù)列，非0的常數(shù)列既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列（4）、等比中項：如果在與之間插入一個數(shù)，使，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項。也就是，如果是的等比中項，那么，即（或，等比中項有兩個）（5）、等比數(shù)列的判定方法：、定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。 、等比中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列。（6）、等比數(shù)列的性質(zhì)：、等比數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項，是等比數(shù)列的第項，且，公比為，則有、對于等比數(shù)列，若，則也就是：。如圖所示：、若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等比數(shù)列。如下圖所示：（7）、求數(shù)列的前n項和的常用方法：分析通項，尋求解法 ，公式法：“差比之和”的數(shù)列：、

14、并項法： 、裂項相消法：、到序相加法：、錯位相減法：“差比之積”的數(shù)列：第四章 三角函數(shù)1、角：（1）、正角、負角、零角：逆時針方向旋轉(zhuǎn)正角，順時針方向旋轉(zhuǎn)負角，不做任何旋轉(zhuǎn)零角；（2）、與終邊相同的角，連同角在內(nèi)，都可以表示為集合（3）、象限的角：在直角坐標系內(nèi)，頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就是第幾象限的角；角的終邊落在坐標軸上，這個角不屬于任何象限。2、弧度制：（1）、定義：等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用弧度做單位叫弧度制。P（x，y）rx0y（2）、度數(shù)與弧度數(shù)的換算：弧度，1弧度（3）、弧長公式： （是角的弧度數(shù)） 扇形面積：xy+_Ox

15、y+_Oxy+_O3、三角函數(shù) （1）、定義：（如圖） （2）、各象限的符號：（3）、特殊角的三角函數(shù)值的角度的弧度14、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（）平方關(guān)系：（）商數(shù)關(guān)系： （）倒數(shù)關(guān)系： （4）同角三角函數(shù)的常見變形：（活用“1”）、，；，；， 5、誘導(dǎo)公式：（奇變偶不變，符號看象限）公式一： 公式二： 公式三： 公式四： 公式五： 補充： 6、兩角和與差的正弦、余弦、正切： ： ： ：的整式形式為：例：若，則（反之不一定成立）7、輔助角公式：（其中稱為輔助角，的終邊過點，） （多用于研究性質(zhì)）8、二倍角公式：（1）、： （2）、降次公式：（多用于研究性質(zhì)） ： ： （3）、二倍角公式的常用

16、變形：、，；、， 、； ；半角：，9、三角函數(shù)的圖象性質(zhì)（1）、函數(shù)的周期性：、定義：對于函數(shù)f（x），若存在一個非零常數(shù)T，當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有：f（x+T）= f（x），那么函數(shù)f（x）叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個函數(shù)的周期； 、如果函數(shù)f（x）的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，這個最小的正數(shù)叫f（x）的最小正周期。（2）、函數(shù)的奇偶性：、定義：對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意一個x，都有：f（-x）= - f（x），則稱f（x）是奇函數(shù)，f（-x）= f（x），則稱f（x）是偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；、奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱； （3

17、）、正弦、余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)（）函數(shù)定義域值域周期性奇偶性遞增區(qū)間遞減區(qū)間-1，1奇函數(shù)-1，1偶函數(shù)（-,+）奇函數(shù)圖象的五個關(guān)鍵點：（0，0），（，1），（，0），（，-1），（，0）；01-1xy圖象的五個關(guān)鍵點：（0，1），（，0），（，-1），（，0），（，1）；oxy01-1xy的對稱中心為（）；對稱軸是直線； 的周期；的對稱中心為（）；對稱軸是直線； 的周期；的對稱中心為點（）和點（）； 的周期；(4)、函數(shù)的相關(guān)概念： 函數(shù)定義域值域振幅周期頻率相位初相圖象-A，AA五點法當A時，圖象上各點的縱坐標伸長到原來的A倍當A時，圖象上各點的縱坐標縮短到原來的A倍的圖象與的關(guān)系：當時

18、，圖象上各點的縱坐標縮短到原來的倍當時，圖象上各點的縱坐標伸長到原來的倍振幅變換： 當時，圖象上的各點向左平移個單位倍當時，圖象上的各點向右平移個單位倍周期變換： 當時，圖象上的各點向左平移個單位倍當時，圖象上的各點向右平移個單位倍相位變換： 平移變換： 常敘述成： 把上的所有點向左（時）或向右（時）平移|個單位得到；再把的所有點的橫坐標縮短（）或伸長（）到原來的倍（縱坐標不變）得到；再把的所有點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍（橫坐標不變）得到的圖象。先平移后伸縮的敘述方向：先平移后伸縮的敘述方向： 10、反三角：求角條件x的值x的范圍當x為鈍角時（）（反正弦） （）（）（反余弦） （）

19、（）（反正切） （）11、三角函數(shù)求值域（1）一次函數(shù)型：，例：，用輔助角公式化為：，例：（2）二次函數(shù)型：二倍角公式的應(yīng)用：代數(shù)代換：第五章、平面向量1、空間向量：（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面內(nèi)的有向線段表示。（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作；零向量的方向是任意的。（3）單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫單位向量；與向量平行的單位向量：；（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共線向量，記作；規(guī)定與任何向量平行；（5）相等向量：長度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量與零向量相等；任意兩個相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來表

20、示，并且與有向線段的起點無關(guān)。2、向量的運算：（1）、向量的加減法：指向被減數(shù)向量的減法三角形法則平行四邊形法則向量的加法首位連結(jié)（2）、實數(shù)與向量的積：、定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：；：它的長度：； ：它的方向：當，與向量的方向相同；當，與向量的方向相反；當時，=；3、平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使；不共線的向量叫這個平面內(nèi)所有向量的一組基向量， 叫基底。4、平面向量的坐標運算：（）運算性質(zhì)：（）坐標運算：設(shè)，則設(shè)A、B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則.（3）實數(shù)與向量的積的運算律: 設(shè)，則，（4

21、）平面向量的數(shù)量積：、 定義： ， .、平面向量的數(shù)量積的幾何意義：向量的長度|與在的方向上的投影|的乘積；、坐標運算:設(shè),則 ；向量的模|：；模|、設(shè)是向量的夾角，則， 5、重要結(jié)論：（1）、兩個向量平行的充要條件： 設(shè)，則 （2）、兩個非零向量垂直的充要條件： 設(shè) ，則 （3）、兩點的距離：（4）、P分線段P1P2的：設(shè)P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ，（即）則定比分點坐標公式 ， 中點坐標公式 （5）、平移公式：如果點 P（x，y）按向量 平移至P（x，y），則 6、解三角形：（1）三角形的面積公式：（2）在中：， 因為：，因為：， ， （3）正弦定理，余

22、弦定理正弦定理：余弦定理：若：則：求角： 第六章：不等式 1、不等式的性質(zhì)：（1）、對稱性：；（2）、傳遞性：；（3）、；xy（4）、若，若；（5）、（沒有減法、除法）1、 均值不等式：（1）、 （）（2）、或 一正、二定、三相等不滿足相等條件時，注意應(yīng)用函數(shù)圖象性質(zhì)（如圖）應(yīng)用：證明（注意1的技巧），求最值，實際應(yīng)用（3）、對于n個正數(shù)：，那么：叫做n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做n個正數(shù)的幾何平均數(shù)；3、不等式的證明，常用方法：（1）比較法：、作差：，（作差、變形、確定符號）、作商：（2）綜合法：由因到果，格式：（3）分析法：執(zhí)果索因，格式：原式（4）反證法：從結(jié)論的反面出發(fā)，導(dǎo)出矛盾。4、不等

23、式的解法：（不等式解集的邊界值是相應(yīng)方程的解）一元二次不等式（的系數(shù)為正數(shù)）：時“>”取兩邊,“<”取中間絕對值不等式：含一個絕對值符號的：“>”取兩邊,“<”取中間含兩個絕對值符號的： 零點分段討論法（注意取“交”，還是取“并”）高次不等式的解法：根軸法 （重根：奇穿偶不穿）分式不等式的解法：移項、通分、根軸法5、絕對值不等式： 例：（最小值） （最大值）第七章：直線和圓的方程1、傾斜角和斜率：（1）傾斜角： 、范圍：o、定義：在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸饒交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時的最小正角記為，則叫直線的傾斜角；當直線與和x軸平

24、行或重合時，傾斜角為；當直線與和x軸垂直時，傾斜角為9（2）斜率：，當是特殊角的三角函數(shù)值時，直接寫出角當不是特殊角的三角函數(shù)值時，可用反三角表示斜率：（3）直線上兩點，則斜率為直線的方向向量所以直線的方向向量或2、直線方程：直線方程的五種形式（1）、點斜式：；（2）、斜截式：；（3）、兩點式： （4）、截距式：（截距是直線與坐標軸的交點坐標，可正可負可為零）（5）、一般式： （A、B不同時為0） 斜率，軸截距為3、兩直線的位置關(guān)系（1）平行： 時 ，； 垂直： ；（2）相交： ，交點就是方程組 的解。任意曲線的交點就是：曲線方程構(gòu)成的方程組的解（3）到角范圍： 到角公式 ： 都存在， 夾角范

25、圍： 夾角公式： 都存在，（4）點到直線的距離公式（直線方程必須化為一般式） 兩平行線間的距離公式：（即一條直線上任一點到另一條直線的距離）4、 線性規(guī)劃：（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域： 不等式（或，或>，或< ）表示直角坐標系中以直線為分界的直線某一側(cè)的平面區(qū)域。（2）求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解。最優(yōu)解常在區(qū)域的交點或邊界上。（3） 具體解題的步驟：畫出圖形，求交點，代入目標函數(shù)求值，確定最大值或最小值 注意實際問題中

26、的整數(shù)解（整點）5、 曲線方程：（1）曲線和方程的關(guān)系：在直角坐標系中，曲線C的點與方程F（x，y）=0的實數(shù)解滿足：曲線C上的點的坐標都是方程F（x，y）=0的解，方程F（x，y）=0的解為坐標的點都在曲線C上，那么，方程叫曲線的方程，曲線叫方程的曲線（2）曲線方程步驟：建系，設(shè)點； 列方程；化簡（注明條件）。（3）方法：直接法：直接把相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程；定義法：常用的是圓、橢圓、雙曲線的定義；代入法：用所求的點的坐標表示已知曲線上的點的坐標，代入已知曲線方程；參數(shù)法：常用的參數(shù)有角、斜率、題中的字母系數(shù)；6、圓的方程：（1）圓的標準方程 ，圓心為，半徑為（2）圓的一般方程（配方：） 時，表

27、示一個以為圓心，半徑為的圓（3）圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），圓心在原點時：（參數(shù)方程的實質(zhì)是曲線上點的橫、縱坐標）（4）點與圓的位置關(guān)系：判斷方法，上=0（5）直線與圓位置關(guān)系：已知直線和圓、圓心到直線的距離與比較，相離，相切，相交；、利用根的判別式：聯(lián)立消元后得一元二次方程的判別式，直線和圓相交，直線和圓相切，直線和圓相離；相關(guān)問題：求弦長：弦心距，半徑，弦的一半組成（6）求圓的切線方程：設(shè)點斜式，用圓心到切線的距離等于半徑，求斜率；、過圓上一點的切線只有一條，方程為：、過圓外一點的切線一定有兩條；（若只解出一個斜率，另一條沒有斜率，切線方程為：）、斜率確定的切線一定有兩條（如圖）。（7）圓

28、中的最值問題：數(shù)形結(jié)合，尋求解法第八章：圓錐曲線1、 圓錐曲線的定義、標準方程、圖象、幾何性質(zhì)曲線橢圓雙曲線拋物線第一定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于定值2a（2a>|F1F2|）的點的軌跡。平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于定值2a（0<2a<|F1F2|）的點的軌跡。平面內(nèi)到定點F和定直線L的距離相等的點的軌跡。即：平面內(nèi)到定點F和定直線L的距離之比為常數(shù)e(e=1)的點的軌跡。第二定義平面內(nèi)到定點F和定直線L的距離之比為常數(shù)e(0<e<1)的點的軌跡。平面內(nèi)到定點F和定直線L的距離之比為常數(shù)e(e>1)的點的軌跡。標準方程圖象

29、F1F2F1F2F由雙曲線求漸進線：由漸進線求雙曲線：2、求離心率：方法一：用的定義；法二：得到與有關(guān)的方程，解方程，求；（離心率與的關(guān)系可以互相表示：橢圓，雙曲線）3、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）、判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的方法（基本思路）消元一元二次方程判別式 （方程的思想）（2）、求弦長的方法： 求交點，利用兩點間距離公式求弦長；弦長公式（3）、與弦的中點有關(guān)的問題常用“點差法”：把弦的兩端點坐標代入圓錐曲線方程，作差弦的斜率與中點的關(guān)系； （弦的中點與弦的斜率可以相互表示）（4）、與雙曲線只有一個交點的直線：一相切，二與漸近線平行與拋物線只有一個交點的直線：一相切，二與對稱軸平

30、行4、圓錐曲線的最值問題：（1）、利用第二定義，把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離求最值；（2）、結(jié)合曲線上的點的坐標，利用點到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；在上的點常設(shè)，在上的點常設(shè)（3）、利用數(shù)形結(jié)合求最值；基本思路：與直線平行，與曲線相切.（橢圓中，長軸是最長的弦；雙曲線中，實軸是最短的弦。）第九章 直線 平面 簡單的幾何體1、 平面的性質(zhì)：公理1：如果有一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)。公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是一條直線。（兩平面相交，只有一條交線）且公理3：不在同一直線上的三點確定一個平面。(強調(diào)“

31、不共線”)（三個推論：1、直線和直線外一點，2、兩條相交直線，3、兩條平行直線，確定一個平面）空間圖形的平面表示方法：斜二測畫法（水平長不變，豎直長減半）2、 兩條直線的位置關(guān)系：平行，相交，異面：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線（1）、異面直線判斷方法：定義，判定：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面不經(jīng)過此點的直線是異面直線（兩在兩不在）aAa=A（2）、兩條直線垂直：兩條異面直線所成的角是直角，這兩條直線互相垂直垂直相交（共面）、異面垂直，都叫兩條直線互相垂直（3）、空間平行直線：公理4：平行于同一直線的兩條直線互相平行。3、直線與平面的位置關(guān)系： 直線在平面內(nèi)aa/ 直

32、線在平面外 直線與平面相交，記作a=A 直線與平面平行，記作a/4、直線與平面平行：定義：直線和平面沒有公共點。（1）、判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行 （線線平行線面平行） （2）、性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么lm這條直線和交線平行（線面平行線線平行）5、兩個平面平行：定義：兩個平面沒有公共點。（1）、判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。（線面平行面面平行）推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行與另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行。（

33、2）、性質(zhì)定理：兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行） 兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線，平行于另一個平面；（面面平行線面平行）夾在兩個平行平面間的兩條平行線段相等。平行間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線平行 線面平行 面面平行6、直線和平面垂直：定義：如果一條直線和一個平面相交，且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，叫直線和平面垂直。（常用于證明線線垂直：線面垂直線線垂直）（1）、判定定理：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線和這個平面垂直。（線線垂直線面垂直）（2）、性質(zhì)定理：過一點和已知平面垂直的直線只有一條，過一點和已知直線垂直的平面只有一條。如果兩

34、條平行線中的一條垂直于一個平面，另一條也垂直于這個平面。線段垂直平分面內(nèi)的任意一點到線段兩端點距離相等。（3）正射影：自一點P 向平面引垂線，垂足P叫點P在內(nèi)的正射影（簡稱射影）斜線在平面內(nèi)的射影：過斜線上斜足外一點，作平面的垂線，過垂足和斜足的直線叫斜線在平面內(nèi)的射影。（4）三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的射影垂直，則它和這條斜線垂直。逆定理：在平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直，則它和這條斜線的射影垂直。CBEADPOAaa7、兩個平面垂直：定義：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的兩個平面垂直。（1）、判定定理：一個平面過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面

35、互相垂直。（線面垂直面面垂直）（2）、性質(zhì)定理：兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線，垂直于另一個平面。（面面垂直線面垂直）垂直間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線垂直 線面垂直 面面垂直8、空間向量：在空間具有大小和方向的量，空間任意兩個向量都可用同一平面內(nèi)的有向線段表示。（1）、共線向量定理：空間任意兩個向量，（），/ （）ABPO空間直線的向量參數(shù)表達式（P在面MAB內(nèi)的充要條件）：或 （叫直線AB的方向向量）當時，點P是線段AB的中點，則（2）、共面向量定理：兩個向量，不共線，則向量與 ，共面 （）平面的向量表達式（P在面MAB內(nèi)的充要條件）：或O為空間任一點，當且時，P、A、B、

36、C四點共面。（3）、空間向量基本定理：如果三個向量、不共面，那么對空間任一向量，存在一個的唯一有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使， ，叫基底，、叫基向量。如果三個向量、不共面，那么空間向量組成的集合為。（4）、兩個向量的數(shù)量積：，向量的模| |：向量在單位向量方向的正射影是一個向量，即， （5）、 共線向量或平行向量：所在的直線平行或重合的向量； 直線的方向向量：和直線平行的向量；共面向量：平行于同一平面的向量； 平面的法向量：和平面垂直的向量。yxz法向量的求法：設(shè)是平行于平面的兩個不共線向量，是平面的法向量，則：。9、 空間直角坐標系：單位正交基底常用來表示。（如圖）（1，0，0）（0，1，0）（0

37、，0，1）其中：，1、空間向量的坐標運算：設(shè)，則（1）；（2）；（3）（）；（4）（即 ）；（5）（6）； ·| | |cos ， ·=··cos，由此可以得出：兩個向量的夾角公式cos，當cosa、b1時，a與b同向；當cosa、b1時，a與b反向；當cosa、b0時，ab在空間直角坐標系中，已知點，A、B兩點間的距離公式：A、 B中點M坐標公式：10、角（1）、等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相同。（2）、最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的公式：

38、；OBAC（3）、角的范圍：、異面直線所成的角的范圍：兩條直線所成的角的范圍：兩個向量所成的角的范圍： 、斜線與平面所成的角的范圍：直線與平面所成的角的范圍：、二面角的范圍：（4）、定義及求法：、異面直線所成的角：已知兩條異面直線、，經(jīng)過空間任一點作，與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）范圍：求法一：作平行線；求法二：（向量）兩條直線的方向向量的夾角的余弦的絕對值為兩直線的夾角的余弦。、斜線和平面所成的角：一個平面的斜線和它在這個平面內(nèi)的射影的夾角；斜線和平面不垂直，不平行。如果直線和平面平行或在平面內(nèi)，則直線和平面所成的角是0。的角。naAPOqOOBBAA求法一：公式；求

39、法二：解直角三角形，斜線、斜線的射影、垂線構(gòu)成直角三角形；求法三：向量法：已知PA為平面a的一條斜線，n為平面a的一個法向量，過P作平面a的垂線PO，連結(jié)OA則ÐPAO為斜線PA和平面a所成的角為q，則 、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角，直線叫二面角的棱；二面角的平面角：垂直于二面角的棱，且與兩個半平面的交線所成的角。求法一：幾何法：一作二證三計算.利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角，再解直角三角形；AAOB求法一：向量法：二面角的兩個半平面的法向量所成的角（或其補角）n1和n2分別為平面a和b的法向量，記二面角的大小為q，n1n2l則或(依據(jù)兩平面法向

40、量的方向而定)AAOB總有=，若該二面角為銳二面角 則若二面角為鈍二面角則naAPOq11、距離（滿足最小值原理）（1）、點到平面的距離：一點到它在平面內(nèi)的正射影的距離；求法一：解直角三角形；求法二：等積法，利用體積相等；求法三：向量法：如圖點P為平面外一點，點A為平面內(nèi)的任一點，平面的法向量為n,過點P作平面a的垂線PO，記PA和平面a所成的角為q，則點P到平面的距離（2）、直線到平行平面的距離：直線上任一點到與它平行的平面的距離；求法：轉(zhuǎn)化為點到平面的距離求。（3）、兩個平行平面的距離：兩個平行平面的共垂線段的長度；求法：轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來求。（4）、異面直線的距離：兩條異面直線的公垂

41、線夾在異面直線間的部分；（公垂線是唯一的，必須垂直相交）求法一：解直角三角形；求法二：異面直線上任意兩點的距離公式：求法三：向量法：先求兩條異面直線的一個公共法向量，再求兩條異面直線上兩點的連線在公共法向量上的射影長。設(shè)E、F分別是兩異面直線上的點， 是公共法向量，則異面直線之間的距離 12、棱柱（1）、定義：有兩個面互相平行，其余相鄰兩個面的交線互相平行的多面體叫棱柱。斜棱柱（側(cè)棱不垂直底面）直棱柱（側(cè)棱垂直底面）正棱柱（底面是正多邊形的直棱柱）（2）、性質(zhì)：、棱柱的側(cè)面是平行四邊形，所有側(cè)棱都相等；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；abc直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全

42、等的矩形。、棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等的多邊形。（3）、平行六面體直平行六面體長方體正方體，平行六面體四棱柱、平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分；、長方體的對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和；、正方體的對角線長，正方體的面對角線可構(gòu)成一個正四面體（如圖）。13、棱錐PABCABCOO（1）、定義：一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形的多面體叫棱錐；底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐。（2）、性質(zhì)：、棱錐被平行于底面的平面所截，則；中截面。、正棱錐各側(cè)棱相等，斜高相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；、正棱錐的高、斜高和斜高在底面的射影組成直角三角形， 高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面的射影組成直角三角形。14、正多面體：每個面都有相同邊數(shù)的正多邊形，每個頂點都有相同的棱數(shù)。正多邊形頂點數(shù)V面 數(shù)