高數(shù)二下練習(xí)題答案完整全部

1、高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_反常積分、定積分應(yīng)用（一）1、求無(wú)窮限積分 （）。 (過(guò)程略)2、求瑕積分。3、求由曲線與所圍成圖形的面積。4、 求由曲線和直線，所圍成的平面圖形的面積。 或（請(qǐng)自己畫(huà)草圖，體會(huì)兩種不同的求法）5、拋物線與其在點(diǎn)和處的切線所圍成的圖形的面積。解：過(guò)點(diǎn)的切線方程為 ，而過(guò)處的切線方程為 故求的兩切線交點(diǎn)為 ，則所要求圖形的面為：6、設(shè)橢圓的參數(shù)方程為，求橢圓的面積。解：由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，橢圓的面積可表示為：（簡(jiǎn)單的計(jì)算過(guò)程略，希望同學(xué)們自行補(bǔ)充完成）7、在上給定函數(shù)，問(wèn)取何值時(shí)，右圖中曲邊三角形OACO與ADBA的面積之和最?。亢螘r(shí)最大？ 高等

2、數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_定積分應(yīng)用（二）1、 求由曲線和圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：2、 分別求由曲線,及軸所圍成的圖形繞軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積3、 求由曲線和直線、所圍成的平面圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積4、求曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積。（參考課本第214頁(yè)（4） 的（6.37）的做法，注意是按圓環(huán)體來(lái)分隔）解：圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積5、已知一拋物線過(guò)軸上的兩點(diǎn)：（1）求證：兩坐標(biāo)軸與該拋物線所圍圖形的面積

3、等于軸與該拋物線所圍圖形的面積。（2）計(jì)算上述兩個(gè)平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積。略。（由于沒(méi)給出拋物線二次項(xiàng)的系數(shù)a，本題大家可以隨意選個(gè)非零的a來(lái)做）6、 求由曲線,，所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：（注意旋轉(zhuǎn)體界面圓的半徑是）7、 設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本（萬(wàn)元/臺(tái)）其中表示產(chǎn)量，固定成本為（萬(wàn)元），邊際收益（萬(wàn)元/臺(tái)），求：（1）總成本函數(shù)和總收益函數(shù)；（2）獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量；（3）從最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量又生產(chǎn)了4臺(tái)，總利潤(rùn)的變化。解：（1） 總成本函數(shù)為 總收益函數(shù)為；（2） 由（1），利潤(rùn)函數(shù)為 當(dāng)可求得駐點(diǎn)為 ，而，因此當(dāng)產(chǎn)量x=6臺(tái)時(shí)，獲得最利潤(rùn)；（3） （

4、略）高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_定積分綜合一、選擇題1、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則曲線與直線所圍成的平面圖形的面積等于 （ C ）（A） （B） （C）（D）2、設(shè)，則 ( D ) （A） （B） （C） （D）3、設(shè)連續(xù)，則 ( B ) （A） （B） （C） （D）4、下列結(jié)果正確的是 ( B ) （A） （B）（C） （D）5、設(shè)，則在上 ( B ) （A） 單調(diào)增加 （B）單調(diào)減少 （C）有增有減 （D）無(wú)界6、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則= ( A ) （A）0 （B）1 （C） （D）7、 若是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，則是 ( B ) （A）奇函數(shù) （B）偶函數(shù) （C）非奇非偶函

5、數(shù) （D）既奇既偶函數(shù)8、下列反常積分發(fā)散的有 ( C ) （A） （B） （C） （D）9、下列反常積分收斂的有 ( D ) （A） （B） （C） （D）10、由曲線，（，）及直線，所圍圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)而成立體的體積是 ( B ) （A） （B）（C） （D）二、填空題1、利用定積分的幾何意義，填寫(xiě)下列定積分的結(jié)果：(1)= (2) -4 2、利用定積分的性質(zhì)，填寫(xiě)下列各題：(1) 6 51 (2) 3、設(shè)，則= 。4、已知在上連續(xù)，且，且設(shè)，則 -2 。5、設(shè)由所確定，則= 。6、設(shè)為連續(xù)函數(shù)且滿(mǎn)足，則 。7、求下列定積分(1)= (2) (3) 13 (4) (5) 0 (6) (7)=

6、 0 (8)= 2 8、若反常積分收斂， > 1 。9、某廠生產(chǎn)的邊際成本函數(shù)，且固定成本，則總成本函數(shù) ;當(dāng)產(chǎn)量由2個(gè)單位增至4個(gè)單位時(shí)，總成本的增量是 。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_一階微分方程 1、求的通解。解：原方程可化為 積分，得 （其中C為任意常數(shù)）令，不難看出C為任意常數(shù)，故，方程的通解為 （C為任意常數(shù)）2、 求微分方程，滿(mǎn)足的特解。解：原方程可化為 積分得 (其中C為任意常數(shù)) 即 ，令，不難看出C為任意常數(shù)，故原微分方程通解可表示為： ，其中C為任意常數(shù)， 當(dāng)時(shí)， 故滿(mǎn)足條件的方程的特解為 3、求微分方程的通解。解：方程可化為： 所以 4、

7、微分方程的通解。解：當(dāng)x>0時(shí)，原微分方程可等價(jià)為齊次微分方程設(shè)則有對(duì)應(yīng)的通解為 即（其中C為任意常數(shù)）當(dāng)x<0,易得原微分方程的通解為同樣的形式。綜上所述，微分方程的通解為（其中C為任意常數(shù)）5、 求微分方程，滿(mǎn)足的特解。解：令，則原微分方程變?yōu)榉e分得即（其中C為任意常數(shù)）由初始條件 ，代入上式，可求得 C=2，所以原微分方程在此初始條件下的特解為 6、 求微分方程的通解。解：易知原微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程可表示成其通解為（其中C為任意常數(shù)）由常數(shù)變易法，令原微分方程的通解形式為，則，代入原微分方程，得 ，積分得 (其中C為任意常數(shù))。于是，所求微分方程的通解為 （其中C為任意

8、常數(shù)）7、 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，由所確定，求。解：對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得 ， 即 且 當(dāng)時(shí)，代入上方程得 故 8、巳知生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本是，生產(chǎn)單位的邊際成本與平均單位成本之差為：，且當(dāng)產(chǎn)量的數(shù)值等于時(shí)，相應(yīng)的總成本為，求總成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題二階微分方程1、求方程的通解。 解：特征方程為 ，得特征根為 所以方程的通解 2、求微分方程的通解，其中常數(shù)。 解：特征方程為：，求得特征根 所以方程的通解 3、求方程，的特解。 解：特征方程為 ，解得特征根為 所以方程的通解為 把 ， 代入上二式，得故 所求方程滿(mǎn)足條件的解為 4、求微分方程的一個(gè)特解。5、求微分方程的通解。6、設(shè)函數(shù)求

9、微分方程 滿(mǎn)足初始條件的特解。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_微分方程綜合一、選擇題1、下列各微分方程中為一階線性微分方程的是 （ B ） （A） （B） （C） （D）2、滿(mǎn)足方程的解是 （ B ）（A） （B） （C） （D）3、已知，是方程的解，則 (為任意常數(shù)) （B ）（A）是方程的通解 （B）是方程的解，但不是通解（C）是方程的一個(gè)特解 （D）不一定是方程的解4、具有特解，的二階常系數(shù)齊次線性方程是 （ B ）（A） （B）（C） （D）5、微分方程，的特解是 （ C ）（A） （B）（C） （D）6、微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式（式中為常數(shù)） （ D ） （

10、A） （B） （C） （D）7、微分方程的特解應(yīng)設(shè)為 （ D ） （A） （B） （C） （D）8、設(shè)微分方程有特解，則它的通解是 （ A ）（A） （B）（C） （D）二、填空題1、微分方程的通解是 2、微分方程，滿(mǎn)足的特解為 3、微分方程的通解為 4、微分方程的通解是 5、微分方程的通解是 6、具有特解和的二階常系數(shù)齊次線性方程為 7、設(shè)為某方程的通解，其方程為 8、方程的特解可設(shè)為 .9、方程的特解可設(shè)為 .10、方程的特解可設(shè)為 .11、方程的特解可設(shè)為 .注意: 特解的表達(dá)式里面出現(xiàn)的常數(shù)，可說(shuō)成“其中。為常數(shù)”或者“其中。為待定常數(shù)”兩者都可以。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí)

11、 姓名_ _學(xué)號(hào)_空間解析幾何、多元函數(shù)概念和性質(zhì)一選擇題1、方程表示 （ D ）（A）平面 （B）柱面 （C）球 （D）拋物面2、函數(shù)的定義域 （ C ）（A） （B） （C） （D） 3、設(shè)，且當(dāng)時(shí)，則= （ D ）（A） （B） （C） （D）4、若，則= （ B ）（A） （B） （C） （D）二填空題1、方程表示 表示空間的準(zhǔn)線是xOy平面上的半徑為，原點(diǎn)為圓心的圓，母線平行于Oz軸的圓柱面2、若一球面以點(diǎn)為球心且過(guò)原點(diǎn)，則其方程為 3、球面：的球心是點(diǎn)_，半徑 _4_；4、的定義域 5、設(shè)函數(shù)，則 6、已知，則= 7、已知，則 三計(jì)算題1、解： 當(dāng)時(shí)， 則原式2 2、解： 原式3、

12、解： 原式 (注意：如何應(yīng)用變量替換法，把二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的情形，利用一元函數(shù)的常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小來(lái)計(jì)算！考慮下什么情形下是安全的！)高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及微分1、設(shè)函數(shù)，求。解：2、 求函數(shù)的全微分。解：由全微分公式 則3、設(shè)，而，求。解：由鏈?zhǔn)椒▌t， （注意，最后的答案應(yīng)寫(xiě)成u,v的形式，因要求的表達(dá)式默認(rèn)是u，v的函數(shù)?。?、 設(shè)，求及。解：由已知z=z(x,y), 原方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù) 對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù) 整理可求得 因此 故z的全微分可表示為： 5、 設(shè)，而，求。解：(要特別注意上面式子z在不同地方表示不同自變量的函數(shù)，如t的函數(shù)，

13、x,y的函數(shù)；這是把原來(lái)z是t的一元函數(shù)表示成z是二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的情形)6、 設(shè)，求，其中有二階偏導(dǎo)數(shù)。解： （注：下標(biāo)1,2的表示對(duì)應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，參見(jiàn)課本p251例7.25）7、設(shè)，求。解法一：方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)整理得上式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)8、設(shè)由所確定的函數(shù)，求。解：方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)整理得因此 高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_多元函數(shù)極值和最值1、 求函數(shù)的駐點(diǎn)。解： 解方程 得駐點(diǎn) 2、 求函數(shù) 的極值點(diǎn)。解：由 得駐點(diǎn)，,求二階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)點(diǎn): 故(1/3,1/3)為極大值點(diǎn)。對(duì)點(diǎn): ， 不是極值點(diǎn).對(duì)點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(1,0)，故(0,1)和(1,0)都不是極值

14、點(diǎn)；3、求的極值。解法1）：由得駐點(diǎn)計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù) 對(duì)應(yīng)地，故(0,0)是極大值點(diǎn)，極大值為(2,2)是極小值點(diǎn)，極小值為.解法2）：解： 駐點(diǎn)為 在處，為極大值點(diǎn)，在處，不是極值點(diǎn)在處，不是極值點(diǎn)在處，為極小點(diǎn)，4、設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要甲、乙兩種原料，已知甲種原料的價(jià)格為2，乙種原料的價(jià)格為1，而用單位的甲種原料和y單位的乙種原料可生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為，若該產(chǎn)品的單位價(jià)格為5，試求最大利潤(rùn)解：收入 成本 利潤(rùn) ，故最大利潤(rùn)為5、工廠的同一種產(chǎn)品分銷(xiāo)兩個(gè)獨(dú)立市場(chǎng)兩個(gè)市場(chǎng)的需求情況不同，設(shè)價(jià)格函數(shù)分別為，廠商的總成本函數(shù)為，, 工廠以最大利潤(rùn)為目標(biāo)，求投放每個(gè)市場(chǎng)的產(chǎn)量，并確定此時(shí)每個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格解：總收

15、入： 總利潤(rùn)： ，不難驗(yàn)證(8,2)為最大利潤(rùn)對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn) 6、 某廠為促銷(xiāo)產(chǎn)品需作兩種手段的廣告宣傳當(dāng)廣告費(fèi)分別為，時(shí)，銷(xiāo)售量，若銷(xiāo)售產(chǎn)品所得利潤(rùn)，兩種手段的廣告費(fèi)共25(千元)，問(wèn)如何分配兩種手段的廣告費(fèi)才能使利潤(rùn)最大？解：作函數(shù) 求偏導(dǎo) 得 兩種廣告分別為15（千元）和10（千元）的時(shí)候使得利潤(rùn)最大高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題二重積分1、設(shè)區(qū)域D由所圍成，求。解：原式(X型累次積分) 原式(Y型累次積分) 2、設(shè)是由直線，及所圍成的平面區(qū)域，求。解：原式（X型）3、設(shè)區(qū)域由軸與曲線（）所圍成，求。 解：原式（Y型）4、設(shè)，為正方形：，計(jì)算。解：原式(矩形區(qū)域)=5、求積分。解：把原式Y(jié)型的累次積分

16、轉(zhuǎn)化為X型即原式6、設(shè)積分區(qū)域由，及所圍成，求。解：原式 7、設(shè)積分區(qū)域?yàn)?，求。解：?原式 8、計(jì)算，其中由，所圍成。解：令 原式高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題 多元函數(shù)微積分綜合一、選擇題1、設(shè)，則= （ B ） （A） （B） （C） （D）2、若，則等于 （ B ）（A） （B） （C） （D）3、設(shè)均為可微函數(shù)，則 （ C ）（A）（B） （C） （D）4、設(shè)積分區(qū)域是，則= （ B ） （A）1 （B）2 （C）4 （D）85、設(shè)平面區(qū)域由與兩坐標(biāo)軸所圍成，若，則它們之間的大小順序?yàn)?（ C ）（A） （B） （） （）6、設(shè)是以為頂點(diǎn)的梯形所圍成的有界閉區(qū)域，是區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分

17、（ B ）（A） （B）（C） （D）7、二次積分的另一種積分次序是 （ A ） (A)(B）(C) (D)8、的值等于 （ A ）（A） （B） （C） （D）9、積分 （ C ）（A） （B） （C） （D）積不出二、填空題1、設(shè)，則= 2、設(shè)，則 3、設(shè)，則= 4、設(shè)，則= 5、設(shè)，而，則= 6、設(shè)，則 7、設(shè)是由與圍成的平面區(qū)域，若，則 ；若積分區(qū)域是，則= .8、若區(qū)域由，圍成，則二重積分化成先對(duì)，后對(duì)的二次積分為 .9、 = .10、設(shè)區(qū)域由，所確定，則= 0 .11、改換積分的次序= 12、化二次積分為極坐標(biāo)的二次積分= 高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_常數(shù)

18、項(xiàng)級(jí)數(shù)1、求級(jí)數(shù)的和。解：級(jí)數(shù)的部分和，此級(jí)數(shù)的和即 .2、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。3、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。 4、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。 5、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。6、判斷級(jí)數(shù)的斂散性，并求. 7、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。（若收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂）解：由8、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。（若收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂） 高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)1、求級(jí)數(shù)的收斂域。3、 求級(jí)數(shù)的收斂域。解：故級(jí)數(shù)收斂半徑為 即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散故級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?、求級(jí)數(shù)的收斂域和和函數(shù)。解：由比值判別法可知當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)或時(shí)，易知級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?又，逐項(xiàng)求導(dǎo)到4、求級(jí)數(shù)的收斂域

19、和和函數(shù)。解：故級(jí)數(shù)收斂半徑為 即當(dāng)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)，級(jí)數(shù)為，收斂；故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槎傻?、將函數(shù)展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù)。6、將在點(diǎn)處展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。 7、將函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。解：8、將函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題_學(xué)院_專(zhuān)業(yè) 班級(jí) 姓名_ _學(xué)號(hào)_級(jí)數(shù)綜合一、選擇題1、若級(jí)數(shù)收斂，記，則 （ B ）（A） （B）存在 （C）可能不存在 （D）為單調(diào)數(shù)列2、若收斂，則 （ B ）（A）與必同時(shí)收斂 （B）與可能同時(shí)收斂，也可能同時(shí)發(fā)散（C）必收斂 （D）收斂，發(fā)散3、若級(jí)數(shù)收斂于，則收斂于 （B ）（A） （B） （C） （D）4、下列級(jí)數(shù)中，收斂的是 （ A ）（A） （B） （C） （D） 5、級(jí)數(shù)的收斂范圍是 ( D )（A） （B） （C） （D）6、下列級(jí)數(shù)中，收斂的是 （ D ）（A） （B） （C） （D）7、在下列級(jí)數(shù)中，發(fā)散的是 （D ）（A） （B） （C） （D）8、下列級(jí)數(shù)