(實(shí)驗(yàn)班課后鞏固)特殊的平行四邊形(矩形、菱形、正方形)

1、jerry1jerry特殊的平行四邊形【本講主要內(nèi)容】特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形的概念、性質(zhì)和判定【知識(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】平行四邊形與各種特殊的平行四邊形之間的聯(lián)系和區(qū)別，是本章的難點(diǎn)，因?yàn)辇R種特殊 平行四邊形圖形交錯(cuò)，概念容易混淆，常會(huì)出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)彖，也會(huì)出現(xiàn)用錯(cuò)、多用 或少用條件的錯(cuò)誤突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是學(xué)好概念，分清這些特殊平行四邊形和一般平行 四邊形之間及待殊平行四邊形之間的從屬關(guān)系1學(xué)概念：抓“限制”，畫樹圖課本上，矩形、菱形、正方形都是在平行四邊形的前提下定義的，也就是說(shuō)，對(duì)平行四 邊形增加不同的限制條件、就分別產(chǎn)生了矩形、菱形和正方形的概念卜面我們把對(duì)平行四 邊

2、形的限制，畫成簡(jiǎn)明的“樹圖”（形狀象樹枝分杈那樣的圖），把矩形、菱形的定義、性質(zhì) 和判定條件都綜介在樹圖上（而把矩形、菱形的定義、性質(zhì)、判定條件綜介起來(lái)，就得到正 方形的定義、性質(zhì)和判定條件），一目了然.#jerry2.學(xué)性質(zhì)：抓“特性”，識(shí)共性由于矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四邊形，所以它們具有平行四邊形的一切性質(zhì) （即共性），除此之外，還具有自己的特性.矩形的特性'四個(gè)角都是點(diǎn)角 對(duì)角線相等（四條邊都相等 菱形的特性對(duì)角線互相垂直每一條對(duì)角線平分-細(xì)寸角由于正方形足特殊的矩形和特殊的菱形，所以它只有矩形利菱形的一切杵質(zhì):'四個(gè)角都是虛角 四條邊都相等正方形的特性對(duì)角線相

3、等對(duì)角線互相垂直每條對(duì)角線半分一組対角這里提醒同學(xué)們注意：學(xué)習(xí)矩形、菱形和正方形的性質(zhì)時(shí)，要抓住“特性”，否則，就 無(wú)法應(yīng)用“特性”去解決矩形、菱形和正方形的問題，但也不要忽視了它們是平行四邊形, 仍具有一般平行四邊形的性質(zhì)（即共性），忘了“共性”，它們的性質(zhì)也就不全了，如菱形的 對(duì)角線性質(zhì)，應(yīng)是“特性+共性”；“對(duì)角線互相垂直平分，并且每i條對(duì)角平分一組對(duì)角”: 如正方形的對(duì)角線的性質(zhì)，由“特性+共性”，就得到：“對(duì)角線相等，并且互相垂直平分， 每條對(duì)角線平分一組對(duì)角”在解題時(shí)，也要強(qiáng)調(diào)“共性”，否則容易造成思維障礙。3.學(xué)判定：抓“起點(diǎn)”，湊條件矩形、菱形、正方形論基本的判定方法是它們各自

4、的定義，其它的判定方法都是在定義 的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的因?yàn)榫匦?、菱形、正方形，作為特殊的平行四邊形，它們町以在平?四邊形的前提卜定義，同時(shí)，矩形、菱形、正方形，也可以作為特殊的四邊形，在四邊形的 前提卜定義，不過，要把平行四邊形的條件“溶化”進(jìn)去所以，矩形、菱形的判定方法由 于“起點(diǎn)”不同可以分成兩類：一類的“起點(diǎn)”是平行四邊形，另一類的“起點(diǎn)”是四邊形, 而正方形的“起點(diǎn)”有四個(gè)一一矩形、菱形、平行四邊形和四邊形在應(yīng)用判定方法時(shí)切勿 搞錯(cuò)了 “起點(diǎn)”，而“起點(diǎn)”不同，判定所需的條件也不同（1）矩形的判定方法:條件結(jié)論有一個(gè)角是直角的平行四邊形（是）矩形對(duì)角線相等有三個(gè)角是直角的四邊形（2）菱

5、形的判定方法:條件結(jié)論有一組鄰邊相等的平行四邊形（是）菱形對(duì)角線互柑垂直四條邊都相等的四邊形對(duì)角線互相垂直平分（3）正方形的判定方法:條件結(jié)論有一組鄰邊相等的矩形（是）正方形對(duì)角線互相垂直有一個(gè)角是直角的菱形對(duì)角線相等有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形對(duì)角線相等，且互相垂直四條邊都相等，且四個(gè)角都相等的四邊形対角線相等且互相陞直平分矩形、菱形、正方形的“掌中寶典”定義性質(zhì)定理矩形有一個(gè)角定直角的平行四 邊形叫做矩形. 四個(gè)角都是直角： 對(duì)角線相等： 矩形是軸對(duì)稱圖形L=1c（1）有一個(gè)角是直角的平 行四邊形是矩形；判定 （2）對(duì)角線相等的平行四 定理邊形是矩形：（3）有三個(gè)角是直角的

6、四 邊形是矩形.菱形有一組鄰邊相等的平行四 邊形叫做菱形 四條邊都相等; 對(duì)角線互相垂直平分； 每一條對(duì)角線平分一組 對(duì)角； 菱形是軸對(duì)稱圖形.正方形有一組鄰邊相等并且有一 個(gè)角是直角的平行四邊形 叫做正方形 四條邊都相等: 四個(gè)角都相等： 對(duì)角線相等： 對(duì)角線互相垂II平分： 每一條對(duì)角線平分一組 對(duì)角； 正方形是軸對(duì)稱圖形.（1）有-組鄰邊相等的平 行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平 行四邊形是菱形；（3）四條邊都相尊的四邊 形是菱形：（4）對(duì)角線互相垂直平分 的四邊形是菱形.（1）有一組鄰邊相等的矩 形是正方形：（2）對(duì)角線互相垂直的矩 形是正方形：（3）有一個(gè)角是直角的菱 形是正

7、方形：（4）對(duì)角線相等的菱形是 正方形.判定定理的農(nóng)述句型：具仃什么特殊性質(zhì)的某人類圖形，是這類圖形典例分類剖析（矩形）如圖所示，延長(zhǎng)矩形的邊CB至E,使CE = CA, F是AE的中點(diǎn)，求證：BF1FD分析：由ZABE = 90° , F 為 AE 中點(diǎn)，得 BF=|aE=AF,易證 ADFABCF,有ZAFD = ZBFC,又CA=CE,所以CF丄AE,即町證得BF丄FD. 證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以ZDAB = ZABC = 90° , AD=BC, 因?yàn)镕是AE的中點(diǎn)，所以BF=1aE=AF,所以 ZBAF=ZABF,所以 ZDAF=ZCBF在2尸和厶BC

8、F 中，AD=BC, ZDAF=ZCBF, AF=BF所以 ADFABCF,所以 ZAFD = ZCFB,又 CA=CE AF=BF,所以 CF丄AE,所以ZAFD4-ZDFC = 90° , ZCFB +ZDFC = 90° ,所以 BF丄FD評(píng)析：已知條件中有直角三角形斜邊中點(diǎn)，要考慮運(yùn)用直角三角形斜邊中線等于斜邊一 半構(gòu)成等腰三角形求解或證明（菱形例已知菱形的周長(zhǎng)為40cm,兩條對(duì)角線之比為3 ：4,求菱形的面枳.分析：如圖所示，由菱形的性質(zhì)町得AOAB是直角三角形，它的兩條直角邊Z比等于 菱形的兩條對(duì)角線之比，再由勾股定理列方程求解.解：因?yàn)榱庑蜛BCD的周長(zhǎng)是40

9、cm,所以AB = 10cni因?yàn)?OA=£aC，OB=|bD, AC : BD=4 : 3,所以 OA : OB=4 : 3設(shè) OA=4x, OB = 3x,由勾股定理，得（4x） 24- （3x） 2=102,解得 x=2.那么 OA=8, OB = 6.所以 AC = 16, BD = 12, S abcd=|aC BD=*X 16X 12=96cn?評(píng)析：由四邊形的兩條對(duì)角線和-邊組成的三角形（如圖中厶OAB）是我們經(jīng)?？疾?的對(duì)象.特殊的四邊形對(duì)應(yīng)特殊的三角形.矩形、菱形、正方形對(duì)應(yīng)的三角形分別是等腰三 角形、直角三角形、等腰直角三角形.掌握這一點(diǎn)，對(duì)于解決四邊形的問題是人

10、有益處的.（正方形）例.如圖所示，正方形ABCD,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,菱形AEFC, EH 丄AC,垂足為H,求證：EH=*C分析：要證EH=£fC, EH在矩形OBEH中，得EH=OB=£bD,而FC是菱形AEFC 的邊，CF=AC=BD,所以EH=*C,問題的關(guān)鍵是要證四邊形OBEH是矩形.證明：由正方形 ABCD 得 AC=BD, AC丄BD, ZBOC = 90° .又因?yàn)镋E丄AC,所以EH/7OB又因?yàn)樗倪呅蜛EFC是菱形，得AC = CF, ACEF,所以O(shè)HBE因此四邊形OBEH是矩形，因此EE=OB=2bD=£aC=£

11、fC 評(píng)析：綜合考査了正方形、菱形的性質(zhì)和矩形的判定方法【解題方法指導(dǎo)】 例1.已知：A ABC中，AB=AC, M為BC的中占，MG丄AB, MD丄 AC, GF丄AC, DE丄AB,垂足分別為G、D、F、E, GF、DE相交于H試判斷四邊形HGMD 的形狀，并證明你的結(jié)論.解：如圖所示，：'MG丄AB, DE丄AB6jerryMG/ZDE 同理MD/GF .-四邊形HGMD為平行四邊形又.AB=AC, M 為BC的中點(diǎn)，ZB=ZC, BM=CMRtABMG = RtACMDMG=MD 化四邊形 HGMD 是菱形.例2在四邊形ABCD中，AB=CDE、F、G、H分別為AD、BC. B

12、D、AC的中點(diǎn)求 證：EF丄GH證明：如圖所示，連結(jié)EG、GF、FH、HE在ZXABD中，E、G分別為AD、BD的中點(diǎn), EG/AB. EG = AE （三角形中位線定理）EG=ZaB, GF=icD, AB=CD AEG=GF>2 2平行四邊形EGFH是菱形.EF丄GH （菱形的對(duì)角線互相垂直）. 注意：畫圖時(shí)，不要把一般四邊形ABCD畫成特殊四邊形.例3己知兩邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD、OKPQ, 0為正方形ABCD的中心 求證：不論OKPQ在什么位置.兩正方形重疊部分為定值分析：既然要證明重疊部分面枳與OKPQ位凰無(wú)關(guān)，町將OKPQ繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至特殊位 置，求出定值后再證明其面積與在一

13、般位置時(shí)面積相等即可.證明：將正方形OKPQ繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖中正方形OMSH位置.正方形OMSH與正方形ABCD重疊部分為OEC, S/bc=，4又ZOBE=ZOCF, ZBOE=90° -ZEOC=ZCOFt OB=OC,二 AOBE = AOCF，SgBc = Sbe + Sg；c = S心r + S&gc 即正方形OKPQ與正方形ABCD重疊部分面積為寧點(diǎn)評(píng)：本例是從爭(zhēng)物的聯(lián)系、變化中探索不變量，找到解決問題的關(guān)鍵，使問題迎刃而 解，基本思路是“一般問題一特殊化一探索解法解決問題”.【考點(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定在中考說(shuō)明中是C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，它常與平

14、行四邊形、 梯形、全等三角形綜合在一起以選擇題、填空題、解答題和論證題等題型出現(xiàn)在中考題中， 大約占有4一8分左右，近幾年，這部分的考題從以往的論證題轉(zhuǎn)向動(dòng)于操作、發(fā)現(xiàn)、猜想 和探究的開放題【典型例題分析】例1.(2006年海南省中考題)如圖所示，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)G與B、C不重合)，AE丄DG于E, CF/AE交DG于F,(1) 在圖中找出一對(duì)全等三角形，并加以證明；(2) 求證：AE=FC+EF(1) AAED = ZSDFC證明：四邊形ABCD是正方形 /.AD=DC, ZADC=90°又 TAE丄DG, CF/AE A ZAED=ZDFC=90&l

15、t;> ZEAD+ZADE=ZroC4-ZADE=90° ZEAD=ZFDC /. AAEIADFC(2) AAED =如FC /. AE = DF, ED = FC VDF=DE+EF /.AE=FC+EF例2.(2006年山東省青離市中考題)已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG/ZDB交CB的延長(zhǎng)線于G(1) 求證：AADE = ACBF : (2)若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊 四邊形？并證明你的結(jié)論° 3丿Cr7A£7G(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AZ1=ZC, AD=

16、CB> AB=CD點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，.AE = 1aB, CF=-CD2 2 /.AE=CFAADE = ACBF(2) 當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形AGBD是矩形. 證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD/BC VAG/BD四邊形AGBD是平行四邊形/四邊形BEDF是菱形.I DE=BEVAE=BE AE=BE=DE .*.Z1=Z2, Z3=Z4VZ1+Z2+Z3+Z4=18O° A2Z2+2Z3=180°/. Z2+Z3=90°即ZADB=90° 四邊形AGBD是矩形.例3. (2006年貴州省畢節(jié)地區(qū)中考題)如圖所示，四邊

17、形OABC與ODEF均為正方形，CF交OA于P,交DA于Q(1)求證：AD=CF (2) AD與CF垂直嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.(3) 當(dāng)正方形ODEF繞O點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，(1), (2)的結(jié)論是否有變化(不需說(shuō) 明理由).(1) 證明：四邊形OABC 4 ODEF均為正方形AO=CO, DO=FO, ZAOC=ZDOF=90° ZDOF+ ZFOA=ZAOC+ ZFOA即：ZAOD=ZCOF /. ZXAOD = AC O I /.AD=CF(2) AD丄CF,理由為：AAOD = ACOF AZOCF=ZOADA ZAPQ+ZOAD=ZOCF+ZCPO=90° A ZAQP

18、=90° 即：AD丄CF(3) 當(dāng)正方形ODEF繞O點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，(1) (2)的結(jié)論不會(huì)變化【綜合測(cè)試】9jerry一、選擇題：1菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為12和16,則其周長(zhǎng)為（）A 20B 25C 40D. 602順次連接矩形四邊中點(diǎn)所成的四邊形是（）A菱形B正方形 C矩形D.等腰梯形3.已知正方形的邊長(zhǎng)為2a,則它的對(duì)角線長(zhǎng)是（）A 2aB ViaC ViaD. 2Via4能夠判定一個(gè)四邊形是矩形的條件是（）A對(duì)角線相等B對(duì)角線互相垂直C.對(duì)角線相等且互相平分D.對(duì)角線互相垂直平分5 個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直，順次連結(jié)它各邊中點(diǎn)所得的四邊形是（）A平行四邊形B.菱形C.矩形

19、D.正方形二、填空題：1已知矩形的面積為8cm, 邊長(zhǎng)為2cm,則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為r2.若一個(gè)正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為2,則它的面枳是.3菱形兩條對(duì)角線之比為3： 4,周長(zhǎng)為20,則面枳是r4菱形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有條5.兩條對(duì)角線的平行四邊形是矩形.三、判斷題（正確的在括號(hào)內(nèi)打“ J”，錯(cuò)誤的在扌舌號(hào)內(nèi)打“X”）（1）一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形（）（2）兩條對(duì)角線垂直且相等的平行四邊形是正方形（）（3）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.（）（4）兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形-（）（5）等邊三角形是中心對(duì)稱圖形（）四、（2006年朝陽(yáng)區(qū)中考模擬題）己知：如圖，正方

20、形ABCD和正方形AEFG請(qǐng)你在圖中已標(biāo)明字母的點(diǎn)中，連結(jié)出兩 條新的相等線段，并證明你的結(jié)論.（1）連結(jié),則=;（2）證明：五、（2006年南寧巾中考題）將圖（1）中的矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開，再把AABC沿著AD方向平移，得到圖(2)中的AECX除厶小。與OBA，全等外你還町以指出哪兒對(duì)全等的三角形(不 能添加輔助線和字母)？請(qǐng)選擇其中一對(duì)加以證明.Ati(1)六、已知：如圖所示，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于0, AC上有一點(diǎn)E,過點(diǎn)A 作AG丄EB于G, AG交BD于F(1) 求證：OE=OF：若點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上，AG丄EB,交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G, AG的延長(zhǎng)線交DB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給以證明；如 果不成立，請(qǐng)