全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法例2、如圖，ABC中，E、F分別在ABAC上，DELDF,D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構(gòu)造全等三角形.2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”法構(gòu)造全等三角形.3）遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1）可以自

2、角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.（2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。4）過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5）截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段

3、的和、差、倍、分等類的題目.6）已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對全等三角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來,例3、如圖，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/BAE.1、以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90，連接deMN別是BGDE勺中點(diǎn).探究：AMTDE勺位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AMIDEE勺位置關(guān)系是,線段AMWDE勺數(shù)量關(guān)系是;（2）將圖中的等腰RtABD繞點(diǎn)a沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0AC,

4、/1=/2,P為AD上任意一點(diǎn)，求證；AB-ACPB-PC2、如圖，AD/BGEA,EB分別平分/DAB,/CBACD過點(diǎn)E,求證;AB=AD+BC應(yīng)用：如圍.在四邊形AllCD中.加少或點(diǎn)且是AB上一個(gè)前點(diǎn).若日二口）祈=附,且，師判斷。十ME號呢的關(guān)系并證明你的結(jié)治.3、如圖，已知在VABC內(nèi),0BAC60,40,P,Q分別在BC,CA上，并且AP,BQ分、平移變換4、如圖，在四邊形 ABCD43, BO BA,AD= CQ BD平分 ABC ,求證： A C 180BC例1 AD為 ABC的角平分線，直線 MNL AD于A.E為MNLh一點(diǎn)， ABC周長記為PA , EBC周長記為PB.

5、求證PB PA.例2如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且 BD=CE 求證：AB+ACAD+AE.A1、如圖，已知在 ABC中，/ B=60 , ABC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE=ODB DE C別是BAC,ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP1、已知四邊形 ABCD 中，AB AD, BC CD, AB BC , / ABC 120, / MBN 60o（1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b ,求AE、BE的長.立,明./MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AD, DC （或它們的延長線）于當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到 AE CF時(shí)（如圖1）,易證

6、AE CF EF .當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE 請給予證明；若不成立，線段CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成AE, CF , EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證2、如圖，ABC中，AD平分/BACDGLBC且平分BC,DHAB于E,DF，AC于F.(圖1)應(yīng)用:1、如圖，OP是/MON勺平分線，請你利用圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC43,/AC超直角，/B=60,ADCE分別是/BAC/BCA勺平分線，ADCE相交于點(diǎn)F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在AB

7、C43,如果/ACM是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。（第23題圖）2、在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)MkN,D為VABC外一點(diǎn)，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：當(dāng)MN分別在直線ABAC上移動時(shí)，BMNGMN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關(guān)系.（I）如圖1,當(dāng)點(diǎn)MN邊ABAC上，且DM=DNf,BMNGMN間的數(shù)量關(guān)系是此時(shí)-;L（II）如圖2,點(diǎn)MN邊ARAC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（III）如圖3,當(dāng)MN分別

8、在邊ARCA的延長線上時(shí)，若AN=X,則Q=（用X、L表示）.五、旋轉(zhuǎn)例1D為等腰(1)(2)RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DMLDN,DM,DN別交當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時(shí)，求證DE=DF若AB=2,求四邊形DECF勺面積。已知，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，/ACB=90,F是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)C,分別過點(diǎn)AB作l的垂線，即ADLCE,B已CE(1)如圖1,當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：ADeACEB(2)如圖2,當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED=BE-AD(3)如圖3,當(dāng)CE在ABC的外部時(shí)，試猜想EQADBE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.已知RtzXABC中，ACBC,/C90

9、,D為AB邊的中點(diǎn)，EDF90,EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB(或它們的延長線)于E、F.1當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DEAC于E時(shí)(如圖1),易證SzxDEFSacef-Saabc.2當(dāng)EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立,不需證明.Sadef、Sacef、SaABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想,F圖1.如圖1,四邊形ABC虛正方形，M是AB延長線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D,且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合)，另一條直角邊與/CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F.如圖141,當(dāng)點(diǎn)E在AB

10、邊的中點(diǎn)位置時(shí)： 通過測量DEEF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是; 連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N,猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是; 請證明你的上述兩猜想.如圖142,當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請你在AD邊上找到一點(diǎn)N,使得NE=BF進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明受數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABC虛正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).AEF900,且EF交正方形外角DCG的平分線CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M,連接ME則AMfEC易證AMEAECF,所以AEEF.在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1)小穎提出

11、：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論AE=EF仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；(2)小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理I如圖14-1,在4ABC中,BC邊在直線l上，AC1BC,且AC=BC.EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.(1)在圖14-1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系

12、；(2)將4EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q連結(jié)AP,BQ猜想并寫出BQWAP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請證明你的猜想；(3)將4EFP沿直線l向左平移到圖14-3的位置時(shí)，EP的延長線交AC的延長線于點(diǎn)Q,連結(jié)AP,BQ你認(rèn)為(2)中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由.1.直線CD過BCA的頂點(diǎn)C,CA=CBE、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且BECCFA(1)若直線C*過如圖1,若如圖2,若BCA0(2)如圖3,若直線量關(guān)系，并給予證明.BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個(gè)問題:90,90,貝UEFB

13、EAF(填“BCA180,若使中的結(jié)論仍然成立，則C*過BCA的外部,BCA,請?zhí)骄縀F、與BCA應(yīng)滿足的關(guān)系BEAF三條線段的數(shù)A(E)C(F)圖14-13.已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合)，以AD為邊作菱形ADEF(A、DE、F按逆時(shí)針排列)，使/DAF=60,連接CF.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BD=CFAC=CF+CD(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD1否成立？若不成立，請寫出AGCF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；.在RtMBC中,AC=BC,/ACB=90,(1)如圖1,E為線段DC

14、上任意一點(diǎn)，點(diǎn)LFC,交直線AB于點(diǎn)H.求證：DG=DC判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明.D是AC的中點(diǎn),DGLAC交AB于點(diǎn)G.F在線段DG上，且DE=DF連結(jié)EF與CF,過點(diǎn)F作FH(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出間存在的數(shù)量關(guān)系.ACCF、CD之(2)若E為線段DC的延長線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上,(1)中的其他條件不變，借助圖2畫出圖形。在你所畫圖形中找出一對全等三角形，并判斷你在小題直接寫出結(jié)論，不必證明)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變.(本（圖2）已知四邊形ABCD中，ABAD,BCCD,ABBC,/ABC120,/MBN60o,/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長線）于E,F.當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)（如圖1）,易證AECFEF.當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE,CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.（2）如圖8,AOAB固定不動，保持AOCD勺形狀和大小不變，將AOC噬著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（AOAB和AOCM能重疊），求/AEB的大小.如圖1,現(xiàn)有一正方形ABCD將三角尺的指直角頂點(diǎn)放在A點(diǎn)處，兩條直角邊也與CB的延長線、DC分別交于點(diǎn)E、F.請你通過觀察、測量