高中數(shù)學(xué)-3.2.3直線的一般式方程課件-新人教a版必修2教學(xué)提綱

1、高中數(shù)學(xué)-3.2.3直線的一般式方程課件-新人教A版必修2課課 前前 熱熱 身身1.在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,對于任何一條直線對于任何一條直線,都有一個表示這都有一個表示這條直線的關(guān)于條直線的關(guān)于x、y的的_;任何關(guān)于任何關(guān)于x、y的二元一的二元一次方程都表示次方程都表示_.方程方程_叫做直線方程的一叫做直線方程的一般式般式.二元一次方程二元一次方程一條直線一條直線Ax+By+C=0(其中其中A B不同時為零不同時為零)2.對于直線對于直線Ax+By+C=0.當(dāng)當(dāng)B0時時,其斜率為其斜率為_,在在y軸上的截距為軸上的截距為_;當(dāng)當(dāng)B=0時時,在在x軸上的截距為軸上的截距為_;當(dāng)當(dāng)A

2、B0時時,在兩軸上的截距分別為在兩軸上的截距分別為_ _. ABCBCACACB名名 師師 講講 解解直線和二元一次方程的關(guān)系直線和二元一次方程的關(guān)系因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中,每一條直線都有傾斜角每一條直線都有傾斜角.(1)當(dāng)當(dāng)90,如右圖所示如右圖所示,直線斜率存在直線斜率存在,方程可寫成方程可寫成y=kx+b,它可變形為它可變形為kx-y+b=0,與二元一次方程一般形式與二元一次方程一般形式Ax+By+C=0比較比較,有有A=k,B=-1,C=b.(2)當(dāng)當(dāng)=90時時,如右圖如右圖,直線斜率不存在直線斜率不存在,其方程可寫成其方程可寫成x=x1,與二元一次方程與二元一次方程Ax

3、+By+C=0比較有比較有A=1,B=0,C=-x1(顯然顯然A B不同時為不同時為0).所以所以,在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,對于任何一條直線有一個表示這對于任何一條直線有一個表示這條直線的關(guān)于條直線的關(guān)于x,y的二元一次方程的二元一次方程.反過來反過來,任何關(guān)于任何關(guān)于x,y的二元一次方程都能表示一條直線嗎的二元一次方程都能表示一條直線嗎?二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0,其中其中A B不同時為不同時為0.(1)當(dāng)當(dāng)B0時時,方程方程可化為可化為y=- ,它表示斜率為它表示斜率為 在在y軸上截距為軸上截距為 的直線的直線(斜截式方程斜截式方程).AC

4、xBB,ABCB(2)當(dāng)當(dāng)B=0時時,由于由于A B不同時為不同時為0,必有必有A0,方程方程可化為可化為x=- 它表示一條與它表示一條與y軸平行或重合的直線軸平行或重合的直線.(3)當(dāng)當(dāng)A=0時時,或或A0時時,同樣可推出方程同樣可推出方程表示直線表示直線.所以在平面直角坐標(biāo)系中所以在平面直角坐標(biāo)系中,任何關(guān)于任何關(guān)于x、y的二元一次方程都的二元一次方程都表示一條直線表示一條直線.綜上可知綜上可知,在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,直線與直線與x、y的二元一次方程的二元一次方程是一一對應(yīng)的是一一對應(yīng)的.由此導(dǎo)出概念由此導(dǎo)出概念,方程方程Ax+By+C=0(其中其中A,B不同時為不同時為0

5、)叫做直叫做直線的一般式方程線的一般式方程.,CA典典 例例 剖剖 析析 題型一題型一 直線與方程直線與方程例例1:求直線求直線l:3x+5y-15=0的斜率以及它在的斜率以及它在x軸軸,y軸上的截距軸上的截距,并畫圖并畫圖.解解:將直線將直線l的方程的方程3x+5y-15=0寫成寫成y=- x+3,因此因此,直線直線l的斜率的斜率k=-在方程在方程3x+5y-15=0中中,當(dāng)當(dāng)x=0時時,y=3;當(dāng)當(dāng)y=0時時,x=5.所以所以,直直線線l在在y軸上的截距為軸上的截距為3,在在x軸上的截距為軸上的截距為5.353.5畫一條直線時畫一條直線時,只要找出這條直線上的任意兩點(diǎn)就可以了只要找出這條直

6、線上的任意兩點(diǎn)就可以了.通通常是找出直線與兩個坐標(biāo)軸的交點(diǎn)常是找出直線與兩個坐標(biāo)軸的交點(diǎn).上面已經(jīng)求得直線上面已經(jīng)求得直線l與與x軸軸,y軸的交點(diǎn)分別為軸的交點(diǎn)分別為(5,0),(0,3),過這兩點(diǎn)作直線過這兩點(diǎn)作直線,就得直線就得直線l,如下圖如下圖.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1:用一般式或斜截式寫出下圖中各條直線的方程用一般式或斜截式寫出下圖中各條直線的方程.解解:(1)x-y+2=0(或或y=x+2);(2)x+y-1=0(或或y=-x+1);(3)x+3y-3=0(或或y=- x+1);(4)x+2y+2=0(或或y=- x-1).1312題型二題型二 直線平行與垂直直線平行與垂直例例2:已知兩

7、條直線方程已知兩條直線方程l1:mx+2y+8=0,l2:x+my+3=0,當(dāng)當(dāng)m為何值時為何值時:(1)兩直線互相平行兩直線互相平行;(2)兩直線互相垂直兩直線互相垂直.分析分析:因?yàn)橹本€方程中因?yàn)橹本€方程中x,y的系數(shù)含有字母的系數(shù)含有字母m,所以要分所以要分m=0和和m0討論解答討論解答.解解:(1)當(dāng)當(dāng)m=0時時,l1:y+4=0,l2:x+3=0,顯然顯然l1與與l2不平行不平行;,213,.13,2.2,4./ ,(,2).mmmmmm 11122212121212m0lkyblkybllkkbb4mmll當(dāng)時的斜率在 軸上的截距的斜率在 軸上的截距且否則兩直線重合即且綜上知 當(dāng)時

8、與 互相平行(2)由由(1)知知,當(dāng)當(dāng)m=0時時,顯然有顯然有l(wèi)1l2;當(dāng)當(dāng)m0時時,若若l1l2,則有則有時時m不存在不存在.綜上知綜上知,當(dāng)當(dāng)m=0時時,l1與與l2互相垂直互相垂直.1()1,2mm 規(guī)律技巧規(guī)律技巧:對于兩直線對于兩直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.有有以下結(jié)論以下結(jié)論:(1)l1l2A1B2-A2B1=0且且A1C2-A2C10(或或B1C2-B2C10).(2)l1l2A1A2+B1B2=0.(3)l1與與l2重合重合A1B2-A2B1=0且且A1C2-A2C1=0(或或B1C2-B2C1=0).變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2:已知三直線已知三

9、直線l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y-1=0,求證求證:l1l2,l1l3.證明證明:把把l1、l2、l3的方程寫成斜截式得的方程寫成斜截式得1231212123131317:;2415:;221:2.2175,242/ .2,1,.lyxlyxlyxkkbbllkk kll 題型三題型三 綜合問題綜合問題例例3:求證求證:不論不論m取什么實(shí)數(shù)取什么實(shí)數(shù),直線直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5總總過某一定點(diǎn)過某一定點(diǎn).分析分析:由題意知由題意知,不論不論m取什么值取什么值,直線總是通過定點(diǎn)直線總是通過定點(diǎn),也就是也就是說與說與m的取值無關(guān)的取值無關(guān),因此

10、可將方程變形為因此可將方程變形為m的方程的方程,令令m的系的系數(shù)為數(shù)為0,解方程組得出定點(diǎn)坐標(biāo)解方程組得出定點(diǎn)坐標(biāo).證明證明:方法方法1:把原方程變形得把原方程變形得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式對于此式對于m的任意實(shí)數(shù)都成立的任意實(shí)數(shù)都成立,x+2y-1=0,x+y-5=0.x=9,y=-4.即直線過定點(diǎn)即直線過定點(diǎn)(9,-4).方法方法2:取取m=1,得得y=-4,取取m= ,得得x=9.把點(diǎn)把點(diǎn)(9,-4)代入直線方程代入直線方程,右邊右邊=(m-1)9+(2m-1)(-4)=m-5=右右邊邊.所以不論所以不論m取什么實(shí)數(shù)取什么實(shí)數(shù),點(diǎn)點(diǎn)(9,-4)總在直線上總在直線上,故

11、該直線過定故該直線過定點(diǎn)點(diǎn)(9,-4).變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3:直線直線l在在y軸上的截距為軸上的截距為2,且與直線且與直線l1:x+3y-2=0垂垂直直,求求l的方程的方程.解解:由由l1的方程的方程x+3y-2=0得得,kl1= ,ll1,l的斜率的斜率kl= =3.又又l在在y軸上的截距為軸上的截距為2,l的方程為的方程為y=3x+2,即即3x-y+2=0.1311lk易錯探究易錯探究例例4:已知直線已知直線l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,當(dāng)當(dāng)l1l2時時,求求m的值的值.錯解錯解:l2的斜率的斜率k2=-由由l1l2,l1的斜率的斜率k1也一定存在也一定存在,由

12、由l1的方程得的方程得k1=由由k1=k2,得得解得解得m=3或或m=-1.m的值為的值為3或或-1.2,3m1,m21,3mm 錯因分析錯因分析:本題出錯的主要原因在于沒有領(lǐng)會兩直線平行的本題出錯的主要原因在于沒有領(lǐng)會兩直線平行的條件條件.兩直線平行時斜率存在則相等兩直線平行時斜率存在則相等,不存在時則它們的斜率不存在時則它們的斜率都不存在都不存在;當(dāng)兩直線的斜率相等時當(dāng)兩直線的斜率相等時,可能平行也可能重合可能平行也可能重合.本題本題的錯解僅求出了的錯解僅求出了k1=k2時時m滿足的條件滿足的條件,而沒有考慮重合的情而沒有考慮重合的情況況.正解正解:方法方法1:l2的斜率的斜率k2= 縱截

13、距縱截距b2=- m.l1l2,l1的斜率必存在的斜率必存在,2,3m2316,.21,/,1,32.3.6mmmmmm 11112m0lkbllm1m即又 的斜率縱截距由得解得的值為方法方法2:由由l1l2A1B2-A2B1=0,且且A1C2-A2C10,得得13-m(m-2)=0,且且12m-6(m-2)0.解得解得m=-1,m的值為的值為-1.技技 能能 演演 練練基礎(chǔ)強(qiáng)化基礎(chǔ)強(qiáng)化1.直線直線y-1=4(x+2)化為一般式方程為化為一般式方程為( )A.4(x+2)-y+1=0 B.y=4x+9C.4x-y+9=0D. 142yx答案答案:C2.直線直線2x-y+3=0化為斜截式方程為化

14、為斜截式方程為( )13.23.222.32.133A yxB xyyC yxDx答案答案:A3.直線直線ax+2y+1=0與直線與直線x+y-2=0互相垂直互相垂直,則則a等于等于( )21.2.133ABCD答案答案:A4.直線直線l的方程為的方程為Ax+By+C=0,若直線若直線l過原點(diǎn)和二過原點(diǎn)和二 四象限四象限,則則( )A.C=0,B0B.A0,B0,C=0C.AB0,C=0解析解析:l過原點(diǎn)過原點(diǎn),C=0.又又l過二過二 四象限四象限,則其斜率小于則其斜率小于0,即即- 0.答案答案:DAB5.直線直線l過點(diǎn)過點(diǎn)P(1,3),且與且與x、y軸正半軸圍成的三角形的面積等軸正半軸圍成

15、的三角形的面積等于于6的直線方程是的直線方程是( )A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0C.3x-y=0D.x-3y+8=0:,1(0,0),a2,b6.,1131.2131.1,26xyababababxylab6ab12l3xy60解析 設(shè)所求直線 的方程為則有且由直線 的方程為即為答案答案:A6.直線直線mx+y-m=0,無論無論m取什么實(shí)數(shù)取什么實(shí)數(shù),它都過點(diǎn)它都過點(diǎn)_.解析解析:將將mx+y-m=0變形為變形為(x-1)m+y=0,令令x=1,得得y=0,直線直線過定點(diǎn)過定點(diǎn)(1,0).(1,0)7.已知直線已知直線(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在在x軸上的截距為

16、軸上的截距為3,則該則該直線在直線在y軸上的截距為軸上的截距為_.解析解析:把把(3,0)代入已知方程得代入已知方程得:(a+2)3-2a=0,a=-6.直線方程為直線方程為-4x+45y+12=0,令令x=0,得得4.15y 4158.直線方程直線方程Ax+By+C=0的系數(shù)的系數(shù)A B C滿足什么條件時滿足什么條件時,這這條直線具有如下性質(zhì)條直線具有如下性質(zhì)?(1)與與x軸垂直軸垂直;(2)與與y軸垂直軸垂直;(3)與與x軸和軸和y軸都相交軸都相交;(4)過原點(diǎn)過原點(diǎn).答案答案:(1)B=0,(2)A=0,(3)AB0,(4)C=0能力提升能力提升9.求滿足下列條件的直線方程求滿足下列條件

17、的直線方程:(1)過點(diǎn)過點(diǎn)A(1,-4),與直線與直線2x+3y+5=0平行平行;(2)過點(diǎn)過點(diǎn)A(1,-4),與直線與直線2x-3y+5=0垂直垂直.解解:(1)直線直線2x+3y+5=0的斜率為的斜率為所求直線和已知直線平行所求直線和已知直線平行,它的斜率也是它的斜率也是 由點(diǎn)斜式得所求方程為由點(diǎn)斜式得所求方程為y+4=- (x-1),即即2x+3y+10=0.2,32,323(2)2x-3y+5=0的斜率為的斜率為 所求直線和已知直線垂直所求直線和已知直線垂直,所以所以所求直線的斜率為所求直線的斜率為 由點(diǎn)斜式方程得由點(diǎn)斜式方程得y+4=- (x-1),即即3x+2y+5=0.2,33,

18、23210.已知已知ABC在第一限在第一限,A(1,1),B(5,1),A=60,B=45, 求求:(1)AB所在直線的方程所在直線的方程;(2)AC和和BC所在直線的方程所在直線的方程;(3)AC,BC所在直線與所在直線與y軸的交點(diǎn)間的距離軸的交點(diǎn)間的距離.分析分析:求求AB的方程時的方程時,先觀察兩點(diǎn)坐標(biāo)易得先觀察兩點(diǎn)坐標(biāo)易得,AC,BC通過畫圖通過畫圖易求其斜率易求其斜率,然后點(diǎn)斜式寫出即可然后點(diǎn)斜式寫出即可.解解:(1)因?yàn)橐驗(yàn)閗AB= =0,所以所以AB所在直線方程為所在直線方程為y=1.(2)kAC=tan60= ,所以所以AC所在直線方程為所在直線方程為y-1= (x-1),即即 x-y+1- =0,又又kBC=tan(180-45)=-tan45=-1,所以所以BC所在直線方程為所在直線方程為y-1=-(x-5),即即x+y-6=0.(3)由直線由直線AC的方程的方程令令x=0,則則1 15 133333130,xy 13.y 由直線由直線BC的方程的方程x+y-6=0,令令x=0,則則y=6.所以兩交點(diǎn)間的距離為所以兩交點(diǎn)間的距離為|6 13 | 53. 品品 味味