勾股定理競(jìng)賽試卷(含解答)

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)勾股定理競(jìng)賽試卷（時(shí)間：120分鐘，總分：120分）、選擇題（每小題5分，共25分）1、4ABC周長(zhǎng)是24,M是AB的中點(diǎn)MC=MA=5,則ABC的面積是（）A.12;B.16;C.24;D.302、如圖，在正方形（ ）ABCD中，N是CD的中點(diǎn)，M是AD上異于D的點(diǎn)，且/NMB=/MBC,貝UAM:AB=A.-;B.;C.-;D.332第（1）題圖第（2）題圖第（3）題圖3、如圖，已知O是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA=1,OB=3,OC=4,那么OD的長(zhǎng)為（2;.3;4、如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=PB=1Q并且P點(diǎn)到CD邊的距離也等于10,那么，正方形ABCD的面積是（A

2、. 200; B. 225; C. 256;D. 150+10 v 25、如圖，矩形最小值為（ABCD 中，AB=20 )A. 12; B.10 . 2 ; C. 16;D. 20BC=10,若在 AB、AC上各取一點(diǎn)這個(gè)二、填空題（每小題5分，共25分）6、如圖， ABC中,AB=AC=2, BC邊上有10個(gè)不同的點(diǎn)R,P2,MiAPi2P BPiC( i1,2,M1 M2M 10 =那P10第（6）題圖7、如圖，設(shè)/MPN=20°,A為OM上一點(diǎn)，OA=4J3,D為ON上一點(diǎn)，OD=8J3,C為AM上任一點(diǎn),B是OD上任意一點(diǎn)，那么折線ABCD的長(zhǎng)最小為第（8）題圖第（7）題圖8

3、、如圖，四邊形ABCD是直角梯形，且AB=BC=2ABPA=1,PB=2,PC=3那么梯形ABCD的面積=9、若x+y=12,那么Jx24JT29的最小值=。10、已知一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且周長(zhǎng)的數(shù)值等于面積的數(shù)值，那么這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為。三、解答題（共70分）11、（本題10分）如圖ABC三邊長(zhǎng)分別是BC=17,CA=18,AB=19,過ABC內(nèi)的點(diǎn)P向4ABC三邊分別作垂線PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27求BD+BF的長(zhǎng)度。12、（本題15分）如圖，在ABC中，AB=2,AC=J3,/A=/BCD=45,求BC的長(zhǎng)及BDC的面積。13、（本題15分）設(shè)a,b,c,

4、d都是正數(shù)。求證：,a2 c2d22cdb2 c2a2 b2 d2 2ad14、（本題15分）如圖,四邊形ABCD 中,/ABC=135 , / BCD=120° , AB=V6 , BC=5-V3 , CD=6,求AD。15、（本題15分）如圖，正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E,E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為<2J6,求此正方形的邊長(zhǎng)。答案一、選擇題1. .C2. A3. B4. C5. C解答：1 .MA=MB=MC=5,/ACB=90°知周長(zhǎng)是24,貝UAC+BC=14AC2+BC2=102,2ACBC=(AC+BC2-(AC2+BC2)=142-102=4X24

5、一1SABCACBC242O,連 TO,則4 BAMA TOB2.如圖，延長(zhǎng)MN交BC的延長(zhǎng)線于T,設(shè)MB的中點(diǎn)為.AM:MB=OB:BTMB2=2AM-BT(1)令DN=1,CT=MD=k,貝UAM=2-k所以BM=.AB2AM24(2k)2BT=2+k代入(1),得4+(2-k)2=2(2-k)(2+k)所以k=3所以AM:AB=2:2=1333 .如圖，過O作EFLAD于E,交BC于F;過O作GHI±DC于G,交AB于H設(shè)CF=x,FB=y,AH=s,HB=x,所以O(shè)G=x,DG=s所以O(shè)F2=OB2-BF2=OC2-CF2即42-x2=32-y2所以x2-y2=16-9=7(

6、1)同理有OH2=12-s2=32-t2所以t2-s2=32-12=8又因?yàn)镺H2+HB2=OB2即y2+t2=9(1) -(2)得(x2+s2)-(y所以O(shè)D2=x2+s2=(y2+12)T=9-1=8所以O(shè)D=224 .如圖，過P作EF，AB于E,交CD于F,貝UPF±CD所以PF=PA=PB=10E為AB中點(diǎn)設(shè)PE=x貝UAB=AD=10+x所以AE=-AB=-(10+x)22在RtAPAE中，PA2=PE2+AE2所以102=x2+(10+X)2所以X=6所以正方形ABCD面積=AB2=(10+6)2=2565 .如圖，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連AB，則N點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N

7、'在AB'上，這時(shí)，B到M到N的最小值等于B-M-N的最小值，等的距離BH',連B與AB'和DC的交點(diǎn)P,貝uSABP=iX20X10=100,ABP2由對(duì)稱知識(shí)，/PAC=/BAC=ZPCA所以PA=PC令PA=x,貝UPC=x,PD=20-x,于B到A B在RtAADP中，PA2=PD2+AD2所以x2=(20-x)2+102所以x=1因?yàn)镾abp=_PABH2所以BH,空金也上16PA12.5二、填空題1 .40;2 .12;3 .生354 24. 13;5. 6,8,10或5,12,13解答:1.如圖，作ADLBC于D,在RtABD和RtAPjD中，AB

8、2=AD2+BD2APi2AD2RD2所以ABAPi2AD2BD2(AD2PiD)2BD2PiD2(BDPD)(BDPD)PiCPiB所以AP2PiCPiBAB24所以Mi4所以M1M2M10401.如圖，作A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A,D關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)D,連結(jié)A,B,CD,，則A'B=AB,c'd=cr從而ab+bc+cd=Ab+bc+cD>a'd'因?yàn)?A,ON=/MON=/MOD,=20°,所以/AOD=60。又因?yàn)镺a,=OA=4a'1'3,OD'=OD=8v1'3,所以O(shè)D'=2OA,即OD'a

9、'為直角三角形，且/OA,d'=90°所以a'd'=.OD'2OA'2(83)2(43)212所以，折線ABCD的長(zhǎng)的最小值是123.如圖，作PMLAB于M,PNLBC于N,設(shè)AB=m,PM=x,PN=y,貝Ux2y24(1)x2(my)21(2)(mx)2y29(3)由(2)、(3)分別得，22-2.一xm2myy1(3)222ym2mxx9(4)將（1）代入（4）得m22my30m23；2m將（1）代入（5）得m22mx50_2m5J2m把x,y的表達(dá)式分別代入（1)得m410m2170因?yàn)閙2>0所以m2=5+2，2所以AB

10、=m,522,BC522,AD152,22所以SABCD1(ADBC)AB32242PC, PD,4 .如圖，AB=12,AC=2,BD=3,且AB±AC,ABXBD,P在AB上且PA=x,PB=y,連在RtACAP和RtDBP中PCAC2PA2x24,PD.BD2PB2,yL9如圖，P點(diǎn)在P0位置時(shí)，PC+PD的值最小，為線段CD的長(zhǎng)度，而B 3 DCD=,(23)212213所以Jx24斤9的最小值為13。5 .設(shè)三邊長(zhǎng)為a,b,c,其中c是斜邊，則有2.22/小abc(1),ababc(3)2(2)代入(1)得a2b2Cabab)2即電(ab4a4b8)024因?yàn)閍bw0所以a

11、b-4a-4b+8=08所以a4(a,b為正整數(shù))b4所以b-4=1,2,4,8,所以b=5,6,8,12;a=12,8,6,5;c=13,10,10,13,所以，三邊長(zhǎng)為6,8,10或5,12,13三、解答題1 .如圖，連結(jié)PA,PBPC,設(shè)BD=x,CE=y,AF=z,貝UDC=17-x,EA=18-y,FB=19z在RtPBD和RtPFB中，有x2PD2(19z)2同理有：y2PE2(17x)2PD2z2PF2(18y)2PE2PF將以上三式相加，得x2y2z2(17x)2(18 y)2 (19 z)2即17x+18y+19z=487又因?yàn)閤+y+z=27，所以x=z-1,所以BD+BF

12、=x+(19-z)=z-1+19-z=182 .如圖，作CE!AB于E,貝UCE=AE=-2AC22所以BE=AB-AE=2-24.6一222又BCCEBE所以BC=CE2BE2,72661再過D作DF,BC,交CB延長(zhǎng)線于F,并設(shè)DF=CF=x貝UBF=x-BC=x+1-.6又RtADFBsRtACEB,r.646所以DF:BF=CEBE,即x：(x+1-6)=223 26所以x=211,c八32696所以SbcdBCDF(61)22242.如圖，構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為(a+b)、(c+d)的矩形ABCD,在RtABE中，BEK,AE2AB2d2 2cd所以BE=,a2一(c在RtBCF中，22BF

13、=.BCCF.(ab)2d2,b2 c222在RtDEF中，EF=jDE2DF2在BEF中，BE+EF>BF即,a2c2d22cd.b2c2,a2b2d22ab3.如圖， 過B作BH AE 于 F,彳CG, AE 于 G過A作AE/BC交CD于E,則/1=45則RtAABF為等腰直角三角形，BCFG為矩形,又因?yàn)锳B=v6,BC=5-J3,所以BF=AF='2AB=3,所以CG=BF=3,所以所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6CE=-；-CG=2,EG=CG=1.33DE=CD-EC=6-2=4過D作DMAE延長(zhǎng)線于M-120°=60°/MED=180°-/AED=180°-/BCD=180°所以EM=1DE=2,DM=-3DE=23在RtAMD中，AD=JAM2DM2,(62)2(23)22195.如圖，以