微積分基本定理的應(yīng)用

1、微積分基本定理的應(yīng)用主編：徐其海 審核：張安永一. 學(xué)習(xí)目標(biāo)1能理解導(dǎo)數(shù)于定積分的內(nèi)在聯(lián)系，掌握微積分基本定理， 根據(jù)定積分的值解釋其幾何意義.2. 會(huì)利用牛頓-萊布尼茲公式和求導(dǎo)公式求最基本初等函數(shù)的定積分3. 會(huì)利用牛頓-萊布尼茲公式和求導(dǎo)公式和定積分的性質(zhì)求一些簡(jiǎn)單初等函數(shù)的定積分二. 重難點(diǎn)1重點(diǎn)：對(duì)于牛頓-萊布尼茲公式的應(yīng)用和理解 2難點(diǎn)：對(duì)于牛頓-萊布尼茲公式的應(yīng)用和理解 .三. 知識(shí)鏈接.1. 牛頓-萊布尼茲公式的理解.一般的，如果f(x)是區(qū)間a,b丨上的連續(xù)函數(shù)，并且F«x) = f (x),那么bf (x)二F (b) - F (a) 這個(gè)結(jié)論叫微積分基本定理，又

2、叫做牛頓-萊布尼茲公式aK(1) 計(jì)算定積分f (x)dx的關(guān)鍵是找到滿足函數(shù)F1 (x)二f (x)的函數(shù)F (x).L a(2) 通常利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和定積分的性質(zhì)求出F (x).如 n (ax2 bx c)dx二"ax2dx "bxdx n cdx，分成各個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)進(jìn)行積分較 mmmm簡(jiǎn)單，求導(dǎo)運(yùn)算和求 F(x)的運(yùn)算是互逆的運(yùn)算.b bb(3) F(b) -F(a)記成 F(x)|b；,即 f (x)dx = F (x)= F (b) - F (a)ab(4) 只有f(x)在區(qū)間la, b 1上連續(xù)，定積分f (x)dx才存在 a(5) 實(shí)際上 F(x)

3、+c(c為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)和 F(x)的導(dǎo)數(shù)相同，故 bf (x)dx可以寫成 aF(b)F(a) c，但結(jié)果與F(b)-F(a)相同，故省略了 c2. 復(fù)合函數(shù)的定積分求復(fù)合函數(shù)的定積分主要依據(jù)定積分的性質(zhì)(1) 有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分，等于各個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和.即fi(x) _ f2(x)-b-fn(x)dx ai bb二 fn(x)dxf|(x)dx 二f2(x)dx 二L aL a(2)常數(shù)因子課題到積分符號(hào)外面，即kf(x)dx=k f (x)dx aL a(3)當(dāng)積分上限于下限交換時(shí)，積分值一定要反號(hào)，即bf(x)dx r-ff(x)dxL a1 bbcb(4) 積分的可加性若 c l

4、a,b】,則有 f(x)dx = i f(x)dx f (x)dx L aL aL c四.導(dǎo)學(xué)過(guò)程1利用微積分基本定理求定積分和求分段函數(shù)的積分(1 )求定積分I x(1 x)dxL4(結(jié)果為45丄)6nsin x,(0 蘭 x 蘭一)2(2)已知函數(shù)f(x)=打,(蘭x2)求這個(gè)函數(shù)在 0,4】上的定積分.(結(jié)果為7)2 2x 1,(2 譽(yù) x 譽(yù)4)2利用函數(shù)圖形的幾何意義進(jìn)行定積分的計(jì)算(當(dāng)原函數(shù)不容易求時(shí))求定積分 3.16，6x-x2dx-2點(diǎn)撥：利用f (x)二16 6x2所表示圖形的幾何意義求解解：設(shè) y .16 6x-x2，即(x -3)2 y2 =25(y -0)3 ,&qu

5、ot;16 6x_x2dx表示在I- 2,3 上的一段與坐標(biāo)軸所圍成的四分之一圓的面積，圓 一2'的半徑為5.J3 Jl6 +6x-x2dx =-225jr4變式訓(xùn)練：利用數(shù)形結(jié)合的思想計(jì)算2 ：'4x2 dx (結(jié)果為 2兀)-2 '五. 知識(shí)歸納、總結(jié)1用定積分定義求定積分是一件很麻煩的事用牛頓-萊布尼茲公式求定積分就簡(jiǎn)單多啦，即b,h要求J f (x)dx，只要找到F (x)= f(x),的一個(gè)F (x)，求出F(x)|：,就可以了aK2. 求定積分f(x)dx，當(dāng)f(x)比較復(fù)雜時(shí)可根據(jù)定積分的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的定積 a分的和差進(jìn)行計(jì)算，但切記不能轉(zhuǎn)化為定

6、積分的積于商進(jìn)行運(yùn)算3. 分段函數(shù)的定積分問(wèn)題，需根據(jù)積分上限、積分下限和分段函數(shù)的臨界點(diǎn)確定被積函數(shù)的 解析式后再分別求出定積分 .六. 當(dāng)堂檢測(cè)5- x1.(e -sin x)dx =(0)A.e-1B.e-2C. e5-3D.e5-45x2 1dx -()A, 8-In58+ ln5,5,52.B,C,16- lnD,16+ ln3 x333323. 2 (sin 2x - cosx) dx =024. J (ex _ Jx)dx =七.針對(duì)性練習(xí)兀1. (cosx 1)dx =()0A. 1B.0C.二 1D.二a12若(2x )dx =3 1 n 2 ,則a的值是（)A.6 B.4C. 3 D. 21x12101112133.|x 4|dx =()ABCD 0333314. (ex e)dx =()1A , e -B,2eC ,2D, e 一丄0eee5.若 a 二 2x2dx,b2x3dx,c 二？sin xdx ,貝U a,b,c 的大小關(guān)系是()0 0 0A a : c : b b a : b ： c C c : b ： a d c : a ： b16.若 o(2x k)d-2，則 k=7已知函數(shù) f (x) =3x2 2x ,1若 f (x)dx = 2f (a)成立，則 -1a=1 2 28.若 0f(x)dx