小學(xué)數(shù)學(xué)八大思維方法

1、目 錄一、逆向思維方法二、對應(yīng)思維方法三、假設(shè)思維方法 四、轉(zhuǎn)化思維方法 五、消元思維方法 六、發(fā)散思維方法 七、聯(lián)想思維方法 八、量不變思維方法 一、逆向思維方法小學(xué)教材中的題目，多數(shù)是按照條件出現(xiàn)的先后順序進(jìn)行順向思維的。逆向思維是不依據(jù)題目內(nèi)條件出現(xiàn)的先后順序，而是從反方向（或從結(jié)果）出發(fā)而進(jìn)行逆轉(zhuǎn)推理的一種思維方式。逆向思維與順向思維是訓(xùn)練的最主要形式，也是思維形式上的一對矛盾，正確地進(jìn)行逆向思維，對開拓應(yīng)用題的解題思路，促進(jìn)思維的靈活性，都會收到積極的效果，解：這是一道典型的“還原法”問題，如果用順向思維的方法，將難以解答。正確的解題思路就是用逆向思維的方法，從最后的結(jié)果出發(fā)，一步步

2、地向前逆推，在逆向推理的過程中，對原來題目的算法進(jìn)行逆向運(yùn)算，即：加變減，減變加，乘變除，除變乘。列式計算為：此題如果按照順向思維來考慮，要根據(jù)歸一的思路，先找出磨1噸面粉序是一致的。如果從逆向思維的角度來分析，可以形成另外兩種解法：不著眼于先求1噸面粉需要多少噸小麥，而著眼于1噸小麥可磨多少列式計算為：由此，可得出下列算式：答：（同上）掌握逆向思維的方法，遇到問題可以進(jìn)行正、反兩個方面的思考，在開拓思路的同時，也促進(jìn)了邏輯思維能力的發(fā)展。二、對應(yīng)思維方法對應(yīng)思維是一種重要的數(shù)學(xué)思維，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的主要內(nèi)容之一。對應(yīng)思維包含一般對應(yīng)和量率對應(yīng)等內(nèi)容，一般對應(yīng)是從一一對應(yīng)開始的。例1 小紅有

3、7個三角，小明有5個三角，小紅比小明多幾個三角？這里的虛線表示的就是一一對應(yīng)，即：同樣多的5個三角，而沒有虛線的2個，正是小紅比小明多的三角。一般對應(yīng)隨著知識的擴(kuò)展，也表現(xiàn)在以下的問題上。這是一道求平均數(shù)的應(yīng)用題，要求出每小時生產(chǎn)化肥多少噸，必須先求出上、下午共生產(chǎn)化肥多少噸以及上、下午共工作多少小時。這里的共生產(chǎn)化肥的噸數(shù)與共工作的小時數(shù)是相對應(yīng)的，否則求出的結(jié)果就不是題目中所要求的解。在簡單應(yīng)用題中，培養(yǎng)與建立對應(yīng)思維，這是解決較復(fù)雜應(yīng)用題的基礎(chǔ)。這是因為在較復(fù)雜的應(yīng)用題里，間接條件較多，在推導(dǎo)過程中，利用對應(yīng)思維所求出的數(shù)，雖然不一定是題目的最后結(jié)果，但往往是解題的關(guān)鍵所在。這在分?jǐn)?shù)乘、

4、除法應(yīng)用題中，這種思維突出地表現(xiàn)在實際數(shù)量與分率（或倍數(shù)）的對應(yīng)關(guān)系上，正確的解題方法的形成，就建立在清晰、明確的量率對應(yīng)的基礎(chǔ)上。這是一道“已知一個數(shù)幾分之幾是多少，求這個數(shù)”的分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題，題中只有20本這唯一具體的“量”，解題的關(guān)鍵是要找這個“量”所對應(yīng)的“率”。如圖：的“率差”，找出“量”所對應(yīng)的“率”，是解答這類題的唯一思考途徑，按照對應(yīng)的思路，即可列式求出結(jié)果。答：書架上原有書240本。如果沒有量率對應(yīng)的思維方法，用20除以而得的不是所對應(yīng)的率，必然導(dǎo)致錯誤的計算結(jié)果。因此，培養(yǎng)并建立對應(yīng)的思維方法，是解答分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題一把寶貴的鑰匙。三、假設(shè)思維方法這是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的一種推

5、測性的思維方法。這種思維方法在解答應(yīng)用題的實踐中，具有較大的實用性，因為有些應(yīng)用題用直接推理和逆轉(zhuǎn)推理都不能尋找出解答途徑時，就可以將題目中兩個或兩個以上的未知條件，假設(shè)成相等的數(shù)量，或者將一個未知條件假設(shè)成已知條件，從而使題目中隱蔽或復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，趨于明朗化和簡單化，這是假設(shè)思維方法的一個突出特點。當(dāng)“假設(shè)”的任務(wù)完成后，就可以按照假設(shè)后的條件，依據(jù)數(shù)量的相依關(guān)系，列式計算并做相應(yīng)的調(diào)整，從而求出最后的結(jié)果來。各長多少米？解答這道題就需要假設(shè)思維方法的參予。如果沒有這種思維方法，將難以找到解題思路的突破口。題目中有兩數(shù)的“和”。而且是直接條件，兩數(shù)的“倍”不僅是間接條件，并且附加著“還”多

6、米的條件，這是一道較復(fù)雜的和倍應(yīng)用題，思考這道題，必須進(jìn)行如下的假設(shè)。是直接對應(yīng)的，至此，就完全轉(zhuǎn)化成簡單的和倍應(yīng)用題。根據(jù)題意，其倍數(shù)關(guān)系如圖：答：第一塊米，第二塊米。電線各長多少米？兩個標(biāo)準(zhǔn)量的分率一旦一致，就可以用共長的米數(shù)乘以假設(shè)后的統(tǒng)一分率，求出假設(shè)后的分量，這個分量與實際米必有一個量差，這個量差與實際的率差是相對應(yīng)的。這樣就可以求出其中一根電線的長度，另一根電線的長度可通過總長度直接求出。列式計算為：長度。列式計算為：答：同上。上述兩種解法都是從率入手的，此題如從量入手也有兩種解法，無論從率從量入手，都需要假設(shè)的思維方法作為解題的前提條件。由此可見，掌握假設(shè)的思維方法，不僅可以增加

7、解題的思路，在處理一些數(shù)量關(guān)系較抽象的問題時，往往又是創(chuàng)造性思維的萌芽。四、轉(zhuǎn)化思維方法在小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用題中，分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題既是重點，又是難點。當(dāng)這類應(yīng)用題的條件中，出現(xiàn)了兩個或兩個以上的不同標(biāo)準(zhǔn)量，從屬于這些標(biāo)準(zhǔn)量的分率，就很難進(jìn)行分析、比較以確定它們之間的關(guān)系。運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思維方法，就可以將不同的標(biāo)準(zhǔn)量統(tǒng)一為一個共同的標(biāo)準(zhǔn)量。由于標(biāo)準(zhǔn)量的轉(zhuǎn)化和統(tǒng)一，其不同標(biāo)準(zhǔn)量的分率，也就轉(zhuǎn)化成統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)量下的分率，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后的數(shù)量關(guān)系，就由復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，由隱蔽轉(zhuǎn)化為明顯，為正確解題思路的形成，創(chuàng)造了必要的條件。培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的思維方法，必須具備扎實的基礎(chǔ)知識，對基本的數(shù)量之間的相依關(guān)系以及量率對應(yīng)等關(guān)系，都

8、能做到熟練地掌握和運(yùn)用，沒有這些作為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化的思維方法就失去了前提。轉(zhuǎn)化的思維方法，在內(nèi)容上有多種類型，在步驟上也有繁有簡，現(xiàn)舉例如下。從題意中可知，求這批貨物還剩下幾分之幾，必須先知道三輛車共運(yùn)走全部的幾分之幾，全部看作標(biāo)準(zhǔn)量“1”，但條件中的標(biāo)準(zhǔn)量卻有三個，“全部”、“甲車”和“乙車”，如果不把“甲車”和“乙車”這兩個標(biāo)準(zhǔn)量，也統(tǒng)一成“全部”這個標(biāo)準(zhǔn)量，正確的思路將無法形成。上面的轉(zhuǎn)化的思維方法，都是分率在乘法上進(jìn)行的，簡稱“率乘”。乙兩人年齡各多少歲？從題目中的條件與問題來分析，這是一道和倍應(yīng)用題，但標(biāo)準(zhǔn)量卻有兩個（甲年齡與乙年齡），不通過轉(zhuǎn)化來統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)量，則無法確定甲乙年齡之間的倍數(shù)

9、關(guān)系。兩人年齡和是60歲，就可以求出甲乙兩人各自的年齡。答：甲36歲，乙24歲。如果把甲乙年齡不同的標(biāo)準(zhǔn)量，通過轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為乙年齡的標(biāo)準(zhǔn)量，把乙齡則是：如果根據(jù)題意畫出線段圖，還可以轉(zhuǎn)化成另外一種思路。倍，通過這個轉(zhuǎn)化，就可以確定甲乙年齡的倍數(shù)關(guān)系。答：甲36歲，乙24歲。如果結(jié)合對圖形中相等部分的觀察，轉(zhuǎn)化一下思維的角度，可以將這道較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)和倍應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為按比例分配的應(yīng)用題。2，有了兩人年齡的“和”，又有了兩人年齡“比”的關(guān)系，按比例分配應(yīng)用題的條件已經(jīng)具備。上述的四種解法，前兩種運(yùn)用了分率轉(zhuǎn)化法，第三種運(yùn)用了倍比轉(zhuǎn)化法，第四種是將原題轉(zhuǎn)化為按比例分配的應(yīng)用題，這幾種思路，在算法上大同小異

10、，在算理上也有難有易，但都有一個明顯的共同點：與轉(zhuǎn)化的思維方法緊密相連。五、消元思維方法在小學(xué)數(shù)學(xué)中，消元的思維方法，也叫做消去未知數(shù)的方法。在一些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的應(yīng)用題里，有時會出現(xiàn)由兩種或兩種以上物品組合關(guān)系所構(gòu)成的問題，而已知條件只給了這幾種物品相互混合后的數(shù)量和總值，如果按照其他的思維方法，很難找到解決問題的線索。這就需要運(yùn)用消元的思維方法，即：依據(jù)實際的需要，通過直接加、減或經(jīng)過乘、除后，再間接加、減的方法，消去其中一個或一個以上未知數(shù)的方法，來求出第一個結(jié)果，然后再用第一個結(jié)果推導(dǎo)出第二個或第三個結(jié)果來。運(yùn)用消元的思維方法，是從求兩個未知數(shù)先消去其中一個未知數(shù)開始的，然后過渡到求三

11、個未知數(shù)，首先消去其中兩個未知數(shù)。例1 有大小兩種西紅柿罐頭，第一次買了2個小罐頭，3個大罐頭，、小罐頭每個各重多少公斤？根據(jù)題目中的條件，排列如下：從條件排列中觀察到：兩次買罐頭的總重量是不一樣的，關(guān)鍵在于兩次買的大罐頭的個數(shù)不一樣，如果用第二次的總重量減去第一次的總重量，所得到的量差與兩次買的大罐頭的個數(shù)差是直接對應(yīng)的。這樣一減，實際上就消去了2個小罐頭的重量，所得的結(jié)果就是（7-3）=4個大罐頭的重量，據(jù)此，可以求出每個大罐頭的重量，有了每個大罐頭的重量，再代入原題中任何一個條件，就可以求出每個小罐頭的重量。列式計算為：例2 食堂買鹽、醬、醋，第一次各買2斤，共付元，第二次買4斤鹽、3斤

12、醬、2斤醋共付元，第三次買5斤鹽、4斤醬和2斤醋，共付元，求每斤各多少元？根據(jù)第三次和第二次所買的物品數(shù)量，醋的斤數(shù)一樣，兩次付出錢數(shù)相減，就把醋消去了。所得的結(jié)果就是兩次鹽、醬斤數(shù)差所對應(yīng)的錢數(shù)?？紤]到第一次各買2斤付出元，用元除以2，所得的元，正是各買1斤應(yīng)付的錢數(shù)。再用元減去1斤鹽、1斤醬的元，就可求出1斤醋的價錢。每斤醋的價錢已求出，再想辦法消去鹽和醬，如果先消去醬，可用：元×（元），這元是3斤鹽和3斤醬的價錢和，再用第二次共付的（×2）（元），這元是消去2斤醋的價錢，也就是4斤鹽、3斤醬的價錢之和，由于元里也有3斤醬的價錢，這兩個數(shù)相減，即可求出每斤鹽的價錢。如果

13、求出每斤醋的價錢后，也可以先消去鹽，即用：×（元），這是4斤鹽與4斤醬的價錢和。然后按上述求出4斤鹽與3斤醬的價錢和（元），即可求出每斤醬的價錢。如下式：通過以上兩例說明：解答上面這類應(yīng)用題，按照一般的常規(guī)思路，會感到不得其門而入。運(yùn)用消元的思維方法，就會發(fā)現(xiàn)解答上面這類題的規(guī)律。由于解題步驟和分析消元的角度上，不是唯一的，因此，消元的思維方法也會促進(jìn)整個思維的發(fā)散性。小學(xué)數(shù)學(xué)中的消元思維方法與中學(xué)代數(shù)中的消元法是一致的，所不同的是小學(xué)數(shù)學(xué)中的消元沒有字母，都是具體的數(shù)量。六、發(fā)散思維方法發(fā)散的思維方法，是依據(jù)題目中的條件與條件、條件與問題的相依關(guān)系，從不同的角度去分析，從不同的途徑

14、去思考，在推理中尋求正確的答案，在比較中選擇最佳思路，從而使學(xué)生的求異思維得到鍛煉和發(fā)展。求同思維是求異思維的前提，沒有求同就沒有真正的求異，或者說就沒有真正的發(fā)散，但求異思維不是求同思維的自然發(fā)展，重要的是教師有計劃、有重點地進(jìn)行發(fā)散思維方法的培養(yǎng)。讓學(xué)生在“同中求異”和“異中求同”，使求同思維與求異思維協(xié)同配合，做到培養(yǎng)中的同步發(fā)展。是一個正確答案，卻是從不同角度進(jìn)行發(fā)散思維的結(jié)果。出1300公斤。倍，小數(shù)點向右移動三位，結(jié)果是1300公斤。上述的三種思路，其與舊知識的聯(lián)系不盡相同，所以形成了不同的發(fā)散加的方法，實際上在運(yùn)算中使用了乘法的分配律。思路是用求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾又幾分之幾倍的

15、分?jǐn)?shù)乘法則來進(jìn)行計算的。思路是先將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，然后在乘法中，根據(jù)小數(shù)點移位所引起的小數(shù)大小變化的規(guī)律，從而簡便、準(zhǔn)確、迅速地求出結(jié)果。例2 當(dāng)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題學(xué)完后，可通過變直接條件為間接條件的表述，來進(jìn)行發(fā)散思維方法的培養(yǎng)。甲儲蓄80元，乙儲蓄50元。如果把乙儲蓄的這個直接條件改為間接條件，并用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)的形式進(jìn)行表述，可能有幾種表述方式：如果把甲儲蓄的錢數(shù)轉(zhuǎn)化為間接條件，仍用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)的形式進(jìn)行表述，可有以下幾種表述方式：類似的表述方法還有多種，解答步驟也會由簡到繁。由此可見，發(fā)散思維方法的形成，對于應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系或量率關(guān)系，能夠進(jìn)行多角度、多側(cè)面的發(fā)散性思考，這種自覺習(xí)慣的養(yǎng)

16、成，將是一種寶貴的思維品質(zhì)。七、聯(lián)想思維方法聯(lián)想思維方法是溝通新舊知識的聯(lián)系，在處理新問題的數(shù)量關(guān)系時，能夠?qū)σ颜莆盏呐f知識與新問題之間，產(chǎn)生豐富的聯(lián)想，并運(yùn)用知識的正遷移規(guī)律，變換審題的角度，使問題得到更順利、更簡捷的解決。例如：當(dāng)學(xué)完分?jǐn)?shù)和比例應(yīng)用題后，下面的一組數(shù)量關(guān)系，就可以顯示聯(lián)想思維方法在開闊思路上的作用。行駛一段路程，甲車與乙車速度的比是54。甲車與乙車的速度比是54，甲車與乙車所用的時間比就是45。這是依據(jù)速度與時間成反比關(guān)系而聯(lián)想出來的。如果原題的后面條件是給了甲（或乙）行完全路的時間，按原來速度比去思考，此題將是反比例應(yīng)用題，通過聯(lián)想，將速度比轉(zhuǎn)化為時間比，此題便由反比例應(yīng)

17、用題轉(zhuǎn)化為正比例應(yīng)用題。是依比與除法關(guān)系聯(lián)想的結(jié)果。如果原題條件的后面給了乙車的速度求甲車速度是多少，就可以用求一個數(shù)幾又幾分之幾倍的方法，將原題的正比例應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用題。如果原題給了甲車的速度去求乙車的速度，就可以用已知一個數(shù)的幾又幾分之幾倍是多少，求這個數(shù)的方法，將原題轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)除法的應(yīng)用題。依據(jù)分?jǐn)?shù)與比的關(guān)系聯(lián)想的結(jié)果。如果后面給了甲車速度，求乙車速度，則轉(zhuǎn)化成求一個數(shù)幾分之幾是多少的乘法應(yīng)用題；反之，則轉(zhuǎn)化成已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)的除法應(yīng)用題。在比與除法關(guān)系的基礎(chǔ)上，聯(lián)想到求一個數(shù)比另一個數(shù)多幾分之幾。乙車速個差率直接對應(yīng)，那么，用分?jǐn)?shù)除法就可以直接求出乙車的

18、速度。是依據(jù)求一個數(shù)比另一個數(shù)少幾分之幾而聯(lián)想出來的。甲車作為標(biāo)準(zhǔn)量，如除法可求出甲車的速度。根據(jù)甲車與乙車速度的比是54，則甲乙兩車的速度和為（5+4）據(jù)按比例分配應(yīng)用題所進(jìn)行的聯(lián)想。如果原題后面給出兩車速度和是多少的條件，就可以用分?jǐn)?shù)乘法分別求出甲車和乙車的速度。根據(jù)甲車與乙車速度的比是54，在速度與時間成反比的基礎(chǔ)上，聯(lián)想到甲車與乙車的時間比是45，并由此聯(lián)想出甲車每小時行完全路的出發(fā)，相向而行，求中途的相遇時間，那么，把全路作為標(biāo)準(zhǔn)量，這道題又轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的工程問題。從上例可以看出：聯(lián)想的面越廣，解題思路就越寬，解題的步驟也就會越加準(zhǔn)確和敏捷。由此可見，聯(lián)想思維方法所帶來的效益，不僅可以

19、促進(jìn)學(xué)生思維力的發(fā)展，也可以直接、有效地提高解答應(yīng)用題的能力。實踐證明：聯(lián)想思維方法往往是創(chuàng)造性思維的先導(dǎo)。八、量不變思維方法在一些較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，每個量的變化都會引起相關(guān)聯(lián)的量的變化，就如同任何一個分量的變化都會引起總量變化一樣，這種數(shù)量之間的相依關(guān)系，常常出現(xiàn)以下情況：即在變化的諸量當(dāng)中，總有一個量是有恒的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有了量不變的思維方法，就能在紛繁的數(shù)量關(guān)系中，確定不變量，理順?biāo)鼈冎g的關(guān)系，理清解題的思路，從而準(zhǔn)確、迅速地確定解答的步驟與方法。運(yùn)用量不變思維方法，處理應(yīng)用題時，大體上有以下三種情況：（1）分量發(fā)生變化，總量沒有變。（2）總量發(fā)生變化，但其中的分量沒有變。（3）總量和分量都發(fā)生了變化，但分量之間的差量沒變。因此，要結(jié)合題目內(nèi)容，區(qū)別不同情況，做出具體的分析