大學(xué)物理機械振動與機械波

1、2.掌握振動和波的關(guān)系、波的相干條件、疊加原理、駐波的形成條件、駐波的振幅、相位和能量的空間分布，半波損失。 3.學(xué)會建立波動方程。教學(xué)難點 多自由體系的小振動第十一章 機械振動振動是指物體或系統(tǒng)在其平衡位置附近的往復(fù)運動。(例子：物體位置、電流強度、電壓、電場強度、磁場強度等)。物體或系統(tǒng)質(zhì)點數(shù)是無窮的，自由度數(shù)也是無窮的，因此存在空間分布和時間分布，需要用偏微分方程描述(如果一個微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或未知函數(shù)與幾個變量有關(guān)，而且未知函數(shù)對應(yīng)幾個變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。例如弦包含很多的質(zhì)點，不能用質(zhì)點力學(xué)的定律研究，但是可以將其細分成若干個極小的小段，每小段可

2、以抽象成一個質(zhì)點，用微分的方法研究質(zhì)點的位移，其是這點所在的位置和時間變量的函數(shù)，根據(jù)張力，就可以建立起弦振動的偏微分方程)。一、簡諧振動(單自由度體系無阻尼自由小振動)雖然多質(zhì)點的振動要用偏微分方程描述，但是我們可以簡化或只考慮細分成的每一小段，那么就成為單質(zhì)點單自由度(只需一個坐標(biāo)變量)的振動。(振幅)、(初相位)都是積分常數(shù)，為倔強系數(shù)。在微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為這個方程的階。形如的方程為線性方程，其特點是它關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的。若，則稱為齊次的線性方程。二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法：由按周期定義，同時滿足以上兩方程的的最小值應(yīng)為，所以，于是，稱為圓頻

3、率或角頻率。不像、，由初始條件決定，由固有參量和決定，與初始條件無關(guān)，故稱為振子的固有頻率。簡諧振動的狀態(tài)的物理量位置和速度隨時間變化，但只要相同，振動的狀態(tài)就相同，所以是決定振動狀態(tài)的物理量，稱為位相。是位相的變化速率，單位是弧度/秒。由于復(fù)數(shù)平面上任一點對應(yīng)一個矢量，還可以用一個旋轉(zhuǎn)矢量來描述簡諧振動。在相空間中，簡諧振動由一條橢圓曲線所描述：位移和動量 滿足橢圓方程 舉例：單擺的擺動彈簧振子和單擺都是在彈性力或準(zhǔn)彈性力作用下作簡諧振動的保守系統(tǒng)，稱為諧振子。由于彈性力是保守力，簡諧振動中機械能是守恒的，于是振動的合成與分解同方向、同頻率的兩簡諧振動的合成(矢量法)I.則，即當(dāng)兩分振動的相

4、位差為的偶數(shù)倍時，合振動的振幅為兩分振動振幅之和。II.則，即當(dāng)兩分振動的相位差為的奇數(shù)倍時，合振動的振幅為兩分振動振幅之差。III.為一般值，則。同方向、不同頻率的兩簡諧振動的合成(三角函數(shù)法)參見拍振動方向垂直的兩諧振動的合成(三角法、計算機法)若頻率比為簡單整數(shù)比，則合成曲線是穩(wěn)定的封閉的，運動也具有周期性，其軌跡稱為李薩如圖形。I. 若，則II. 若III. 若IV. 若二、單自由度體系的小振動單自由度指只需要一個坐標(biāo)就可以確定系統(tǒng)的位置。1. 自由振動勢能在平衡位置附近展開得第一項為常數(shù)，可取為勢能的零點。因在穩(wěn)定平衡位置勢能取駐值(導(dǎo)數(shù)為0的點稱為函數(shù)的駐點，在駐點取得的函數(shù)值為駐

5、值，而極值點是指函數(shù)在鄰域)內(nèi)，是函數(shù)的最大值或最小值)，第2項中的一階導(dǎo)數(shù)為零。記得 考慮到對穩(wěn)定約束，根據(jù)，可得動能于是拉氏函數(shù)。代入拉氏方程得其中為振動頻率。上述方程有自由振動解：。為振幅，為初相位。附注：拉格朗日方程(1-1)(1-2)如果討論是“保守力系”(指力學(xué)系統(tǒng)中的力所作之功，僅與起末位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。具有此性質(zhì)的力場，一定可以引入一位置函數(shù)，而此力所作之功為，按功與路徑無關(guān)的性質(zhì)，應(yīng)為一全微分，兩式比較得，由此得到(1-6)于是，由(1-1)得引入拉格朗日函數(shù)，可將(1-6)式寫成(1-7)將方程(1-7)的直角坐標(biāo)換成廣義坐標(biāo)，即得描述具有個自由度系統(tǒng)的拉氏方程。

6、2. 阻尼振動當(dāng)速度不大時，阻力與速度的一次方成正比，方向相反，即運動方程變?yōu)?，?1-8)其中，令，代入(1-8)，得，解出，其中(因為阻尼系數(shù)通常很小)。于是(1-9)當(dāng)存在阻尼時，解是隨時間減小的。3. 受迫振動若系統(tǒng)除存在阻尼外，還有固有性外力(策動力)，則運動方程變?yōu)?即 (1-10)其中，式(1-10)的通解可寫成一個特解與相應(yīng)的齊次方程的通解(1-9)之和。后者隨時間衰減，逐漸趨向于零。其特解試探形式為代入(1-10)得可解得當(dāng)時，發(fā)生共振，振幅為。舉例1：弦振動方程弦上取一段微元，在任一時刻這一段弦所受諸力應(yīng)當(dāng)平衡，即張力+慣性力+外力=0。慣性力：外力：，均為中的點。張力：慣

7、性力和外力均垂直于軸，故張力在方向的投影的代數(shù)和為零。，是張力的方向與水平方向的夾角張力在軸方向的分量為于是兩端除以，并令，即得舉例2：平面電磁波的波動方程麥克斯韋方程組及電流連續(xù)性方程。同理第一個方程指時變磁場激發(fā)感應(yīng)電場和自由電荷激發(fā)庫侖電場。第二個方程指磁場強度沿閉合路徑的線積分等于該路徑所包圍的電流(傳導(dǎo)電流的代數(shù)和)，對靜態(tài)場，它化為安培環(huán)路定律。此方程也表明磁場存在著漩渦源。第三個方程的包括庫侖電場，也包括感應(yīng)電場，感應(yīng)電場不是起源于電荷，取，從而得，是無散場。三、多自由度體系的小振動自由振動將在平衡位置展開，只保留零階項，并記于是體系的拉氏函數(shù)為代入拉氏方程，得(因為是相互作用的

8、)寫成矩陣形式為：(1-11)設(shè)(1-11)有形式解代入式(1-11)得，即(1-12)這是一個關(guān)于的線性齊次方程組，稱為本證方程。它具有非零解的條件是系數(shù)行列式為零，即(1-13)該方程稱為本證值方程，從它可解出個，可以證明它們?nèi)钦?。對每個，存在兩個頻率值，所以解可寫成或考慮方程(1-13)解得個非負值就行了。將它們依次記為，并稱之為簡正頻率。對每一個簡正頻率，可從方程(1-12)解出一組振幅，它們對應(yīng)于一組廣義坐標(biāo)的解或簡記為(1-14)如果把看作是維笛卡爾坐標(biāo)空間中的矢量，則可以引入它們以(或)為度規(guī)矩陣的內(nèi)積和矢量的長度與對應(yīng)的單位矢量為可以證明，總可適當(dāng)選取矢量，使它們彼此正交，

9、即相應(yīng)的單位矢量是正交歸一的，即其中為克龍尼克(Kroneck)記號。方程(3-11)的通解為各頻率成分(3-14)的線性疊加，即(1-15)引入簡正坐標(biāo)每個簡正坐標(biāo)以單一的簡正頻率振蕩。于是方程(1-15)可寫成矩陣形式可簡記為，即廣義坐標(biāo)與簡正坐標(biāo)相差一線性變換?？梢宰C明矩陣使矩陣和同時對角化根據(jù)以上兩式，體系的動能和勢能可分別寫成于是拉氏函數(shù)代入拉氏方程，得其中為簡正頻率。上面的方程表明若一開始就采用簡正坐標(biāo)，則運動方程是退耦的。第十二章 機械波聲波需要介質(zhì)才能傳播，真空中不能傳播聲波；電磁波卻可以在真空中傳播；光即具有粒子性也有波動性。雖然各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，即它

10、們都有類似的波動方程。機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機械波，波分為橫波(transverse wave)和(longitudinal wave)。聲波是縱波，又稱疏密波；琴弦波、電磁波(電場、磁場和波的傳播方向互相垂直)是橫波。橫波和縱波的形成條件：振源+彈性介質(zhì)1. 沿直線傳播的簡諧波對于質(zhì)點很多的多自由度體系，或者單質(zhì)點多自由度，未知函數(shù)是多個變量的函數(shù)，需要用偏微分方程來描述波動方程。沿軸正方向傳播的平面簡諧波，如圖所示，在原點處有一質(zhì)點作簡諧振動，方程為沿軸正方向上取一點，它距點的距離為，當(dāng)振動從點傳播到點時，點在時刻的位移為2. 平面波和球面簡諧波若在空間的任一方向傳播的平面波，則。

11、平面波的等相位面是一個平面，故稱平面波，等相位面又稱波陣面。波陣面上任一點處的相位應(yīng)與點的相位相同，而點與點的相位差為，球面波可表示為它的振幅隨球面半徑增大而減小。3. 簡諧波的波動方程(1).沿直線傳播的波動方程分別對關(guān)于和的偏導(dǎo)數(shù)(2).平面簡諧波波動方程4. 疊加原理設(shè)有兩列波，一個沿軸傳播，一個沿軸傳播，它們在某點相遇，波的疊加原理指出：(1).除相遇外，各點的振動仍由上式給出。(2).在相遇點，幾列波互不影響，各自給出自己的一份貢獻，使該點作合成運動。若對幾列波給予一定的條件，可使得疊加結(jié)果簡單(幾列簡諧波在相遇點合成仍為諧振動)、穩(wěn)定(相遇點的振幅不隨時間變化)。疊加原理并不是普遍

12、成立的，只有當(dāng)波的強度較小時，它才正確。這些條件是幾列波振動方向相同。幾列波的頻率相同。幾個波源的相位差恒定。上述特殊條件下的疊加稱為“相干疊加”或“干涉”。對于以上參與合成的幾列波所加的條件稱為“相干條件”。令令 可以通過矢量的加法來求得：注：波長或相位波長是指波在一個振動周期內(nèi)沿波的傳播方向傳播的距離?；蛘哒f波在傳播方向上空間相位變化所經(jīng)歷的距離。5. 駐波在同一介質(zhì)中兩列頻率、振動方向相同，而且振幅也相同的簡諧波，在同一直線上沿相反方向傳播時就疊加形成駐波。駐波方程：(1) 振幅的空間分布波腹：波腹間距：波節(jié)：波節(jié)間距：(2) 相位的空間分布在某一時刻，是確定的，因此相位由的符號確定。在波節(jié)兩側(cè)的點振動相位相反，而在相鄰兩個波節(jié)之間各個點振動相位相同。(3) 能量的空間分布單列直線波單位時間穿過固定點的能量密度，對于駐波有無論在波節(jié)點和波腹點，都有。6. 半波損失當(dāng)反射波相對于入射波有的相位突變的現(xiàn)象稱為半波損失