測量平差第一章

1、測量平差測量平差 v中國礦業(yè)學(xué)中國礦業(yè)學(xué)v高等學(xué)校高等學(xué)?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材測測 量量 平平 差差主講主講 張書畢張書畢高等學(xué)校高等學(xué)?！笆晃迨晃濉币?guī)劃教材規(guī)劃教材前前 言言 測量平差測量平差是測繪工程專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課是測繪工程專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，同時又是后續(xù)其他課程的基礎(chǔ)，根據(jù)多年的之一，同時又是后續(xù)其他課程的基礎(chǔ)，根據(jù)多年的教學(xué)與實踐我們編寫了本書。全書共分教學(xué)與實踐我們編寫了本書。全書共分8章，第一章，第一章介紹了章介紹了誤差及其傳播誤差及其傳播，第二章介紹了，第二章介紹了平差數(shù)學(xué)模平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理型與最小二乘原理，第三章介紹了，第三章介紹了條件平差

2、的原理條件平差的原理和方法和方法，第四章介紹了，第四章介紹了間接平差的原理和方法間接平差的原理和方法，第，第五章介紹了五章介紹了附有限制條件的條件平差附有限制條件的條件平差，第六章介紹，第六章介紹了了誤差橢圓誤差橢圓，第七章介紹了，第七章介紹了誤差分布與平差參數(shù)的誤差分布與平差參數(shù)的統(tǒng)計假設(shè)檢驗統(tǒng)計假設(shè)檢驗，第八章介紹了，第八章介紹了近代平差理論近代平差理論。各章。各章后均附有習(xí)題。后均附有習(xí)題。 一、閉合水準(zhǔn)路線近似平差一、閉合水準(zhǔn)路線近似平差(復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):測量學(xué)上用的近似平差測量學(xué)上用的近似平差)（1）閉合路線）閉合路線已知A點高程：227.043m1l 2=0.4kmh2=+3.265ml

3、 1=0.5kmh1=+5.693ml 3=0.3kmh3=-2.306ml 4=0.6kmh1=-6.632m23A解：按照下列步驟計算：解：按照下列步驟計算：（1）計算閉合差）計算閉合差fh=h=5.693+3.265-2.306-6.632=0.020m=20mmfh允允=40(L)1/2= 40(1.8)1/2 = 54mmfh fh允允,其精度符合要求。其精度符合要求。（2）計算改正數(shù)和改正后高差）計算改正數(shù)和改正后高差改正數(shù)改正數(shù)vi=-(fh /L)li=-11.1 li改正后高差改正后高差=實測高差實測高差+改正數(shù)改正數(shù)如：如：v1=-11.10.5=-5.6mm-0.006m

4、第一段改正后高差：第一段改正后高差：5.693-0.006=5.687m同理，計算其它各段。同理，計算其它各段。（3）計算各點高程）計算各點高程H1=HA+h1+v1=227.043+5.693-0.006 =232.730(m)H1=232.730mH2235.991mH3=233.682mHA=227.043m二、附合水準(zhǔn)路線近似平差二、附合水準(zhǔn)路線近似平差 (復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):測量學(xué)上用的近似平差測量學(xué)上用的近似平差)調(diào)整圖所示的附合水準(zhǔn)路線的觀測成果，并求出各點的調(diào)整圖所示的附合水準(zhǔn)路線的觀測成果，并求出各點的高程。高程。AB123+2.331m2 .1Km+2.814m-2 .244m+1.

5、430m1.6Km1.7Km2 .0KmHA=45 .286mHB=49.579m參考答案：閉合差參考答案：閉合差:fh=+0.038m, 路線總長路線總長L=7.4km,每公里改正每公里改正-0.005m 各段改正數(shù)：各段改正數(shù)：v1=-0.008m, v2=-0.011m, v3=-0.009m, v4=-0.010m各點最終高程：各點最終高程：H1=47.609m, H2=50.412m, H3=48.159m,檢核檢核HB=49.579m1 1、繪制計算草圖，在圖上填寫已知數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)。、繪制計算草圖，在圖上填寫已知數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)。2 2、角度閉合差、角度閉合差(angle clos

6、ing error)(angle closing error)的計算與調(diào)整。的計算與調(diào)整。（1 1）計算角度閉合差：）計算角度閉合差： = =測測- -理理 = = 測測-(n-2)-(n-2) 180180（2 2）計算限差：）計算限差：nf40允三、閉合導(dǎo)線近似平差三、閉合導(dǎo)線近似平差(復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):測量學(xué)上用的近似平差測量學(xué)上用的近似平差)115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A148484343

7、1818 A A 1 1 2 2 3 3 4 411211222222424979703030000105105171706061011014646242412312330300606（3）若在限差內(nèi)，則平均分配原則，計算改正數(shù)： 115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 411211222222424979703030000105105

8、171706061011014646242412312330300606nfV Vii3、按新的角值，推算各邊坐標(biāo)方位角。 4 4、按坐標(biāo)正算公式，計算各邊坐標(biāo)增量。、按坐標(biāo)正算公式，計算各邊坐標(biāo)增量。5 5、坐標(biāo)增量閉合差、坐標(biāo)增量閉合差(closing error in coordination (closing error in coordination increment)increment)計算與調(diào)整計算與調(diào)整 115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=5

9、36.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 411211222222424979703030000105105171706061011014646242412312330300606115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 4112112222224249

10、79703030000105105171706061011014646242412312330300606（1 1）計算坐標(biāo)增量閉合差）計算坐標(biāo)增量閉合差：導(dǎo)線全長相對閉合差導(dǎo)線全長相對閉合差(relative length closing error of (relative length closing error of traverse):traverse): 導(dǎo)線全長閉合差導(dǎo)線全長閉合差: : 測理測測理測yyyfxxxfyx22yxfff*/*1DfK（2）分配坐標(biāo)增量閉合差。 若若K1/2000K1/2000（圖根級），則將（圖根級），則將f fx x、f fy y以相反符號，按以

11、相反符號，按邊長成正比分配到各坐標(biāo)增量上去。并計算改正后的坐標(biāo)邊長成正比分配到各坐標(biāo)增量上去。并計算改正后的坐標(biāo)增量。增量。 115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 411211222222424979703030000105105171706061011014646242412312330300606iyyiixxiDDfVDDfVy

12、iixiiVxyVxx6 6、坐標(biāo)計算、坐標(biāo)計算根據(jù)起始點的已知坐標(biāo)和經(jīng)改正的新的坐標(biāo)增量，來依根據(jù)起始點的已知坐標(biāo)和經(jīng)改正的新的坐標(biāo)增量，來依次計算各導(dǎo)線點的坐標(biāo)。次計算各導(dǎo)線點的坐標(biāo)。 12121212yyyxxx115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 4112112222224249797030300001051051717060

13、61011014646242412312330300606K = = D1400012000 例題：閉合導(dǎo)線坐標(biāo)計算表點號轉(zhuǎn)折角 (右) 改正后轉(zhuǎn)折角 方向角 邊 長 D(米) 坐 標(biāo)增量(米)X Y改 正 后增量(米)X Y坐標(biāo)(米) X Y點號A A1 12 23 34 4A A1 1 97 03 00105 17 06101 46 24123 30 06112 22 24+12+12 +12+12+1248 43 18 131 40 06 206 22 48 284 36 12 341 05 54 48 43 18 485.47 +0.09 -0.08x = +0.09y =0.08=

14、x + y =0.120 539 59 00 理理=5400000 = 測測理理=60 容容=405 =89 540 00 0097 03 12105 17 18101 46 36123 30 18112 22 36115.10 100.09 108.32 94.38 67.58+75.93-66.54-97.04+23.80+63.94+86.50+74.77-48.13-91.33-21.89-2-2-2-2-1+2+2+2+1+1612.18545.62448.56472.34415.26490.05441.94350.621234A A536.27536.27328.74328.74A

15、 A+75.91-66.56-97.06+23.78+63.93+86.52+74.79-48.11-91.32-21.880 0 四、例題：附合導(dǎo)線的計算(復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):測量學(xué)上用的近似平差測量學(xué)上用的近似平差)124.08124.08164.10164.10208.53208.5394.1894.18147.44147.44 ABAB CDCDX XB B=1230.88=1230.88Y YB B= 673.45= 673.45X XC C=1845.69=1845.69Y YC C=1039.98=1039.984343171712124 4161600001801801313363617

16、81782222303019319344440000181181131300002042045454303018018032324848B1234CA AB B5 56 67 7C CD D8 8(1)(1)繪制計算草圖繪制計算草圖, ,在表內(nèi)填寫已知數(shù)據(jù)和在表內(nèi)填寫已知數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)觀測數(shù)據(jù)(2)(2)角度閉合差的計算與調(diào)整角度閉合差的計算與調(diào)整(3)(3)各邊方向角的推算各邊方向角的推算(4)(4)坐標(biāo)增量閉合差的計算與調(diào)整坐標(biāo)增量閉合差的計算與調(diào)整(5)(5)推算各點坐標(biāo)。推算各點坐標(biāo)。 圖表：附合導(dǎo)線坐標(biāo)計算表點號轉(zhuǎn)折角 (右) 改正后轉(zhuǎn)折角 方位角 邊 長 D(米) 坐 標(biāo)增量(米)

17、X Y改 正 后增量(米)X Y坐標(biāo)(米) X Y點號A AB B5 56 67 78 8C CD D180 13 36178 22 30193 44 00181 13 00204 54 30180 32 48124.08164.10208.53 94.18 147.44B B5 56 67 78 8C C1230.88 673.451845.691039.98+8+8+8+8+8+8180 13 44178 22 38193 44 08181 13 08204 54 38180 32 561119 01 1243 17 12 4 16 00 43 03 28 44 40 50 30 56 4

18、2 29 43 34 4 48 56 +90.66+116.68+178.85+81.79+146.92+84.71+115.39+46.70+107.23+12.38738.33+614.90 +366.41+614.81 +366.53x = +0.09y =0.12= x + y =0.150-2-2-2-1-2+2+3+3+2+2+12-9+90.64+116.66+178.83+81.78+146.90+84.73+115.42+107.26+46.72+12.40+614.81+366.531321.521438.181617.011698.79758.18873.60980.86

19、1027.581119 00 24 理理=11190112 = 測測理理=48 容容=406 =98K = = D1490012000水準(zhǔn)網(wǎng)水準(zhǔn)網(wǎng)導(dǎo)線往導(dǎo)線往？嚴(yán)密平差！嚴(yán)密平差！第一章第一章 觀測誤差及其傳播觀測誤差及其傳播v1-1 概述概述v測量平差的基本任務(wù)是處理一系列帶有偶然誤差的測量平差的基本任務(wù)是處理一系列帶有偶然誤差的觀測值，求出未知量的最可靠值（也稱為平差值、觀測值，求出未知量的最可靠值（也稱為平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并評最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并評定測量成果的精度。解決這兩個問題的基礎(chǔ)，是要定測量成果的精度。解決這兩個問題的基礎(chǔ)，是要研

20、究觀測誤差的理論，簡稱誤差理論。本章主要介研究觀測誤差的理論，簡稱誤差理論。本章主要介紹紹偶然誤差的規(guī)律性偶然誤差的規(guī)律性、衡量精度的指標(biāo)衡量精度的指標(biāo)、協(xié)方差傳協(xié)方差傳播律播律、權(quán)的定義以及測量中常用的定權(quán)方法權(quán)的定義以及測量中常用的定權(quán)方法等。等。1-2 觀測誤差及其分類觀測誤差及其分類v當(dāng)對某量進(jìn)行重復(fù)觀測時，我們常常發(fā)現(xiàn)觀測值之當(dāng)對某量進(jìn)行重復(fù)觀測時，我們常常發(fā)現(xiàn)觀測值之間往往存在一些差異。例如，對同一段距離重復(fù)丈間往往存在一些差異。例如，對同一段距離重復(fù)丈量若干次，量得的長度通常是互有差異的。另一種量若干次，量得的長度通常是互有差異的。另一種情況是，如果已經(jīng)知道某幾個量之間應(yīng)該滿足某

21、一情況是，如果已經(jīng)知道某幾個量之間應(yīng)該滿足某一理論關(guān)系，但對這幾個量進(jìn)行觀測后，也會發(fā)現(xiàn)實理論關(guān)系，但對這幾個量進(jìn)行觀測后，也會發(fā)現(xiàn)實際觀測結(jié)果往往不能滿足應(yīng)有的理論關(guān)系。例如，際觀測結(jié)果往往不能滿足應(yīng)有的理論關(guān)系。例如，從幾何上知道一個平面三角形三內(nèi)角之和應(yīng)等于從幾何上知道一個平面三角形三內(nèi)角之和應(yīng)等于180，但如果對這三個內(nèi)角進(jìn)行觀測，則三內(nèi)角觀，但如果對這三個內(nèi)角進(jìn)行觀測，則三內(nèi)角觀測值之和通常不等于測值之和通常不等于180。在同一量的各觀測值之。在同一量的各觀測值之間，或在各觀測值與其理論上的應(yīng)有值之間存在差間，或在各觀測值與其理論上的應(yīng)有值之間存在差異的現(xiàn)象，在測量工作中是普遍存在的

22、。異的現(xiàn)象，在測量工作中是普遍存在的。v這是由于觀測值中包含有觀測誤差的緣故。這是由于觀測值中包含有觀測誤差的緣故。 觀測誤差的產(chǎn)生原因概括起來主要有以下三方面觀測誤差的產(chǎn)生原因概括起來主要有以下三方面.v1測量儀器測量儀器：測量工作通常是利用測量儀器進(jìn)行的。：測量工作通常是利用測量儀器進(jìn)行的。由于每一種儀器都具有一定限度的精密度，因而使觀由于每一種儀器都具有一定限度的精密度，因而使觀測值的精密度受到了一定的限制。測值的精密度受到了一定的限制。v2觀測者觀測者：由于觀測者的感覺器官的鑒別能力有一：由于觀測者的感覺器官的鑒別能力有一定的局限性，所以在儀器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)方面都定的局限性，所以在

23、儀器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)方面都會產(chǎn)生誤差。同時，觀測者的工作態(tài)度和技術(shù)水平，會產(chǎn)生誤差。同時，觀測者的工作態(tài)度和技術(shù)水平，也是對觀測成果質(zhì)量有直接影響的重要因素。也是對觀測成果質(zhì)量有直接影響的重要因素。v3外界條件外界條件：觀測時所處的外界條件，如溫度、濕：觀測時所處的外界條件，如溫度、濕度、壓強(qiáng)、風(fēng)力、大氣折光、電離層等因素都會對觀度、壓強(qiáng)、風(fēng)力、大氣折光、電離層等因素都會對觀測結(jié)果直接產(chǎn)生影響；隨著這些因素的變化，它們對測結(jié)果直接產(chǎn)生影響；隨著這些因素的變化，它們對觀測結(jié)果的影響也隨之不同，因此觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差觀測結(jié)果的影響也隨之不同，因此觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差是必然的。是必然的。u測量儀器、觀測

24、者、外界條件三方面的因素是引起誤測量儀器、觀測者、外界條件三方面的因素是引起誤差的主要來源。通常把這三方面的因素合起來稱為觀測差的主要來源。通常把這三方面的因素合起來稱為觀測條件。觀測條件的好壞與觀測成果的質(zhì)量有著密切的聯(lián)條件。觀測條件的好壞與觀測成果的質(zhì)量有著密切的聯(lián)系。當(dāng)觀測條件好一些，觀測中產(chǎn)生的誤差就可能相應(yīng)系。當(dāng)觀測條件好一些，觀測中產(chǎn)生的誤差就可能相應(yīng)地小一些，觀測成果的質(zhì)量就會高一些。反之，觀測條地小一些，觀測成果的質(zhì)量就會高一些。反之，觀測條件差一些，觀測成果的質(zhì)量就會相對低一些。如果觀測件差一些，觀測成果的質(zhì)量就會相對低一些。如果觀測條件相同，觀測成果的質(zhì)量也就可以說是相同的

25、。但是，條件相同，觀測成果的質(zhì)量也就可以說是相同的。但是，不管觀測條件如何，觀測的結(jié)果都會產(chǎn)生這樣或那樣的不管觀測條件如何，觀測的結(jié)果都會產(chǎn)生這樣或那樣的誤差，測量中產(chǎn)生誤差是不可避免的。當(dāng)然，在客觀條誤差，測量中產(chǎn)生誤差是不可避免的。當(dāng)然，在客觀條件允許的限度內(nèi)，我們可以而且必須確保觀測成果具有件允許的限度內(nèi)，我們可以而且必須確保觀測成果具有較高的質(zhì)量。較高的質(zhì)量。u根據(jù)觀測誤差對觀測結(jié)果的影響性質(zhì)，可將觀測誤差根據(jù)觀測誤差對觀測結(jié)果的影響性質(zhì)，可將觀測誤差分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩種。分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩種。 u1. 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下作一系列：在相同的觀測條件下作一系

26、列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或性，或者在觀測過程中按一定的規(guī)律變化，或者為某一常數(shù)，那么，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。者為某一常數(shù)，那么，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。簡言之，符合函數(shù)規(guī)律的誤差稱為系統(tǒng)誤差。簡言之，符合函數(shù)規(guī)律的誤差稱為系統(tǒng)誤差。影響因子為影響因子為 :,.,321nxxxx系統(tǒng)誤差可表示為：系統(tǒng)誤差可表示為： ).,.,(321nxxxxf系統(tǒng)誤差的特例系統(tǒng)誤差的特例 ： .常數(shù)u設(shè)對某一量觀測結(jié)果的系統(tǒng)誤差為設(shè)對某一量觀測結(jié)果的系統(tǒng)誤差為 ,例如，測距儀的乘常數(shù)誤差所引起的距離誤差與所例如，測距

27、儀的乘常數(shù)誤差所引起的距離誤差與所測距離的長度成正比地增加，距離愈長，誤差也愈測距離的長度成正比地增加，距離愈長，誤差也愈大；測距儀的加常數(shù)誤差所引起的距離誤差為一常大；測距儀的加常數(shù)誤差所引起的距離誤差為一常數(shù)，與距離的長度無關(guān)。這是由于儀器不完善或工數(shù)，與距離的長度無關(guān)。這是由于儀器不完善或工作前未經(jīng)檢驗校正而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。測角時因大作前未經(jīng)檢驗校正而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差。測角時因大氣折光的影響而產(chǎn)生的角度誤差等等，這些都是由氣折光的影響而產(chǎn)生的角度誤差等等，這些都是由于外界條件所引起的系統(tǒng)誤差。于外界條件所引起的系統(tǒng)誤差。u2. 偶然誤差偶然誤差：在相同的觀測條件下作一系列的觀測，：在相同的

28、觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。簡言之，符合統(tǒng)計規(guī)律的誤差稱為偶稱為偶然誤差。簡言之，符合統(tǒng)計規(guī)律的誤差稱為偶然誤差。然誤差。u設(shè)對某一量觀測結(jié)果的偶然誤差為設(shè)對某一量觀測結(jié)果的偶然誤差為 影響因子影響因子為為 :,偶然誤差可表示為偶然誤差可表示為： .,.,321nxxxx).,.,(321nxxxxfu 例如，

29、經(jīng)緯儀測角誤差是由照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差、例如，經(jīng)緯儀測角誤差是由照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差、外界條件變化所引起的誤差和儀器本身不完善而引起外界條件變化所引起的誤差和儀器本身不完善而引起的誤差等綜合的結(jié)果的誤差等綜合的結(jié)果.而其中每一項誤差又是由許多偶而其中每一項誤差又是由許多偶然因素所引起的小誤差。然因素所引起的小誤差。 就其個體而言，無論是數(shù)值就其個體而言，無論是數(shù)值的大小或符號的正負(fù)都是不能事先預(yù)知的。因此，把的大小或符號的正負(fù)都是不能事先預(yù)知的。因此，把這種性質(zhì)的誤差稱為偶然誤差。偶然誤差就其總體而這種性質(zhì)的誤差稱為偶然誤差。偶然誤差就其總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，有時又把偶然誤差稱為隨言，具有

30、一定的統(tǒng)計規(guī)律，有時又把偶然誤差稱為隨機(jī)誤差。機(jī)誤差。u 在測量工作的整個過程中，除了系統(tǒng)誤差和偶然在測量工作的整個過程中，除了系統(tǒng)誤差和偶然誤差外誤差外,還可能發(fā)生錯誤。例如，照準(zhǔn)目標(biāo)瞄準(zhǔn)錯誤、還可能發(fā)生錯誤。例如，照準(zhǔn)目標(biāo)瞄準(zhǔn)錯誤、讀數(shù)錯誤、記錄錯誤等。錯誤的發(fā)生，大多是由于工讀數(shù)錯誤、記錄錯誤等。錯誤的發(fā)生，大多是由于工作中的粗心大意造成的。錯誤的存在不僅大大影響測作中的粗心大意造成的。錯誤的存在不僅大大影響測量成果的可靠性，而且往往造成返工浪費，給工作帶量成果的可靠性，而且往往造成返工浪費，給工作帶來難以估量的損失，必須采取適當(dāng)?shù)姆椒ê痛胧?，保來難以估量的損失，必須采取適當(dāng)?shù)姆椒ê痛胧?/p>

31、，保證觀測結(jié)果中不存在錯誤。一般來說，錯誤不算作觀證觀測結(jié)果中不存在錯誤。一般來說，錯誤不算作觀測誤差。測誤差。u 系統(tǒng)誤差與偶然誤差在觀測過程中總是同時發(fā)生系統(tǒng)誤差與偶然誤差在觀測過程中總是同時發(fā)生的。當(dāng)觀測值中有顯著的系統(tǒng)誤差時，偶然誤差就居的。當(dāng)觀測值中有顯著的系統(tǒng)誤差時，偶然誤差就居于次要地位，觀測誤差就呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質(zhì)。反之，于次要地位，觀測誤差就呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質(zhì)。反之，則呈現(xiàn)出偶然的性質(zhì)。則呈現(xiàn)出偶然的性質(zhì)。 系統(tǒng)誤差對于觀測結(jié)果的影響一般有累積的作用，它系統(tǒng)誤差對于觀測結(jié)果的影響一般有累積的作用，它對觀測成果的質(zhì)量影響也特別顯著。在實際工作中，對觀測成果的質(zhì)量影響也特別顯著。在實

32、際工作中，應(yīng)該采用各種方法來消除或減弱系統(tǒng)誤差對觀測成果應(yīng)該采用各種方法來消除或減弱系統(tǒng)誤差對觀測成果的影響，達(dá)到實際上可以忽略不計的程度。例如，在的影響，達(dá)到實際上可以忽略不計的程度。例如，在測量之前對測量儀器進(jìn)行認(rèn)真的檢驗與校正，在測量測量之前對測量儀器進(jìn)行認(rèn)真的檢驗與校正，在測量過程中采用合適的測量方法，對觀測成果進(jìn)行必要的過程中采用合適的測量方法，對觀測成果進(jìn)行必要的改正等改正等.u 當(dāng)觀測序列中已經(jīng)排除了系統(tǒng)誤差的影響，或者當(dāng)觀測序列中已經(jīng)排除了系統(tǒng)誤差的影響，或者說系統(tǒng)誤差與偶然誤差相比已處于次要地位，即該觀說系統(tǒng)誤差與偶然誤差相比已處于次要地位，即該觀測序列中主要是存在著偶然誤差

33、。對于這樣的觀測序測序列中主要是存在著偶然誤差。對于這樣的觀測序列，就稱為帶有偶然誤差的觀測序列。這樣的觀測結(jié)列，就稱為帶有偶然誤差的觀測序列。這樣的觀測結(jié)果和偶然誤差便都是一些隨機(jī)變量，如何處理這些隨果和偶然誤差便都是一些隨機(jī)變量，如何處理這些隨機(jī)變量，是測量平差這一學(xué)科所要研究的內(nèi)容。機(jī)變量，是測量平差這一學(xué)科所要研究的內(nèi)容。u 由于觀測結(jié)果不可避免地存在著偶然誤差的影由于觀測結(jié)果不可避免地存在著偶然誤差的影響，在實際工作中，為了提高成果的質(zhì)量防止錯誤發(fā)響，在實際工作中，為了提高成果的質(zhì)量防止錯誤發(fā)生，通常要使觀測值的個數(shù)多于未知量的個數(shù)，也就生，通常要使觀測值的個數(shù)多于未知量的個數(shù)，也就

34、是要進(jìn)行多余觀測。由于偶然誤差的存在，通過多余是要進(jìn)行多余觀測。由于偶然誤差的存在，通過多余觀測必然會發(fā)現(xiàn)在觀測結(jié)果之間不相一致，或不符合觀測必然會發(fā)現(xiàn)在觀測結(jié)果之間不相一致，或不符合應(yīng)有關(guān)系而產(chǎn)生的不符值。因此，必須對這些帶有偶應(yīng)有關(guān)系而產(chǎn)生的不符值。因此，必須對這些帶有偶然誤差的觀測值進(jìn)行處理，消除不符值，得到觀測量然誤差的觀測值進(jìn)行處理，消除不符值，得到觀測量的最可靠的結(jié)果。由于這些帶有偶然誤差的觀測值是的最可靠的結(jié)果。由于這些帶有偶然誤差的觀測值是一些隨機(jī)變量，因此，可以根據(jù)概率統(tǒng)計的方法來求一些隨機(jī)變量，因此，可以根據(jù)概率統(tǒng)計的方法來求出觀測量的最可靠結(jié)果，這就是測量平差的一個主要出

35、觀測量的最可靠結(jié)果，這就是測量平差的一個主要任務(wù)。測量平差的另一個主要任務(wù)是評定測量成果的任務(wù)。測量平差的另一個主要任務(wù)是評定測量成果的精度。精度。1-3 偶然誤差的規(guī)律性偶然誤差的規(guī)律性iiiLL (1-3-1) u 任何一個被觀測量，客觀上總是存在著一個能代表任何一個被觀測量，客觀上總是存在著一個能代表其真正大小的數(shù)值。這一數(shù)值就稱為該觀測量的真值。其真正大小的數(shù)值。這一數(shù)值就稱為該觀測量的真值。通常在表示觀測值的字母上方加波浪線表示其真值。通常在表示觀測值的字母上方加波浪線表示其真值。2L1Lu 設(shè)進(jìn)行了設(shè)進(jìn)行了n次觀測，各觀測值為次觀測，各觀測值為L1、 L2、Ln，觀測量的真值為觀測

36、量的真值為 、 、 。由于各觀測值都帶有由于各觀測值都帶有一定的誤差一定的誤差，所以所以，每一個觀測值的真值每一個觀測值的真值 （或（或E( )）與觀測值之間必存在一個差數(shù)，設(shè)為與觀測值之間必存在一個差數(shù)，設(shè)為nLiLiLi稱 為真誤差（在此僅包含偶然誤差），有時簡稱為真誤差（在此僅包含偶然誤差），有時簡稱為誤差。若記為誤差。若記 LLLLLELELELETnTn.)(.)()()(2121 .211 ,TnnLLLL,.211 ,Tnn,.211 ,TnnLLLL 則有：則有： (1-3-2)LL 則有：則有： (1-3-3) 在此我們用觀測值的真值與觀測值之差定義真誤差，在此我們用觀測值的

37、真值與觀測值之差定義真誤差，有些教材和文獻(xiàn)上用觀測值與觀測值的真值之差定義有些教材和文獻(xiàn)上用觀測值與觀測值的真值之差定義真誤差。這兩種定義方式僅僅是使真誤差符號相反，真誤差。這兩種定義方式僅僅是使真誤差符號相反，對于后續(xù)各種計算公式的推導(dǎo)沒有影響。對于后續(xù)各種計算公式的推導(dǎo)沒有影響。LLE)(如果以被觀測值的數(shù)學(xué)期望表示該觀測值的真值如果以被觀測值的數(shù)學(xué)期望表示該觀測值的真值LLLLLELELELETnTn.)(.)()()(2121u 在此我們用觀測值的真值與觀測值之差定義真誤在此我們用觀測值的真值與觀測值之差定義真誤差，有些教材和文獻(xiàn)上用觀測值與觀測值的真值之差差，有些教材和文獻(xiàn)上用觀測值

38、與觀測值的真值之差定義真誤差。這兩種定義方式僅僅是使真誤差符號相定義真誤差。這兩種定義方式僅僅是使真誤差符號相反，對于后續(xù)各種計算公式的推導(dǎo)沒有影響。反，對于后續(xù)各種計算公式的推導(dǎo)沒有影響。u 前面已經(jīng)指出，就單個偶然誤差而言，其大小或前面已經(jīng)指出，就單個偶然誤差而言，其大小或符號沒有規(guī)律性，即呈現(xiàn)出一種偶然性（或隨機(jī)符號沒有規(guī)律性，即呈現(xiàn)出一種偶然性（或隨機(jī)性）。但就其總體而言，卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性）。但就其總體而言，卻呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計規(guī)律性。并且指出它是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。人們性。并且指出它是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。人們從無數(shù)的測量實踐中發(fā)現(xiàn)，在相同的觀測條件下，從無數(shù)的測量實踐中

39、發(fā)現(xiàn)，在相同的觀測條件下，大量偶然誤差的分布也確實表現(xiàn)出了一定的統(tǒng)計規(guī)大量偶然誤差的分布也確實表現(xiàn)出了一定的統(tǒng)計規(guī)律性。下面用一個實例來說明。律性。下面用一個實例來說明。iLLL)(321式中式中 表示各三角形內(nèi)角和的觀測值。現(xiàn)表示各三角形內(nèi)角和的觀測值?，F(xiàn)取誤差區(qū)間的間隔為取誤差區(qū)間的間隔為0.20，將這一組誤差按其正負(fù)，將這一組誤差按其正負(fù)號與誤差值的大小排列，統(tǒng)計誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)號與誤差值的大小排列，統(tǒng)計誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的個數(shù)，以及的個數(shù)，以及“誤差出現(xiàn)在某個區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)在某個區(qū)間內(nèi)”這一事件這一事件的頻率（的頻率（n=358），其結(jié)果列于下表中。），其結(jié)果列于下表中。iiLLL)

40、(180321)358, 2 , 1(iu 在相同的條件下，獨立地觀測了在相同的條件下，獨立地觀測了358個三角形的全個三角形的全部內(nèi)角，由于觀測值帶有偶然誤差，故三內(nèi)角觀測值部內(nèi)角，由于觀測值帶有偶然誤差，故三內(nèi)角觀測值之和不等于其真值之和不等于其真值180。各個三角形內(nèi)角和的真誤差：。各個三角形內(nèi)角和的真誤差：dnvi/dnvi/表表1-1 1-1 某測區(qū)三角形內(nèi)角和的誤差分布某測區(qū)三角形內(nèi)角和的誤差分布誤差的區(qū)誤差的區(qū)間間 為為 負(fù)負(fù) 值值 為為 正正 值值備注備注個數(shù)個數(shù)vi頻率頻率vi/n 個數(shù)個數(shù)vi 頻率頻率vi/n0.00-0.200.00-0.200.20-0.400.20-

41、0.400.40-0.600.40-0.600.60-0.800.60-0.800.80-1.000.80-1.001.00-1.201.00-1.201.20-1.401.20-1.401.40-1.601.40-1.601.601.60以上以上4545404033332323171713136 64 40 00.1260.1260.1120.1120.0920.0920.0640.0640.0470.0470.0360.0360.0170.0170.0110.0110.0000.0000.6300.6300.5600.5600.4600.4600.3200.3200.2350.2350.1

42、800.1800.0850.0850.0550.0550.0000.0004646414133332121161613135 52 20 00.1280.1280.1150.1150.0920.0920.0590.0590.0450.0450.0360.0360.0140.0140.0060.0060.0000.0000.6400.6400.5750.5750.4600.4600.2950.2950.2250.2250.1800.1800.0700.0700.0300.0300.0000.000 d d =0.20=0.20等于區(qū)間等于區(qū)間左端值的左端值的誤差算入誤差算入該區(qū)間內(nèi)該區(qū)間內(nèi)。和和

43、1811810.5050.5051771770.4950.495v直方圖與正態(tài)分布u 從表中可以看出，誤差的分布情況具有以下性質(zhì)：從表中可以看出，誤差的分布情況具有以下性質(zhì)：（）誤差的絕對值有一定的限值；（）絕對值較小的（）誤差的絕對值有一定的限值；（）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差多；（）絕對值相等的正負(fù)誤誤差比絕對值較大的誤差多；（）絕對值相等的正負(fù)誤差的個數(shù)相近差的個數(shù)相近 偶然誤差分布的情況，除了采用上述誤差分布表偶然誤差分布的情況，除了采用上述誤差分布表的形式表達(dá)外，還可以利用圖形來表達(dá)。例如，以的形式表達(dá)外，還可以利用圖形來表達(dá)。例如，以橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)代表各區(qū)間內(nèi)

44、誤差橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)代表各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值，即出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值，即 （此處間隔（此處間隔值均取為值均取為 =0.20）。根據(jù)表）。根據(jù)表1-1中的數(shù)據(jù)繪制出中的數(shù)據(jù)繪制出圖圖1-1。在圖。在圖1-1中每一誤差區(qū)間上的長方條面積就中每一誤差區(qū)間上的長方條面積就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率。例如，圖中畫有代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的頻率。例如，圖中畫有斜線的長方條面積，就是代表誤差出現(xiàn)在斜線的長方條面積，就是代表誤差出現(xiàn)在（0.00+0.20）區(qū)間內(nèi)的頻率）區(qū)間內(nèi)的頻率0.128。這種圖形通。這種圖形通常稱為直方圖，它形象地表示了誤差的分布情況。常稱為直方圖，

45、它形象地表示了誤差的分布情況。ddnvi/u 由此可知，在相同觀測條件下所得到的一組獨由此可知，在相同觀測條件下所得到的一組獨立觀測的誤差，只要誤差的總個數(shù)立觀測的誤差，只要誤差的總個數(shù)n足夠多，那么，足夠多，那么，誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的頻率就總是穩(wěn)定在某一常誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的頻率就總是穩(wěn)定在某一常數(shù)（理論頻率）附近，而且當(dāng)觀測個數(shù)愈多時，數(shù)（理論頻率）附近，而且當(dāng)觀測個數(shù)愈多時，穩(wěn)定的程度也就愈大。穩(wěn)定的程度也就愈大。 例如，就表例如，就表1-1的一組誤差而言，在觀測條件不變的一組誤差而言，在觀測條件不變的情況下，如果再繼續(xù)觀測更多的三角形，則可以的情況下，如果再繼續(xù)觀測更多的三角形，則可以

46、預(yù)測，隨著觀測值個數(shù)的愈來愈多，當(dāng)預(yù)測，隨著觀測值個數(shù)的愈來愈多，當(dāng)n時，各時，各頻率也就趨于一個完全確定的數(shù)值，這就是誤差出頻率也就趨于一個完全確定的數(shù)值，這就是誤差出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的頻率。這就是說，在一定的觀測條現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的頻率。這就是說，在一定的觀測條件下，對應(yīng)著一種確定的誤差分布。件下，對應(yīng)著一種確定的誤差分布。 在在 的情況下，由于誤差出現(xiàn)的頻率已趨于完全的情況下，由于誤差出現(xiàn)的頻率已趨于完全穩(wěn)定，如果此時把誤差區(qū)間間隔無限縮小，圖穩(wěn)定，如果此時把誤差區(qū)間間隔無限縮小，圖1-1中中各長方條頂邊所形成的折線將變成如圖各長方條頂邊所形成的折線將變成如圖1-2所示的光所示的光滑的曲線。這種

47、曲線也就是誤差的概率分布曲線，或滑的曲線。這種曲線也就是誤差的概率分布曲線，或稱為誤差分布曲線。由此可見，偶然誤差的頻率分布，稱為誤差分布曲線。由此可見，偶然誤差的頻率分布，隨著的逐漸增大，都是以正態(tài)分布為其極限的。通常隨著的逐漸增大，都是以正態(tài)分布為其極限的。通常也稱偶然誤差的頻率分布為其經(jīng)驗分布，而將正態(tài)分也稱偶然誤差的頻率分布為其經(jīng)驗分布，而將正態(tài)分布稱為它們的理論分布。布稱為它們的理論分布。 在以后的理論研究中，都是以正態(tài)分布作為描述在以后的理論研究中，都是以正態(tài)分布作為描述偶然誤差分布的數(shù)學(xué)模型，這不僅可以帶來工作上的偶然誤差分布的數(shù)學(xué)模型，這不僅可以帶來工作上的便利，而且基本上也是

48、符合實際情況的。我們用概率便利，而且基本上也是符合實際情況的。我們用概率的術(shù)語來概括偶然誤差的幾個特性如下：的術(shù)語來概括偶然誤差的幾個特性如下：1.在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值，在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值，或者說，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零?；蛘哒f，超出一定限值的誤差，其出現(xiàn)的概率為零。2.絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大。絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大。3.絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。4.偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即：即： 。換句話說，偶然誤差的理論平均

49、值為零。換句話說，偶然誤差的理論平均值為零。0)()()()(LELELLEEE對于一系列的觀測而言，不論其觀測條件是好是差，對于一系列的觀測而言，不論其觀測條件是好是差，也不論是對同一個量還是對不同的量進(jìn)行觀測，只要也不論是對同一個量還是對不同的量進(jìn)行觀測，只要這些觀測是在相同的條件下獨立進(jìn)行的，則所產(chǎn)生的這些觀測是在相同的條件下獨立進(jìn)行的，則所產(chǎn)生的一組偶然誤差必然都具有上述的四個特性。一組偶然誤差必然都具有上述的四個特性。 圖圖1-1中的各長方條的縱坐標(biāo)為中的各長方條的縱坐標(biāo)為 ，其面積即為誤，其面積即為誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率。如果將這個問題提到理差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率。如果將這個問題

50、提到理論上來討論，則以理論分布取代經(jīng)驗分布（圖論上來討論，則以理論分布取代經(jīng)驗分布（圖1-2），），此時，圖此時，圖1-1中各長方條的縱坐標(biāo)就是中各長方條的縱坐標(biāo)就是的密度函的密度函數(shù)數(shù) ，而長方條的面積為，而長方條的面積為 ,即代表誤差出現(xiàn)即代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率，概率密度表達(dá)式為：在該區(qū)間內(nèi)的概率，概率密度表達(dá)式為：dnvi/)(f df)(22221)(ef(1-3-4) 式中為中誤差。當(dāng)上式中的參數(shù)確式中為中誤差。當(dāng)上式中的參數(shù)確定后，即可畫出它所對應(yīng)的誤差分布定后，即可畫出它所對應(yīng)的誤差分布曲線。由于，所以該曲線是以橫坐標(biāo)曲線。由于，所以該曲線是以橫坐標(biāo)為為0處的縱軸為對稱軸。

51、當(dāng)不同時，處的縱軸為對稱軸。當(dāng)不同時，曲線的位置不變，但分布曲線的形狀曲線的位置不變，但分布曲線的形狀將發(fā)生變化。偶然誤差將發(fā)生變化。偶然誤差是服從分布是服從分布的隨機(jī)變量。的隨機(jī)變量。1-4 精度和衡量精度的指標(biāo)精度和衡量精度的指標(biāo)u 評定測量成果的精度是測量平差的主要任務(wù)之一。評定測量成果的精度是測量平差的主要任務(wù)之一。精度就是指誤差分布的密集或離散的程度。例如兩組精度就是指誤差分布的密集或離散的程度。例如兩組觀測成果的誤差分布相同，便是兩組觀測成果的精度觀測成果的誤差分布相同，便是兩組觀測成果的精度相同；反之，若誤差分布不同，則精度也就不同。相同；反之，若誤差分布不同，則精度也就不同。從

52、直方圖來看，精度高，則誤差分布較為密集，圖形從直方圖來看，精度高，則誤差分布較為密集，圖形在縱軸附近的頂峰則較高，且由長方形所構(gòu)成的階梯在縱軸附近的頂峰則較高，且由長方形所構(gòu)成的階梯比較陡峭；精度低，則誤差分布較為分散，在縱軸附比較陡峭；精度低，則誤差分布較為分散，在縱軸附近頂峰則較低，且其階梯較為平緩。這個性質(zhì)同樣反近頂峰則較低，且其階梯較為平緩。這個性質(zhì)同樣反映在誤差分布曲線的形態(tài)上，即有誤差分布曲線較高映在誤差分布曲線的形態(tài)上，即有誤差分布曲線較高而陡峭和誤差分布曲線較低而平緩兩種情形。而陡峭和誤差分布曲線較低而平緩兩種情形。u 在一定的觀測條件下進(jìn)行的一組觀測，它對應(yīng)著一在一定的觀測條

53、件下進(jìn)行的一組觀測，它對應(yīng)著一種確定的誤差分布。如果分布較為密集，即離散度較種確定的誤差分布。如果分布較為密集，即離散度較小時，則表示該組觀測質(zhì)量較好，也就是說，這一組小時，則表示該組觀測質(zhì)量較好，也就是說，這一組觀測精度較高；反之，如果分布較為離散，即離散度觀測精度較高；反之，如果分布較為離散，即離散度較大時，則表示該組觀測質(zhì)量較差，也就是說，這一較大時，則表示該組觀測質(zhì)量較差，也就是說，這一組觀測精度較低。在相同的觀測條件下所進(jìn)行的一組組觀測精度較低。在相同的觀測條件下所進(jìn)行的一組觀測，由于他們對應(yīng)著同一種誤差分布，對于這一組觀測，由于他們對應(yīng)著同一種誤差分布，對于這一組中的每一個觀測值，

54、都稱為是同精度觀測值。中的每一個觀測值，都稱為是同精度觀測值。u 為了衡量觀測值的精度高低，可以按上節(jié)的方法，為了衡量觀測值的精度高低，可以按上節(jié)的方法，把在一組相同條件下得到的誤差，用組成誤差分布表、把在一組相同條件下得到的誤差，用組成誤差分布表、繪制直方圖或畫出誤差分布曲線的方法來比較。繪制直方圖或畫出誤差分布曲線的方法來比較。 在實用上，是用一些數(shù)字特征來說明誤差分布的在實用上，是用一些數(shù)字特征來說明誤差分布的密集或離散的程度，稱它們?yōu)楹饬烤鹊闹笜?biāo)。衡密集或離散的程度，稱它們?yōu)楹饬烤鹊闹笜?biāo)。衡量精度的指標(biāo)有很多種，下面介紹幾種常用的精度量精度的指標(biāo)有很多種，下面介紹幾種常用的精度指標(biāo)

55、。指標(biāo)。一、方差和中誤差一、方差和中誤差用表示誤差分布的方差，誤差用表示誤差分布的方差，誤差的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為：22221)(ef由方差的定義：由方差的定義： )()()(2()()(22222EEEEEED由于在此主要包括偶然誤差部分，由于在此主要包括偶然誤差部分， ，所以，所以有：有：0)(EdfED)()()(222(1-4-1) 就是中誤差：就是中誤差： )(2E(1-4-2)u 不同的不同的 將對應(yīng)著不同形狀的分布曲線，將對應(yīng)著不同形狀的分布曲線， 愈愈小，曲線愈為陡峭，小，曲線愈為陡峭， 愈大，則曲線愈為平緩。愈大，則曲線愈為平緩。 的大小可以反映精度的高低，所以常

56、用中誤差的大小可以反映精度的高低，所以常用中誤差 作作為衡量精度的指標(biāo)。為衡量精度的指標(biāo)。u 正態(tài)分布曲線具有兩個拐點正態(tài)分布曲線具有兩個拐點 ，它們在橫軸上的，它們在橫軸上的坐標(biāo)為坐標(biāo)為 ， 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。對于偶然誤差，由于其數(shù)學(xué)期望對于偶然誤差，由于其數(shù)學(xué)期望 ，所以拐點，所以拐點在橫軸上的坐標(biāo)為在橫軸上的坐標(biāo)為XxX拐x0)(E拐（1-4-3） 如果在相同的條件下得到了一組獨立的觀測誤差，如果在相同的條件下得到了一組獨立的觀測誤差，可由（可由（1-3-1）式，并根據(jù)定積分的定義可以寫出：）式，并根據(jù)定積分的定義可以寫出： dfED)()()(222 （1-

57、4-41-4-4）對于離散型：對于離散型： ,lim)()(22nEDnnnlim （1-4-51-4-5）“表達(dá)式表達(dá)式”是測量平差教材和文獻(xiàn)中的一個慣用符號，是測量平差教材和文獻(xiàn)中的一個慣用符號，與數(shù)學(xué)中的與數(shù)學(xué)中的“ ”讀音和意義相同，表示方括號中表讀音和意義相同，表示方括號中表達(dá)式的所有項求和。例如，達(dá)式的所有項求和。例如， 。22221.nu 方差是真誤差平方方差是真誤差平方 的數(shù)學(xué)期望，也就是的數(shù)學(xué)期望，也就是 的理的理論平均值。在分布律為已知的情況下，論平均值。在分布律為已知的情況下， 是一個確是一個確定的常數(shù)。定的常數(shù)。)(22)(2E或者說，方差或者說，方差 是是 的極限值，

58、它們都是理論上的極限值，它們都是理論上的數(shù)值。實際上觀測個數(shù)總的數(shù)值。實際上觀測個數(shù)總n是有限的，由有限個觀是有限的，由有限個觀測值的真誤差只能得到方差和中誤差的估值，方差測值的真誤差只能得到方差和中誤差的估值，方差 和中誤差和中誤差 的估值分別用符號的估值分別用符號 和和 表示，即表示，即2n22u 這就是根據(jù)一組等精度獨立真誤差計算方差這就是根據(jù)一組等精度獨立真誤差計算方差和中誤差估值的基本公式。在后續(xù)的文字?jǐn)⑹鲋?，和中誤差估值的基本公式。在后續(xù)的文字?jǐn)⑹鲋?，在不需要特別強(qiáng)調(diào)在不需要特別強(qiáng)調(diào)“估值估值”意義的情況下，也將意義的情況下，也將“中誤差的估值中誤差的估值”簡稱為簡稱為“中誤差中誤

59、差”。 ,2nn （1-4-61-4-6）或者說，方差或者說，方差 是是 的極限值，它們都是理論上的極限值，它們都是理論上的數(shù)值。實際上觀測個數(shù)總的數(shù)值。實際上觀測個數(shù)總n是有限的，由有限個觀是有限的，由有限個觀測值的真誤差只能得到方差和中誤差的估值，方差測值的真誤差只能得到方差和中誤差的估值，方差 和中誤差和中誤差 的估值分別用符號的估值分別用符號 和和 表示，即表示，即2n22二、平均誤差二、平均誤差u 在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕在一定的觀測條件下，一組獨立的偶然誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望稱為平均誤差。對值的數(shù)學(xué)期望稱為平均誤差。設(shè)以設(shè)以 表示平均誤差，則有：表示平均誤差，則有：

60、如果在相同條件下得到了一組獨立的觀測誤差，如果在相同條件下得到了一組獨立的觀測誤差，平均誤差為平均誤差為dfE)()( nnlim （1-4-71-4-7） 即平均誤差是一組獨立的偶然誤差絕對值的算即平均誤差是一組獨立的偶然誤差絕對值的算術(shù)平均值之極限值。因為術(shù)平均值之極限值。因為00222222222022)(22212)(edededf所以有所以有:,547979. 0245253. 12 （1-4-81-4-8） 上式是平均誤差上式是平均誤差 與中誤差與中誤差 的理論關(guān)系式。由的理論關(guān)系式。由此可見，不同大小的此可見，不同大小的 ，對應(yīng)著不同的，對應(yīng)著不同的 ，也就，也就對應(yīng)著不同的誤差