直線與平面的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)歸納

1、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1 平面含義：平面是無(wú)限延展的2 平面的畫法及表示（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）（2）平面通常用希臘字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。3 三個(gè)公理：DCBA（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為L(zhǎng)A·ALBL => L AB公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)C·B·A·（2）公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且

2、只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面，使A、B、C。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。P·L符號(hào)表示為：P =>=L，且PL公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線=>

3、;acabcb強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4 注意點(diǎn)： a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上； 兩條異面直線所成的角(0， )； 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作ab； 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a

4、, b,我們把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角。（注意：異面直線所成的角不大于）。2.1.3 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi) 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行 沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a 來(lái)表示a a=A a2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1 直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。符號(hào)表示：a b =>

5、aab2.2.2 平面與平面平行的判定1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a b ab = P ab2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3 直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表示：aa ab= b作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表示：= a ab = b作用：可以由平面與平面平

6、行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線L與平面互相垂直，記作L，直線L叫做平面的垂線，平面叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。 Lp 2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A 梭 l B 2、二面角的記法：二面角-l-或-

7、AB-3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。2.2.直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系基礎(chǔ)練習(xí)一選擇題1.若直線a、b都和平面平行,則直線a、b的位置關(guān)系是().A.相交B.平行C.異面D.以上三者都有可能【解析】可以畫出直線a、b的三種位置關(guān)系的圖形.【答案】D2.給出下列結(jié)論:直線l平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條

8、直線,則l;若直線a在平面外,則a;若直線ab,b,則a;若直線ab,b,則直線a就平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為().A.1B.2C.3D.4【解析】直線l還可能在平面內(nèi),所以錯(cuò)誤;直線a還可能與平面相交,所以錯(cuò)誤;直線a還可能在平面內(nèi),所以錯(cuò)誤;平面內(nèi),與直線b平行的直線都與直線a平行,所以正確.【答案】A3.如圖所示,在三棱錐P-ABC的六條棱所在的直線中,異面直線共有().A.1對(duì)B.2對(duì)C.3對(duì)D.4對(duì)【解析】根據(jù)異面直線的定義可知共3對(duì),分別為AP與BC,CP與AB,BP與AC.【答案】C4.過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有().A.一條B.兩條C.無(wú)數(shù)條D.無(wú)法確定【

9、解析】過(guò)一點(diǎn)與已知直線垂直的直線有無(wú)數(shù)條,包括相交垂直和異面垂直.【答案】C5.在兩個(gè)平面內(nèi)分別取一條直線,若這兩條直線互相平行,則這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)().A.有限個(gè)B.無(wú)限個(gè)C.沒(méi)有D.沒(méi)有或無(wú)限個(gè)【解析】?jī)善矫嫦嘟换蛘咂叫?因此這兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)或有無(wú)限個(gè)公共點(diǎn).【答案】D6.一個(gè)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等且不為零,則這兩個(gè)平面().A.平行B.相交C.平行或重合D.平行或相交【解析】若三點(diǎn)在平面的同側(cè),則兩平面平行;若三點(diǎn)在平面的異側(cè),則兩平面相交.【答案】D7.下列說(shuō)法中,正確的個(gè)數(shù)是().平行于同一平面的兩條直線平行.直線a平行于平面內(nèi)的一條直線b,那么直線a平面

10、.若兩平行直線中的一條與平面相交,那么另一條也與平面相交.直線a與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線相交,那么直線a在平面內(nèi).A.0B.1C.2D.3【解析】只有正確.【答案】B8.a,b是兩條直線,是一個(gè)平面,給出下列三個(gè)命題:如果ab,b,那么a;如果a,b,那么ab;如果ab,a,那么b.其中真命題有().個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)【解析】中,a有可能在平面內(nèi),故不正確;平行于同一個(gè)平面的兩條直線不一定平行,故不正確;中,b有可能在平面內(nèi),故不正確.綜上可知,選A.【答案】A9.平面,滿足,直線a,下列四個(gè)命題中:a與內(nèi)的所有直線平行;a與內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行;a與內(nèi)的任何一條直線都不相交;a與無(wú)公共點(diǎn).其中正確命題的個(gè)數(shù)

11、是().A.1B.2C.3D.4【解析】因?yàn)?直線a,所以a與內(nèi)的直線平行或異面,由此可知錯(cuò),其他均正確.【答案】C10.已知A、B、C、D四點(diǎn)不共面,且AB平面,CD平面,AC=E,AD=F,BD=G,BC=H,則四邊形EFGH是().A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】A11.若平面外的直線a與平面所成的角為,則的取值范圍是().A.(0,)B.0,) C.(0, D.0,【解析】當(dāng)a時(shí),=0;當(dāng)a時(shí),=;a和斜交時(shí),的取值范圍是(0,),綜上,的取值范圍是0,.【答案】D12.P為ABC所在平面外的一點(diǎn),且PA、PB、PC兩兩垂直,則下列命題:PABC;PBAC;PCAB;A

12、BBC.其中正確的個(gè)數(shù)是().【解析】PAPB,PAPC,PA平面PBC,PABC,即正確,同理可證得正確.【答案】D13.室內(nèi)有一根直尺,無(wú)論怎么樣放置,在地面上總有這樣的直線,它與直尺所在的直線().A.異面B.相交C.平行D.垂直【答案】D14.若平面、互相垂直,則().A.中的任意一條直線都垂直于B.中有且只有一條直線垂直于C.平行于的直線垂直于D.內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于【答案】D15.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為().A.B.C.D.【解析】利用三棱錐A1-AB1D1的體積變換:=,則×2

13、5;4=×6×h,解得h=.【答案】C16.點(diǎn)P是等腰三角形ABC所在平面外一點(diǎn),PA平面ABC,PA=8,在ABC中,底邊BC=6,AB=5,則P到BC的距離為().B.5【解析】作ADBC于D,連接PD,易證PDBC,故PD的長(zhǎng)即為P到BC的距離,易求得AD=4,PD=4.【答案】A17.已知m,n表示兩條不同的直線,表示三個(gè)不同的平面,給出下列三個(gè)命題:(1)mn;(2)n;(3)mn.其中推理正確的個(gè)數(shù)為().D.3【解析】若則mn,即命題(1)正確;若則n或n,即命題(2)不正確;若則mn,即命題(3)正確.故選C.【答案】C18.如圖,平面平面=l,A,B,AB

14、l=D,C,Cl,則平面ABC與平面的交線是().A.直線ACB.直線ABC.直線CDD.直線BC【解析】Dl,l平面,D平面.DAB,AB平面ABC,D平面ABC,D在平面ABC與平面的交線上.C平面ABC,且C平面,C在平面與平面ABC的交線上,平面ABC平面=CD.【答案】C二填空題1.在空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),且EF=5,又AD=6,BC=8,則AD與BC所成角的大小為. 【解析】取AC中點(diǎn)G,連接EG,FG,在EFG中,EGBC,EG=BC=4,FGAD,FG=AD=3,又知EF=5,EGF=90°,AD與BC所成角為90°.

15、【答案】90°2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1分別是正方形ABCD和A1B1C1D1的對(duì)角線.(1)DBC的兩邊與的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同; (2)DBC的兩邊與的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相反. 【解析】(1)B1D1BD,B1C1BC,并且方向相同,所以DBC的兩邊與D1B1C1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同.(2)D1B1BD,D1A1BC,并且方向相反,所以DBC的兩邊與B1D1A1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相反.【答案】(1)D1B1C1(2)B1D1A13.若a,b,則a與b的位置關(guān)系是. 【解析】可能異面,也可能存

16、在平面,使a,且b,即a與b仍可以在同一平面內(nèi).【答案】平行、相交或異面4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是棱BC、C1D1的中點(diǎn),則EF與平面BB1D1D的位置關(guān)系是. 【解析】如圖,取D1B1的中點(diǎn)O,連接OF,OB.OF􀱀B1C1,BE􀱀B1C1,OF􀱀BE,四邊形OFEB為平行四邊形,EFBO.EF平面BB1D1D,BO平面BB1D1D,EF平面BB1D1D.【答案】平行5.平面平面,ABC和A'B'C'分別在平面和平面內(nèi),若對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn),則這兩個(gè)三角形. 【解析】

17、由于對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn),則AB與A'B'共面,由面與面平行的性質(zhì)知ABA'B',同理ACA'C',BCB'C',故兩個(gè)三角形相似.【答案】相似6.過(guò)平面外一點(diǎn)作該平面的垂線有條;垂面有個(gè);平行線有條;平行平面有個(gè). 【答案】一無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)一7.已知AHRtHEF所在的平面,且HEEF,連接AE、AF,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是. 【解析】易知AHE,AHF,HEF為直角三角形,又因?yàn)镋FHE,EFAH,所以EF平面AEH,所以EFAE,即AEF也是直角三角形.綜上所述,圖中直角三角形個(gè)數(shù)為4.【答案】48.在正方體A

18、BCD-A1B1C1D1中,直線C1D與平面B1CD所成的角為. 【解析】連接C1B交B1C于點(diǎn)O,根據(jù)直線C1B平面B1CD,可得直線C1D與平面B1CD所成的角為ODC1,在RtODC1中,根據(jù)DC1=2OC1,可得ODC1=30°,因此直線C1D與平面B1CD所成的角為30°.【答案】30°9.正四棱錐(頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心)的體積為12,底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2,求側(cè)面與底面所成的二面角.【解析】易求得底面邊長(zhǎng)為2,高為3,tan=,所以=60°.10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F

19、在CD上.若EF平面AB1C,則線段EF的長(zhǎng)度等于. 【解析】由EF平面AB1C,可知EFAC,所以EF=AC=×2=.強(qiáng)化練習(xí)一選擇題1下列命題中，正確的有()如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直過(guò)直線l外一點(diǎn)P，有且僅有一個(gè)平面與l垂直如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊過(guò)點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過(guò)點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)答案C解析正確，中當(dāng)這無(wú)數(shù)條直線都平行時(shí)，結(jié)論不成立2設(shè)直線l、m，平面、，下列條件能得出的是()Al，m，且l，mBl，m，且l

20、mCl，m，且lmDl，m，且lm答案C解析排除法，A可舉反例，如圖(1)，B可舉反例如圖(2)，其中l(wèi)與m都平行于a，D可舉反例，如圖(3)，故選C.3(08·福建理)如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A.B.C.D.答案D解析取B1D1中點(diǎn)O，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1B1C12，C1OB1D1，又C1OBB1，C1O平面BB1D1D，C1BO為直線C1B與平面BB1D1D所成的角，在RtBOC1中，C1O，BC1，sinOBC1.4(09·四川文)如圖，已知六棱錐PABCDE

21、F的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論正確的是()APBADB平面PAB平面PBCC直線BC平面PAED直線PD與平面ABC所成的角為45°答案D解析設(shè)AB長(zhǎng)為1，由PA2AB得PA2，又ABCDEF是正六邊形，所以AD長(zhǎng)也為2，又PA平面ABC，所以PAAD，所以PAD為直角三角形PAAD，PDA45°，PD與平面ABC所成的角為45°，故選D.5(09·湖北文)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，ACC160°，BCC145°，側(cè)棱CC1的長(zhǎng)為1，則該三棱柱的高等于()A.B.C.D.答

22、案A解析作C1O底面ABC于O，作OMCB于M，連C1M.作ONAC于N，連C1N.易知ONAC，OMBC，又ACBRt，ONCM為矩形，OCMN，在RtCNC1中，C1CN60°，CC11，CN，在RtC1MC中，C1CM45°，CC11，CM.NM，OC，在RtC1OC中，C1O，三棱柱高為.6(09·寧夏海南文)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱錐ABEF的體積為定值DAEF的面積與BEF的面積相等答案D解析由正方體ABCDA1B1C1D1得，B1

23、B平面ABCD，ACB1B，又ACBD，AC面BDD1B1，BE面BDD1B1，ACBE，故A正確由正方體ABCDA1B1C1D1得，B1D1BD，B1D1平面ABCD，BD平面ABCD，B1D1平面ABCD，EF平面ABCD，B正確A到平面BDD1B1的距離d，VABEFSBEF·d·SBB1D1·d.三棱錐ABEF的體積為定值，故C正確因E、F是線段B1D1上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF，在E，F(xiàn)移動(dòng)時(shí)，A到EF的距離與B到EF的距離不相等AEF的面積與BEF的面積不相等，故D錯(cuò)7如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90

24、6;，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是()A45° B60°C90° D120°答案B解析連結(jié)AB1，易知AB1EF，連結(jié)B1C交BC1于點(diǎn)G，取AC的中點(diǎn)H，則GHAB1EF.設(shè)ABBCAA1a，在GHC中，易知GHAB1a，BGa，HBa，故兩直線所成的角為HGB60°.點(diǎn)評(píng)除可用上述將EF平移到GH方法外還可以在平面BCC1B1內(nèi)過(guò)F作FDBC1交B1C1于D，考慮在EFD內(nèi)求解等如果再補(bǔ)上一個(gè)三棱柱成正方體則結(jié)論就更明顯了8在空間四邊形ABCD中，若ABCD，BCAD，則對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系為()A

25、相交但不垂直B垂直但不相交C不相交也不垂直D無(wú)法判斷答案B解析作AO平面BCD于O，連BO并延長(zhǎng)交DC于N，連DO并延長(zhǎng)交BC于M，連CO并延長(zhǎng)交BD于H，BCAO，BCADBC平面AOD，BCDM，同理BNCD，O為BDC的垂心，CHBD又AOBD，BD平面AOC，BDAC.9正方體A1B1C1D1ABCD中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于()A.B.C.D.答案C解析設(shè)AC、BD交于O，連A1O，BDAC，BDAA1，BD平面AA1O，BDAO，A1OA為二面角的平面角tanA1OA，選C.10在二面角l中，A，AB平面于B，BC平面于C，若AB6，BC3，則二

26、面角l的平面角的大小為()A30°B60°C30°或150° D60°或120°答案D解析如圖，AB，ABl，BC，BCl，l平面ABC，設(shè)平面ABClD，則ADB為二面角l的平面角或補(bǔ)角，AB6，BC3，BAC30°，ADB60°，二面角大小為60°或120°.11(2010·重慶文，9)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)()A只有1個(gè)B恰有3個(gè)C恰有4個(gè)D有無(wú)窮多個(gè)答案D解析過(guò)兩條互相垂直的異面直線的公垂線段中點(diǎn)且與兩條直線都成45°角直線上所有點(diǎn)到兩條直線的距離都相等

27、，故選D.12ABCD是正方形，以BD為棱把它折成直二面角ABDC，E為CD的中點(diǎn)，則AED的大小為()A45°B30°C60°D90°答案D解析設(shè)BD中點(diǎn)為F，則AFBD，CFBDAFC90°，AF面BCDE、F分別為CD、BD的中點(diǎn)，EFBC，BCCD，CDEF，又AFCD，CD平面AEF，CDAE.故選D.13已知l，m，有下列四個(gè)命題：lm; lm；lm；lm.其中正確的命題是()A與B與C與D答案D解析ml，正確否定A、B，正確否定C，故選D.14已知三棱錐SABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC

28、r，則球的體積與三棱錐體積之比是()AB2C3D4答案D解析此三棱錐的高為球的半徑，ABC所在大圓面積為r2，三棱錐的底面易知為等腰直角三角形腰長(zhǎng)為r，所以三棱錐底面面積為()2r2，4，球體積與三棱錐體積之比為4，故選D.15在空間四邊形ABCD中，ADBC，BDAD，且BCD是銳角三角形，那么必有()A平面ABD平面ADCB平面ABD平面ABCC平面ADC平面BCDD平面ABC平面BCD答案C16已知m、l是直線，、是平面，給出下列命題：若l垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則l；若l平行于，則l平行于內(nèi)的所有直線；若m，l，且lm，則；若l，且l，則；若m，l，且，則ml.其中正確命題的序號(hào)是()

29、ABCD答案C解析由直線與平面垂直的判定定理知，正確；對(duì)于，若l，m，則l與m可能平行，也可能是異面直線，故不正確；對(duì)于，滿足題設(shè)的平面、有可能平行或相交，也有可能垂直，故是錯(cuò)誤的；由面面垂直的判定定理知，是正確的；對(duì)于，m與l可能平行，也可能是異面直線，故是錯(cuò)誤的故正確的命題是、.17若a、b表示直線，表示平面，a，ab，則b；a，ab，則b；a，b，則ba；a，b，則ba.上述命題中正確的是()ABCD答案C解析b或bb或b或b、正確，選C.18已知三條直線m、n、l，三個(gè)平面、，下面四個(gè)命題中，正確的是()A.B.lC.mnD.答案D解析對(duì)于A，與可以平行，也可以相交；對(duì)于B，l與可以垂

30、直，也可以斜交或平行；對(duì)于C，m與n可以平行，可以相交，也可以異面19若兩直線a與b異面，則過(guò)a且與b垂直的平面()A有且只有一個(gè)B可能存在也可能不存在C有無(wú)數(shù)多個(gè)D一定不存在答案B解析當(dāng)ab時(shí)，有且只有一個(gè)當(dāng)a與b不垂直時(shí)，不存在20(08·安徽)已知m、n是兩條不同直線，、是三個(gè)不同平面下列命題中正確的是()A若m，n，則mnB若，則C若m，m，則D若m，n，則mn答案D21如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持APBD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A線段B1CB線段BC1CBB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段DBC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成

31、的線段答案A解析DD1平面ABCD，D1DAC，又ACBD，AC平面BDD1，ACBD1.同理BD1B1C.又B1CACC，BD1平面AB1C.而APBD1，AP平面AB1C.又P平面BB1C1C，P點(diǎn)軌跡為平面AB1C與平面BB1C1C的交線B1C.故選A.22已知一平面平行于兩條異面直線，一直線與兩異面直線都垂直，那么這個(gè)平面與這條直線的位置關(guān)系是()A平行B垂直C斜交D不能確定答案B解析設(shè)a，b為異面直線，a平面，b，直線la，lb.過(guò)a作平面a，則aa，la.同理過(guò)b作平面b，則lb，a，b異面，a與b相交，l.23設(shè)有直線m、n與平面、，則在下面命題中，正確的是()A若mn，m，n，

32、則B若m，mn，n，則C若mn，n，m，則D若mn，m，n，則答案C解析對(duì)于C，由mn，n得m.又m，可得.應(yīng)選C.24如圖已知平面CBD平面ABD，且DA平面ABC，則ABC的形狀為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不能確定答案B解析過(guò)A作AEDB，則AE平面DBC，AEBC，又DA平面ABC，DABC，又DAAEA，BC平面DAB，BCAB，ABC為直角三角形25(2010·北京理，8)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD、CD上，若EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z大于零)，則四面體PEFQ的體積()

33、A與x，y，z都有關(guān)B與x有關(guān)，與y，z無(wú)關(guān)C與y有關(guān)，與x，z無(wú)關(guān)D與z有關(guān)，與x，y無(wú)關(guān)答案D解析這道題目延續(xù)了北京高考近年8,14,20的風(fēng)格，即在變化中尋找不變，從圖中可以分析出，EFQ的面積永遠(yuǎn)不變，為矩形A1B1CD面積的，而當(dāng)P點(diǎn)變化(即z變化)時(shí)，它到平面A1B1CD的距離是變化的，因此會(huì)導(dǎo)致四面體體積的變化26在ABC中，C90°，AB8，B30°，PC平面ABC，PC4，P是AB邊上動(dòng)點(diǎn)，則PP的最小值為()A2 B.C2D.答案C解析作CPAB，垂足為P，則易知PPAB，PP為所求最小值在RtABC中，由AB8，B30°得，PC2，又PC平面

34、ABC，PCPC，PC4，PP2.27已知直線l平面，直線m平面，有下列四個(gè)命題：lm；lm；lm；lm.其中正確的兩個(gè)命題是()ABCD答案D28(2010·山東文，4)在空間，下列命題正確的是()A平行直線的平行投影重合B平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D垂直于同一平面的兩條直線平行答案D解析當(dāng)兩平行直線都與投影面垂直時(shí)，其在內(nèi)的平行投影為兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)兩平行直線所在平面與投影面相交但不垂直時(shí)，其在內(nèi)的平行投影可平行，故A錯(cuò)；在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AA1與平面BCC1B1及平面CDD1C1都平行，但平面BCC1B1與平面CDD1C1相交，故

35、B錯(cuò)；同樣，在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都與平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C錯(cuò)；由線面垂直的性質(zhì)定理知D正確29對(duì)于直線m、n和平面、，下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為()若m，nm，則n若m，nm，則n若，則若m，m，則A1B2C3D4答案A解析錯(cuò)，正確30(09·廣東文)給定下列四個(gè)命題：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直其中為真命題的是()

36、A和B和C和D和答案D31(09·浙江文)設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l是一條直線，以下命題正確的是()A若l，則lB若l，則lC若l，則lD若l，則l答案C解析l，l或l，A錯(cuò)；l，l或l，B錯(cuò)；l，l，C正確；若l，則l與位置關(guān)系不確定，D錯(cuò)32a、b為不重合的直線，為不重合的平面，給出下列4個(gè)命題：a且abb；a且abb；a且abb；a且a.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3答案A解析b或b；b或b；a或a.33如圖，BC是RtABC的斜邊，AP平面ABC，PDBC于D，則圖中共有_個(gè)直角三角形()A8B7C6D5答案A解析PAC，PAD，PAB，PDC，PDB，CDA，BDA

37、，CAB共8個(gè)34如圖，平面平面，A，B，AB與兩平面、所成的角分別為和.過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A、B，則ABAB等于()A21 B31C32 D43答案A解析由已知條件可知BAB，ABA，設(shè)AB2a，則BB2asina，AB2acosa，在RtBBA中，得ABa，ABAB21.35已知a、b、c是直線，、是平面，下列條件中，能得出直線a平面的是()Aac，ab，其中b，cBab，bC，aDab，b答案D解析A中缺b與c相交的條件；如圖(1)，可知b，ab時(shí)，a與可平行、可相交，相交時(shí)也可垂直，故B錯(cuò)；如圖(2)是一個(gè)正方體，滿足，直線a可以是AC，也可以是AB，故C錯(cuò)36在正

38、四面體PABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面ABCD平面PAE平面ABC答案C解析D、F分別為AB、CA中點(diǎn)，DFBC.BC平面PDF，故A正確又PABC為正四面體，P在底面ABC內(nèi)的射影O在AE上PO平面ABC.PODF.又E為BC中點(diǎn)，AEBC，AEDF.又POAEO，DF平面PAE，故B正確又PO面PAE，PO平面ABC，面PAE面ABC，故D正確四個(gè)結(jié)論中不成立的是C.二填空題1如圖，AB是圓O的直徑，C是異于A、B的圓周上的任意一點(diǎn)，PA垂直于圓O所在的平面，AC3，PA4，AB5，則直線PB與

39、平面PAC所成角的正弦值為_(kāi)答案解析PA平面ABCPABC，又BCACBC平面PAC，BPC為直線PB與平面PAC所成的角在RtPAB中，PA4，AB5，PB，在RtABC中，AC3，AB5，BC4，sinBPC.2ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，點(diǎn)P在ABCD所在平面外，且PAPC，PDPB，則PO與平面ABCD的位置關(guān)系是_答案垂直解析PAPC，O是AC的中點(diǎn)，POAC.同理可得POBD.ACBDO，PO平面ABCD.3在矩形ABCD中，AB3，BC4，PA平面ABCD，且PA1，則點(diǎn)P到對(duì)角線BD的距離是_答案解析因?yàn)锳B3，BC4，所以BD5，過(guò)A作AEBD，連接PE，PA平面ABCD，PA

40、BD，PAAEA，BD平面PAE，PEBD，在ABD中，AE，所以PE.4(2010·湖南文，13)如圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積20cm3的幾何體的三視圖，則h_ cm.答案4解析該幾何體是一個(gè)底面是直角三角形，一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐如圖，V××h20，h4 cm.5(09·全國(guó)文)已知OA為球O的半徑，過(guò)OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M，若圓M的面積為3，則球O的表面積等于_答案16解析設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，則有解得R2，球O的表面積S4R216.6如圖，ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAABa.(1)二面角AP

41、DC的度數(shù)為_(kāi)；(2)二面角BPAD的度數(shù)為_(kāi)；(3)二面角BPAC的度數(shù)為_(kāi)；(4)二面角BPCD的度數(shù)為_(kāi)答案90°；90°；45°；120°解析(1)PA平面ABCDPACD又ABCD為正方形，CDAD，CD平面PAD，又CD平面PCD，平面PAD平面PCD，二面角APDC為90°.(2)PA平面ABCD，ABPA，ADPABAD為二面角BAPD的平面角又BAD90°，二面角BAPD為90°(3)PA平面ABCD，ABPA，ACPABAC為二面角BPAC的平面角又ABCD為正方形，BAC45°即二面角BPAC

42、為45°(4)作BEPC于E，連DE則由PBCPDC知BPEDPE從而PBEPDEDEPBEP90°，且BEDEBED為二面角BPCD的平面角PA平面ABCD，PABC，又ABBC，BC平面PAB，BCPB，BEa，BDa取BD中點(diǎn)O，則sinBEO，BEO60°，BED120°二面角BPCD的度數(shù)為120°.7已知二面角AB為120°，AC，BD，且ACAB，BDAB，ABACBDa，則(1)CD的長(zhǎng)為_(kāi)；(2)CD與AB所成的角為_(kāi)答案(1)2a(2)60°解析在平面內(nèi)，作AD綊BD，連DD，則DD綊AB(1)ACAB，

43、DAAB，DAC為二面角AB的平面角即DAC120°ABACBDa，CDa又AB平面ACD，DDAB，DD平面ACDDDDC，又DDaCD2a(2)DDABDDC為異面直線CD與AB所成的角在RtDDC中，DDa，CD2aDDC60°，即CD與AB所成的角為60°.8已知邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，ABC60°，PC平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，則E到平面PBC的距離為_(kāi)答案a解析如圖，設(shè)AC交BD于O，連EO，E、O分別為PA、AC的中點(diǎn)，EOPC，又EO面PBC，PC面PBC，EO平面PBC，于是EO上任一點(diǎn)到平面PBC的距離都相等，則O點(diǎn)到平面PBC

44、的距離即為所求在平面ABCD內(nèi)過(guò)O作OGBC于G，PC平面ABCD，PCOG，OG平面PBC.ABCD是菱形，ABC60°，OGsinOBC×sin30°a.即E到面PBC距離為a.9正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離為_(kāi)答案解析(1)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A1到平面ABC1D1的距離，連A1D交AD1于O1點(diǎn)，可證A1O1平面ABC1D1，A1到平面ABC1D1距離A1O1，從而O到平面ABC1D1距離為.(2)轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，過(guò)O作直線EFA1B1交A1D1于E，交B1C1于F，過(guò)E作EE1AD1，

45、可證EE1平面ABC1D1從而得解10三條直線abc，若b、c距離為2，a、c距離為1，a、b距離為，則由a、c確定的平面與b的距離為_(kāi)答案解析在直線b上取一點(diǎn)P，過(guò)P作PO于O，作OQc于Q，交直線a于R，則OQa，c平面POQ，a平面POR，PQc，PRa，依題設(shè)條件，QR1，PQ2，PR，設(shè)OQx，POh，則x2h24，(x1)2h27，解之得h.11把等腰直角ABC沿斜邊BC上的高線AD折成一個(gè)二面角，此時(shí)BAC60°，那么此二面角的大小是_答案90°解析設(shè)ABaABAC，BAC60°BCa，又BDDCaBDC90°又BDAD，ADCDBDC為二

46、面角BADC的平面角故填90°.12、是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面及外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：mn；n；m.以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題是_答案、；、13直角ABC的斜邊BC在平面內(nèi)，頂點(diǎn)A在平面外，則ABC的兩條直角邊在平面內(nèi)的射影和斜邊BC組成的圖形只能是_答案線段或鈍角三角形解析當(dāng)ABC所在平面與垂直時(shí)為線段；否則如圖AC2AB2<AC2AB2BC2，ABC為鈍角三角形14ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，P為平面ABC外一點(diǎn)，它到三邊的距離都等于2，則P到平面ABC的距離是_答案解析頂點(diǎn)在底面上的射影O為三角形ABC的內(nèi)心

47、，其內(nèi)切圓半徑r1，則PO.15P為ABC所在平面外一點(diǎn)，PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，又PA與BC垂直，那么ABC形狀可以是_正三角形等腰三角形非等腰三角形等腰直角三角形(將你認(rèn)為正確的序號(hào)全填上)答案解析設(shè)點(diǎn)P在底面ABC上的射影為O，由PA、PB、PC與平面ABC所成角均相等，得OAOBOC，即點(diǎn)O為ABC的外心，又由PABC，得OABC，即AO為ABC中BC邊上的高線，ABAC，即ABC必為等腰三角形，故應(yīng)填.章節(jié)測(cè)試一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1(20132014·福建師大附中模塊)設(shè)，表示兩個(gè)平面，l表示直線，A，B，C表示三個(gè)不同的點(diǎn)，給出下列命題：若Al，A，Bl，B，則l；，不重合，若A，A，B，B，則AB；若l，Al，則A；若A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線，則與重合則上述命題中，正確的個(gè)數(shù)是()A1B2C3D4答案C解析根據(jù)公理1可知正確；根據(jù)公理3可知正確，根據(jù)公理2可知正確；當(dāng)點(diǎn)A為直線l與平面的交點(diǎn)時(shí)，可知錯(cuò)誤2菱形ABCD在平面內(nèi)，PC，則PA與對(duì)角線BD的位置關(guān)系是()A平行B相交但不垂直C相交垂直D異面垂直答案D解析PC平面，PCBD，又在菱形ABCD中，ACBD，BD平面PAC.又PA平面PAC，BDPA.顯然PA與BD異面，故PA與BD